Bài toán cân bằng đa trị.PDF

Chương 1:" Một số tính chất của ánh xạ đa trị theo nón " trình bày các kháiniệm, tính chất của nón, điểm hữu hiệu trong không gian tôpô tuyến tính, các kháiniệm về tính liên tục, tính lồ

-HOÀNG THỊ KIM HUẾ

BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐA TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học PGS TSKH NGUYỄN BÁ MINH

HÀ NỘI- 2013

Mục lục

1.1 Khái niệm nón 4

1.2 Khái niệm điểm hữu hiệu 6

1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị 8

1.4 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị 18

1.5 Tính Lipschitz theo nón của ánh xạ đa trị 25

2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị 37 2.1 Bài toán cân bằng vô hướng và các bài toán liên quan 37

2.1.1 Bài toán cân bằng vô hướng 37

2.1.2 Một số bài toán liên quan 38

2.1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng 40

2.2 Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị 47

2.2.1 Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị 47

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị 50 2.3 Ứng dụng của bài toán cân bằng đa trị vào một số bài toán 59

2.3.1 Sự tồn tại điểm hữu hiệu của tập hợp 59

2.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu véctơ 60

2.3.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm yên ngựa 62

2.3.4 Sự tồn tại điểm cân bằng Nash 65

Kết luận 68

Tài liệu tham khảo 69

Mở đầu

Ánh xạ đa trị xuất hiện trên cơ sở của những bài toán thực tế trong kinh tế, kỹthuật và những yêu cầu phát triển nội tại của nhiều lĩnh vực Toán học Lý thuyếtcác bài toán cân bằng đa trị, đã phát triển mạnh mẽ trong nhiều thập kỷ gần đây.Nhiều nhà toán học trong và ngoài nước đã có những đóng góp quan trọng tronglĩnh vực này Đối với toán học, bài toán điểm cân bằng đã được biết đến từ lâu bởicác công trình của Arrow - Debreu([8]), Nash([7]), Sau này bài toán được phátbiểu ngắn gọn như sau:

Tìm x ∈ K để f (x, y) > 0 với mọi y ∈ K

trong đó K là tập cho trước của một không gian, f : K × K −→ R là hàm số với

f (x, x) = 0 với mọi x ∈ K Bài toán này bao gồm các bài toán : tối ưu, cân bằngNash, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bù, Blum và Oettli ([6]) nghiên cứu f

có dạng f = g + h trong đóg thỏa mãn các điều kiện của định lý Browder - Minty([9]) và h thỏa mãn các điều kiện của Định lý Ky Fan ([10]) Năm 1991, Blum vàOettli([6]) đã phát biểu bài toán cân bằng tổng quát và tìm cách liên kết các bàitoán của Ky Fan và Browder - Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai Saunày N.X.Tấn và P.N.Tĩnh đã mở rộng các kết quả của Blum và Oettli cho trườnghợp f là hàm véctơ

Luận văn trình bày"Bài toán cân bằng đa trị" dựa trên hai bài báo : "On thecontinuity of vector convex multivalued functions Acta Math Vietnam 27 (2002),

no, 1, 13-25" và "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium pointsconcering multivalued mappings, Vietnam J Math.28:4(2000), 295 - 310" của cáctác giả Nguyễn Bá Minh và Nguyễn Xuân Tấn

Luận văn gồm phần mở đầu , phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo vàhai chương với nội dung như sau

Chương 1:" Một số tính chất của ánh xạ đa trị theo nón " trình bày các kháiniệm, tính chất của nón, điểm hữu hiệu trong không gian tôpô tuyến tính, các kháiniệm về tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz theo nón của ánh xạ đa trị Đồng

thời cũng tập hợp các kết quả nghiên cứu về điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị

là C- liên tục trên, C- liên tục dưới, mối liên hệ giữa tính liên tục, tính lồi của ánh

xạ đa trị với tính liên tục, tính lồi của các hàm vô hướng và mối liên hệ giữa tínhliên tục, tính lồi với tính Lipschitz địa phương

Chương 2:" Bài toán cân bằng véctơ đa trị " trình bày bài toán cân bằng đatrị và một số ứng dụng của nó Phần đầu chương trình bày bài toán cân bằng vôhướng của Blum-Oettli, các bài toán đưa về bài toán cân bằng vô hướng và điềukiện đủ để bài toán cân bằng vô hướng tồn tại điểm cân bằng Nội dung chính củaluận văn là trình bày bài toán cân bằng đa trị dạngF = G + H trong đó G là ánh

xạ đa trị, H là ánh xạ đơn trị với các tính chất khác nhau và điều kiện đủ để bàitoán cân bằng đa trị có điểm cân bằng (cân bằng yếu) Cuối chương là các ứngdụng của bài toán cân bằng đa trị với các bài toán liên quan như bài toán điểmhữu hiệu của tập hợp, bài toán tối ưu véctơ, bài toán điểm yên ngựa véctơ và bàitoán cân bằng Nash véctơ

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - ĐạiHọc Quốc Gia Hà Nội , dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH Nguyễn Bá Minh.Tác giả chân thành cảm ơn thầy Minh đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo giúp đỡ tácgiả thực hiện các nghiên cứu theo đề tài của luận văn

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy giáo, cô giáo trong Ban GiámHiệu, Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán - Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên vàcác bạn bè đồng nghiệp đã quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tácgiả học tập và nghiên cứu

Do trình độ và thời gian còn nhiều hạn chế nên luận văn cũng không tránh đượcnhững thiếu xót Vì vậy tác giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầygiáo, cô giáo và bạn bè để tác giả hoàn thiện tốt hơn luận văn Tác giả chân thànhcảm ơn!

