BÀI TẬP MÔN MÔ HÌNH TOÁN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

b Tìm các phơng án tối u cực biên của bài toán đã cho... Phần 1: Nội dung câu hỏicủa cặp bài toán đối ngẫu... Học viện ngân hàng... Phần 1: Nội dung câu hỏiaTìm tập phơng án tối u của cặ

BÀI TẬP MÔN MÔ HÌNH TOÁN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾTBài 1: Cho bài toán

23

22

55

32

6 5 4

3 2

6 5 3

1

6 5 4 2

1

x x x

x x

x x x

x

x x x

x x

32

0102

15

3021

11

0

1861

40

15

3021

105

00

121

11

0

15

3021

6 5 4

3 2

6 5 4

2 1

2

22

55

32

x x x

x x x

x x

x x x

x x

5 4

2

6 5 4 1

2

2 2

1

x x x

x x

x

x x x x

 x 31 x4 x5 x6 4 2 x4 2x5 32x4 x6 x4 8x5 4x6

 mọi phương án đều là PA tối ưu.

Bài 2: Chứng tỏ bài toán sau giải được

12

183

202

53

202

3

204

2

2 1

3 2

3 2

1

3 1

3 2

x x

x x

x

x x

x x

x

 bài toán giải được

Bài 3: Cho bài toán

43

12

12

53

14

2

2 1

3 2

3 1

3 2

1

3 2

1

x x

x x

x x

x x

x

x x

340

2012

53

142

201

Bài 4: Cho bài toán

33

92

3 2

4 2

1

2 1

x x

x x

x

x x

4 3

4 2

4 1

x x

x x

x x

2

134

3 1

4 3

2 1

x x

x

x x

x x

)1()

2(

2

13)

1()52

()

2(

4 4

4

4 4

4 4

x x

x

x x

x x

 x4  5

Vậy tập PA của bài toán là:

X =  x = (2-x4, 2x4+5, x4-1, x4)  x4 5

+ Với mọi PA x, ta có : f( x) = 2 –x4 -2x4 -5 – 2x4 +2 +6x4 = x4 – 1

Bài 5: Chứng tỏ bài toán sau giải được.

Giải bài tập buổi 10

Bài 1:

f(x) = -x 1 - 14x 2 - 2x 3 - 3x 4 + 8x 5  min

9/2x 2 +2x 4 - 3/2x 5  -7 (1)

-1/2x 1 - 2x 2 -1/2 x 4 + x 5 = -25 (2)

-7/2x 2 - x 4 + 3/2x 5  -40 (3)

x 2 +2 x 3 - x 5 = 10 (4)

x j  0 (j = 1 ),5 a)Giải b.toán bằng p.pháp đơn hình b) Tìm các phơng án tối u cực biên của bài toán đã cho Gi ả i HS CS PA

-1 -14 -2 -3 8 0 0

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7

0 -1 0 -2 x 6 x 1 x 7 x 3 7 50 40 5 0 -9/2 0 -2 3/2 1 0

1 4 0 1 -2 0 0

0 7/2 0 1 -3/2 0 1

0 [1/2 1 0 -1/2 0 0

f(x) -60 0 9 0 2 -5 0 0

0 -1 0 -14 x 6 x 1 x 7 x 2 52 10 5 10 0 0 9 -2 -3 1 0

1 0 -8 1 2 0 0

0 0 -7 1 [2 0 1

0 1 2 0 -1 0 0 dc f(x) -150 0 0 -18 2 4 0 0

0 -1 8 -14 x 6 x 1 x 5 x 2 119/2 5 5/2 25/2 0 0 -3/2 -1/2 0 1 3/2

1 0 -1 0 0 0 -1

0 0 -7/2 1/2 1 0 1/2 dc 0 1 -3/2 1/2 0 0 1/2

f(x) -160 0 0 -4 0 0 0 -2

a) Bài toán có Pat x* = (5, 25/2, 0, 0, 5/2, 119/2, 0) -Tập PATƯ của bài toán: X = x = x* + .z 4  0    5 b) Tập các phơng án tối u không cực biên của bài toán X = ’ = x = x* + .z 4  0 <  < 5 Bài 2: Cho bài toán: Tìm x = (x 1 , x 2 , …, x 5 ) sao cho f(x) = -2x1 + x2 + 2 3 x3 + 3x4 - x5  max 2x1 - 3x2 - x3 - 2x4 + 6x5 = -12 (1)

