Giải phuơng trình bằng tính đơn điệu hàm số

Đăng nhập Tìm kiếm Trang chủ Diễn đàn Thành viên Đăng ký Google Sự kiện Có mới? Diễn đàn Toán học → Toán Trung học Phổ thông Thi Đại học → Ôn thi Đại học Bình chọn 2.1 - Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, BPT, HPT Bắt đầu NosoZ, 16-09-2012 - 20:13 chuyên đề Trang / 2 ôn thi đh Please log in to reply SAU Chủ đề có 26 trả lời #1 NosoZ Binh Thành viên 24 Bài viết Giới tính: Nam Đã gửi 16-09-2012 - 20:13 Bài 5: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Việc giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương pháp như: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học, quen thuộc bạn chuẩn bị thi vào đại học Tuy nhiên đối mặt với toán dạng bạn nhiều lúng túng, chưa tìm lời giải xác định đường lối lại không đưa kết cuối cùng! Trong phạm vi giảng muốn bàn phương pháp để giải toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình, mà phương pháp nêu gặp khó khăn bế tắc! Đó "Ứng dụng tính đơn điệu hàm số" Tính chất 1: Giả sử hàm số f(x) liên tục đơn điệu tập D phương trình f(x) = có nhiều nghiệm thuộc D Tính chất 2: Nếu phương trình f ′ (x) = có nghiệm tập (a, b) phương trình f(x) = có nhiều hai nghiệm (a, b) Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục, đồng biến D g(x) liên tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) D phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm D Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục đơn điệu D với ∀u, v ∈ D ta có: f(u) = f(v) ⇔ u = v Tính chất 5: Nếu f(x) đơn điệu (a, b) x, y, z ∈ (a, b) nghiệm hệ phương trình: { f(x) = y f(y) = z ⇔ x = y = z f(z) = x Tính chất 6: f(x) đồng biến (a, b) f(u) < f(v) ⇔ u < v f(x) nghịch biến (a, b) f(u) < f(v) ⇔ u > v với u, v ∈ (a, b) Chỉ cần nắm định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến bạn dễ dàng suy tính chất 1, 2, 3, Riêng tính chất SGK không đề cập, sử dụng kết bạn phải chứng minh lại Tôi nói chi tiết đồng thời chứng minh tính chất Ví dụ 2.2 Vấn đề 2! Vấn đề Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình Ví dụ 1.1 Giải phương trình sau: a) √4x − + 4x2 − = √ b) 3x7 − √5 − 4x = − x3 Nhận định: Đối với câu 1, bạn nghĩ đến việc biến đổi tương đương bình phương, nhiên bạn gặp khó biến đổi Câu 2, phương pháp "truyền thống" không khả thi Nếu bạn chịu khó quan sát chuyển vế đơn giản vế trái hàm số đồng biến (trên tập đó) Lúc này, sử dụng tính đơn điệu để giải toán nảy đầu bạn Vấn đề lại đoán nghiệm! Công việc không khó, bạn thử số thời gian Hãy ưu tiên giá trị x cho biểu thức dấu nhận giá trị số phương! Lời giải a) Điều kiện: x converted by W eb2PDFConvert.com Phương trình cho \Leftrightarrow \sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} - = Xét hàm số f(x) = \sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1}- [\frac{1}{2}; + \infty) Ta thấy rằng: + Hàm số f(x) liên tục [\frac{1}{2}; + \infty) + Có đạo hàm f'(x) = \frac{2}{\sqrt {4x-1}}+ \frac{4x}{\sqrt {4x^2-1}}> với \forall x \in (\frac{1}{2}; + \infty) Do hàm f(x) đồng biến (\frac{1}{2}; + \infty) + f(\frac{1}{2}) = Kết luận: x = \frac{1}{2} nghiệm phương trình cho (Xem tính chất 1!) b) Điều kiện: x \leqslant \frac{5}{4} Phương trình cho \Leftrightarrow 3{x^7} + {x^3} - \sqrt {5 - 4x} = Xét hàm số f(x) = 3{x^7} + {x^3} - \sqrt {5 - 4x} = (- \infty ;\frac{5}{4}] Ta thấy rằng: + Hàm số f(x) liên tục (- \infty ;\frac{5}{4}] + Có đạo hàm f'(x) = 21{x^6} + 3{x^2} + \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} > với \forall x \in (- \infty ;\frac{5}{4}) Do hàm f(x) đồng biến (- \infty ;\frac{5}{4}) + f(1) = Kết luận: x = nghiệm phương trình cho Ví dụ 1.2 Giải phương trình: \root \of {x + 2}+\root \of {x+1}=\root \of {2x^2+1}+\root \of {2x^2} \quad Nhận định: Cũng với tư Ví dụ 1.1 khó khẳng định hàm số f(x) liên tục, đơn điệu TXĐ Tuy nhiên, quan sát kỹ thấy biểu thức dấu vế có chung mối liên hệ: \begin{align*} & x + =(x + 1) + 1\\ & 2x^2+ =(2x^2) + \end{align*} Do đó, đặt u: = \root \of {x + 1} v: = \root \of {2x^2} phương trình cho trở thành: u+ \root \of {u^3+1}=v + \root \of {v^3+1} Đến đây, ta việc xét hàm số có dạng f(t)= t+ \root \of {{t^3}+1} vận dụng tính chất 4, toán giải quyết! Lời giải Tập xác định: \mathbb {R} Đặt u: = \root \of {x + 1} v: = \root \of {2x^2} phương trình cho trở thành: u+ \root \of {u^3+1}=v + \root \of {v^3+1} \text{ hay } f(u) = f(v) Xét hàm số f(t)= t+ \root \of {{t^3}+1} \mathbb {R} Ta thấy: + f(t) hàm liên tục \mathbb R + Có đạo hàm f'(t) = 1+\frac{t^2}{\root \of {(t^3+1)^2}} > \mathbb R nên f(t) hàm đồng biến trên \mathbb R Do \begin{align*} f(u) = f(v) & \Leftrightarrow u = v\\ & \Leftrightarrow 2x^2= x + \end{align*} Kết luận: Nghiệm phương trình là: x=1 x = \frac{1}{2} Bài tập Bài tập 1.1 Giải phương trình sau: \quad \quad a) \sqrt {15 - x} + \sqrt {3 - x} = \quad \quad b) \sqrt {3x - 5} + \sqrt {2x + 3} = + \sqrt {12 - x} \quad \quad c) \sqrt {2{x^2} + 23} = 4x - + \sqrt {2{x^2} + 7} \quad \quad d) \sqrt {{x^2} + 15} = 3x - + \sqrt {{x^2} + 8} \quad \quad e) {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + = Bài tập 1.2 Giải phương trình sau: \quad \quad a) 8x^3- {(\sqrt {2x + 1})^3} = \sqrt {2x + 1}- 2x \quad \quad b) {\log _3}(\frac{x^2+ x + 3}{2x^2+ 4x + 5}) = x^2+ 3x + Bài tập 1.3 Giải phương trình sau: \quad \quad a) {3^x} + {4^x} + {5^x} \quad \quad b) {9^x} + 2(x - 2){3^x} + 2x - = Bài viết chỉnh sửa nội dung Nesbit: 24-05-2013 - 02:03 E Galois, quangnhat1395, minhson95 17 người khác yêu thích Đi sau đến muộn ->Đang làm quen sục sạo khắp nơi diễn đàn! #2 NosoZ Binh Đã gửi 16-09-2012 - 20:48 Thành viên Vấn đề Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình, hệ phương trình Ví dụ 2.1 Giải bất phương trình sau: \quad a) \sqrt {x + 5} + \sqrt {2x + 3} < \quad b) 3\sqrt {3 - 2x} + \frac{5}{{\sqrt {2x - 1} }} - 2x \leqslant \quad c) \sqrt {{x^2} - 2x + 3} - \sqrt {{x^2} - 6x + 11} > \sqrt {3 - x} - \sqrt {x - 1} converted by W eb2PDFConvert.com 24 Bài viết Giới tính: Nam \quad Nhận định: Câu 1, bạn hoàn toàn sử dụng phương pháp bình phương biến đổi tương đương để giải Tuy nhiên, muốn hướng bạn đến việc sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải quyết, nhiên đoán nghiệm phương trình nhiều thời gian (bạn ý chọn số cho biểu thức dấu số phương) Câu 2, đặt ẩn phụ, biến đổi rối Bài toán đơn giản sử dụng tính đơn điệu