Tính đơn điệu hàm số

Tính đơn điệu hàm số tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế...

Trang 1

http://www.maths.vn

ÔN TẬP ĐẠO HÀM

1

)

a Cho hàm số y =x +cos2x ; tìm nghiệm x ∈( )1;5 của phương trình y' = 0

)

b Cho hàm số y = − +x x2 +8; giải bất phương trình y' <0

)

c Cho hàm số y =2x2 x −2; giải bất phương trình y' >21

)

d Cho hàm số y = sin2x +cosx ; tìm nghiệm x ∈ −( 1; 4)của phương trình y' = 0

2

)

a Cho hàm số y =2−sin2x −sin2(a +x)−2 cos cos cosa x (a +x )

1)

a Chứng tỏ rằng y' =0;∀ ∈ »x

2)

a Tìm a∈ 2;5 ) để y =s in2a

)

cos sin tan , ;

x

1)

= ∀ ∈ − 

4 4

2)

b Tìm  π π 

∈ − 

 4 4; 

x để y =cos4x −sin4x

QUAN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa :

Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng Hàm số f xác định trên K được gọi là

• Đồng biến trên K nếu với mọi x x1, 2 ∈K , x1 <x2 ⇒ f x( )1 < f x( )2

• Nghịch biến trên K nếu với mọi x x1, 2 ∈K , x1 <x2 ⇒ f x( )1 > f x( )2

2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f '( )x ≥ 0 với mọi x ∈I

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f '( )x ≤0 với mọi x ∈I

3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Định lý 1 : Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân (Định lý Lagrange):

Nếu hàm số f liên tục trên a b;  và có đạo hàm trên khoảng ( )a b thì tồn tại ít nhất một điểm ; c∈( )a b; sao cho f b( )−f a( ) = f '( )(c b−a)

Định lý 2 :

Trang 2

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại

mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) Khi đó :

• Nếu f '( )x > 0 với mọi x ∈I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

• Nếu f '( )x <0 với mọi x ∈I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

• Nếu f '( )x = 0 với mọi x ∈I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

Chú ý :

• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b và có đạo hàm f '( )x > 0 trên khoảng ( )a b thì hàm số f đồng biến ; trên a b; 

• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b và có đạo hàm f '( )x <0 trên khoảng ( )a b thì hàm số f nghịch ; biến trên a b; 

Ví dụ 1:

Xét chiều biến thiên của các hàm số :

( ) 1 3 2

3

( ) 2 2

)

1

b f x

x

−

=

−

c f x =x + x + x + ( ) 1 3 1 2

Giải :

( ) 1 3 2

3

Hàm số đã cho xác định trên »

Ta có ( ) 2

f x =x − x +

( )

Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau :

x −∞ 2 4 +∞

( )

'

f x + 0 − 0 +

( )

f x +∞

−∞

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;2)và (4; +∞ , nghịch biến trên khoảng ) (2; 4 )

( ) 2 2

)

1

b f x

x

−

=

− Hàm số đã cho xác định trên tập hợp »\ 1{ }

Ta có ( )

2 2

x

Trang 3

x −∞ 1 +∞

( )

'

f x + +

+∞ +∞

( )

f x

−∞ −∞

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1)và (1; +∞ )

c f x =x + x + x +

( )

f x = ⇔x = − và f'( )x > 0 với mọi x ≠ − 1

Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ −  và ; 1 − +∞ 1; )nên hàm số đồng biến trên »

Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số :

x −∞ 1− +∞

( )

'

f x + 0 +

( )

f x +∞

1

−∞

Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ −  và ; 1 − +∞ 1; )nên hàm số đồng biến trên »

( ) 1 3 1 2

d f x = x − x − x + Tương tự bài a )

Ví dụ 2:

Xét chiều biến thiên của các hàm số :

a f x = x + x +

b f x =x − x −

c f x = − x + x − x −

d f x = x −x

Giải :

a f x = x + x +

f x > x ∈ −∞ − +∞ ⇒ f x đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và (0; +∞ )

f x < x ∈ − ⇒ f x nghịch biến trên khoảng (−1; 0)