-2 [3 1 2 -6 0 0 0 -5 7/2 0 3 -5 -1 0 1

-2/3 1 1/3 2/3 -2 0 0 0 dc

-8/3 0 -7/6 2/3 [2 -1 0 1 22/3 0 1/3 -4/3 2 0 1 0

-10/3 1 -5/6 [4/3 0 -1 0

-4/3 0 -7/12 1/3 1 -1/2 0 dc

10 0 3/2 -2 0 1 1 f(x) 8 0 0 -7/4 -2 0 -1/2 0

-5/2 3/4 -5/8 1 0 -3/4 0 dc

-1/2 -1/4 -3/8 0 1 -1/4 0

5 3/2 1/4 0 0 -1/2 1 f(x) 26 -5 3/2 -3 0 0 -2 0

Từ bảng đơn hình thứ 4, ta có  6 = -2 < 0 mà x j6  0 (jJ) nên bài toán không ) nên bài toán không giải đợc.

xj  0 (j = 1,6)

a)C/m x 0 = (7, 0, 3, 0, 4, 0) là pacb của bài toán đã cho.

b) sử dụng x 0 giải bài toán đã cho bằng p pháp đ.hình.

Giải:

a)Vectơ x 0 thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán nên x 0 là Pa, PA x 0 thoả mãn chặt các ràng buộc (1), (2), (3) và 3 ràng buộc dấu, các ràng buộc này đltt nên x 0

là PACB không suy biến của bài toán.

b) Lợi dụng x 0 , giải bài toán đã cho bằng phơng pháp đơn hình:

6 3 2

12 1 1 1

2 3

0 1

1 0 0 3 1

2 2 1

27

554

03

5/3

1 -51/5 0 -23/5 0 -5 4/5

0 16/5 1 3/5 0 [1 1/5

0 -3/5 0 -4/5 1 -1 2/5 f(x) -29 0 -1 0 -1 0 3 -3

1 29/5 5 -8/5 0 0 9/5

0 16/5 1 3/5 0 1 1/5 *

0 13/5 1 -1/5 1 0 3/5 f(x) -38 0 -53/5 -3 -14/5 0 0 -18/5

Bài toán có Pat duy nhất x* = (22, 0, 0, 0, 7, 3).

Cho bµi to¸n: T×m x = (x1, x2, …, x5) sao cho

§¸p ¸n c©u hái

1

401104

0 1 -8/5 0 3/5 -1/5 0

0 0 29/5 1 -24/5 3/5 -1

1 0 -2/5 0 [2/5 1/5 0

-3/2 1 -1 0 0 -1/2 0

12 0 [1 1 0 3 -15/2 0 -1 0 1 1/2 0 *

21/2 1 0 1 0 5/2 -1

12 0 1 1 0 3 -1 *29/2 0 0 1 1 7/2 -1

-29/2 0 0 -1 0 -9/2 0

03

bài toán gốc có Pat x* = (0, 29/2, 14, 0, 33/2, 0, 0), f* = -9/2

-Tập PATƯ của bài toán gốc:

X = (0, 29/2 + , 14 + , 0, 33/2 + , 0, )    0

- Tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = y* = (-9/2, 0, -15/2)

Phần 1: Nội dung câu hỏi

của cặp bài toán đối ngẫu

Phần 2: Đáp án câu hỏi

Đa bài toán về dạng chính tắc:

0113

0113

0 1/5 -14/5 0 1 [4/5

1 8/5 -2/5 0 0 -3/5

0 1/5 1/5 1 0 -1/5

0 -16/5 -6/5 0 0 1/5 0

0 1/4 -7/2 0 5/4 1 *

1 7/4 -5/2 0 3/4 0

0 1/4 -1/2 1 1/4 0

a) Bài toán gốc có PATƯ duy nhất x* = (55/2,0,0 ,19/2,0,45/2), f* = -15/2

Bài toán đối ngẫu có PATƯ duy nhất: y* = (-1/4,7/4,0)

b)Khi c3 < 5/2, từ bảng đơn hình thứ 2 ta có 3 = 5/2-c3 > 0 mà xj3  0 nên bài toán gốc không giải đợc, do đó bài toán đối ngẫu cũng không giải đợc

Học viện ngân hàng

Phần 1: Nội dung câu hỏi

a)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu

b)Tìm các phơng án tối u không cực biên của bài toán đối ngẫu và một phơng án tối u

2 -1 0 3 -2 1 0 0 -3 4/3 0 -1 5 0 -1 1

1 -2 1 -2 [3 0 0 0

P 44 -3 4/3 0 -1 5 0 -1 0

1/3 0 -1/6 17/6 0 1 -1/2 -1 1 -5/14 1/2 0 0 -3/14 * -1/3 0 2/21 -1/3 1 0 -1/7 )

