Sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị

2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị

2.2.2Sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị

Ta sẽ trình bày điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng đa trị trong trường hợp F =G+H trong đó G là ánh xạ đa trị và H là ánh xạ đơn trị. Với X, Y là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, D⊂X là tập con, lồi, đóng, khác rỗng. C là nón lồi, đóng trong Y.

Xét ánh xạ đa trị F :D×D−→2Y, F(x, y)6= 0 với mọi x, y ∈D. Trước hết ta trình bày 3 bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.1.([5], tr.303) Cho G:D×D−→2Y và H :D×D−→Y là các ánh xạ thỏa mãn những điều kiện

A1) 0∈G(x, x) với mọi x∈D

A2) G là ánh xạ đơn điệu và G(x, y) là compắc với mọi x, y ∈D

A3) Với x, y ∈D cố định, ánh xạ g : [0,1]−→2Y được định nghĩa bởi

g(t) = G(ty+ (1−t)x, y) là (-C)-liên tục trên tại t= 0

A4) Với x∈D cố định, ánh xạ G(x, .) :D−→2Y là C-lồi và C-liên tục dưới trên D

A5) H(x, x) = 0 với mọi x∈D

A6) Cố định y∈D, ánh xạ H(., y) :D−→Y là (-C)- liên tục trên D

A7) Với x∈D cố định, ánh xạ H(x, .) là C- lồi

A8) Tồn tại một tập compắc, lồi, khác rỗng K ⊆ D, với x ∈ coreDK tồn tại

a∈coreDK sao cho

G(x, a) +H(x, a)⊂(−C)

Khi đó tồn tại điểm x∈D sao cho

(G(y, x)−H(x, y))∩intC =∅ với mọi y∈K Chứng minh. Với y∈K đặt

S(y) ={x∈D|(G(y, x)−H(x, y))∩intC =∅}

Doy ∈S(y) nênS(y)6=∅ với mọiy∈D. Do G(y, .)−H(., y) là C- liên tục dưới trên D nên theo mệnh đề(2.2.2.) thìS(y) là tập đóng trong X. Giả sử {yi|i∈I} là tập

con hữu hạn của K và I ⊂N là tập các chỉ số hữu hạn bất kỳ, I ={1,2, ..., n}. Lấy z∈conv{yi|i∈I} thì ta có z = n X i=1 λiyi với λi≥0, i∈I, n X i=1 λi = 1 Ta sẽ chứng minh z ∈ n S i=1 S(yi). Thật vậy giả sử z /∈[ i∈I S(yi) Khi đó

(G(yi, z)−H(z, yi))∩intC 6=∅ với mọi i∈I

Do đó

X

i∈I

λi(G(yi, z)−H(z, yi))∩intC 6=∅ (2.13) Từ giả thiết A2) và A4) ta có

X i∈I λiG(yi, z) =X i∈I λiG(yi,X j∈I λjyj)⊂ X i,j∈I λiλj(G(yi, yj)−C) = 1 2 X i,j∈I λiλj(G(yi, yj) +G(yj, yi))−C⊂(−C) Vậy X i∈I λiG(yi, z)⊂(−C) (2.14)

Từ giả thiết A5) và A7) ta có

0 =H(z, z) =H(z,X i∈I λiyi)∈X i∈I λiH(z, yi)−C Do đó −X i∈I λiH(z, yi)∈(−C) (2.15) Từ (2.14) và (2.15) suy ra X i∈I λi(G(yi, z)−H(z, yi))⊂(−C) Kết hợp với (2.13) ta được C∩intC 6=∅

Vì vậy mâu thuẫn với C là nón nhọn. Do đó

z ∈ n

[

i=1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Vìz là điểm bất kỳ thuộc conv{yi|i∈I} nên conv{yi |i∈I} ⊆[S(yi) Áp dụng bổ đề KKM ta suy ra n \ i=1 S(yi)6=∅

tức là giao của một họ con hữu hạn bất kỳ của họ {S(y)}y∈K là khác rỗng. Các tập S(y) là đóng và được chứa trong tập compắc K. Do đó ta khẳng định giao của các tập này cũng khác rỗng hay \ y∈K S(y)6=∅ Xét x∈ T y∈K S(y) thì ta sẽ có

(G(y, x)−H(x, y))∩intC =∅ với mọi y∈D

Bổ đề đã được chứng minh.