Ngoài ra : Học sinh có thể giải f'( )x = 0, tìm ra hai nghiệm x = −1,x =0, kẻ bảng biến thiên rồi kết luận

Trang 4

( ) 4 2

b f x =x − x −

Giải :

f x > x ∈ − +∞ ⇒ f x đồng biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞ )

f x < x ∈ −∞ − ⇒ f x nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1)và ( )0;1

Ngoài ra : Học sinh có thể giải f'( )x = 0, tìm ra hai nghiệm x = −1,x =0,x =1, kẻ bảng biến thiên rồi kết luận

c f x = − x + x − x −

f x = − x + x − = − x −

2

f x = ⇔x = và f'( )x < 0 với mọi 3

2

x ≠

Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng 3

; 2

 

−∞

 

 và

3

; 2

  +∞



 nên hàm số nghịch biến trên »

d f x = x −x

Hàm số đã cho xác định trên 0;2

2

1

2

x

−

f x > x ∈ ⇒ f x đồng biến trên khoảng ( )0;1

f x < x ∈ ⇒ f x nghịch biến trên khoảng ( )1;2

Hoặc có thể trình bày :

f x > x ∈ ⇒ f x đồng biến trên đoạn 0;1

f x < x ∈ ⇒ f x nghịch biến trên đoạn 1;2

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số ( ) 2

4

f x = −x nghịch biến trên đoạn 0;2 Giải :

Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;2 và có đạo hàm ( )

2

4

x

f x

x

−

với mọi (0;2)

x ∈ Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn 0;2

Trang 5

Ví dụ 4:

1 Chứng minh rằng hàm số ( ) 3

f x =x +x − x − đồng biến trên »

2 Chứng minh rằng hàm số f x( ) =cos 2x −2x +3 nghịch biến trên »

Giải :

1 Hàm số đã cho xác định trên »

Vì 3x2 ≥ 0,x ∈» 1+sinx ≥ 0,x ∈» nên f'( )x ≥0,x ∈ » Do đó hàm số đồng biến trên »

Ta có f '( )x = −2 sin 2( x +1)≤ 0,∀ ∈ » và x '( ) 0 sin 2 1 ,

4

f x = ⇔ x = − ⇔x = −π +kπ k ∈ »

Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn ; ( 1) ,

»

Ví dụ 5: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f x( )= sinx trên khoảng (0;2π )

Giải :

Hàm số đã cho xác định trên khoảng (0;2π ) và có đạo hàm f'( )x = cos ,x x∈(0;2π )

Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau :

x 0

2

π 3

2

π

2π ( )

'

f x + 0 − 0 +

( )

f x 1 0

0 1−

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 0;

2

π

 

 

 và

3

;2 2

π π

 , nghịch biến trên khoảng

3

;

2 2

π π

 

Ví dụ 6: Với giá trị nào của a hàm số sau đồng biến trên »

( ) 1 3 2

3

f x = x +ax + x +

( ) 1( 2 ) 3 ( ) 2

3

Giải:

Ta có ( ) 2

f x =x + ax +

Trang 6

Cách 1 : Hàm số f x đồng biến trên » khi và chỉ khi ( )

Cách 2 : ∆ =a2 −4

• Nếu a2 −4 <0 hay −2<a <2thì f'( )x >0với mọi x ∈ » Hàm số f x đồng biến trên » ( )

• Nếu a = thì 2 f '( ) (x = x +2)2 >0,x ≠ −2 Hàm số f x đồng biến trên » ( )

• Nếu a = − Hàm số 2 f x đồng biến trên » ( )

• Nếu a < − hoặc 2 a > thì 2 f '( )x =0có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Giả sử x1 <x2 Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x x1; 2),đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;x1)và (x +∞ Do đó 2; ) a < − hoặc 2 2

a > không thoả mãn yêu cầu bài toán

Vậy hàm số f x đồng biến trên » khi và chỉ khi 2( ) − ≤a ≤2

Hàm số f x đồng biến trên » khi và chỉ khi ( ) ⇔ f'( )x ≥0,∀ ∈x » ( )1

• Xét 2

a − = ⇔a = ±

4

( )

