2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị
2.1.2 Một số bài toán liên quan
Với cách chọn hàm f thích hợp cho từng trường hợp cụ thể ta có được các bài toán có liên quan. Nội dung các bài toán này được trình bày như sau.
1. Bài toán tối ưu.
Xét hàm số ϕ:D−→R . Tìm x∈D sao cho ϕ(x)≤ϕ(x) với mọi x∈D Hay nói cách khác: Tìm min x∈Dϕ(x) (2.1) Đặt f(x, y) = ϕ(y)−ϕ(x), với mọi x, y ∈D
Khi đóx là nghiệm của (2.1) khi và chỉ khiϕ(x)≤ϕ(y) với mọiy ∈D ⇔f(x, y)≤0
với mọi y∈D. Hay x là nghiệm của (EP).
2. Bài toán điểm yên ngựa.
ChoD1, D2 ⊂X và ϕ:D1×D2 −→R. Điểm (x1, x2) được gọi là điểm yên ngựa của
ϕnếu (x1, x2)∈D1×D2 và
ϕ(x1, y2)≤ϕ≤ϕ(x1, x2)≤ϕ(y1, x2) (2.2) với mọi (y1, y2)∈D1×D2
Đặt K =D1×D2 và định nghĩa hàm g :K×K −→R cho bởi
g(x, y) = ϕ(y1, x2)−ϕ(x1, y2)
với x= (x1, x2), y = (y1, y2).
Điểm x= (x1, x2) là nghiệm của (2.2)⇐⇒g(x, y)≥0 với mọi y= (y1, y2)∈D
3.Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Gọi X∗ là không gian đối ngẫu của X và ánh xạ A :D−→X∗. Xét bài toán: Tìm
x∈D sao cho
< A(x), x−y >≥0 với mọi y∈D (2.3) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân. Đặt
g(x, y) =< A(x), x−y > với mọi x, y ∈D
Khi đó x là nghiệm của (2.3) ⇐⇒x là nghiệm của (EP).
4. Bài toán cân bằng Nash.
Cho Di ∈X, i∈I là các tập con khác rỗng trong X với I = 1, ..., n. Đặt D= Q
i∈I Di. Xét hàm fi : D −→ R (được gọi là hàm tổn thất của người chơi thứ i, phụ thuộc vào chiến lược của tất cả người chơi).
Với mỗi x= (xi)i∈I ∈D ,đặt xi = (xj)j∈I,j6=i. Xét bài toán: Tìm x= (xi)i∈I ∈D sao cho
fi(x)≤fi(xi, yi),∀yi∈Di (2.4) được gọi là bài toán cân bằng Nash. Điểmxđược gọi là điểm cân bằng Nash (nghĩa là người chơi không thể giảm tổn thất của mình bằng cách đơn lẻ thay đổi chiến lược của mình).
Định nghĩa hàm g :D×D−→R xác định như sau:
g(x, y) := X i∈I
(fi(xi, yi)−fi(x))
Khi ấy nếu x là nghiệm của (2.4) thì X
i∈I
(fi(xi, yi)−fi(x))≥0
tức làg(x, y)≥0. Vậy x là nghiệm của (EP).
Đảo lại: nếu x là nghiệm của (EP) thì
X
i∈I
(fi(xi, yi)−fi(x))≥0
Với i∈I ta lấy y= (yi)i∈I ∈D sao cho yi=xi. Do đó
fj(xi, yj)−fj(x) = 0 với j ∈I, j 6=i
Suy ra
g(x, y) =fi(xi, yi)−fi(x)
fi(xi, yi)≥fi(x) , với mọi i∈I
Tức là x là nghiệm của (2.4).
5. Bài toán điểm bất động.
Cho X =X∗ là không gian Hilbert , T :D−→D là ánh xạ đơn trị. Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Tìm x∈D sao cho
T(x) = x (2.5)
Điểm x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T. Đặt
f(x, y) =< T(x)−x, x−y > với mọi x, y ∈D
Ta có x là nghiệm của (EP) nếu và chỉ nếu x là nghiệm của (2.5). Thật vậy: Nếu x là nghiệm của (2.5) thì hiển nhiên x là nghiệm của (EP).
Ngược lại: x là nghiệm của (EP) thì f(x, y) ≥ 0 ⇒< T x−x, x−y >≥ 0, với mọi
y∈D.
Chọn y=T x ta được kT x−xk≥0⇒x=T x. Vậy x là nghiệm của (2.5).
6. Bài toán bù.
Cho C là nón lồi đóng trong X với nón cực của nó
C∗ ={x∗ ∈X∗ |< x∗, y >≥0, với mọi y∈C}
Giả sử X∗ là không gian tôpô đối ngẫu của X. Xét A : C −→ X∗ là ánh xạ cho trước. Bài toán bù là bài toán tìmx∈X sao cho
x∈C, Ax∈C∗, < Ax, x >= 0 (2.6) Đặt g(x, y) =< Ax, y−x > với x, y ∈C. Nếu x là nghiệm của (2.6) thì
g(x, y) =< Ax, y−x >=< Ax, y >≥0 với mọi y∈C
Khi đó x là nghiệm của (EP).
Ngược lại: Giả sử x là nghiệm của (EP). Chọn y= 2x và y= 0 ta được
< Ax, x >= 0
mà Ax∈C∗. Vậy x là nghiệm của (2.6).