Bồ đề 2.2.2.([5, tr.304]) Cho D, K, G, H thỏa mãn giả thiết của bổ đề (2.2.1.). Khi đó i)⇒ii) với

i) x∈K,(G(y, x)−H(x, y))∩intC =∅ với mọi y∈K.

ii) x∈K, G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈K.

Chứng minh. Giả sử x∈K cố định sao cho

(G(y, x)−H(x, y))∩intC =∅ với mọi y∈K

Với y ∈K cố định, đặt

xt =ty+ (1−t)x, t∈[0,1]

Suy ra xt ∈K với mọi t∈[0,1]. Do đó

(G(xt, x)−H(x, xt))∩intC =∅ (2.16) Từ giả thiết A4) ta suy ra

0∈G(xt, xt)⊂(1−t)G(xt, x) +tG(xt, y)−C

hay

0∈(1−t)[G(xt, x)−H(x, xt)] + (1−t)H(x, xt) +tG(xt, y)−C

VìH(x, .) là C- lồi nên

⇒0∈(1−t)(G(xt, x)−H(x, xt)) +t(1−t)H(x, y) +tG(xt, y)−C

Nếu

t(1−t)H(x, y) +tG(xt, y)⊆ −intC với t∈[0,1]

thì

(G(xt, x)−H(x, xt))∩intC 6=∅

Ta có mâu thuẫn với (2.16). Do đó

t(1−t)H(x, y) +tG(xt, y)*−intC với t6=∅

Ta sẽ chứng minh (2.16) cũng đúng vớit = 0. Thật vây: Xét ánh xạ F : [0,1]−→2Y

cho bởi

F(t) = (1−t)H(x, y) +G(xt, y) với t∈[0,1]

Theo giả thiết A3) ta có F là (-C) liên tục trên tại t= 0. Giả sử F(0)⊂ −intC. Do

F(0) =H(x, y) +G(x, y) là tập compắc nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y để

F(0) +V ⊂ −intC (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

VìF là (-C)- liên tục trên tại t= 0 nên suy ra tồn tại lân cận (−δ, δ) với δ >0 của

0 trong R để

F(t)⊂F(0) +V −C với mọi t∈(−δ, δ)∩[0,1]

Do đó

F(t)⊂ −intC −C =−intC với mọi t ∈(−δ, δ)∩[0,1]

hay

(1−t)H(x, y) +G(xt, y)⊆ −intC

Như vậy mâu thuẫn với (2.16).

Do đó F(0) * −intC và H(x, y) +G(x, y) * −intC với mọi y ∈ K. Bổ đề đã được chứng minh.

Bổ đề 2.2.3.([5, tr.305]) Nếu φ:D−→2Y là C- lồi dưới và có các tính chất 1) Tồn tại xo∈coreDK sao cho φ(xo)⊆ −C.

2) φ(y)*−intC với mọi y∈K.

thì

φ(y)* −intC với mọi y∈D

Chứng minh. Theo giả thiết φ(y) * −intC với mọi y ∈ K nên ta chỉ cần chứng minh φ(y)*−intC với mọi y∈D\K.

Dùng phương pháp phản chứng giả sử ngược lại tồn tại y∈D\K sao cho

φ(y)⊆ −intC. Lấy z ∈(xo, y], z =αxo+ (1−α)y với α∈[0,1) thì

φ(z) = φ(αxo+ (1−α)y)⊆αφ(x0) + (1−α)φ(y)−C ⊆ −C−intC−C =−intC

Do đó

φ(z)⊆ −intC với mọi z ∈(xo, y]

Khi xo ∈ coreDK thì tồn tại zo ∈(xo, y]∩K. Vì zo ∈ (xo, y] nên φ(zo)⊆ −intC. Do

zo∈K nên φ(zo)*−intC. Do đó ta có mâu thuẫn. Vậy bổ đề được chứng minh.

