Thời gian trung bình bảo trì xong 1 xe của 1 công nhân mất 1 giờ, mỗi công nhân bảo hành 1 xe Hãy phân tích các chỉ tiêu sau theo m : - Xác suất phục vụ - Số công nhân bận trung bình
Trang 1BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN ỨNG DỤNG
1 Đề bài: Bài 10 (chương II).
Một cửa hàng bảo hành xe máy Honda có 5 công nhân phục vụ và 1 diện tích
để có m xe chờ Dòng xe có nhu cầu bảo hành giả thiết là dòng tối giản bới trung
bình 4 xe/giờ Thời gian trung bình bảo trì xong 1 xe của 1 công nhân mất 1 giờ,
mỗi công nhân bảo hành 1 xe
Hãy phân tích các chỉ tiêu sau theo m :
- Xác suất phục vụ
- Số công nhân bận trung bình
- Số xe chờ trung bình và thời gian chờ trung bình
2 Phân tích
Ta thấy đây là hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế và thời gian chờ
không hạn chế Dòng xe có nhu cầu bảo hành giả thiết là dòng tối giản tức là thỏa
mãn các điều kiện dừng, không hậu quả và đơn nhất như vậy số yêu cầu đến hệ
thống phân phối theo quy luật Possion do đó ta có thể đánh giá được các tính chất
của dòng yêu cầu này
Mô tả hệ thống.
Đây là một hệ thống phục vụ công cộng có n = 5 kênh phục vụ (5 công nhân),
năng suất các kênh bằng nhau bằng μ = 1 xe/giờ, dòng yêu cầu đến hệ thống là
dòng Possion dừng mật độ λ = 4 xe/giờ Dòng yêu cầu đến là dòng Possion dừng,
thời gian phục vụ một yêu cầu của kênh tuân theo quy luật chỉ số Một yêu cầu đến
hệ thống gặp lúc có ít nhất một kênh rỗi thì được nhận phục vụ cho đến thỏa mãn
tại một trong các kênh rỗi đó Ngược lại nếu tất cả các kênh bận thì xếp hàng chờ,
số yêu cầu chờ tối đa là m Trường hợp đã có m yêu cầu chờ, một yêu cầu đến hệ
thống sẽ bị từ chối Từ đó ta xác định được các chỉ tiêu phân tích hệ thống
Các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của hệ thống.
Ta có:
= / = 4/1 = 4
Trang 21 Xác suất phục vụ.
Khi yêu cầu đến hệ thống mà có ít nhất một kênh rỗi thì sẽ được phục vụ ngay
mà không phải chờ Khi yêu cầu đến hệ thống có n kênh bận và yêu cầu chờ s < m
thì yêu cầu đến hệ thống sẽ được phục vụ nhưng phải chờ Do đó để tính xác suất
( , ) ( , ) ( , ) ( )
m
( , ) ( , ) ( , ) ( )
x x n P n R
n P
),(
1
) 1 ( ) , ( ) , (
) , (
x x
x
x x n P n R
Ta có mệnh đề: Với hệ chờ với thời gian chờ không hạn chế; khi số chờ tăng thì
xác suất từ chối một yêu cầu giảm
( , ) ( , ) ( , ) ( )
1
Trang 3] 1
) 1 ( ) , ( ) , ( [
ln ) ( 1 ) , ( ( ) , ( ) 1
) 1 ( ) , ( ) , ( ( ln ) , (
x
x x n P n R
x x x
x n P x n P x
x x n P n R x n P
m m
1
) 1 ( ) , ( ) , (
) , (
x x
x
x x n P n R
TSm
1
) 1 ( ) , ( ) , ( )[
( )
m
1
) 1 ( ) , (
x
x n P
1 ) , (
)
( x
) 1 (
) , (
n R x mLn x
n P
x
x x
Pc
P
Suy ra tốc độ giảm của Ptc nhỏ hơn tốc độ tăng của Pc
Do đó Popv là hàm giảm theo m
Vậy nếu diện tích xe chờ là m tăng thì Popv sẽ giảm
b, Trường hợp 2: Xác suất phục vụ nhưng phải chờ
Ppv = 1 – Ptc
Mà theo trường hợp 1, Ptc là hàm giảm theo m Nên Ppv là hàm tăng theo m Tức là
khi m tăng thì Ppv sẽ tăng
2 Số công nhân bận trung bình
n
k
m
s n s k
N
Trang 4Khi x 1 N b
) 1 ( 1 ) , ( ) , (
) 1 ( 1 ) , ( ) 1 , (
m m
x x
x n P n R
x x
x n nP n
(
!
