Bài tập môn mô hình toán ứng dụng và hướng dẫn trả lời

25 BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN ỨNG DỤNG 1. Đề bài: Bài 10 (chương II). Một cửa hàng bảo hành xe máy Honda có 5 công nhân phục vụ và 1 diện tích để có m xe chờ. Dòng xe có nhu cầu bảo hành giả thiết là dòng tối giản bới trung bình 4 xe/giờ. Thời gian trung bình bảo trì xong 1 xe của 1 công nhân mất 1 giờ, mỗi công nhân bảo hành 1 xe Hãy phân tích các chỉ tiêu sau theo m : - Xác suất phục vụ - Số công nhân bận trung bình - Số xe chờ trung bình và thời gian chờ trung bình 2. Phân tích Ta thấy đây là hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế và thời gian chờ không hạn chế. Dòng xe có nhu cầu bảo hành giả thiết là dòng tối giản tức là thỏa mãn các điều kiện dừng, không hậu quả và đơn nhất như vậy số yêu cầu đến hệ thống phân phối theo quy luật Possion do đó ta có thể đánh giá được các tính chất của dòng yêu cầu này. Mô tả hệ thống. Đây là một hệ thống phục vụ công cộng có n = 5 kênh phục vụ (5 công nhân), năng suất các kênh bằng nhau bằng μ = 1 xe/giờ, dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Possion dừng mật độ λ = 4 xe/giờ. Dòng yêu cầu đến là dòng Possion dừng, thời gian phục vụ một yêu cầu của kênh tuân theo quy luật chỉ số. Một yêu cầu đến hệ thống gặp lúc có ít nhất một kênh rỗi thì được nhận phục vụ cho đến thỏa mãn tại một trong các kênh rỗi đó. Ngược lại nếu tất cả các kênh bận thì xếp hàng chờ, số yêu cầu chờ tối đa là m. Trường hợp đã có m yêu cầu chờ, một yêu cầu đến hệ thống sẽ bị từ chối. Từ đó ta xác định được các chỉ tiêu phân tích hệ thống. Các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của hệ thống. Ta có: α = λ/µ = 4/1 = 4 x = α/n = 4/5 = 0.8 ≠ 1 25 1. Xác suất phục vụ. Khi yêu cầu đến hệ thống mà có ít nhất một kênh rỗi thì sẽ được phục vụ ngay mà không phải chờ. Khi yêu cầu đến hệ thống có n kênh bận và yêu cầu chờ s < m thì yêu cầu đến hệ thống sẽ được phục vụ nhưng phải chờ. Do đó để tính xác suất phục vụ ta có 2 trường hợp sau. a. Trường hợp 1: Xác suất phục vụ ngay. P opv =1- P tc - P c . Với P P n x P tc n m n m = = + α ! 0 Khi x ≠ 1 P tc = + − − P n R n P n x x x x m m ( , ) ( , ) ( , ) ( ) α α α 1 1 P P n x P c n s n s s m s m = = + = − = − ∑∑ α ! 