Định lý sau đây trình bày điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng đa trị.

Định lý 2.2.1.([5]) Cho D, K, G và H thỏa mãn các giả thiết từ A1) đến A8) của bổ đề (2.2.1). Khi đó tồn tại x∈D sao cho

G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈D

Điểm x là nghiệm của bài toán (WEP,C).

Hơn nữa, nếu nón C thỏa mãn điều kiện (*) thì tồn tại x∈K sao cho

G(x, y) +H(x, y))*−(C\{0}) với mọi y∈D

Điểm x là nghiệm của bài toán (PEP,C).

Chứng minh. Ta chứng minh định lý (2.2.1.) dựa trên 3 bổ đề (2.2.1), (2.2.2), (2.2.3).

Theo bổ đề (2.2.1.) Tồn tại điểm x∈K sao cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

(G(y, x)−H(x, y))∩intC =∅ với mọi y∈K

Áp dụng bổ đề (2.2.2.) thì

G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈K (2.17)

Xét ánh xạ đa trị φ:D−→2Y cho bởi

φ(y) = G(x, y) +H(x, y) với mọi y ∈D

Giả thiết A4) và A7) chứng tỏ φ là C- lồi. Từ (2.17) chứng tỏ rằng

φ(y)*−intC với mọi y ∈K

Nếu x /∈coreDK ta đặt x0=x thì xo=a (với a thỏa mãn giả thiết A8)). Suy ra

Nếu x∈coreDK , ta lấy xo =x thì

φ(xo) = G(x, x)⊂ −C

Do đó trong mọi trường hợp ta luôn tìm được xo ∈ coreDK để φ(xo) ⊂ −C. Áp dụng bổ đề (2.2.3.) ta có

φ(y)* −intC với mọi y∈D

Như vậy tồn tại x∈D sao cho

G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈D

Hơn nữa, nếu nón C thỏa mãn điều kiện (*) tức là tồn tại nón Ce lồi , đóng, nhọn sao cho C\{0} ⊂ intC. Từ nhận xét (2.2.1.) ta thấy nếu thay C bởi Ce thì các giả thiết của định lý (2.2.1.) vẫn thỏa mãn. Do đó theo định lý tồn tại x∈K sao cho

G(x, y) +H(x, y))*−intCe với mọi y∈D

Như vậy

G(x, y) +H(x, y))*−(C\{0}) với mọi y∈D

Vậy định lý được chứng minh.

Từ định lý (2.2.1.) và ba bổ đề trên ta có các nhận xét sau:

Nhận xét 2.2.2. i) Trong giả thiết A8) nếu D là tập compắc thì K =D. Suy ra

K\coreDK =∅. Khi đó giả thiết A8) được thỏa mãn

ii) Trong bổ đề (2.2.1.) ta đã chứng minh tồn tại x∈K sao cho

(G(y, x)−H(x, y))∩intC =∅ với mọi y∈D

Để có điều này ta đã sử dụng tính C- liên tục dưới của ánh xạ G(x, .), x ∈ D và giả thiết về tính −C- liên tục của H(., y), y ∈D. Do đó nếu thay hai giả thiết trên bằng giả thiết tập

S(y) ={x∈K |(G(y, x)−H(x, y))∩intC =∅} với mọi y∈D

là tập đóng trong X. Các giả thiết còn lại vẫn giữ nguyên. Khi đó kết luận của định lý (2.2.1.) vẫn đúng.

iii) Định lý về sự tồn tại điểm cân bằng của bài toán cân bằng vô hướng của Blum và Oettli là trường hợp riêng của định lý (2.2.1.) vớiY =R, C =R+, G, H :D×D−→R

là các hàm đơn trị.

nghiệm của bài toán cân bằng đơn trị dạng F =G+H. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Tương tự như bài toán cân bằng vô hướng ta thấy yêu cầu về tính bức trong giả thiết A8) của định lý (2.2.1.) là tương đối nặng. Dựa vào tính compắc địa phương của tậpDvà tôpô yếu trong không gian Banach phản xạX, chúng ta giảm nhẹ tính bức thay thế bằng giả thiết nhẹ hơn. Trong mục này, kí hiệuk.klà chuẩn trong X.