!
)1
1(
x
x n
n k
77
5
4 3 , 213
4 67 , 42 77
5
4 84 , 21 770
sx x sx
m
s s
m
s s m
0
1
1 0
mx x
m x
x n
P
m m
] 1 )
1 [(
) 1 ( ) ,
Trang 5P n
mx x
m x
x n P
m m
] 1 )
1 [(
) 1 ( ) , ( 1
1 2
Ta có: T c Mc n mà nên thời gian chờ trung bình của một yêu cầu là hàm tăng theo
m Vậy nếu m tăng thì T c tăng
Kết luận:
Sau khi phân tích đánh giá các chỉ tiêu ta thấy hệ thống chờ với độ dài hàng chờ
hạn chế và thời gian chờ không hạn chế phụ thuộc vào m (số yêu cầu chờ tối đa)
Nếu diện tích chờ tăng thì xác suất phục vụ, số công nhân bận trung bình, số xe
chờ trung bình và thời gian chờ trung bình đều tăng Đây là một số chỉ tiêu cơ bản
để đánh giá hoạt động của hệ thống, trong các bài toán thực tế khi tăng số chỗ chờ
m thì phát sinh một số chi phí nào đó như một hàm tăng của m Vì vậy có chỉ khác
đánh giá hoạt động của hệ thống như hàm tổng chi phí, hàm tổn thất v.v
Bài 16/129 Một phòng kiểm tra chất lượng sản phẩm tự động có 2 máy, năng suất
như nhau là 24 sản phẩm/phút Dòng sản phẩm từ dây chuyền đi đến phòng kiểm
tra là dòng phân phối Poisson dừng trung bình 36 sản phẩm/phút Người ta dự
định bố trí theo 1 trong 2 phương án sau:
- Phương án 1: để 2 máy chạy song song, làm việc độc lập như một hệ
Eclang 2 kênh Sản phẩm sẽ vào kho mà không kiểm tra khi cả 2 máy bận
- Phương án 2: để 2 máy liên tiếp, máy 1 bận thì sản phẩm chuyển sang máy
Trang 6Nên chọn phương án nào để tỷ lệ sản phẩm vào kho không kiểm tra nhỏ hơn.
BÀI LÀM Phương án I.
Hai máy mắc song song làm việc như một Eclang 2 kênh, sản phẩm sẽ vào kho
mà không kiểm tra khi cả 2 máy bận nên đây là một hệ thống phục vụ công cộng
Ta có sơ đồ trạng thái sau
Hệ phương trình và các xác suất trạng thái là:
!
2 P
P
Trang 7 Xác suất hệ thống có 2 kênh rỗi là:
29 8
! 2
5 , 1
! 1
5 , 1
! 0
5 , 1
1
!
1
2 1 0 2
0 29
8
! 2
5 , 1
! 2
2 0
Hai máy liên tiếp, nếu máy 1 bận thì sản phẩm chuyển sang máy 2, nếu máy 2
cũng bận thì sản phẩm chuyển vào kho không kiểm tra Như vậy đây là hệ thống
Eclang nối tiếp
Ta có sơ đồ trạng thái sau:
Ta có tỷ lệ yêu cầu bị từ chối ở hệ thống thứ nhất là:
! 1 ) 1 ( 1 P0
5 , 1
! 0
5 , 1 1
!
