2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị
2.3.2Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu véctơ
Cho f :D−→Y .Xét bài toán tối ưu vectơ
min x∈Df(x)
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán.
Mệnh đề 2.3.3([5, tr.308]) Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng. Y là không gian Banach , C ⊂ Y là nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C0 là nón đa diện, nhọn. Cho f :D −→ Y là ánh xạ đơn trị, C- lồi, C- liên tục. Giả sử rằng tồn tại một tập lồi, khác rỗng, compắc yếu K, K ⊂D, sao cho với mọi x∈K\coreDK ta có thể tìm được a ∈coreDK để
f(x)∈f(a) +C
Khi đó tồn tại điểm x∈D sao cho f(x)∈W M in(f(D)C)
Hơn nữa, nếuC thỏa mãn điều kiện (*), thì tồn tại x∈D sao cho
f(x)∈M in(f(D)C).
G(x, y) =f(y)−f(x) với mọi x, y ∈D.
Theo giả thiết f là C- lồi và C- liên tục nên với x cố định, x ∈ D thì G(x, .) là C- lồi và C- liên tục. Mặt khác G(x, y) +C là lồi với mọi y ∈ D. Áp dụng định lý (1.4.3.) thì G(x, .) là C-liên tục yếu. Lấy H(x, y) = 0 với mọi x, y ∈D. Do đó xem xét tôpô yếu trong X thì G, H thỏa mãn các giả thiết của định lý (2.2.1.). Theo định lý (2.2.1.) tồn tại x∈D sao cho
G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈D
Thay H(x, y) = 0 ta được f(y)−f(x)*−intC với mọi y∈D
. Tức là
f(x)∈W M in(f(D)C)
Hơn nữa, nếuC thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng định lý (2.2.1.) thì tồn tại x∈D
sao cho
f(y)−f(x)*−(C\{0}) với mọi y ∈D
hay
f(x)∈M in(f(D)C).
Mệnh đề 2.3.4([5, tr.309]) Cho X, Y là các không gian định chuẩn, D là tập lồi, khác rỗng, compắc địa phương trong X, C ⊂ Y là nón nhọn, lồi, đóng. Cho
f :D −→Y là ánh xạ đơn trị, C- lồi, C- liên tục. Giả sử rằng tồn tại điểm a ∈ D
sao cho với mọi dãy {xn} ⊂ D mà lim
n∞ k xn k= +∞ một trong các điều kiện sau thỏa mãn
1) Tồn tại no >0 sao cho
f(xno)∈f(a) +C
2) Tồn tại no >0 và y ∈D với ky−ak<kxno −ak sao cho
f(xno)∈f(y) +C
3) Tồn tại no >0 và y ∈D sao cho f(xno)∈f(y) +C với mọi n≥no
Khi đó tồn tại điểm x∈D để f(x)∈W M in(f(D)C).
Chứng minh. Xét ánh xạ G: D×D −→Y cho bởi G(x, y) = f(y)−f(x) với mọi
x, y ∈D (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Áp dụng định lý (2.2.2) với G xác định như trên vàH(x, y) = 0 với mọi x, y ∈D ta thấy tồn tại x∈D sao cho
G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈D
f(y)−f(x)*−intC với mọi y∈D
Hay f(x)∈W M in(f(D)).
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ G:D×D−→Y cho bởi
G(x, y) =f(y)−f(x) với mọi x, y ∈D
Theo giả thiếtf làC- lồi và C- liên tục nên vớix cố định,x∈D thìG(x, .)là C- lồi và C- liên tục. Mặt khác G(x, y) +C là lồi với mọi y∈D. Áp dụng định lý (1.4.3.) thì G(x, .) là C-liên tục yếu. Lấy H(x, y) = 0 với mọi x, y ∈ D. Do đó với X được trang bị bởi tôpô yếu thì G, H thỏa mãn các giả thiết của định lý (2.2.2.). Theo định lý (2.2.2.) tồn tại x∈D sao cho
G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈D
Tức là f(y)−f(x)*−intC với mọi y∈D. Vậy W M in(f(D)C)6=∅
Nếu C thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng định lý (2.2.1.) ta được
M in(f(D)C)6=∅.