+ = − ⇒ = > ∀ ⇒ = − thoả mãn yêu cầu bài toán

• Xét 2

a − ≠ ⇔a ≠ ±

( )

2



Kết hợp các trường hợp , với a ≤ − ∨1 a ≥2thì đồ thị của hàm số đồng biến trên »

Ví dụ 7:

1 Với giá trị nào của m hàm số ( ) ( )

2

1

f x

x

=

+ đồng biến mỗi khoảng xác định

2 Với giá trị nào của m hàm số f x( ) mx 4

+

= + nghịch biến khoảng (−∞;1) Giải :

1 Hàm số đã cho xác định trên D = »\{ }−1

Trang 7

( )

2

Dấu của f'( )x là dấu của g x ( )

Hàm số f x đồng biến trên mỗi khoảng ( ) (−∞ −; 1) và (− +∞1; ) khi và chỉ khi g x( )≥ 0,∀x ≠ −1 1( )

• Xét m−1= 0 ⇔m =1⇒g x( )=1> 0,∀x ≠ − ⇒1 m =1 ( )a thoả mãn yêu cầu bài toán

• Xét m−1≠ 0 ⇔m ≠1

( )

m



Từ ( )a và ( )b suy ra 1≤m ≤2 thì thoả mãn yêu cầu bài toán

2 Hàm số đã cho xác định trên D = »\{ }−m

Ta có ( )

2

4

f x

−

=

+

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) khi và chỉ khi ( ) ( )

;1

f x x m

 < ∀ ∈ −∞





− ∉ −∞



2

;1

m

 − < − < < − < <



Vậy : với − <2 m ≤ −1 thì thoả yêu cầu bài toán

Ví dụ 7 : Với giá trị nào của m hàm số

y =x −mx − m − m+ x + m − m − đồng biến trên khoảng (2; +∞ ? )

2

y

=

− đồng biến trên khoảng (1; +∞ ? )

y =x + x + m+ x + m nghịch biến trên khoảng (−1;1)?

3

y = mx + m − x + m− x +m đồng biến trên khoảng (2; +∞ ? )

Giải :

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; +∞ khi và chỉ khi ) y' ≥ 0,∀ ∈x (2;+∞)

g x = x − mx − m − m+ trên nửa khoảngx ∈2;+∞) và g x'( )=6x −2m

Trang 8

Cách 1: Hàm số g x đồng biến trên khoảng ( ) (2; +∞ , cùng với tính liên tục của hàm số trên )  +∞2; ), ta

có hàm số g x đồng biến trên nửa khoảng( ) x ∈2;+∞).Do đó, với mọi x ∈(2;+∞), ta có

( ) ( )2

g x >g

Vậy trong trường hợp này , hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞ khi và chỉ khi )

2

Cách 2 : Thực tế cách giải này và cách giải 1 có cùng phương pháp , tuy nhiên trình bày có khác hơn ( )

3

m

3

m

≤ ⇔ ≤ , khi đó g x( )≥0,x ∈2;+∞)

2;

5

2



∈  +∞

3

m

> ⇔ > , khả năng này không thể xảy ra (vì sao ?)

2 Hàm số đã cho xác định trên \

2

m

=  

 

»

• Nếu m = 0, ta có

2

x

−

= ⇒ = > ∀ ≠ Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và 0;( +∞), do đó cũng đồng biến trên khoảng (1; +∞ )

Vậy m = 0 ( )a thoả mãn yêu cầu bài toán

• Nếu m ≠ 0, ta có

( )

g x

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ khi và chỉ khi )

( )

2

0

2

3

m

m m



 >

 >



Từ ( )a và ( )b suy ra 0≤m ≤1thì thoả mãn yêu cầu bài toán

Ta có : ( ) 2

f x = x + x +m+

Trang 9

Cách 1 :Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1;1) khi và chỉ khi f'( )x ≤0,∀ ∈ −x ( 1;1) hay