1 ) 1
0 1
5 , 1 ) 1
Trang 86 , 21
9 , 0
! 0
9 , 0 1
!
1 ) 2
0 2
10
! 1
9 , 0 ) 2
Do Ptc(PA II) = Ptc(1,2) = 0,284211 < Ptc(PA I) = Ptc(1) = 0,310345
vì vậy để tỷ lệ sản phẩm vào kho không kiểm tra là nhỏ nhất ta chọn phương án 2
Bài 14 chương 2.
Tóm tắt bài toán: n = 4, µ = 3, λ = 10.
1 Tính các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của trung tâm
2 Người ta muốn nâng tỉ lệ bản tin đến trung tâm được xử lý và dự định 2
phương án có tốn phí như sau:
Năng suất các kênh bằng nhau và µ = 3
Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson dừng mật độ λ = 10
Thời gian phục vụ một yêu cầu của kênh tuân theo quy luật chỉ số
1. Tính các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của trung tâm.
Trang 10Chạy bài toán trên bằng MH4 ta thu được kết quả sau:
Phấn1:
SO LIEU
So kenh phuc vu n = 4
Nang suat mot kenh phuc vu w = 3.00
Mat do dong yeu cau y = 10.00
P[0]=0.0472 P[1]=0.1572 P[2]=0.2620 P[3]=0.2911
P[4]=0.2426
MOT SO CHI TIEU DNH GIA HE THONG
1-Xac suat he thong co 4 kenh roi P(0)=0.0472
2-Xac suat he thong co 4 kenh ban
hay xac suat mot yeu cau bi tu choi P(tc)=0.2426
3-So yeu cau duoc phuc vu trung binh Npv= 7.574
4-So kenh ban trung binh Nb= 2.525
5-He so kenh ban Hb= 0.631
Phần 2b.
SO LIEU
So kenh phuc vu n = 7
Nang suat mot kenh phuc vu w = 3.00
Mat do dong yeu cau y = 10.00
P[0]=0.0364 P[1]=0.1214 P[2]=0.2024 P[3]=0.2249
P[4]=0.1874 P[5]=0.1249 P[6]=0.0694 P[7]=0.0331
MOT SO CHI TIEU DNH GIA HE THONG
1-Xac suat he thong co 7 kenh roi P(0)=0.0364
2-Xac suat he thong co 7 kenh ban
hay xac suat mot yeu cau bi tu choi P(tc)=0.0331
3-So yeu cau duoc phuc vu trung binh Npv= 9.669
4-So kenh ban trung binh Nb= 3.223
5-He so kenh ban Hb= 0.460
Phần 2c.
SO LIEU
So kenh phuc vu n = 4
Nang suat mot kenh phuc vu w = 6.00
Mat do dong yeu cau y = 10.00
P[0]=0.1942 P[1]=0.3237 P[2]=0.2698 P[3]=0.1499
P[4]=0.0624
MOT SO CHI TIEU DNH GIA HE THONG
1-Xac suat he thong co 4 kenh roi P(0)=0.1942
2-Xac suat he thong co 4 kenh ban
hay xac suat mot yeu cau bi tu choi P(tc)=0.0624
Trang 113-So yeu cau duoc phuc vu trung binh Npv= 9.376
4-So kenh ban trung binh Nb= 1.563
5-He so kenh ban Hb= 0.391
So sánh XS phục vụ của 2 phương án trên, Ppv của phương án nào có XS lớn
Một cửa hàng phục vụ rửa xe có 2 dây phục vụ, trung bình mỗi dây phục vụ một
xe hết 30 phút Dòng xe yêu cầuphcuj vụ là dòng Poisson dừng với cường độ 4xe/
giờ Nguên tắc hoạt động của cửa hàng là nguyên tắc của hệ thống từ chối và mỗi
ngày làm việc 10h
a Tính số xe được phục vụ trong ngày
b Muốn tỷ lệ xe không được phục vụ ít hơn 20% thì cần bao nhiêu dây