(

~

y

-Tập PATƯ của bài toán đối ngẫu:

22

3/4

0

3 2 1

3 2 1

1

x x x

x x x

3 2 1

x x x

Vậy tập PATƯ của bài toán gốc: X = x* = (0, 0, 1)

b)Tập phơng án tối u không cực biên của bài toán đối ngẫu:

Phần 1: Nội dung câu hỏi

0 -9/2 0 -2 3/2 1 0

1 4 0 1 -2 0 0

0 7/2 0 [1 -3/2 0 1

0 1/2 1 0 -1/2 0 0 f(x) -70 0 -6 0 2 1 0 0 0

0 5/2 0 0 -3/2 1 2

1 1/2 0 0 -1/2 0 -1

0 7/2 0 1 -3/2 0 1 *

0 [1/2 1 0 -1/2 0 0 f(x)

f’ = (x)

-140-140

0 -13 0 0 4 0 -2

0 2 0 0 -2 0 -2 0

0 0 -5 0 1 1 2

1 0 -1 0 0 0 -1

0 0 -7 1 2 0 1

0 1 2 0 -1 0 0 * f’ = (x) -160 0 0 -4 0 0 0 -2

-Tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = y* = (0, -1, 2, -6)

Trình độ: Đại học

Tính chất: Bài tập

Chơng: Mô hình tối u tuyến tính

Mức độ: Trung bình

Đánh giá: Thi kết thúc học phần

Hình thức: Viết (tự luận)

Phần 1: Nội dung câu hỏi

f(x) = 2x1 + 6x2 + 2x3 + 7/2x4 + x5 – 5x6 – x7  min

x1 -3x2 - x3 + x4 - 3/2 x6 + 4x7 = - 48

-4x1 + 3x2 -2x4 + 3x6 – 6x7 = 24

x1 - 3x2 + x5 - 7x6 + 5x7 = 5

-6x1 + 6x2 - 3x4 + 4x6 – 8x7 = 72

xj  0 (j = 1 ),7 a)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu và một phơng án tối u của bài toán gốc có thành phần x7 = 8 b)Khi c6 = -7, hãy tìm tập phơng án tối u của bài toán đối ngẫu Phần 2: Đáp án câu hỏi cJ J xJ 2 6 2 7/2 1 -5 -1 1 1

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 xg 2 xg 4

0 1 0 1 x3 xg x5 xg 48 24 5 72 -1 3 1 -1 0 3/2 -4 0 0

-4 [3 0 -2 0 3 -6 1 0

1 -3 0 0 1 -7 5 0 0

-6 6 0 -3 0 4 8 0 1

P 96 -10 9 0 -5 0 7 -14 0 0

0 0 0 1 x3 x2 x5 xg 24 8 29 24 3 0 1 1 0 -3/2 2 0

4/3 1 0 -2/3 0 1 -2 0 *

-3 0 0 -2 1 -4 -1 0

2 0 0 1 0 -2 [4 1

P 24 2 0 0 1 0 -2 4 0

2 6 1 -1 x3 x2 x5 x7 12 20 35 6 2 0 1 1/2 0 -1/2 0

-1/3 1 0 -1/6 0 0 0

-5/2 0 0 7/4 1 -9/2 0

1/2 0 0 1/4 0 -1/2 1 *

f(x) 173 -3 0 0 -11/2 0 0 0

a) Bài toán gốc có PATƯ x* = (0, 20, 12, 0, 35, 0, 6) với f* = 173

- Tập PATƯ của bài toán gốc:

X = (0, 20, 12+1/2, 0, 35+9/2, , 6+1/2)   0

x = (0, 20, 14, 0, 53, 4, 8)

- Xác định tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: ta có hệ p.trình

4 2 3 1

y y y y

Vậy tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = y* = (-2, -3, 1, 2)