Định lý 2.2.2.([1, Định lý 3.2.9, tr.136]) Cho X là không gian định chuẩn. Y là không gian tôpô Hausdorff lồi địa phương, D là tập compắc lồi địa phương,C ⊂Y

là nón điểm lồi, đóng trong Y. Lấy G : D×D −→ 2Y và H : D×D −→ Y là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện từ A1) đến A7) trong định lý (2.2.1). Điều kiện A8) được thay thế bởi điều kiện

A8’) Tồn tạia∈D sao cho với mọi dãy {xn} ⊂D mà lim

n→+∞kxn k= +∞ một trong các điều kiện sau thỏa mãn

H1) Tồn tại no >0 để G(xno, a) +H(xno, a)⊆(−C) H2) Tồn tại no >0 và y ∈D với ky−ak<kxno −ak để G(xno, y) +H(xno, y)⊆(−C) H3) Tồn tại no >0 và y ∈D để G(y, xn)−H(xn, y)⊆C với mọi n≥no . Khi đó tồn tại x∈D để

G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈D

Chứng minh. Đặt

Dn ={x∈D|kx−ak≤n}, n = 1,2, ..

Khi đó Dn là những tập lồi, compắc, khác rỗng trong X. Áp dụng định lý (2.2.1.) với D = Dn và sử dụng tôpô yếu trong X ta kết luận tồn tại xn ∈ Dn, n = 1,2, ...

sao cho

G(xn, y) +H(xn, y)*−intC với mọi y∈Dn (2.18) Nếu tồn tạin sao cho kxn−a k< n thì xn ∈coreDDn. Xét ánh xạ F :D−→2Y xác định như sau

Khi đó F là C-lồi dưới và

F(xn) = G(xn, x) +H(xn, x)⊂ −C

Theo (2.18) ta có F(x)*−intC với mọi x∈Dn. Áp dụng bổ đề (2.2.3.) ta được

F(x)*−intC với mọi x∈D

Suy ra xn là nghiệm của bài toán (WEP,C). Vậy ta chỉ cần xét trường hợp

kxn −a k=n.Ta lần lượt xét các điều kiện H1) - H3)

Giả sử H1) đúng. Ta chứng tỏ xno là nghiệm của bài toán (WEP,C). Thật vậy: Giả sử x∈D\Dn bất kỳ , tồn tại một số dương t∈(0,1] sao cho

z =ta+ (1−t)x∈Dno

Do đó

G(xno, ta+(1−t)x)+H(xno, ta+(1−t)x)⊆t[G(xno, a)+H(xno, a)]+(1−t)[Gxno, x)+H(xno, x)]−C

Theo giả thiết G(xno, a) +H(xno, a)⊆ −C nên

G(xno, ta+ (1−t)x) +H(xno, ta+ (1−t)x)⊆(1−t)[G(xno, x) +H(xno, x)]−C

Giả sử G(xno, x) +H(xno, x)⊆ −intC. Khi đó

G(xno, ta+ (1−t)x) +H(xno, ta+ (1−t)x)⊆ −intC

Điều này mâu thuẫn với giả thiết xno là nghiệm của bài toán (WEP,C) trên Dno. Vậy

G(xno, x) +H(xno, x)* −intC với mọi x∈D\Dno

Dễ thấy xno là nghiệm của bài toán trên Dno. Do đó

G(xno, x) +H(xno, x)*−intC với mọi x∈D (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Như vậy xno là nghiệm của bài toán (WEP, C).

