BÀI tập mô HÌNH TOÁN ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG

BÀI TẬP MƠ HÌNH TỐN ỨNG DỤNG NHĨM I Phân tích đề Đề bài: Bài 10 (chương II) Một cửa hàng bảo hành xe máy Honda có cơng nhân phục vụ diện tích để có m xe chờ Dòng xe có nhu cầu bảo hành giả thiết dòng tối giản bới trung bình xe/giờ Thời gian trung bình bảo trì xong xe công nhân giờ, công nhân bảo hành xe Hãy phân tích tiêu sau theo m : - Xác suất phục vụ - Số cơng nhân bận trung bình - Số xe chờ trung bình thời gian chờ trung bình Phân tích Ta thấy hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế thời gian chờ khơng hạn chế Dòng xe có nhu cầu bảo hành giả thiết dòng tối giản tức thỏa mãn điều kiện dừng, không hậu đơn số yêu cầu đến hệ thống phân phối theo quy luật Possion ta đánh giá tính chất dòng u cầu II Mô tả hệ thống Đây hệ thống phục vụ cơng cộng có n = kênh phục vụ (5 công nhân), suất kênh μ = xe/giờ, dòng yêu cầu đến hệ thống dòng Possion dừng mật độ λ = xe/giờ Dòng yêu cầu đến dòng Possion dừng, thời gian phục vụ yêu cầu kênh tuân theo quy luật số Một yêu cầu đến hệ thống gặp lúc có kênh rỗi nhận phục vụ thỏa mãn kênh rỗi Ngược lại tất kênh bận xếp hàng chờ, số yêu cầu chờ tối đa m Trường hợp có m yêu cầu chờ, yêu cầu đến hệ thống bị từ chối Từ ta xác định tiêu phân tích hệ thống III Các tiêu đánh giá hoạt động hệ thống Ta có: α = λ/µ = 4/1 = x = α/n = 4/5 = 0.8 ≠ 1 Xác suất phục vụ Khi u cầu đến hệ thống mà có kênh rỗi phục vụ mà khơng phải chờ Khi u cầu đến hệ thống có n kênh bận yêu cầu chờ s < m yêu cầu đến hệ thống phục vụ phải chờ Do để tính xác suất phục vụ ta có trường hợp sau a Trường hợp 1: Xác suất phục vụ Popv=1- Ptc- Pc Với Ptc = Pn +m = Khi x ≠ Pc = x m P0 n! Ptc m−1 ∑P s= αn n+ s αn = n! P (α , n) = R (α , n) + P (α , n) x m−1 ∑x s (1 − x ) 1− x m xm P0 s= P (α , n) Khi x ≠ (1 − x m ) = Pc (1 − x m ) (1 − x ) R (α , n) + P (α , n) x 1− x Ta có: P (α , n ) Popv = - R(α , n ) + P (α , n ) x (1 − x ) 1− x m xm P (α , n ) (1 − x m ) (1 − x m ) (1 − x ) R (α , n ) + P (α , n ) x 1− x Ta có mệnh đề: Với hệ chờ với thời gian chờ không hạn chế; số chờ tăng xác suất từ chối yêu cầu giảm Ptc P (α , n) = R (α , n) + P (α , n) x ∂Ptc = ∂m Ta có xm x (1 − x m ) x ) − P (α , n ) x m ( P (α , n ) ( − x m ) ln x 1− x 1− x x (1 − x m ) [ R (α , n ) + P (α , n ) ] 1− x x m P (α , n ) ln x ( R (α , n ) + P (α , n ) ∂Ptc < nên Ptc hàm giảm theo m ∂m Xét Pc Ta có (1 − x ) 1− x m = P (α , n ) (1 − x m ) A (1 − x m ) (1 − x ) = R (α , n ) + P (α , n ) x B 1− x ∂Pc TSm = ∂m MSm TSm =− P (α , n ) x (1 − x m ) x x (1 − x m ) mLn(x ) mLn( x )[ R(α , n ) + P (α , n ) ] + P(α , n ) P(α , n ) (1 − x ) 1− x 1− x 1− x =− P (α , n ) mLn( x ) R (α , n ) >0 (1 − x ) Mọi m MSm= A2 Vậy m tăng Pc tăng Ta có Ptc x m (1 − x) = < Suy tốc độ giảm P tc nhỏ tốc độ tăng P c Pc 1− xm Do Popv hàm giảm theo m Vậy diện tích xe chờ m tăng Popv giảm b, Trường hợp 2: Xác suất phục vụ phải chờ Ppv = – Ptc Mà theo trường hợp 1, Ptc hàm giảm theo m Nên Ppv hàm tăng theo m Tức m tăng Ppv tăng Số cơng nhân bận trung bình Ta có: n m n m k =0 s =1 k =1 s =1 N b = ∑ kPk + n∑ Pn+ s =∑ kPk + n∑ Pn + s Khi x ≠ Nb = x (1 − x m ) 1− x x R (α , n ) + P (α , n ) (1 − x m ) 1− x αR (α , n − 1) + nP (α , n ) αk α n xm − +n ( ) k! n! x − k =1 Nb = n αk αn x + ( ) ∑ n! x − k = k! n ∑k m 4 308 − 213,3   5 Nb = m 4 77 − 42,67  5 m 4 770m − 21,84m   5 ∂Nb = Tao có m >0 Mọi m   ∂m    77 − 42,67        Vậy N b hàm tăng theo m có nghĩa m tăng N b tăng Số xe chờ trung bình Khi x ≠ Trong đó: m ∑sx m = x ∑sx s −1 s s =0 s =1 m −1 =x = ∂ ∑x s s =0 ∂x x [( m − 1) x m − mx m−1 + 1] (1 − x ) Như vậy: x [(m −1) x m − mx m −1 +1] (1 − x ) 1−xm R (α, n) + P (α, n) x 1−x P (α, n) Mc = Ta có: ∂M c > nên số xe chờ trung bình hàm tăng theo m Nên m tăng ∂m số xe chờ trung bình tăng Thời gian chờ trung bình Tc = Khi x≠ 1: m s ∑nµP n +s s =0 Tc = Ta có: Tc = Mc = nµ nµ x [(m − 1) x m − mx m −1 + 1] (1 − x) − xm R (α , n) + P (α , n) x 1− x P(α , n) Mc mà nên thời gian chờ trung bình yêu cầu hàm tăng nµ theo m Vậy m tăng Tc tăng IV Kết luận: Sau phân tích đánh giá tiêu ta thấy hệ thống chờ với độ dài hàng chờ hạn chế thời gian chờ không hạn chế phụ thuộc vào m (số yêu cầu chờ tối đa) Nếu diện tích chờ tăng xác suất phục vụ, số cơng nhân bận trung bình, số xe chờ trung bình thời gian chờ trung bình tăng Đây số tiêu để đánh giá hoạt động hệ thống, toán thực tế tăng số chỗ chờ m phát sinh số chi phí hàm tăng m Vì có khác đánh giá hoạt động hệ thống hàm tổng chi phí, hàm tổn thất v.v