0 1 0 1 0 Khi x ≠ 1 P c = + − − − − P n R n P n x x x x x m m ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) α α α 1 1 1 1 Ta có: P opv = 1 - m m x x x xnPnR nP − − + 1 )1( ),(),( ),( αα α - )1( )1( 1 )1( ),(),( ),( x x x x xnPnR nP m m − − − − + αα α Ta có mệnh đề: Với hệ chờ với thời gian chờ không hạn chế; khi số chờ tăng thì xác suất từ chối một yêu cầu giảm. P tc = + − − P n R n P n x x x x m m ( , ) ( , ) ( , ) ( ) α α α 1 1 25 2 ] 1 )1( ),(),([ ln)( 1 ),((),() 1 )1( ),(),((ln),( x xx nPnR xx x x nPxnP x xx nPnRxnPx m P m mm m m tc − − + − − − − − + = ∂ ∂ αα ααααα Ta có m P tc ∂ ∂ < 0 nên P tc là hàm giảm theo m. Xét P c )1( )1( 1 )1( ),(),( ),( x x x x xnPnR nP m m − − − − + = αα α = B A Ta có m P c ∂ ∂ = MSm TSm TS m = ] 1 )1( ),(),()[( )1( ),( x xx nPnRxmLn x nP m − − + − − αα α + x xx nP m − − 1 )1( ),( α x x nP −1 ),( α )(xmLn = ),()( )1( ),( nRxmLn x nP α α − − >0 Mọi m MS m = 2 A Vậy khi m tăng P c cũng tăng Ta có 1 1 )1( < − − = m m tc x xx Pc P . Suy ra tốc độ giảm của P tc nhỏ hơn tốc độ tăng của P c . Do đó P opv là hàm giảm theo m. Vậy nếu diện tích xe chờ là m tăng thì P opv sẽ giảm. b, Trường hợp 2: Xác suất phục vụ nhưng phải chờ. P pv = 1 – P tc Mà theo trường hợp 1, P tc là hàm giảm theo m. Nên P pv là hàm tăng theo m. Tức là khi m tăng thì P pv sẽ tăng. 2. Số công nhân bận trung bình. Ta có: ∑ ∑∑ ∑ = = + = = + +=+= n k m s snk n k m s snk b PnkPPnkPN 1 10 1 25 Khi x ≠ 1 b N )1( 1 ),(),( )1( 1 ),()1,( m m x x x nPnR x x x nnPnR − − + − − +− = αα ααα ) 1 ( !! ) 1 1 ( !! 0 1 − + − − + = ∑ ∑ = = x x nk x x n n k k N n n k k mn n k k b αα αα m m b N       −       − = 5 4 67,4277 5 4 3,213308 Tao có m N b ∂ ∂ 2 5 4 67,4277 5 4 84,21770               −       − = m m mm >0 Mọi m Vậy b N là hàm tăng theo m có nghĩa là khi m tăng thì b N tăng 3. Số xe chờ trung bình. Khi x ≠ 1 Trong đó: x x x sxxsx m s s m s s m s s ∂ ∂ ∑ ∑∑ − = = − = = = 1 0 1 1 0 = x x m x mx m m ( ) [( ) ] 1 1 1 2 1 − − − + − Như vậy: 25 x x xnPnR mxxm x x nP M m mm c − − + +−− − = − 1 1 ),(),( ]1)1[( )1( ),( 1 2 αα α Ta có: m M c ∂ ∂ > 0 nên số xe chờ trung bình là hàm tăng theo m. Nên nếu m tăng thì số xe chờ trung bình sẽ tăng. 4. Thời gian chờ trung bình. Khi x≠1: = c T sn m s P n s + = ∑ 0 µ µ n Mc T c = = x x xnPnR mxxm x x nP n m mm − − + +−− − − 1 1 ),(),( ]1)1[( )1( ),( 1 1 2 αα α µ Ta có: µ n Mc T c = mà nên thời gian chờ trung bình của một yêu cầu là hàm tăng theo m. Vậy nếu m tăng thì c T tăng Kết luận: Sau khi phân tích đánh giá các chỉ tiêu ta thấy hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế và thời gian chờ không hạn chế phụ thuộc vào m (số yêu cầu chờ tối đa). Nếu diện tích chờ tăng thì xác suất phục vụ, số công nhân bận trung bình, số xe chờ trung bình và thời gian chờ trung bình đều tăng. Đây là một số chỉ tiêu cơ bản để đánh giá hoạt động của hệ thống, trong các bài toán thực tế khi tăng số chỗ chờ m thì phát sinh một số chi phí nào đó như một hàm tăng của m. Vì vậy có chỉ khác đánh giá hoạt động của hệ thống như hàm tổng chi phí, hàm tổn thất v.v. Bài 16/129. Một phòng kiểm tra chất lượng sản phẩm tự động có 2 máy, năng suất như nhau là 24 sản phẩm/phút. Dòng sản phẩm từ dây chuyền đi đến phòng kiểm 25 tra là dòng phân phối Poisson dừng trung bình 36 sản phẩm/phút. Người ta dự định bố trí theo 1 trong 2 phương án sau: - Phương án 1: để 2 máy chạy song song, làm việc độc lập như một hệ Eclang 2 kênh. Sản phẩm sẽ vào kho mà không kiểm tra khi cả 2 máy bận. - Phương án 2: để 2 máy liên tiếp, máy 1 bận thì sản phẩm chuyển sang máy 2, nếu máy 2 cũng bận thì sản phẩm vào kho không kiểm tra. Nên chọn phương án nào để tỷ lệ sản phẩm vào kho không kiểm tra nhỏ hơn. BÀI LÀM Phương án I. Hai máy mắc song song làm việc như một Eclang 2 kênh, sản phẩm sẽ vào kho mà không kiểm tra khi cả 2 máy bận nên đây là một hệ thống phục vụ công cộng Eclang với: n = 2 kênh μ = 24 sản phẩm/phút λ = 36 sản phẩm/phút.  5,1 24 36 === µ λ α Ta có sơ đồ trạng thái sau. Hệ phương trình và các xác suất trạng thái là: X 0 (t) X 2 (t)X 1 (t) λ λ μ 2μ 0 = -λP 0 + μP 1 0 = -λP 1 – μP 1 + λP 0 + 2μP 2 0 = -μP 2 + λP 1 25 Mà: 1 2 0 = ∑ =k k P Từ đó ta có:  Xác suất hệ thống có 2 kênh rỗi là: 29 8 !2 5,1 !1 5,1 !0 5,1 1 ! 1 210 2 0 0 = ++ == ∑ =k k k P α  Xác suất hệ thống có 2 kênh bận (hay xác suất yêu cầu đến hệ thống bị từ chối) là: 310345,0 29 8 !2 5,1 !2 2 0 2 2 ≈×=×== PPP tc α Phương án II. Hai máy liên tiếp, nếu máy 1 bận thì sản phẩm chuyển sang máy 2, nếu máy 2 cũng bận thì sản phẩm chuyển vào kho không kiểm tra. Như vậy đây là hệ thống Eclang nối tiếp. Ta có sơ đồ trạng thái sau: Ta có tỷ lệ yêu cầu bị từ chối ở hệ thống thứ nhất là: Tuyến 1 Tuyến 2 ∑ = = 2 0 0 ! 1 k k k P α 0 2 2 !2 PP ×= α 25 )1( !1 )1( 0 1 PP tc ×= α , với λλ µ λ α == 1 1 1 1 , Có 4,0 !1 5,1 !0 5,1 1 ! 1 )1( 10 1 0 1 0 = + == ∑ =k k k P α  6,04,0 !1 5,1 )1( =×= tc P Dòng yêu cầu đến hệ thống 2 có mật độ: λ 2 = P tc (1) x λ 1 = 0,6 x 36 =21,6 Tương tự hệ thống 1.  )2( !1 )2( 0 2 PP tc ×= α , với 9,0 24 6,21 2 2 2 === µ λ α Có 19 10 !1 9,0 !0 9,0 1 ! 1 )2( 10 1 0 2 0 = + == ∑ =k k k P α  473684,0 19 9 19 10 !1 9,0 )2( ≈=×= tc P  Tỷ lệ yêu cầu bị từ chối: P tc (1,2) = P tc (1) x P tc (2) = 0,6 x 19 9 ≈ 0,284211 Do P tc (PA II) = P tc (1,2) = 0,284211 < P tc (PA I) = P tc (1) = 0,310345 vì vậy để tỷ lệ sản phẩm vào kho không kiểm tra là nhỏ nhất ta chọn phương án 2. Bài 14 chương 2. Tóm tắt bài toán: n = 4, µ = 3, λ = 10. 