Tiếp theo giả sử điều kiện H2) đúng thì tồn tại no>0 và y∈D với

ky−ak<kxno −ak sao cho

G(xno, x) +H(xno, x)⊆ −C (2.20) Vì ky−ak<kxno −ak< no nên y ∈coreDDno. Xét hàm F như trong (2.19). Theo (2.20) thì F(y)⊆ −C với mọi y∈D và F(x)*−intC với mọi x∈Dno. Theo bổ đề (2.2.3.) thì ta có

F(x)*−intC với mọi x∈D

Hay

Vậy xno là nghiệm của bài toán (WEP, C) trên D

Giả sử điều kiện H3) đúng thì ta sẽ chứng minh điều kiện H2) cũng đúng. Do H3) đúng nên tồn tại no>0 và y∈D sao cho

G(y, xn) +H(xn, y)⊆C với mọi n≥no

VìG đơn điệu nên

G(xn, y) +G(y, xn)⊆ −C

Khi đó

G(xn, y) +H(xn, y)⊆H(xn, y)−C−G(y, xn)⊆ −C

Mà với n là số đủ lớn thì ky−ak<kxn−ak. Do đó điều kiện H2) đúng. Vậy định lý được chứng minh.

Với X là không gian Banach phản xạ, ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 2.2.1. ([1]) Cho X là không gian Banach phản xạ, Y là không gian tôpô Hausdorff lồi địa phương, D ⊂ X là tập hợp lồi, đóng, khác rỗng, C là nón điểm lồi, đóng trongY. Cho G, H là các ánh xạ thỏa mãn các giả thiết từ A1) đến A7) trong định lý (2.2.1.) với tính C- liên tục dưới của G(x, .) trong giả thiết A4) và

−C- liên tục trên của H(., y) trong giả thiết A6) thay thế bởi tính C- liên tục dưới yếu củaG(x, .)và -C- liên tục yếu củaH(., y). Và điều kiện A8’) của định lý (2.2.2.) được giữ nguyên. Khi đó tồn tại x∈D sao cho

G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈D

Chứng minh.VớiX được trang bị bởi tô yếu thì mọi điều kiện của định lý (2.2.2.) được thỏa mãn.Vậy theo định lý tồn tại x∈D sao cho

G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈D

Hệ quả 2.2.2.([1]) Cho X là không gian Banach phản xạ, D⊂X là tập lồi, đóng,

Y là không gian Banach, C là nón lồi, đóng, nhọn trong Y với nón cực C0 là nón đa diện nhọn Cho G, H là các ánh xạ thỏa mãn các giả thiết từ A1) đến A7) trong định lý (2.2.1.) với tínhC- liên tục dưới của G(x, .) trong giả thiết A4) và−C- liên tục trên của H(., y) trong giả thiết A6) thay thế bởi tính C- liên tục dưới yếu của

G(x, .) và -C- liên tục yếu của H(., y). Giả thiết G(x, y)−C là lồi với mọi x, y ∈ D

và điều kiện A8’) của định lý được giữ nguyên. Khi đó tồn tại x∈D sao cho

G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y ∈D.

Chứng minh. Vì G(x, .) là C -lồi dưới và C- liên tục dưới trên D nên theo định lý (1.4.3.) ta có G(x, .) là C -liên tục dưới yếu trên D. Như vậy với X được trang

bị bởi tôpô yếu thì mọi điều kiện của hệ quả (2.2.2.) được thỏa mãn. Vậy luôn tồn tại x∈D để

G(x, y) +H(x, y)*−intC với mọi y∈D

2.3 Ứng dụng của bài toán cân bằng đa trị vào một số bài toán Ta trình bày một số ứng dụng của định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng yếu (WEP,C) và bài toán cân bằng Pareto (PEP,C). KhiG là ánh xạ đơn trị ta áp dụng các định lý (2.2.1.) và (2.2.2.) và hệ quả (2.2.1.) , (2.2.2.) sẽ thu được một số kết quả về nghiệm của bài toán tối ưu vectơ, về sự tồn tại các điểm hữu hiệu của một tập hợp, nghiệm của bài toán điểm yên ngựa, điểm cân bằng Nash.