Chương 1

Một số tính chất của ánh xạ đa trị theo nón

Chương này trình bày một số khái niệm, tính chất của nón, điểm hữu hiệu trongkhông gian tôpô tuyến tính, tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz theo nón của ánh

xạ đa trị Phần đầu của chương, nghiên cứu các khái niệm, tính chất của nón vàkhái niệm điểm hữu hiệu Tiếp theo là sự mở rộng định lý Banach- Steihaus chomột họ các hàm lồi, lõm trong không gian thùng và dựa vào đó để xây dựng đượcđiều kiện cần và đủ về tính C- liên tục trên hoặc dưới của ánh xạ đa trị Tính C-liên tục yếu của ánh xạ đa trị cũng được xét tới và ta thấy được điều kiện để ánh

xạ đa trị là C- liên tục trên (dưới) yếu, nó là sự mở rộng của trường hợp vô hướng:một hàm lồi và nửa liên tục dưới từ không gian tôpô tuyến tính lồi địa phươngHausdorff vào không gian các số thực thì nửa liên tục dưới theo tôpô yếu Một sốđiều kiện liên hệ giữa tính C- liên tục trên và C- liên tục dưới của ánh xạ đa trịlồi (lõm) theo nón C cũng được trình bày trong chương này Phần cuối chương, tatrình bày một số điều kiện để ánh xạ đa trị là Lipschitz địa phương theo nón, mốiliên hệ giữa tính Lipschitz địa phương với tính lồi, tính liên tục Chương này đượcviết dựa trên cuốn sách ([1]) và bài báo ([4])

1.1 Khái niệm nón

Trong tối ưu hóa khái niệm về nón có một vai trò quan trọng Từ khái niệm,nón ta tập hợp các nghiên cứu về điểm hữu hiệu của một tập hợp, tính lồi, tínhliên tục và tính Lipchitz của ánh xạ đa trị theo nón

Định nghĩa 1.1.1 Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y C là nón có đỉnhtại gốc trong Y nếu tc ∈ C, với mọi c ∈ C, t>0

Nón có đỉnh tại gốc gọi ngắn gọn là nón Nón C được gọi là nón lồi nếu C làtập lồi Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng Giả sử C là nón trongkhông gian tôpô tuyến tính Y Ta có các kí hiệu sau: clC: bao đóng của nón C,

intC: phần trong của nón C, convC: bao lồi của C, l(C) = C ∩ (−C)

Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0} Nón C được gọi là nón sắc nếu cl(C)

là nón nhọn

Nón C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\cl(C) ⊆ C

Ta xây dựng quan hệ thứ tự từng phần trên Y với nón C như sau:

Với x, y ∈ Y thì

x ≥ y nếu x − y ∈ C

x > y nếu x − y ∈ C\l(C)

x  y nếu x − y ∈ intC

Quan hệ thứ tự trên có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu

Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệ thứ tựtừng phần trên Y

Nếu C là nón nhọn thì quan hệ trên có tính chất phản đối xứng tức là x ≥ y, y ≥ x

thì x = y

Tiếp theo ta sẽ minh họa một số ví dụ trong một số không gian

Ví dụ 1.1.1

1, [0], Y đều là nón trong Y gọi là nón tầm thường

2, Tập nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính có dạng:C := {x|Ax ≥ 0}(Với

A là một ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng và số cột là hữu hạn)) là nón lồi

5, Cho Y = Rn = {x = (x1, x2, , xn)|xj ∈ R, j = 1, , n}

Giả sử tập lồi C được cho bởi C := x ∈ Rn |< a j , x >≤ bj, j = 1, , m

Với x ∈ C, đặt J (x) =j |< aj, x >= b gọi là tập chỉ số tích cực tại x

Khi đó TC(x) =y ∈ Rn |< a j , y >≤ 0, j ∈ J (x) là nón và được gọi là nón tiếpxúc;

NC(x) = cone(aj, j ∈ J (x)) = y = P

j∈J (x)

hj aj :hj ≥ 0 là nón lồi, đóng;

NC(x) được gọi là nón pháp tuyến

Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm tập sinh, cơ sở của nón

Cho Y là không gian tuyến tính, B ⊆ Y, C là nón trong Y Tập B được gọi là tậpsinh của nón C nếu C = {tb | b ∈ B, t ≥ 0} Kí hiệu: C = cone(B)

Nếu B không chứa gốc O thì với mỗi c ∈ C, c 6= 0, tồn tại duy nhất b ∈ B, t > 0 saocho: c = tb Khi đó B được gọi là cơ sở của nón C

Tính chất của một nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội trong không gian tôpô tuyếntính Hausdorff được nêu trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.1.1.([2, Ch.1.Mệnh đề 1.8]).Nếu C là nón có lồi, đóng, giới nội thì vớimọi lân cận W của điểm gốc trong Y đều tồn tại lân cận V sao cho

(V + C) ∩ (V − C) ⊆ W

Khái niệm nón cực cũng được nhắc lại như sau:

Cho nón C trong không gian tuyến tính Y Gọi Y∗ là không gian tôpô đối ngẫucủaY Nón cực C0 củaC được định nghĩa như sau:

C0 := {ξ ∈ Y∗|< ξ, c >≥ 0, với mọi c ∈ C}

Nhận thấy C0 là nón lồi, đóng trong Y∗ với tôpô yếu* σ(Y, Y∗) Cho nón nhọn C,

kí hiệu

(C0)+ := {ξ ∈ Y∗|< ξ, c >> 0, c ∈ C\{0}}

Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để tập lồi B là cơ sở của nón C

Mệnh đề 1.1.2.([2, Ch1.Mệnh đề 1.10]) Trong không gian tôpô tuyến tính dorff Y một tập lồi B là cơ sở của nón C khi và chỉ khi tồn tại ξ ∈ (C0)+ sao cho