PhÇn 1: Néi dung c©u hái

f(x) = -2x1 + x2 +

2

3

x3 + 3x4 - x5  min 2x1 - 3x2 - x3 - 2x4 + 6x5 = -12

5x1 -

2

7

x2 -3x4 + 5x5  -22 8x1 - x2 - 2x4 + 4x5  76

-2 [3 1 2 -6 0 0 0-5 7/2 0 3 -5 -1 0 1

-2/3 1 1/3 2/3 -2 0 0 0 *-8/3 0 -7/6 2/3 [2 -1 0 122/3 0 1/3 -4/3 2 0 1 0

-10/3 1 -5/6 [4/3 0 -1 0 -4/3 0 -7/12 1/3 1 -1/2 0 *

10 0 3/2 -2 0 1 1 f(x) 8 0 0 -7/4 -2 0 -1/2 0

-5/2 3/4 -5/8 1 0 -3/4 0 *-1/2 -1/4 -3/8 0 1 -1/4 0

5 3/2 1/4 0 0 -1/2 1 f(x) 26 -5 3/2 -3 0 0 -2 0

a)Bài toán gốc có PATƯ x* = (0,12,0,0,4,0,72) với f* = 8, z1 = (1, 10/3, 0, 0, 4/3, 0, 10)

-Tập PATƯ của bài toán gốc: X = (, 12+10/3, 0, 0, 4+4/3)  0    7,2

56

12

/73

0

3 2

1

3 2 1

3

y y

y

y y y

3 2 1

y y y

Vậy tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = y* = (1/4, -1/2, 0)

b) Khi f(x)  max, từ bảng đơn hình thứ 3, ta tiếp tục biến đổi qua 1 bảng đơn hình ta

Phần 1: Nội dung câu hỏi

b)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu

Phần 2: Đáp án câu hỏi

không suy biến của bài toán

Bài toán đối ngẫu:

PATƯ y của bài toán đối ngẫu phải thoả mãn:

3

1632

02

3 2

1

3 2

1

3 2

1

y y

y

y y

y

y y

y

)2,3,1(

0   

5540

1

1 -51/5 0 -23/5 0 -5 4/5

0 16/5 1 3/5 0 [1 1/5

0 -3/5 0 -4/5 1 -1 2/5 f(x) -29 0 -1 0 -1 0 3 -3 0

1 29/5 5 -8/5 0 0 9/5

0 16/5 1 3/5 0 1 1/5 *

0 13/5 1 -1/5 1 0 3/5

Bài toán gốc có Pat duy nhất x* = (22, 0, 0, 0, 7,3)

- Xác định tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: ta có hệ p.trình

87

3

02

3 2

3 2

1

3 2

1

y y

y y

y

y y

3 2 1

y y y

Vậy tập PATƯ của bài toán đối ngẫu: Y = y* = (2, -18/5, 4/5)

Học viện ngân hàng

Trình độ: Đại học

Tính chất: Bài tập

Chơng: Mô hình tối u tuyến tính

Mức độ: Khó

Đánh giá: Thi kết thúc học phần

Hình thức: Viết (tự luận)

Phần 1: Nội dung câu hỏi

f(x) = 40x1 + 6x2 + 30x3 + 4x4  max

-2x1 - x2 - 3x3 + 2x4  1 (1)

-2x2 - 4x3 + x4  -2 (2)

-x1 - 2x3 + 2x4  2 (3)

3x1 - x2 - 2x3 + 3/2x4  5 (4)

x1  0, x4  0 a)Viết bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho và chỉ rõ các cặp ràng buộc đối ngẫu b)Tìm tập phơng án tối u của cặp bài toán đối ngẫu c)Tìm tập phơng án tối u của bài toán khi thêm ràng buộc: 5x1 + x3 – 1/2x4  5 (5) Phần 2: Đáp án câu hỏi a) Bài toán đối ngẫu: ~f(y) = - y1 - 2 y2 + 2y3 + 5y4 min 2y1 - y3 + 3y4  40 (1’ = )

y1 - 2y2 - y4 = 6 (2’ = )

3y1 - 4y2 - 2y3 - 2y4 = 30 (3’ = )

-2y1 + y2 + 2y3 + 3/2y4  4 (4’ = )

yi  0 (i =1 ),4 b) Giải bài toán đối ngẫu bằng phơng pháp đơn hình cJ J xJ -1 -2 2 5 0 0 1 1

y1 y2 y3 y4 y5 y6 yg 2 yg 3

0 1 1 0 y5 yg yg y6 40 6 30 4 2 0 -1 3 1 0 0 0

1 -2 0 -1 0 0 1 0

3 -4 -2 -2 0 0 0 1

-2 1 2 3/2 0 1 0 0

P 36 4 -6 -2 -3 0 0 0 0

0 0 1 0 y5 y1 yg y6 28 6 12 16 0 4 -1 5 1 0 0

1 -2 0 -1 0 0 0

0 2 -2 1 0 0 1

0 -3 2 -1/2 0 1 0

P 12 0 2 -2 1 0 0 0

0 -1 yy51 4 18 0 0 3 3 1 0 1 0 -2 0 0 0