1;1

x

∈ −  

≤ − + + ∀ ∈ − ⇔ ≤ Xét hàm số

g x = − x + x + ∀ ∈ −x  ⇒g x = − x − < ∀ ∈ −x

( )1 2, ( )1 10

( )1 ⇔m ≤ −10

Cách 2 : f''( )x = 6x +6

Nghiệm của phương trình f''( )x = 0 là x = − < Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1 1 (−1;1) khi và chỉ khi ( ) 2

y =mx + m − x +m−

Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞ khi và chỉ khi )

2

x

+

2

x x x

x 2 +∞

( )

'

g x −

( )

g x 9

13

0

Từ bảng biến thiên , suy ra ( )2 9

13

Ví dụ 9 :

Tìm tất cả các tham số m để hàm số y =x3 +3x2 +mx +m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 Giải :

Ta có : y' =3x2 +6x +m có ∆'y' = 9−3m

• Nếu m ≥3 ⇔ ∆'g ≤0⇒y' ≥0,∀ ∈ » , khi đó hàm số luôn đồng biến trên » , do đó x m ≥ 3 không thoả yêu cầu bài toán

Trang 10

• Nếu m < 3 ⇔ ∆'g > 0, khi đó y =' 0có hai nghiệm phân biệt x x1, 2(x1 <x2) và hàm số nghịch biến trong đoạnx x1; 2 với độ dài

l =x −x

Theo Vi-ét, ta có : 1 2 2, 1 2

3

m

x +x = − x x = Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1⇔l =1

( 2 1)2 ( 1 2)2 1 2

Câu hỏi nhỏ : Tìm tất cả các tham số m để hàm số y =x3 +3x2 +mx +m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 Có hay không yêu cầu bài toán thoả :l =x2 −x1 ≥1?

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Chứng minh rằng hàm số ( ) 2

1

f x = −x nghịch biến trên đoạn 0;1

2 Chứng minh rằng hàm số ( ) 4 3 2

3

f x = x − x +x − đồng biến trên »

3 Xét chiều biến thiên của các hàm số:

b f x =x − x +x +

)

x

)

x

( ) 1 3 2

3

e f x = x − x + x −

)

5

f f x

x

=

−

g f x = x − x + ( ) 1

1

x

+

( )

j f x = x −x ( )

)

k f x =x + x ( )

)

l f x =x − x ( ) 22

)

9

x

=

−

4 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau :

2

)

2 1

)

3

)

1

a y

x

b y

x

c y

x

− +

=

+

1

2

4

5

7

5

Trang 11

)

2

x y

x

−

= + đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó )

b Hàm số

2

1

y

x

=

+ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

6 Chứng minh rằng :

)

a Hàm số = −

+

3

1 2

x y

x nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó )

+

2

y

x đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó )

c Hàm số y = − +x x2 +8 nghịch biến trên »

)

d Hàm số y =x +cos2x đồng biến trên »

7 Chứng minh rằng :

)

a Hàm số y = 2x −x nghịch biến trên đoạn 2 1;2 

)

b Hàm số y = x2 −9 đồng biến trên nửa khoảng  +∞3; )

)

c Hàm số = + 4

x nghịch biến trên mỗi nửa khoảng − 2; 0 và ) (0;2 

)

d Hàm số 2

1

x y

x

= + đồng biến trên khoảng (−1;1), nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và (1; +∞ )

8 Cho hàm số =y 2x2 x −2

)

a Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng  +∞2; )

)

b Chứng minh rằng phương trình 2x2 x −2 =11có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn :

)

−

= > ∀ ∈ +∞

−

5 8

2

x x

x

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  +∞2; ) )

b Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng  +∞2; ), do đó cũng liên tục trên đoạn 2; 3 , 

( )2 11 ( )3

y < <y nên theo định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực c∈(2; 3)sao cho y c( ) =11 Số thực c∈(2; 3)là 1 nghiệm của phương trình đã cho và vì hàm số đồng biến trên nửa khoảng  +∞2; )nên c∈(2; 3) là nghiệm duy nhất của phương trình