phục vụ với năng suất như trên? Với số dây tối thiểu đó mỗi ngày của
hàng thu được số tiền lãi trung bình là bao nhiêu? Biết chi phí phục vụ
một xe là 150000 đồng/xe, chi phí cho một ngày là 100000 đồng và nếu
mỗi dây sản xuất rỗi sẽ gây thiệt hại là 40000 đồng/ngày
c Giải câu b trong trường hợp số chỗ chờ là m=6
PHÂN TÍCH VÀ GIẢI BÀI TOÁN:
1 Phân tích bài toán:
Theo bài ta có:
Một cửa hàng có 2 dây phục vụ : n =2
Trung bình mỗi dây phục vụ xong 1 xe mất 30 phút =>năng suất phục vụ trung
bình trong 1 giờ là: µ = 1/0.5= 2
Dòng xe yêu cầu là dòng poisson dừng với cường độ 4 xe/ giờ : =4
Nguyên tắc phục vụ của cửa hàng là nguyên tắc của hệ từ chối ( hệ thống eclăng)
mỗi ngày làm việc 10 giờ
Đây là bài toán Eclang với số chỗ chờ là 0 Để giải bài toán này ta có thể
dung MH4, gam hay pom… sau đây chúng tôi xin giới thiệu giải bài toán bằng
phần mền MH4
2 Giải bài toán:
a Tính số xe được phục vụ trong ngày:
Số kênh phục vụ: n = 2
Năng suất một kênh: 2
Mật độ dòng vào: 4
Trang 12 = = 24 = 2
Ta tính được một số chỉ tiêu đánh giá hệ thống như sau:
Xác suất hệ thống có n kênh rảnh rỗi là:
Ppv= 1- Ptc= 1- Pn =1- 0.4 = 0.6
Số yêu cầu được phục vụ trung bình trong 1 giờ là:
0.6 *4 = 2.4 (xe/giờ)
Bằng phần mền MH4 ta thu được kết quả như sau :
=> Số xe được phục vụ trung bình trong ngày = số yêu cầu phục vụ trung bình *
thời gian hoạt động trong ngày của cửa hàng = 2.4 *10 =24 xe
b Tính lợi nhuận vói mức tỉ lệ xe không được phục vụ < 20%
không được phục vụ ít hơn 20% hay Ptc < 0.2 thì ta phải tăng số dây phục vụ lên
Nhìn vào bảng trên ta thấy từ giá trị n=4 thì Ptc < 0.2
Vậy với số dây tối thiểu n=4 thì tỷ lệ xe không được phục vụ ít hơn 20%
Trang 13Với n=4 ta tính được các chỉ tiêu đánh giá hệ thống sau:
Xác suất hệ thống có 4 kênh rỗi: Pr
Theo MH4 ta có bảng tính toán các chi tiêu đánh giá sau :
* Tính số tiền lãi trung bình mà cửa hàng thu được trong 1 ngày là :
Theo bài toán ta có :
Mỗi xe được phục vụ mang lại ích lợi là Cpv = 15000 đồng/xe
Mỗi dây rỗi sẽ gây lãng phí là Ckr = 40000 đồng/ngày
Chi phí cho một ngày là C = 100000 đồng/ngày
Thời gian phục vụ trong ngày la T = 10 giờ/ngày
Số xe phục vụ trong một TB là X = 36 xe/ ngày
Ta có công thức tính hiệu quả chung như sau :
F = T*λ*Pλ*λ*PP pv *λ*PC pv - N r *λ*PC kr - C
Trang 14 F=10*4*0.9048*15000-2.1904*40000-100000 = 355264(đồng/ngày)
c Giải bài toán trên khi thêm vào yếu tố chờ:
Đây là bài toán phục vụ công công chờ thuần nhất:
x x n P n
R
n P
,
(
) , (
2 1
* 2
* ) 1 , 2 ( ) 1 , 2 (
) 1 , 2 (
P R
P
= 0.4885
Ta có bảng sau là các giá trị Ptc tương ứng với số dây n:
Khi đó ta thấy n=2 thì Ptc < 0.2, có nghĩa là với số kênh tối thiểu là 2 thì tỷ lệ xe bị
từ chối không quá 20%
* Khi đó ta có các chỉ tiêu đánh giá hệ thống bằng phần mền MH4 như sau:
Trang 15* Tính số tiền lãi trung bình mà cửa hàng thu được trong 1 ngày là :
Theo bài toán ta có :
Mỗi xe được phục vụ mang lại ích lợi là Cpv = 15000 đồng/xe
Mỗi dây rỗi sẽ gây lãng phí là Ckr = 40000 đồng/ngày
Chi phí cho một ngày là C = 100000 đồng/ngày
Thời gian phục vụ trong ngày la T = 10 giờ/ngày
Ta có công thức tính hiệu quả chung như sau :
Một cửa hàng kinh doanh một mặt hàng điện tử, nhu cầu về mặt hàng này
trong khu vực là 40000 đơn vị/năm Giá mua mỗi đơn vị là 14$, chi phí bảo quản
mỗi đơn vị tính tỷ lệ với giá mua theo hệ số 0,05 Chi phí cho mỗi lần liên hệ và
hợp đồng mua hàng là 120$, Thời gian từ lúc bắt đầu làm hợp đồng mua đến khi
có hàng về để bán là 2 tháng
a) Tính lượng hàng đặt mỗi lần sao cho tổng chi phí bé nhất; xác định thời
gian mỗi chu kỳ mua và tiêu thụ hàng; mức hàng còn lại trong kho vào thời
điểm cần tiến hành làm thủ tục mua hàng cho chu kỳ sau?
b) Vẽ đồ thị minh họa và dựa vào đồ thị mô tả hành vi hợp lý của cửa hàng
khi có hạ giá cho lô hàng lớn hơn hoặc bằng S0?
c) Giả sử S0 được chọn trong câu b, nhưng kho của cửa hàng không cho
phép mở rộng hơn mức tối ưu ở câu a, việc thuê kho là tăng chi phí kho với
hệ số k= 0,2 thì nên hiệu chỉnh lượng hàng đặt như thế nào?
Bài làm
Trang 16a) Ta giải bài toán nhờ mô hình Wilson ( mô hình dự trữ tiêu thụ đều, bổ sung
tức thời) Theo bài ta có:
Tổng nhu cầu Q = 40000
Chi phí đặt hàng mỗi lần A = 120$
Hệ số chi phí dự trữ I = 0,05
Đơn giá C = 14$
Thời gian đặt hàng T = 2 tháng =60 ngày =0,16438 năm
- Gọi q* là lượng hàng đặt tối ưu mỗi lần để tổng chi phí bé nhất
Ta có công thức xác định q* như sau:
40000
* 120
* 2
40000
q Q
Vậy thời gian mỗi chu kỳ t* 0 , 0926
8 , 10
- Xác định mức hàng còn lại trong kho vào thời điểm cần tiến hành làm thủ
tục mua hàng cho kỳ sau Đây thực chất là xác định thời điểm đặt hàng
B* = Q [T0 - t*.int(T0/ t*)]
mà int(T0/ t*) = int (0,16438/0,0926) = int(1,775) = 1 năm
Vậy B* = 40000[0,16438 – 0,0926*1] = 2871,2 (đơn vị)
b) Giả sử lấy mức khối lượng mốc là S0 và chủ hàng quy định nếu lô hàng
nào lớn hơn hoặc bằng S0 thì giá hàng sẽ hạ ( 0 < <1 )
Tức là : C’= C với q < S0
C’= C(1- ) với q S0
q < S0 : đường chi phí dự trữ sẽ không thay đổi
q S0: đường chi phí dự trữ sẽ dịch chuyển xuống dưới
Trang 17Nhìn trên đồ thị ta thấy q’* là lượng hàng đặt tối ưu mỗi lần và được tính
Trang 19 q* là lượng hàng đặt tối ưu mỗi lần.