Haus-B = {ξ ∈ C |< ξ, c >= 1}

1.2 Khái niệm điểm hữu hiệu

Khái niệm hữu hiệu là khái niệm quan trọng của lí thuyết tối ưu Trong mụcnày chúng ta nhắc lại khái niệm về điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.2.1 ChoY là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh bởinón lồi C A là tập con khác rỗng của Y Ta nói rằng

i, Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C

nếu (y − x) ∈ C, ∀y ∈ A Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C

được kí hiệu là: IM in(A\C) hoặc IM inA

ii, Điểm x ∈ Alà điểm hữu hiệu Pareto(cực tiểu Pareto) của A đối với nón C nếukhông tồn tại y ∈ A để (x − y) ∈ C\l(C).Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A

đối với nón C được kí hiệu là: P M in(A\C) hoặc M in(A\C) hoặc M inA.iii, Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu ( khi intC 6= ∅ và C 6= Y ) của A đối với nón

C nếu x ∈ Min( A\ {0} ∪intC) tức là x là điểm hữu hiệu theo thứ tự sinh bởinón C 0 = {0} ∪intC Kí hiệu: W M in(A\C) hoặc W M inA là tập các điểm hữuhiệu yếu của A

iv, Điểmx ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự củaA đối với nónC nếu tồn tạinón lồi Cekhác Y và chứa C\l(C)trong phần trong của nó đểx ∈ P M in(A\ C)e

Kí hiệu: P rM in(A\C) hoặc P rM inA là tập các điểm hữu hiệu thực sự của A

Ví dụ 1.2.1 Trong R2 lấy hai tập A và B như sau:

Ta nhận thấy các khẳng định sau luôn đúng

a) x ∈ M inA nếu và chỉ nếu A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C)

b) x ∈ W M inA khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅

c) IM inA ⊂ P rM inA ⊆ M inA ⊆ W M inA

1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị

Cho X, Y là hai không gian tôpô Hausdorff Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y

mà ứng với mỗi phần tử x ∈ X cho một tập con của Y được kí hiệu: F : X −→ 2Y.Miền định nghĩa (miền hữu dụng ) và đồ thị của F được xác định như sau

Ngược lại giả sử F (x) ∩ (ρV − C) 6= ∅ với ρ > 0 Khi đó F (x) 6= ∅ Tức là x ∈ domF

Khif : X −→ Y là ánh xạ đơn trị thìdomf là tập tất cả các x ∈ X sao cho với bất

kỳ lân cận giới nội V của 0 trong Y tồn tại ρ > 0 để f (x) ∈ ρV − C Trường hợp

f : X −→ R là hàm vô hướng, C = R+ là nón trong không gian tôpô tuyến tínhHausdorff Y thì ta có: domf = {x ∈ X | f (x) 6= +∞}

Xét ánh xạ đơn trị f : X −→ Y, f được gọi là liên tục tại x o ∈ X nếu với mọi tập

mở V chứa f (x o ) tồn tại tập mởU chứa x o sao cho f (U ) ⊂ V

Tiếp theo ta sẽ trình bày khái niệm liên tục theo nón của ánh xạ đa trị F,

Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D ⊂ X, D 6=∅. C lànón trong Y F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1 a)F là C- liên tục trên ( hoặc C- liên tục dưới) tại xo ∈ Dnếuvới bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của xo trong X sao cho:

F (x) ⊂ F (xo) + V + C ( hoặc F (xo) ⊂ F (x) + V − C) với mọi x ∈ U ∩ domF.

b)F làC- liên tục tại xo nếuF vừa là C- liên tục trên vừa là C-liên tục dưới tạixo

F là C-liên tục trên,C-liên tục dưới hoặc C- liên tục trongD nếu nó là C- liên tụctrên, C- liên tục dưới hoặc C- liên tục tại mọi x ∈ D

c) F là C- liên tục trên yếu ( C- liên tục dưới yếu ) tại x o nếu lân cận U của x o

trong định nghĩa ở trên là lân cận trong tôpô yếu của X

Mệnh đề sau cho ta điều kện cần và đủ về tính liên tục theo nón của ánh xạ đatrị ;

Mệnh đề 1.3.1.([4, tr.15])

a) Cho F (xo) là tập compắc trong Y Khi đó: F là C- liên tục trên tại xo nếu vàchỉ nếu với mọi tập mở G thỏa mãn F (xo) ⊂ G + C đều tồn tại lân cận U của xo

sao cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF

b) Cho F (xo) là tập compắc trong Y Khi đó điều kiện cần và đủ để F là C- liêntục dưới tại xo là với mọi lân cận V của 0 đều tồn tại lân cận U của xo sao cho:

F (x) ∩ (y + V + C) 6=∅ với mọi x ∈ U ∩ domF.

Điều kiện trên tương đương với điều kiện: Với mọi tậpG mở, F (xo) ∩ (G + C) 6= ∅

đều tồn tại lân cận U củaxo sao cho: F (x) ∩ (G + C) 6=∅, với mọi x ∈ U ∩ domF.Chứng minh a) Điều kiện cần: Giả sử F là C- liên tục trên tại xo Ta sẽ chứngminh tồn tại lân cận U của xo sao cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF với mọi G

là tập mở sao cho F (x o ) ⊂ G + C

Do F (x o ) compắc trong Y nên tồn tại lân cận V o của O trong Y sao cho

F (x o ) + V o ⊂ G + C

Giả sử V là một lân cận của O trong Y Suy ra V ∩ V o là lân cận của O trong Y

VìF là C- liên tục trên tại x o nên tồn tại một lân cận U của x o trong X sao cho

F (x) ⊂ F (x o ) + V ∩ V o + C , với mọi x ∈ U ∩ domF

Theo giả thiết tồn tại lân cận U của xo sao cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF,tức là:

F (x) ⊂ F (x o ) + V + C, với mọi x ∈ U ∩ domF

Vậy F là C- liên tục trên tại xo

b) Điều kiện cần: Giả sử F là C-liên tục dưới tại xo Lấy y ∈ F (xo) và V là lân cậncủaO trong Y

VìF là C- liên tục dưới tại xo nên tồn tại lân cận U của xo sao cho:

Vì yi + V2 là lân cận của yi, yi ∈ F (xo) nên theo giả thiết tồn tại các lân cận

Uyi, i = 1, , n của xo sao cho:

⇒ y ∈ yi+V2, i = 1, , n Do đó: ∃yi∈ F (xo) sao cho y = yi+ vo vo ∈ V2

Do F (x) ∩ yi+V2 + C
6=∅, với ∀x ∈ U ∩ domF nên ∃y0 ∈ F (x) và y0 ∈ (yi+V2 + C)

⇒ y0 = yi+ v + c với v ∈ V2, c ∈ C ⇒ yi= y0 − v − c

⇒ y = y0 + (vo− v) − c) ∈ F (x) + V − C (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta có: F (xo) ⊂ F (x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domF

Theo định nghĩa thì F là C- liên tục dưới tại xo

Bây giờ ta chứng minh điều kiện:

i) Với mọi y ∈ F (xo) và với mọi lân cận V của O đều tồn tại lân cận U của xo sao

cho F (x) ∩ (y + V + C) 6=∅ tương đương với điều kiện

ii) Với mọi tập Gmở thỏa mãn F (x o ) ∩ (G + C) 6=∅ đều tồn tại một lân cận U của

x o sao cho F (x) ∩ (G + C) 6=∅ với ∀x ∈ U ∩ domF

Thật vậy: Giả sử có i) ta cần chứng minh ii)

Lấy G là một tập mở với F (x) ∩ (G + C) 6=∅ ⇒ ∃y ∈ F (xo) và y ∈ (G + C)

⇒ F (x) ∩ (G + C) 6=∅ (do (1.3)), với ∀x ∈ U ∩ domF

Ngược lại giả sử có ii) ta chứng minh i)

Cho y ∈ F (xo) , V là lân cận mở của O trong Y nên y + V là lân cận mở của y

trong Y

Theo giả thiết F (x o ) ∩ (y + V + C) 6=∅ Do đó tồn tại một lân cận U của x o trong

X sao cho

F (xo) ∩ (y + V + C) 6=∅ với ∀x ∈ U ∩ domF.Nhận xét 1.3.1 a) Nếu nón C = {0} và F (xo) là compắc thì tính nửa liên tụctrên và dưới được định nghĩa như Berge (xem [3]) tức là:

Cho F : X −→ 2Y là ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục trên tại xo nếu vớimọi tập mở V mà F (xo) ⊂ V đều tồn tại tập mở U của xo sao cho F (x) ⊂ V, vớimọi x ∈ U

F được gọi là nửa liên tục dưới tại xo nếu với mọi tập mở V mà F (xo) ∩ V 6= ∅,

đều tồn tại tập mở U của xo sao cho F (x) ∩ V 6= ∅, với ∀x ∈ U

Nếu Y là không gian định chuẩn, F vừa là {0}- liên tục trên, vừa là {0}- liên tụcdưới tại x o thì F liên tục tại x o theo khoảng cách Hausdorff

b) Nếu F là ánh xạ đơn trị thì tính C- liên tục trên và dưới của F tại x o trùngnhau Khi đó ta nói rằng F là C− liên tục tại xo

c) Nếu Y = R và C = R+ = {x ∈ R | x ≥ 0} (hoặc C = R− = {x ∈ R | x ≤ 0}) và F

làC- liên tục tạixo Khi đóF liên tục dưới ( liên tục trên ) theo nghĩa thông thường

Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị

và dãy suy rộng

Mệnh đề 1.3.2([1, Mệnh đề 1.2.3, tr.25]) Cho F : D −→ 2Y và C ⊂ Y là nón lồiđóng Khi đó:

i) Nếu F là C− liên tục trên tại xo∈ domF và F (xo) + C là tập đóng thì với mọidãy suy rộng xβ → xo, yβ ∈ F (xβ) + C, yβ → yo ta suy ra yo ∈ F (xo) + C

Ngược lại: Nếu F là ánh xạ compắc và với mọi dãy suy rộng xβ → xo,

yβ ∈ F (xβ) + C, yβ → yo đều suy ra yo∈ F (xo) + C thì F là C- liên tục trên tại

xo

ii) Nếu F là compắc và là C− liên tục dưới tại xo ∈ domF, thì với mọi dãy suyrộng xβ → xo, yo ∈ F (xo) + C, đều tồn tại dãy suy rộng {yβ}, yβ ∈ F (xβ), có dãysuy rộng con {yβγ}, để yβγ − y o → c ∈ C ( yβγ → y o + c ∈ y o + C)

Ngược lại, nếu F (x o ) là tập compắc và với mọi dãy suy rộng xβ → x o và

y o ∈ F (x o ) + C, đều tồn tại dãy suy rộng{yβ}, yβ ∈ F (xβ), có dãy suy rộng con

{yβγ}, để yβγ − yo→ c ∈ C, thì F là C− liên tục dưới tại xo

Chứng minh i) Giả sử F là C− liên tục trên tại xo ∈ domF và xβ → xo,

yβ ∈ F (xβ) + C, yβ → yo Vì F là C− liên tục trên tại xo nên với V là lân cận lồi,đóng bất kỳ của 0 trong Y, tồn tại chỉ số βo để

Theo giả thiết F (xo) + C là tập đóng nên yo∈ F (xo) + C

Đảo lại nếu F là ánh xạ compắc và với mọi dãy suy rộng xβ → xo,

yβ ∈ F (xβ) + C, yβ → yo suy ra yo∈ F (xo) + C Dùng phương pháp phản chứng giả

sử F không là C− liên tục trên tại xo Khi đó tồn tại lân cận V của 0 trong Y saocho với mọi lân cận Uβ củaxo ta đều tìm được xβ ∈ Uβ để