1. Tính các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của trung tâm. 2. Người ta muốn nâng tỉ lệ bản tin đến trung tâm được xử lý và dự định 2 phương án có tốn phí như sau: Phương án 1: n = 7, µ = 3, λ = 10. Phương án 2: n = 4, µ = 6, λ = 10. Bài làm Bài toán trên là bài toán hệ thống phuc vụ công cộng Eclang có: Số kênh phục vụ n= 4. 25 Năng suất các kênh bằng nhau và µ = 3. Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson dừng mật độ λ = 10. Thời gian phục vụ một yêu cầu của kênh tuân theo quy luật chỉ số. 1. Tính các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của trung tâm. + XS hệ thống có n kênh rỗi. P r = P 0 = P (α, 0)/ R (α, n) Với α = λ/ µ = 10/3 = 3,3 Thay vào công thức trên và tra bảng ta được: P 0 = P (3.3, 0)/ R (3.3, 4) = 0.0369/0.7626 = 0.0484 + XS hệ thống n kênh bận. P n = α n * P 0 /n! = P (α, n)/ R (α, n) = 0.1823/0.7626 = 0.2391 + XS phục vụ. P pv = 1 – P tc = 1 – P n = 1- 0.2391= 0.7609 + Số kênh bận trung bình. N¯ b = α*P pv = 3.3*0.7609 = 2.5110 + Số kênh rỗi trung bình N¯ r = n - N¯ b = 4- 2.5110 = 1.4890 + Hệ số bận. H b = N¯ b /n = 2.5110/4 = 0.6277 2. Ta tính XS phục vụ của từng phương án. Phương án nào có XS phục vụ lớn hơn thì ta chọn phương án đó. Phương án 1: n = 7, µ = 3, λ = 10 + XS hệ thống có n kênh rỗi. P r = P 0 = P (α, 0)/ R (α, n) Với α = λ/ µ = 10/3 = 3.3 Thay vào công thức trên và tra bảng ta được: P 0 = P (3.3, 0)/ R (3.3, 7) = 0.0369/ 0.9802 = 0.0376 + XS hệ thống n kênh bận. P n = α n * P 0 /n! = P (α, n)/ R (α, n) = 0.0312/ 0.9802 = 0.0318 + XS phục vụ. P pv = 1 – P tc = 1 – P n = 1- 0.0318 = 0.9682 Phương án 2: n = 4, µ = 6, λ = 10. + XS hệ thống có n kênh rỗi. P r = P 0 = P (α, 0)/ R (α, n) Với α = λ/ µ = 10/6 = 1.66 25 Thay vào công thức trên và tra bảng ta được: P 0 = P (1.66, 0)/ R (1.66, 4) = 0.192/ 0.9735 = 0.1972 + XS hệ thống n kênh bận. P n = α n * P 0 /n! = P (α, n)/ R (α, n) = 0.0593/ 0.9735 = 0.0609 + XS phục vụ. P pv = 1 – P tc = 1 – P n = 1- 0.0609 = 0.9391 So sánh XS phục vụ của 2 phương án trên, P pv của phương án nào có XS lớn hơn thì sẽ được chọn. Phương án 1: P pv1 = 0.9682 Phương án 2: P pv2 = 0.9391 Vậy ta chọn theo phương án 1. Chạy bài toán trên bằng MH4 ta thu được kết quả sau: Phấn1: SO LIEU So kenh phuc vu n = 4 Nang suat mot kenh phuc vu w = 3.00 Mat do dong yeu cau y = 10.00 P[0]=0.0472 P[1]=0.1572 P[2]=0.2620 P[3]=0.2911 P[4]=0.2426 MOT SO CHI TIEU DNH GIA HE THONG 1-Xac suat he thong co 4 kenh roi P(0)=0.0472 2-Xac suat he thong co 4 kenh ban hay xac suat mot yeu cau bi tu choi P(tc)=0.2426 3-So yeu cau duoc phuc vu trung binh Npv= 7.574 