9 Cho hàm số =y sin2x +cosx

)

a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  π

 

0;3và nghịch biết trên đoạn

π π

 

 

3; 

)

b Chứng minh rằng với mọi m∈ −( 1;1), phương trình sin2x +cosx =m có nghiệm duy nhất thuộc

Trang 12

Hướng dẫn :

)

a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  π

 

0;3và nghịch biết trên đoạn

π π

 

 

3; 

Hàm số liên tục trên đoạn 0;π và y' =sinx(2 cosx −1 ,) x ∈(0;π)

Vì x ∈(0;π)⇒sinx > 0nên trong khoảng (0; ) : '( ) 0 cos 1

π = ⇔ = ⇔ = π

 

• > ∀ ∈ 

 

' 0, 0;

3

y x nên hàm số đồng biến trên đoạn  π

 

0;3

π π

 

• < ∀ ∈ 

 

' 0, ;

3

y x nên hàm số nghịch biến trên đoạn π π

 

3; 

)

b Chứng minh rằng với mọi m∈ −( 1;1), phương trình sin2x +cosx =m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;π

π

 

• ∈  

0;3

x ta có ( )≤ ≤ π  ⇔ ≤ ≤

 

5

y y y y nên phương trình cho không có nghiệm m∈ −( 1;1)

π

 

• ∈  

3; 

≤ ≤   ⇔ − ≤ ≤

 

5 1

y y y y Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số

liên tục với ∀ ∈ −( )⊂ − 

 

5 1;1 1;

4

∈ 

3; 

c sao cho y c( )= 0 Số c là nghiệm

của phương trình sin2x +cosx =m và vì hàm số nghịch biến trên đoạn π π

 

3; nên trên đoạn này ,

phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;π

10 Cho A(−1;1 ,) (B 2; 4)là hai điểm của parabol y =x Xác định điểm C thuộc parabol sao cho tiếp 2

tuyến tại C với parabol song song với đường thẳng AB

11 Với giá trị nào của a hàm số ( ) 3

f x = −x +ax nghịch biến trên »

12 Với giá trị nào của m , các hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?

1

m

x

− 2 ( )

)

1

b y

x

=

− Hướng dẫn :

• m ≤ 0 thì y' >0;∀x ≠1 Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1 và ) (1;+∞)

Trang 13

• m > 0 thì

2

1

m

và y' =0 ⇔x =1± m Lập bảng biến thiên ta

thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (1− m;1)và (1;1+ m ; do đó không thoả điều kiện )

Vậy :hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi m ≤0

Chú ý : Bài toán trên được mở rộng như sau

1)

a Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến (−∞ −; 1 )

2)

a Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến (2;+∞)

3)

a Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến trong khoảng có độ dài bằng 2

4)

a Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( )0;1 và ( )1;2

5)

a Gọi x1 <x2là hai nghiệm của phương trình (x −1)2 −m =0 Tìm m để :

5.1)

a x1 =2x2 a5.2)x1 <3x2 a5.3)x1 +3x2 <m +5 a5.4)x1 −5x2 ≥m−12

2

1

2

• ≤ ⇒ < ≠ , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;1) và 1;( +∞)

1

2

m

• > phương trình y =' 0có hai nghiệm x1 <1<x2 ⇒hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

(x1;1) và 1;( x2), trường hợp này không thỏa

13 Với giá trị nào của m , các hàm số nghịch biến trên »

1

3

a y = − x + x + m+ x − m +

Hướng dẫn :

3

• = −5

2

m thì y' = −(x −2)2 ≤ 0 với mọi ∈x », 'y = 0chỉ tại điểm x =2 Do đó hàm số nghịch biến trên »

• < −5 ∆ <

' 0 2

m hay thì y' < 0,∀ ∈ »x Do đó hàm số nghịch biến trên »

• > −5 ∆ >

' 0 2

m hay thì y' =0 có hai nghiệm x x1, 2 (x1 <x2) Hàm số đồng biến trên khoảng (x x1; 2) Trường hợp này không thỏa mãn

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	248,76 KB