Khi đó ta có mâu thuẫn

ii) Giả sử F là ánh xạ compắc và C− liên tục dưới tại xo tại xo ∈ domF và

xβ → xo, yo ∈ F (xo) + C Vì F là C− liên tục dưới tại xo nên với lân cận V tùy ý

của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của xo để

F (xo) ⊂ F (x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domF

yβγ− yo→ c ∈ C nhưng F không là C− liên tục dưới tại xo Khi đó tồn tại lân cận

V của 0 trong Y sao cho với mọi lân cận Uβ của xo đều tìm được xβ ∈ Uβ để

F (xo)* F (xβ) + V − C

Lấy zβ ∈ F (x o ) thì zβ ∈ F (x / β) + V − C Giả sử zβ → z o ∈ F (x o ) Vì F (x o ) là tậpcompắc nên z o ∈ F (x o ) + C Ta có thể giả sử xβ → x o Vì vậy tồn tại dãy suy rộng

{yβ}, yβ ∈ F (xβ)có dãy suy rộng con{yβγ}, yβγ−zo→ c ∈ C Do đóyβ → y∗∈ zo+C

Do đó tồn tại β1 > 0 để zβ ∈ zo+ V2, yβ ∈ y∗+V2 và zo ∈ yβ+V2 − C với mọi β ≥ β1

Vậy suy ra mâu thuẫn

Khi nghiên cứu tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị ta sử dụng nhiều phươngpháp khác nhau trong đó có thể sử dụng phép vô hướng hóa hàm đa trị F

ChoY0 là không gian tôpô đối ngẫu củaY và nón cựcC0 =ξ ∈ Y0 |< ξ, y >≥ 0, ∀y ∈ C

của nón C Xét ánh xạ đa trị F : D −→ 2Y, trong đó D ⊂ X là tập lồi Với mỗi

ξ ∈ C0 ta định nghĩa các hàm gξ, Gξ : D −→ R , cho bởi:

với R = R ∪ {±∞}

Mệnh đề sau sẽ cho ta mối quan hệ giữa tính C- liên tục trên (dưới) của ánh xạ

đa trị F với tính nửa liên tục của hàm gξ, Gξ

Mệnh đề 1.3.3.([4, tr.18]) a) Nếu F là C- liên tục trên (t.ư dưới) tại xo∈ domF

thì gξ( t.ư .Gξ) là hàm nửa liên tục dưới tại xo với mỗi ξ ∈ C0 cố định

b) Nếu F là (-C)- liên tục trên (t.ư dưới) tại xo∈ domF thì Gξ( t.ư.gξ) là hàm nửaliên tục trên tại xo với mỗi ξ ∈ C0 cố định

Chứng minh a) Do ξ ∈ C0 , ξ : Y −→ R là phiếm hàm tuyến tính liên tục nêntồn tại lân cậnV của O trong Y sao cho ξ(V ) ⊂ (−, )

Vì F là C- liên tục trên tại xo nên với lân cận V của O trong Y, tồn tại một lâncậnU củaxo sao cho :

F (x) ⊂ F (xo) + V + C, với mọi x ∈ U ∩ domF

Vậy gξ là nửa liên tục dưới tại xo

Chứng minh tương tự: Nếu F là C- liên tục dưới tại xo thì Gξ là hàm số nửa liêntục dưới tại xo

Thật vậy: Với V là lân cận của O trong Y nên tồn tại lân cận U của x o sao cho:

F (x o ) ⊂ F (x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domF

⇒ Gξ(xo) ≤ Gξ(x) +  với mọi x ∈ U ∩ domF

Vậy Gξ là hàm số nửa liên tục dưới tại xo

Định nghĩa 1.3.2 Cho X là không gian tôpô lồi địa phương D ⊂ X là một tậplồi R là không gian các số thực với tôpô thông thường Cho {fα: D −→ R, α ∈ I}

là một họ các ánh xạ đơn trị với I là tập các chỉ số khác rỗng.Ta nói rằng:

Họ ánh xạ {fα, α ∈ I} được gọi là nửa liên tục trên đồng bậc tại x0 ∈ D nếu với

∀ε > 0,đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho:

fα(x) ≤ fα(xo) + ε, với mọi x ∈ U ∩ D, α ∈ I

Họ ánh xạ {fα, α ∈ I} được gọi là nửa liên tục dưới đồng bậc tại xo ∈ D nếu với

∀ε > 0, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho:

fα(x) ≥ fα(xo) + ε, với mọi x ∈ U ∩ D, α ∈ I

Ta đã biết định lý Banach - Steinhaus ([11] ) cho một họ các hàm lồi (hoặc hàmlõm) là nửa liên tục đồng bậc Định lý Banach -Steihaus mở rộng cho lớp hàm lồi,lõm trên không gian thùng được phát biểu như sau:

Định lý 1.3.1.([4, tr.19]) Giả thiếtX là 1 không gian thùng, I là tập chỉ số khácrỗng và fα : X −→ R, α ∈ I, là các hàm lồi và nửa liên tục dưới trong lân cận

U o của x o ∈ domfα với ∀α ∈ I Giả sử rằng với mỗi x ∈ X, tồn tại γ > 0 sao cho

f α (x) ≤ γ, ∀α ∈ I Khi đó: họ các hàm {f α , α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại

Vậy họ {fα, α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại xo.

