2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị
2.3.3Sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm yên ngựa
Trong phần này, ta xét các bài toán điểm yên ngựa liên quan tới các hàm vectơ. Trước hết ta nhắc lại định nghĩa điểm yên ngựa của hàm vectơ.
Cho X1, X2 và Y là các không gian Hausdorff lồi địa phương, Di ∈Xi, i= 1,2và
T :D1×D2 −→Y .
Điểm x= (x1, x2) được gọi là điểm yên ngựa yếu của T đối với nón C nếu
T(y1, x2)−T(x1, y2)∈ −/ intC
với mọi (y1, y2)∈D1×D2
Điểm x= (x1, x2) được gọi là điểm yên ngựa Pareto của T đối với nón C nếu
T(y1, x2)−T(x1, y2)∈/ (C\ {0}) với mọi (y1, y2)∈D1×D2
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện tồn tại điểm yên ngựa yếu, điểm yên ngựa Pareto của hàm vectơ trong các không gian khác nhau
Mệnh đề 2.3.6([1, Mệnh đề 3.3.6]) Cho X1, X2 là hai không gian Hausdorff lồi địa phương , Di ⊂ Xi, i = 1,2 là các tập lồi, đóng, khác rỗng, Y là không gian Banach, C ⊂Y là nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C0 là nón đa diện nhọn. Giả sử
1) T là C- lồi và C- liên tục theo biến thứ nhất 2) T là C- lõm và (-C)- liên tục theo biến thứ hai
3) Tồn tại các tập lồi, khác rỗng và compắc yếu Ki⊆Di, i= 1,2 sao cho với mọi điểm
(x1, x2)∈K\coreDK(K :=K1×K2, D :=D1×D2)
ta có thể tìm được một điểm (a1, a2)∈coreDK sao cho
T(x1, a2)−T(a1, x2)∈C
Khi đó tồn tại (x1, x2)∈D1×D2 để
T(y1, x2)−T(x1, y2)∈ −/ intC với mọi (y1, y2)∈D1×D2
Hơn nữa, nếuC thỏa mãn điều kiện (*), thì tồn tại (x1, x2)∈D1×D2 sao cho
T(y1, x2)−T(x1, y2)∈ −/ (C\{0}) Chứng minh. Đặt X =X1×X2. Ta định nghĩa các hàm G, H :D×D−→Y xác định như sau: G(x, y) = T(y1, x2)−T(x1, y2) H(x, y) = 0 với mọi x= (x1, x2), y = (y1, y2)∈D.
Do T là C- lồi và C- liên tục theo biến thứ nhất nên G(x, .) là C- lồi và C- liên tục yếu. Ta thấy G, H thỏa mãn các giả thiết của định lý (2.2.1.) với X được trang bị bởi tôpô yếu. Theo định lý (2.2.1.) tồn tại (x1, x2)∈D1×D2 sao cho
G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi (y1, y2)∈D1×D2
Do đó
T(y1, x2)−T(x1, y2)∈ −/ intC với mọi (y1, y2)∈D1×D2
Vậy (x1, x2) là điểm yên ngựa yếu của T đối với C.
Áp dụng định lý (2.2.1.) vớiC thỏa mãn điều kiện (*), thì(x1, x2)là điểm yên ngựa Pareto củaT đối với C.
Mệnh đề 2.3.7([1, Mệnh đề 3.3.7]) Cho X1, X2, Y là các không gian định chuẩn,
Di ⊂Xi,
i= 1,2 là các tập lồi, khác rỗng, compắc địa phương và C là nón lồi, đóng, nhọn trong Y. Giả sử T :D1×D2−→Y có các tính chất sau:
2) T là C- lõm, (-C)- liên tục theo biến thứ hai
3) Giả sử tồn tại a= (a1, a2)∈D =D1×D2 để với mọi dãy xn = (x1n, x2n) ⊆ D
mà lim (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n∞kxn k= +∞ một trong các điều kiện sau đúng: i) Tồn tại no >0 sao cho
T(x1no, a2)−T(a1, x2no)∈C
ii) Tồn tại no >0 và y = (y1, y2)∈D với ky−a k<kxno −a k sao cho
T(x1no, y2)−T(y1, x2no)∈C
iii) Tồn tại no >0 và y = (y1, y2)∈D sao cho
T(x1no, y2)−T(y1, x2no)∈C với mọi n≥no
Khi đó tồn tại điểm yên ngựa yếu của T đối với nón C. Đặc biệt nếu C thỏa mãn điều kiện (*) thì tồn tại điểm yên ngựa Pareto của T đối với nón C.
Chứng minh.LấyX =X1×X2. Định nghĩa các hàm G, H :D×D−→Y xác định như sau
G(x, y) = T(y1, x2)−T(x1, y2)
H(x, y) = 0
với mọi x= (x1, x2), y = (y1, y2)∈D.
Từ giả thiết ta thấy G, H thỏa mãn các điều kiện của định lý (2.2.2). Khi đó áp dụng định lý (2.2.2) ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.3.8.([1]) Cho X1, X2 là các không gian Banach phản xạ , Di là các tập lồi, đóng, khác rỗng trong Xi với i = 1,2, Y là không gian Banach, C ⊂ Y là nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C0 là nón lồi đa diện, nhọn. Lấy T :D1×D2 −→Y
thỏa mãn các giả thiết (1) , (2) và một trong các giả thiết (i) , (ii) ,(iii) của mệnh đề (2.3.7.)
Khi đó tồn tại điểm yên ngựa yếu của T đối với nón C. Đặc biệt nếu C thỏa mãn điều kiện (*) thì tồn tại điểm yên ngựa Pareto của T đối với nón C.
Chứng minh. Lấy X, G, H như trong mệnh đề (2.3.7) và áp dụng hệ quả (2.2.2) ta sẽ thu được điều cần phải chứng minh.