2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị
2.2Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị
2.2.1 Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị
Trong phần này, luận văn trình bày kết quả của N.B.Minh và N.X.Tấn ([1] và [5]) về bài toán cân bằng liên quan tới ánh xạ đa trị. Bài toán điểm cân bằng vectơ đa trị được phát biểu như sau:
Cho X, Y là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, D⊂X là tập con lồi, đóng, khác rỗng, C ⊂Y là một nón điểm lồi, đóng.
Xét ánh xạ đa trị F :D×D−→2Y, F(x, y)6=∅ với mọi x, y ∈D. Các bài toán cân bằng liên quan tới ánh xạ đa trị F như sau:
Bài toán 1 Tìm x∈D để
F(x, y)⊆ −intC với mọi y∈D (2.11)
Điểm x được gọi là điểm cân bằng yếu ( hoặc nghiệm cân bằng yếu ) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng yếu đối với nón C. Kí hiệu (WEP,C).
Bài toán 2 Tìm x∈D sao cho
F(x, y)*−(C\{0}) với mọi y∈D (2.12)
Điểm x được gọi là điểm cân bằng Pareto ( hoặc nghiệm cân bằng Pareto ) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng Pareto đối với nón C. Kí hiệu ( PEP,C).
Bài toán 3 Tìm x∈D sao cho
F(x, y)⊆C với mọi y∈D
Điểmx được gọi là điểm cân bằng lý tưởng trên ( hoặc nghiệm lý tưởng trên ) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng lý tưởng trên đối với nón C. Kí hiệu ( UIEP,C).
Bài toán 4 Tìm x∈D sao cho
F(x, y)∩C6=∅ với mọi y∈D
Điểm x được gọi là điểm cân bằng lý tưởng dưới ( hoặc nghiệm lý tưởng dưới ) của bài toán và bài toán này được gọi là bài toán điểm cân bằng lý tưởng dưới đối với nón C. Kí hiệu ( LIEP,C).
Chú ý 2.2.1
1) Mọi điểm x ∈ D đều là cân bằng của bài toán (WEP,C) nếu intC = ∅. Khi đó bài toán là tầm thường. Do đó đối với bài toán (WEP,C) ta luôn giả thiết
intC 6=∅
2) Giả sử S(WEP,C) và S(PEP,C) lần lượt là tập nghiệm của bài toán (WEP,C) và (PEP,C) thì ta có
S(P EP, C)⊂S(W EP, C)
3) Giả sử Ce là nón lồi, đóng khác trong Y và Ce ⊂ C. Khi đó nếu x là nghiệm của các bài toán (WEP,C) và (PEP,C) thì x cũng là nghiệm của bài toán
(W EP,Ce),(P EP,Ce)
4 Nếu C thỏa mãn điều kiện có một nón điểm lồi, đóng Ce trong Y sao cho
C\{0} ⊆intCe. Khi đó nếu x∈D là nghiệm của ( WEP,C) thì x là nghiệm của (PEP,C).
Bài toán cân bằng véctơ đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả như Gurraggio A. and N.X.Tấn, Park S.,Fu F.,...Blum và Oettli đã chứng minh nhiều kết quả về sự tồn tại điểm cân bằng liên quan tới hàm véctơ bằng việc sử dụng phương pháp vô hướng hóa. Tuy nhiên phương pháp này không thể áp dụng được cho trường hợp ánh xạF có dạngF =G+H trong đóG, H thỏa mãn những điều kiện tương tự như trong định lý (2.1.1.). Trong mục này chúng ta chỉ xem xét bài toán (WEP,C) và (PEP,C). Trước hết ta đưa ra khái niệm đơn điệu của ánh xạ đa trị F và tính chất của ánh xạ đa trị theo nón C.
Định nghĩa 2.2.1. Cho X, Y là hai không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff,
D⊂X, C là nón trong Y. Ta nói rằng ánh xạ G:D×D−→2Y là đơn điệu nếu
G(x, y) +G(y, x)⊆ −C với mọi x, y ∈D
Nếu Y =R, C =R+ và G là ánh xạ đơn trị thì G là hàm vô hướng đơn điệu.
Định nghĩa 2.2.2. Nón C được gọi là thỏa mãn điều kiện (*) nếu tồn tại nón lồi, đóng Ce với phần trong khác rỗng sao cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
C\ {0} ⊂intC
Ví dụ 2.2.1. Cho B là một tập khác rỗng thuộc phần trong của hình cầu e
B ⊂ Rn,0 ∈/ Be , C = cone(B) , Ce = cone(Be). Khi đó theo định nghĩa C là nón thỏa mãn điều kiện (*) vì C\ {0} ⊂intCe
Mệnh đề sau cho ta điều kiện để nón C thỏa mãn điều kện (*) :
Mệnh đề 2.2.1. ([1, Mệnh đề 3.2.3, Tr.126]) Cho Y là không gian lồi địa phương Hausdorff và nón C trong Y. NếuC là nón nhọn, có cơ sở lồi, compắc, thì nó thỏa mãn điều kiện (*).
Chứng minh. Giả sử B là cơ sở lồi, compắc của C. Vì 0 ∈/ B nên tồn tại siêu phẳng Hf :={x∈Y |f(x) =α} sao cho
0∈intHf−={x∈Y |f(x)< α}
và B ⊂intHf+. Do B là compắc, ta suy ra tồn tại lân cận V của 0 để
B+V ⊂intHf+
. ĐặtCe=cone(B+V) thì Ce là nón lồi, đóng, nhọn và C\{0} ⊂intCe. Khi đó mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.2.2.([1, Mệnh đề 3.2.4, Tr.126]) Nếu X, Y là hai không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X là tập con lồi, đóng, khác rỗng. C là nón lồi, đóng trong Y.
F :D×D−→2Y là ánh xạ đa trị C- liên tục dưới trong D thì tập
A={x∈D|F(x)∩intC =∅}
là tập đóng.
Chứng minh. Giả sử intC 6= ∅. Giả sử xo ∈ A. Ta sẽ chứng minh xo ∈ A . Thật vậy: Dùng phương pháp phản chứng ta lấy xn ∈ A và xn −→ xo nhưng xo ∈/ A. Do đó F(xo)∩intC 6=∅. Tức là tồn tại yo ∈ F(xo) và lân cận V của 0 trong Y để
yo+V ⊂intC.
VìF là C- liên tục dưới tại xo nên tồn tại lân cận U của xo ∈X sao cho
F(xo)⊂F(x) +V −C với mọi x∈U ∩D
Do yo ∈F(xo) nên yo∈F(x) +V −C với mọi x∈U ∩D
⇒ 0∈ F(x)−yo+V −C ⊂ F(x)−intC −C ⊂ F(x)−intC ⇒ F(x)∩intC 6= ∅ với mọi x∈U ∩D.
Vì xn −→ xo nên với n đủ lớn thì xn ∈U ∩D hay F(xn)∩intC 6=∅. Do đó xn ∈/ A
(mâu thuẫn). Điều này chứng tỏ xo ∈A Vậy A={x ∈D |F(x)∩intC =∅} là tập đóng.
Nhận xét 2.2.1. Cho C,Ce là hai nón đóng trong Y và C ∈Ce. Khi đó:
i) Nếu F là C-liên tục trên( C- liên tục dưới ) thì nó cũng là Ce- liên tục trên( Ce - liên tục dưới ).
ii) Nếu F là (-C)-liên tục trên((-C)-liên tục dưới) thì nó cũng là (-Ce)- liên tục trên((- Ce)- liên tục dưới).
iii) Nếu F là C-lồi trên(C -lồi dưới) thì F cũng là Ce- lồi trên(Ce- lồi dưới).