Hệ quả 1.3.1.([4, tr.19]) Giả sử X là 1 không gian thùng , f : X −→ R là hàm lồi

và nửa liên tục dưới trong lân cận Uo của xo ∈ domf, domf = X Khi đó f liên tụctại xo

Chứng minh Ta có: domf = {x ∈ X | f (x) < +∞} ⇒ ∃γ > 0 sao cho f (x) < γ

Áp dụng định lý (1.3.1) với I = {1} ta được f là nửa liên tục trên tại xo mà theogiả thiết f là nửa liên tục dưới tại xo Vậy f liên tục tại xo

Chứng minh Dof α : X −→ R, α ∈ I là lõm và nửa liên tục trên trong lân cận U o

của xo∈ domfα, với mọi α ∈ I nên −fα : X −→ R, α ∈ I là lồi và nửa liên tục dướitrong lân cận Uo củaxo ∈ domfα, với mọi α ∈ I

Từ giả thiết ta suy ra với x ∈ X, ∃γ > 0 sao cho −fα(x) ≤ γ, với mọi α ∈ I

Áp dụng định lý (1.3.1.) ta có: −fα là nửa liên tục trên đồng bậc tại xo

Vậy fα là nửa liên tục dưới đồng bậc tại xo

Như chúng ta đã biết họ các phiếm hàm tuyến tính {ξ ∈ C0, k ξ k= 1} trongkhông gian Banach là liên tục đồng bậc Từ đó mối liên quan giữa tính liên tụctheo nón của ánh xạ đa trịF với tính nửa liên tục đồng bậc của họ các hàm gξ, Gξ

trong không gian Banach được xét trong phần tiếp theo Trong phần này ta giảthiết X là không gian tuyến tính lồi địa phương, Y là không gian Banach, D ⊂ X

là tập lồi, đóng, khác rỗng và C là nón lồi trong Y Ta có các định lý sau

Định lý 1.3.3.([4, tr.20]) Giả sửF : D −→ 2Y, x o ∈ domF với F (x o ) + C là tập lồi.Khi đó: F là C- liên tục trên tạix o nếu và chỉ nếu họ các hàm gξ | ξ ∈ C0, ||ξ| | = 1

là nửa liên tục dưới đồng bậc tạixo.

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử F là C- liên tục trên tại x o Theo định lýBanach - Steihaus tập hợp ξ ∈ C0, ||ξ| | = 1 liên tục đồng bậc tại 0 Do đó: tồntại 1 lân cận V của O trong Y sao cho ξ(y) ∈ (−, ) với mọi  > 0 cho trước và

Vậy họ gξ | ξ ∈ C0, ||ξ| | = 1 là nửa liên tục dưới đồng bậc tại xo

Điều kiện đủ : Ta dùng phương pháp phản chứng để chứng minh tức là giả sử họ

Lấy yα ∈ F (xα) thì yα ∈ F (x / o) + V + C Giả thiết F (xo) + C là tập lồi nên

cl(F (xo) +V2 + C) là tập lồi đóng Do yα ∈ F (x / o) + V2 + C nên theo định lý tách tasuy ra tồn tại phiếm hàm tuyến tính ξα trong không gian Y0 sao cho

ξα(yα) < ξα(y), với mọi y ∈ F (xo) + V

2 + C

Ta sẽ chứng minh: ξα∈ C0 với mọi α

Thật vậy: Giả sử ngược lại ξα∈ C / 0 nên tồn tại αo sao cho ξαo ∈ C / 0

Theo định lý tách, tồn tạiyo∈ C để ξαo(yo) < 0 Vì γyo∈ C, với mọi γ > 0 nên

ξαo(yα) < ξαo(zαo + vαo + γyo) = ξαo(zαo) + ξαo(vαo) + γξαo(yo) (1.4)với zαo ∈ F (xo), vαo ∈ V2 Cho γ −→ +∞ thì vế phải của (1.4) tiến đến −∞ nên ta

có mâu thuẫn Vậy với mọiα, ξα ∈ C0 thì inf

Do đó với zα = yα+ vα+ cα∈ F (xo) + V2 + C ta có

ξα(yα) < ξα(zα) ≤ inf

y∈F (x o ) < ξα, y > + inf

v∈ V 2

2 , ta thấy : gξα(xα) < gξα(xo) −  với mọi α

(Mâu thuẫn với tính nửa liên tục dưới đồng bậc của họ gξ | ξ ∈ C0, ||ξ| | = 1 )Vậy F là C- liên tục trên tại xo

Định lý 1.3.4.([4, tr.21]) ChoF : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị vớiF (x)−C lồi với mọi

x ∈ D Khi đóF là C- liên tục dưới tại xo nếu và chỉ nếu họ Gξ | ξ ∈ C0, ||ξ| | = 1

là nửa liên tục dưới đồng bậc tạixo

Chứng minh Việc chứng minh định lý này được là tương tự định lý (1.3.3) với

gξ, inf, ≥, − được thay thế bằng Gξ, sup, ≤, + ở mọi nơi

Định lý 1.3.5.([4, tr.22]) ChoF : D −→ 2Y và xo∈ domF với F (x) − C lồi Khi đó

F là (-C)- liên tục trên tại xo khi và chỉ khi họ Gξ | ξ ∈ C0, ||ξ| | = 1 là nửa liêntục trên đồng bậc tại x o

Định lý 1.3.6 ([4, tr.22]) Cho F : D −→ 2Y sao cho F (x) + C lồi với ∀x ∈ D Khi

đó F là (-C)- liên tục dưới tạixo ∈ domF khi và chỉ khi họ gξ | ξ ∈ C0, ||ξ| | = 1 lànửa liên tục trên đồng bậc tại xo

Định lý (1.3.5) và (1.3.6) được chứng minh tương tự định lý (1.3.3.)