4-So kenh ban trung binh Nb= 2.525 5-He so kenh ban Hb= 0.631 Phần 2b. SO LIEU So kenh phuc vu n = 7 Nang suat mot kenh phuc vu w = 3.00 Mat do dong yeu cau y = 10.00 P[0]=0.0364 P[1]=0.1214 P[2]=0.2024 P[3]=0.2249 P[4]=0.1874 P[5]=0.1249 P[6]=0.0694 P[7]=0.0331 MOT SO CHI TIEU DNH GIA HE THONG 1-Xac suat he thong co 7 kenh roi P(0)=0.0364 2-Xac suat he thong co 7 kenh ban hay xac suat mot yeu cau bi tu choi P(tc)=0.0331 3-So yeu cau duoc phuc vu trung binh Npv= 9.669 [...]... của hệ từ chối ( hệ thống eclăng) mỗi ngày làm việc 10 giờ Đây là bài toán Eclang với số chỗ chờ là 0 Để giải bài toán này ta có thể dung MH4, gam hay pom… sau đây chúng tôi xin giới thiệu giải bài toán bằng phần mền MH4 2 Giải bài toán: a Tính số xe được phục vụ trong ngày: Số kênh phục vụ: n=2 Năng suất một kênh: µ = 2 Mật độ dòng vào: λ = 4 λ 4 = =2 µ 2 Ta tính được một số chỉ tiêu đánh giá hệ thống... ∈ [745.36 ;5921.99 )) Bài tập 4 chương 3: Với các dữ kiện của mô hình Wilson a-Hãy tìm biểu thức cho biết khi tăng tổng nhu cầu, chi phí mua hàng và chi phí đặt hàng cùng mức 1% thì tổng chi phí nhỏ nhất tăng bao nhiêu phần trăm? Nhận xét gì về giá trị biểu thức này tại quy mô tối ưu , giải thích? b-Giả sử hệ thống kho có sẵn với dung tích M 0 , lớn hơn quy mô tối ưu trong mô hình Vì vậy ngoài chi... hàng không cho phép mở rộng hơn mức tối ưu ở câu a, việc thuê kho là tăng chi phí kho với hệ số k= 0,2 thì nên hiệu chỉnh lượng hàng đặt như thế nào? Bài làm a) Ta giải bài toán nhờ mô hình Wilson ( mô hình dự trữ tiêu thụ đều, bổ sung tức thời) Theo bài ta có: Tổng nhu cầu Q = 40000 Chi phí đặt hàng mỗi lần A = 120$ Hệ số chi phí dự trữ I = 0,05 Đơn giá C = 14$ Thời gian đặt hàng T = 2 tháng =60 ngày... tiền lãi trung bình là bao nhiêu? Biết chi phí phục vụ một xe là 150000 đồng/xe, chi phí cho một ngày là 100000 đồng và nếu mỗi dây sản xuất rỗi sẽ gây thiệt hại là 40000 đồng/ngày c Giải câu b trong trường hợp số chỗ chờ là m=6 PHÂN TÍCH VÀ GIẢI BÀI TOÁN: 1 Phân tích bài toán: Theo bài ta có: Một cửa hàng có 2 dây phục vụ : n =2 Trung bình mỗi dây phục vụ xong 1 xe mất 30 phút =>năng suất phục vụ... đã nêu trong mô hình , mỗi đơn vị dung tích bỏ trống chịu thiệt hại là p Hãy nêu cách giải thích có lợi nhất và minh họa bằng 1 thí dụ cụ thể Bài làm: a -Với các dữ kiện của mô hình Wilson ta có Nhu cầu 1 loại hàng trong thời kỳ T (T=1) là Q đơn vị Chi phí mỗi lần đặt hàng là A Giá mỗi đơn vị hàng là C Hệ số chi phí dự trữ là I Thời gian đặt hàng là T0 Tăng tổng nhu cầu, chi phí đặt hàng và chi phí mua... chịu một chi phí cơ hội là ? II