c) S0 được chọn trong câu b, nhưng kho của cửa hàng không cho phép mở
rộng hơn mức tối ưu ở câu a Như vậy ở đây q* đóng vai trò là dung lượng
kho cố định, và mỗi đơn vị hàng ở đầu chu kỳ dự trữ vượt quá q* phát sinh
một chi phí thuê kho với tỷ lệ k = 0,2
TH1: q*λ*P S0
Theo câu b trường hợp này cửa hàng nhận được khuyến mãi Đơn giá
của một đơn vị hàng lúc này là C’ Từ đây ta có thể lập hàm chi phí theo
lượng hàng đặt mỗi lần q như sau :
min '
2
* '
) ( 2
* ' )
q
AQ q
N
Lời giải tối ưu của bài toán này là: *0 ( 2 ) '
C k I
AQ q
Khi đó ta thấy có 2 khả năng có thể xảy ra:
Trang 20 KN 2 : q*0 q* 0,8 Cửa hàng không phải thuê thêm kho
) ( 2
* ' )
q
AQ q
2
* '
) ( 2
* ' )
0
Nếu F(q*) > N(S0) S0 là điểm tối ưu
F(q*) < N(S0) q* là điểm tối ưu
F(q*) = N(S0) Cả S0 và q* đều là tối ưu
KN3: q’* q* q* là tối ưu
Bài 3, chương 3 : Nhu cầu một mặt hàng đồ điện dân dụng tại một thị xã do một
công ty thương mại cung ứng hàng năm là 30000 chiếc Giá mua mỗi chiếc 4$, chi
phí dự trữ tính theo khối lượng hàng lưu kho mỗi chiếc 6$/năm Chi phí cho mỗi
lần đặt hàng 50$ Việc tiêu thụ đều đặn và thời gian nhập hàng vào kho không
đáng kể
a Xác định lượng hàng dặt mỗi lần tốt nhất và điểm đặt hàng tương ứng
nếu thời gian đặt hàng là 3 tháng Giá bán tối thiểu chấp nhận được là
bao nhiêu? Nếu thuế doanh thu mặt hàng này là 8%
b Giả sử cơ sở bán hàng muốn công ty mua với số lượng mỗi lô lớn hơn
mức tính được ở câu (a), cơ sở này dự định sẽ hạ giá hàng 10% cho lô
hàng tối thiểu là S chiếc, nhưng lại muốn công ty mua mỗi lô có số
lượng tối thiểu đó thì cần đặt S trong khoảng nào? Trong trường hợp đó
nếu công ty không mua mỗi lần lô hàng S thì phải chịu một chi phí cơ
hội là ?
II BÀI GIẢI:
a Tính lượng hàng tốt nhất , điểm đặt hàng tương ứng và giá bàn tối
thiểu:
Theo bài ra ta có:
Trang 21Tổng nhu cầu mặt hàng: Q = 30000 chiếc
* Xác định lượng đặt hàng tốt nhất và điểm đặt hàng tương ứng:
30000
* 50
* Xác định giá bán tối thiểu:
Giá P có thể chấp nhận tối thiểu qua điều kiện
P*Q*(1- 0.08) – N(q*) 0
P* 30000*0.92 - 124242.6407 0
Trang 22 P 4.5015
Vậy giá bán tối thiểu là: 4.5015 $
b.Xác định khoảng của S để công ty mua mỗi lần S chiếc, tính chi phí
cơ hội khi không mua mỗi lần lô hàng S đó:
Cơ sở bán hàng muốn công ty mua vơi số lượng mỗi lô lớn hơn mức tính ở
*
q
=>cần so sánh F(q*) và F(S) để xác định lượng hàng tối ưu
Vì cơ sở bán hàng muốn công ty đặt mua mỗi lô là S chiếc nên: F(S) < F(q*)