1.4 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị

ChoX, Y là hai không gian tôpô tuyến tính.D ⊂ X là tập lồi, C là nón lồi trong

Y, R = R ∪ {±∞}

Định nghĩa 1.4.1.Hàm f : D −→ R được gọi là một hàm lồi nếu

f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y)

với mọi x, y ∈ domF = {x ∈ D | f (x) < ∞} và α ∈ [0.1]

Hàm f : D −→ R được gọi là một hàm lõm nếu (−f ) là hàm lồi

Từ khái niệm hàm lõm và hàm lồi theo nghĩa thông thường như trên ta trình bàycác khái niệm C- lồi trên(dưới), C- lõm trên(dưới) của ánh xạ đa trị

iii) Nếu F là C- lồi trên thì F (x) + C là những tập lồi với x ∈ domF Nếu F là

C-lõm trên thì F (x) − C là những tập lồi với x ∈ domF

Mối liên hệ giữa tính lồi (lõm) theo nón của ánh xạ đa trị và tính lồi (lõm) củacác hàm vô hướng gξ, Gξ được thể hiện bởi mệnh đề sau

Mệnh đề 1.4.1.([4, tr.18]) a) Nếu F là C-lồi trên (tương ứng C- lồi dưới ) thìhàm gξ( tương ứng Gξ) là hàm lồi

b) NếuF làC-lõm trên (tương ứngC- lõm dưới ) thì hàmGξ( tương ứng gξ)là hàmlõm

Chứng minh Lấy x1, x2 ∈ D và α ∈ [0, 1] Với δ > 0 tùy ý theo định nghĩa của

Điều này chứng tỏ gξ là hàm lồi.

Tiếp theo giả sử F là C- lồi dưới Ta sẽ chứng minh Gξ là hàm lồi Thật vậy : Lấy

Đối với bài toán tối ưu để xét sự tồn tại nghiệm thì cần quan tâm tới tính liêntục yếu của hàm số Khi xét tính liên tục yếu của hàm số đòi hỏi miền ràng buộccủa bài toán là tập lồi, đóng, giới nội trong không gian Banach phản xạ Các định

lý sau cho ta tính liên tục yếu của họ các ánh xạ đa trị lồi ( lõm) theo nón

Định lý 1.4.1.([4, tr.22]) Cho X là không gian tôpô lồi địa phương Y là khônggian Banach D ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng C là một nón lồi trong Y với C0

là một nón đa diện Giả sử rằng F : D −→ 2Y là C- lồi trên và C- liên tục trêntrong domF vớiF (x) + C lồi với mọi x ∈ D Khi đó:F làC- liên tục trên yếu trong

domF

Chứng minh Giả sử C0 = cone(conv {ξ1, , ξn}) Vì F là C- liên tục trên và C- lồitrên nên với mỗi i = 1, , n, gξi là hàm lồi và nửa liên tục dưới từ D −→ R (theomệnh đề (1.3.3.) và (1.4.1.)) Do đó: gξi : D −→ R là nửa liên tục dưới yếu

Giả sử xo∈ domF Ta sẽ chứng minh: F là C- liên tục trên yếu tại xo Thật vậy:Với  > 0 bất kỳ cho trước và i = 1, , n, tồn tại lân cận Ui của xo trong tôpô yếucủa X sao cho:

Do đó họ gξ | ξ ∈ C0, k ξ k= 1 là nửa liên tục đồng bậc dưới yếu tại xo

Áp dụng định lý (1.3.3.) ta kết luận F là C- liên tục trên yếu tại xo

Định lý 1.4.2 ([4, tr.23]) Cho F : D −→ 2Y là (- C) liên tục dưới và là ánh xạ

C- lõm dưới trên domF với F (x) + C lồi với mọi x ∈ D Khi đó F là (-C)- liên tụcdưới yếu trên domF

Chứng minh Định lý được chứng minh tương tự định lý (1.4.1.)

Áp dụng mệnh đề (1.4.1.) và định lý (1.4.1.) ta có gξi, i = 1, , nlà các hàm lõm vànửa liên tục trên Do đógξi là nửa liên tục trên yếu tại xo

Từ đó khẳng định họ 

gξ | ξ ∈ C0, k ξ k= 1 là nửa liên tục trên yếu đồng bậc tại

xo Áp dụng định lý (1.3.6) ta có F là (- C) - liên tục dưới yếu tại xo

Định lý 1.4.3.([1, Định lý 1.3.6, tr.39 ]) Cho F : D −→ 2Y là C- lồi dưới và Cliên tục dưới trên domF và F (x) − C lồi với mọi x ∈ D Khi đó F là C- liên tụcdưới yếu trên domF

-Định lý 1.4.4.([4, -Định lý 1.3.7, tr.39]) Giả sử F : D −→ 2Y là C- lõm trên và(-C)- liên tục trên trong domF Khi đó F là (-C) - liên tục trên yếu trong domF.Định lý (1.4.3.) và (1.4.4.) được chứng minh tương tự định lý 1.4.1

Mối liên hệ giữa tính liên tục trên và liên tục dưới theo nón đối với lớp ánh xạ

đa trị lồi (lõm) được thể hiện bởi các định lý sau:

Định lý 1.4.5.([4, tr.23]) Cho X, Y là các không gian thùng F : X −→ 2Y là ánh

xạ đa trị có tính chất C- lồi trên và C- liên tục trên trong lân cậnUocủaxo∈ domF.Giả thiết rằng F (x) + C là lồi với mọi x ∈ D Với mọi x ∈ X và lân cận giới nội Vcủa gốc trong Y , đều tồn tại hằng số γ > 0 sao cho F (x) ∩ (γV − C) 6= ∅ Khi đó F

là (-C)- liên tục dưới tại xo

Chứng minh Do F : X −→ 2Y là C- lồi trên và C- liên tục trên trong lân cận Uo

của xo ∈ domF nên áp dụng mệnh đề (1.4.1.) và mệnh đề (1.3.2.) ta có gξ là hàmlồi nửa liên tục dưới trong lân cận Uo của xo với ξ ∈ C0, k ξ k= 1

Theo giả thiết với mọi x ∈ X và lân cận giới nội V của gốc trong Y, đều tồn tạihằng số γ > 0 sao cho F (x) ∩ (γV − C) 6= ∅ nên

Định lý 1.4.6.([4, tr.24]) Cho X, Y là các không gian thùng F : X −→ 2Y là Clồi dưới và C- liên tục dưới trong lân cận Uo của xo ∈ domF Giả thiết F (x) − C làlồi với mọi x ∈ D và với mọi x ∈ X và lân cận giới nội V của O trong Y, đều tồntại hằng số γ > 0 sao cho F (x) ⊂ γV − C Khi đó F là (-C)- liên tục trên tại x o.Chứng minh Do F là C- lồi dưới và C- liên tục dưới trong lân cận U o của