BÀI GIẢI: 25 a Tính lượng hàng tốt nhất , điểm đặt hàng tương ứng và giá bàn tối thiểu: Theo bài ra ta có: Tổng nhu cầu mặt hàng: Q = 30000 chiếc Chi phí đặt hàng : Thời gian đặt hàng: Giá hàng: Hệ số chi phí dự trữ: A = 50 $ T = 90 ngày tức là 0.2466 năm C = 4 $/chiếc I= 6 = 1.5 4 * Xác định lượng đặt hàng tốt nhất và điểm đặt hàng tương ứng: Lượng hàng đặt mỗi lần tốt... tính hiệu quả chung như sau : F = T*λ*Ppv*Cpv - Nr*Ckr - C ⇒ F=10*4*0.904 8*15000- 2.1904*40000-100000 = 355264(đồng/ngày) c Giải bài toán trên khi thêm vào yếu tố chờ: Đây là bài toán phục vụ công công chờ thuần nhất: Số kênh phục vụ: n=2 Năng suất một kênh: µ = 2 Mật độ dòng vào: λ = 4 Số chỗ chờ tối đa: m = 6 λ 4 α = = =2 µ 2 α /n = 2/2 = 1 Ta thấy x = Khi x= 1 thì : P0 = P(α ,0) P (2,0) 0.1353 = =... là lượng hàng đặt tối ưu mỗi lần và được tính q* ' như sau: q * = 1− ε  TH 2 : q* < S 0 q* 1− ε Và khi đó có 2 khả năng xảy ra như sau: • KN 1 : q’* < S 0 ⇒ Đồ thị mô tả D(q) và lời giải của đồ thị như sau: ' Ta vẫn tính: q * = 25 Chi phí AQ q 0 IC ' q 2 q* q’* S Lượng hàng Nhận xét: Với q < S 0 thì F(q)min = F(q*) Với q ≥ S 0 thì F(q)min = F(S 0 ) ⇒ Ta so sánh F(q*) và F(S 0 ) từ đó tìm ra lượng hàng... nhưng do quy lụât cung câù lại có tác dụng ngược lại với xu thế tăng của tổng nhu cầu là giá tăng suy ra nhu cầu giảm xuống nên có thể đối mặt với ngừng trệ tiêu thụ kéo theo lượng hàng vào cần nhập từ mức q2 về mức q1* để thỏa mãn điều kiện tiêu thụ đều đặn và bổ xung kịp thời Còn tổng chi phí nhỏ nhất dao động trong khoảng 1.5% =>2.1% đã được chứng minh trong mô hình ta chỉ giải thích một số ý nghĩa... khi có hàng về để bán là 2 tháng a) Tính lượng hàng đặt mỗi lần sao cho tổng chi phí bé nhất; xác định thời gian mỗi chu kỳ mua và tiêu thụ hàng; mức hàng còn lại trong kho vào thời điểm cần tiến hành làm thủ tục mua hàng cho chu kỳ sau? b) Vẽ đồ thị minh họa và dựa vào đồ thị mô tả hành vi hợp lý của cửa hàng khi có hạ giá cho lô hàng lớn hơn hoặc bằng S 0 ? c) Giả sử S 0 được chọn trong câu b, nhưng . 25 BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN ỨNG DỤNG 1. Đề bài: Bài 10 (chương II). Một cửa hàng bảo hành xe máy Honda có 5 công nhân phục. giờ. Đây là bài toán Eclang với số chỗ chờ là 0. Để giải bài toán này ta có thể dung MH4, gam hay pom… sau đây chúng tôi xin giới thiệu giải bài toán bằng phần mền MH4. 2. Giải bài toán: a. Tính. nên hiệu chỉnh lượng hàng đặt như thế nào? Bài làm a) Ta giải bài toán nhờ mô hình Wilson ( mô hình dự trữ tiêu thụ đều, bổ sung tức thời). Theo bài ta có: Tổng nhu cầu Q = 40000 Chi phí đặt