-xo ∈ domF nên Gξ là hàm lồi và nửa liên tục dưới tại xo Theo giả thiết với mọi

x ∈ X và lân cận giới nội V của O trong Y, đều tồn tại hằng số γ > 0 sao cho

Định lý 1.4.7.([4, tr.24]) Cho X, Y là các không gian thùng F : X −→ 2Y là

C- lõm trên và (-C)- liên tục trên trong lân cận Uo của xo ∈ domF Giả thiết

F (x) + C là lồi với mọi x ∈ X và với mọi x ∈ X và lân cận giới nội V của O trong

Y, đều tồn tạiγ > 0sao cho F (x)∩(γV +C) 6=∅ Khi đó:F làC- liên tục dưới tạixo

Định lý 1.4.8.([4, tr.24]) Cho X, Y là các không gian thùng F : D −→ 2Y là Clõm dưới và (-C)- liên tục dưới trong lân cậnUo củaxo ∈ domF Giả thiết F (x) + C

-là lồi với mọi x ∈ D và với mọi x ∈ D và lân cận giới nội V của O trong Y , đềutồn tại γ > 0 sao cho F (x) ⊂ γV + C Khi đó F là C- liên tục trên tại x o.

Định lý (1.4.7.) và định lý (1.4.8.) được chứng minh tương tự như định lý (1.4.5.)

Các định lý nêu trên đã chỉ ra mối liên quan giữa tính liên tục trên và liên tụcdưới theo nón của ánh xạ đa trị Trong trường hợp f là ánh xạ đơn trị và nón C

trong Y có cơ sở lồi, đóng, giới nội thì tính liên tục theo nón của ánh xạ đơn trịtrở về tính liên tục theo nghĩa thông thường

Hệ quả 1.4.1.([4, tr.24]) Cho C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội và f : X −→ Y

là ánh xạ đơn trị có tính chất C- lồi và C- liên tục trong lân cận Uo của xo ∈ X.Giả thiết với mọi x ∈ X và lân cận V của O trong Y đều tồn tại số γ > 0 sao cho

f (x) ∈ γV − C Khi đó f liên tục tại xo

Chứng minh Lấy W là một lân cận của O trong Y Ta sẽ chứng minh tồn tạilân cận U của xo sao cho với mọi x ∈ U thì

Áp dụng định lý (1.4.6.) ta có f là (-C)- liên tục tại x o Do đó có một lân cận U 2

củax o sao cho

Điều này chứng tỏ f liên tục tại xo

Hệ quả 1.4.2.([1, Hệ quả 1.3.13, tr.42]) Cho C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội

và f : X −→ Y là ánh xạ đơn trị có tính chất C- lõm và (-C)- liên tục trong lân

cận Uo của xo ∈ X Giả sử với mọi x ∈ X và lân cận V của O trong Y đều tồn tại

số γ > 0 sao cho f (x) ∈ γV + C Khi đó f là liên tục tại x o

Chứng minh Tương tự như hệ quả (1.4.1.)

1.5 Tính Lipschitz theo nón của ánh xạ đa trị

Cho X, Y là hai không gian định chuẩn với chuẩn k k

Định nghĩa 1.5.1 a) Ánh xạ f : D −→ R = R ∪ ±∞ được gọi là Lipschitz địaphương trên (hoặc dưới) tại xo ∈ domf nếu tồn tại lân cận U của xo và số L > 0

sao cho

f (x) − f (xo) ≤ L k x − xo k

(tương ứng f (xo) − f (x) ≤ L k x − xok)với mọi x ∈ U ∩ domf

b) Ánh xạ f : D −→ R được gọi là Lipschitz địa phương tại x o ∈ domf nếu tồn tạilân cận U của x o và số L > 0 sao cho

f (x) − f (x0)

≤ L k x − x0 k

vơi mọi x, x0 ∈ U ∩ domf

c) Một họ các ánh xạ fα : D −→ R, α ∈ I được gọi là Lipschitz địa phương ( hoặctrên, dưới) đồng bậc tạix o, x o ∈ T

( tương ứng F (x) ⊂ F (xo) + L k x − xo k BY + C)với mọi x ∈ U ∩ domf.

b) F được gọi là C- Lipschitz địa phương tại xo∈ domf nếu tồn tại lân cận U của

xo và số L > 0 sao cho

F (x) ⊂ F (x0) + L k x − x0 k BY − C

với mọi x, x0 ∈ U ∩ domf

F được gọi là C- Lipschitz địa phương (hoặc trên, dưới) trong D nếu nó là ánh xạ

C- Lipschitz địa phương (hoặc trên, dưới) tại mọi điểm thuộc domF

Chú ý 1.5.1 Nếu F là C- Lipschitz địa phương tại x o thì nó là C- Lipschitz địaphương dưới tại xo và (-C)- Lipschitz địa phương trên tại xo

Ta đã biết đối với hàm f : D −→ R là hàm vô hướng thỏa mãn điều kiện Lipschitzđịa phương nếu với mọix, x0 ∈ domf thì

f (x) − f (x0)

...

x − x0

Khi f liên tục

Với hàm đa trịF ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.5.1.([1, Mệnh đề 1.4.3, tr.45]) NếuF... Gξ

Định lý 1.5.1 ([1, Định lý 1.4.4, tr.45]) Cho F : D −→ 2Y ánh xạ đa trị.a) Nếu F (x) + C lồi với x ∈ domF F C- Lipschitz địa phương... (1.5.1)

Định lý 1.5.3.([1, Mệnh đề 1.4.6, tr.48]) Cho F : D −→ 2Y ánh xạ đa trịa) NếuF (x)−C lồi với mọix ∈ domF F C- Lipschitz địa phương