hàm số Câu 3, phức tạp đặt ẩn phụ Song quan sát kỹ thấy có mối quan hệ tương tự Ví dụ 1.2 Lời giải a) Điều kiện: x \geqslant -\frac{3}{2} Bất phương trình cho tương đương với \sqrt {x+5}+ \sqrt {2x+3}-9 \sqrt {x^2 - 6x + 11} + \sqrt {3 - x} \Leftrightarrow \sqrt {(x-1)^2+ 2}+ \sqrt {x - 1} > \sqrt {(3- x)^2+2}+ \sqrt {3 - x} \quad \quad (1) Đặt u: = (x - 1)^2 v: = (3 - x)^2 (1) thành \sqrt {u + 2} + \sqrt u > \sqrt {v + 2} + \sqrt v hay f(u)>f(v) Xét hàm số f(t) = \sqrt {t+2}+ \sqrt t [1;3] Khi f(x) hàm liên tục [1;3] có đạo hàm f'(x) = \frac{1}{2\sqrt {x + 2}} + \frac{1}{2\sqrt x }>0 [1;3] nên hàm f(t) đồng biến [1;3] Vì tính đồng biến nên từ f(u)>f(v) suy u>v hay x-1>3-x \Leftrightarrow x>2 Kết hợp với điều kiện ta có: < x \leqslant Kết luận: Tập hợp nghiệm bất phương trình là: S=(2;3] Bài tập 2.1 Giải bất phương trình sau: \quad a) \sqrt {x + 9} + \sqrt {2x + 4} > \quad b) \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} < \sqrt {4 - x} + 2\sqrt \quad c) \sqrt {x + 1} + \root \of {5x - 7} + \root \of {7x - 5} + \root \of {13x - 7} < \quad d) {\log _7}x > {\log _3}\left( {2 + \sqrt x } \right) Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình sau: \quad \quad a) \left\{ \begin{gathered} \cot x - \cot y = x - y \\ 5x + 8y = 2\pi \\ x,y \in \left( {0;\pi } \right) \\ \end{gathered} \right \quad \quadb) \left\{ \begin{gathered} x = {y^3} + {y^2} + y - \\ y = {z^3} + {z^2} + z - \\ z = {x^3} + {x^2} + x - \\ \end{gathered} \right \quad Nhận định: Hệ thứ biến đổi chọn xét hàm số đặc trưng Hệ thứ hai có dạng hoán vị vòng quanh: \left\{ \begin{gathered} f\left( {{x_1}} \right) = g\left( {{x_2}} \right) \\ f\left( {{x_2}} \right) = g\left( {{x_3}} \right) \\ \\ f\left( {{x_n}} \right) = g\left( {{x_1}} \right) \\ \end{gathered} \right \quad Giả sử f g đồng biến (hoặc nghịch biến) miền D đó, (x_1,x_2, ,x_n) nghiệm x_1 = x_2 = = x_n Lời giải a) Ta có \cot x - \cot y = x - y \Leftrightarrow x - \cot x = y - \cot y \quad \quad (1) Xét hàm số f(t) = t - \cot t với t \in (0;\pi) Khi f(t) hàm sơ cấp nên liên tục TXĐ nó, đạo hàm f'(t) = + \frac{1}{{\sin }^2t} > 0,\forall t \in (0;\pi) nên f(t) tăng (0;\pi) Do (1) \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y Hệ cho tương đương với hệ: \left\{ \begin{gathered} x = y \\ 5x + 8y = 2\pi \\ x,y \in \left( {0;\pi } \right) \\ \end{gathered} \right \Leftrightarrow x = y = \frac{{2\pi }}{{13}} Kết luận: Hệ có nghiệm nhất: \boxed{x = y = \frac{{2\pi }}{{13}}} b) Xét hàm số đặc trưng f(t) = {t^3} + {t^2} + t - converted by W eb2PDFConvert.com Khi hệ cho trở thành: \left\{ \begin{gathered} x= f(y) \\ y= f(z)\\ z= f(x) \\ \end{gathered} \right.\quad \quad (*) Và có: f'(t) = 3{t^2} + 2t + > với \forall t \in \mathbb{R} Vậy f(t) hàm số đồng biến \mathbb R (Chứng minh tính chất đoạn này!) Giải sử (x,y,z) nghiệm hệ chúng phải thỏa mãn hệ (*)! Không tính tổng quát ta giả sử x \leqslant y \leqslant z \begin{align*} & \Rightarrow f(x) \leqslant f(y) \leqslant f(z) \quad \quad \text{(vì f hàm tăng } \mathbb R)\\ & \Rightarrow z \leqslant x \leqslant y \quad \quad \text{(do (*))} \end{align*} Vậy \left\{ \begin{gathered} x \leqslant y \leqslant z \\ z \leqslant x \leqslant y \\ \end{gathered} \right \Leftrightarrow x = y = z (Kết thúc chứng minh tính chất 5) Thay vào hệ cho, ta có: {x^3} + {x^2} - = \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} + 2x + 2) = \Leftrightarrow x = Kết luận: Hệ có nghiệm là: x=y=z=1 Chú ý: Khi thay x=y=z trở lại hệ ta thu phương trình bậc với ẩn x việc giải phương trình dễ dàng Tuy nhiên, giải phương trình gặp khó khăn bạn nhớ đặt hàm, khảo sát, đoán nghiệm khẳng định phương trình có nghiệm trình bày Vấn đề Các bạn xem Bài tập 2.2 câu d)! Bài tập 2.2 Giải hệ phương trình sau: \quad a) \left\{ \begin{gathered} \cot x - \cot y = x - y \\ 3x + 5y = 2\pi \\ x,y \in \left( {0;\pi } \right) \\ \end{gathered} \right \quad b) \left\{ \begin{gathered} x - y = \sin x - \sin y \\ \sin x + \sin y = \sqrt \\ \end{gathered} \right \quad c) \left\{ \begin{gathered} {\log _5}x = {\log _3}(\sqrt y + 4) \\ {\log _5}y = {\log _3}(\sqrt z + 4) \\ {\log _5}z = {\log _3}(\sqrt x + 4) \\ \end{gathered} \right \quad d) \left\{ \begin{gathered} {x^3} + 3x - + \ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) = y \\ {y^3} + 3y - + \ln \left( {{y^2} - y + 1} \right) = z \\ {z^3} + 3z - + \ln \left( {{z^2} - z + 1} \right) = x \\ \end{gathered} \right \quad e) (D-2006) Chứng minh với a>0 hệ phương trình sau có nghiệm \left\{ \begin{gathered} {e^x} - {e^y} = \ln \left( {1 + x} \right) - \ln \left( {1 + y} \right) \\ y - x = a \\ \end{gathered} \right Bài viết chỉnh sửa nội dung NosoZ: 19-09-2012 - 23:10 E Galois, tolaphuy10a1lhp, minhson95 người khác yêu thích Đi sau đến muộn ->Đang làm quen sục sạo khắp nơi diễn đàn! #3 NosoZ Binh Đã gửi 16-09-2012 - 21:26 Vấn đề Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức Thành viên 24 Bài viết Giới tính: Nam I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Như bạn biết ,tính đơn điệu hàm số phụ thuộc vào đạo hàm hàm số đó.Dùng đạo hàm,ta xét tính đồng biến nghịch biến hàm số miền đó,do chúng ứng dụng để chứng minh nhiều Bất đẳng thức(BĐT).Ta xét phương pháp cụ thể sau: Xét hàm số f(x) đoạn [a;b] · Nếu f'(x) \ge 0;\forall x \in [a;b] \iff hàm số f(x) đồng biến [a;b].Suy ra:f(b) \ge f(x) \ge f(a) · Nếu f'(x) \ge 0;\forall x \in [a;b] \iff hàm số f(x) nghịch biến [a;b].Suy ra:f(b) \le f(x) \le f(a) Lưu ý: Khi ta sử dụng điều kiện f'(x) \ge 0;\forall x \in [a;b] hay f'(x) \le 0;\forall x \in [a;b] ta phải đảm bảo phương trình f'(x)=0 xảy hữu hạn điểm,tức phương trình có hữu hạn nghiệm mà thôi.Lưu ý đặc biệt quan trọng ta xét đến hàm số lượng giác.Điều dễ hiểu ta đề cập đến “nghiệm” phương trình lượng giác,ta sử dụng khái niệm “tập nghiệm” để biểu diễn giá trị thỏa mãn phương trình lượng giác cho trước.Nói cách nôm na,phương trình lượng giác có vô hạn nghiệm.Do ta muốn chứng minh BĐT liên quan đến hàm lượng giác phức tạp,ta phải sử dụng đến phương pháp đại số hóa,vấn đề trình bày chuyên đề lượng giác II.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP: Ví dụ 3.1: Cho 01 Do hàm g(x) nghịch biến [1; + \infty) g(1)=0 suy g( x) < g(1) = Từ ta có f'(x)1 nên hàm số f(x) nghịch biến [1; + \infty) f(x)1 Vậy: \ln x \leqslant \frac{x - 1}{\sqrt x }.\quad \quad \square Ví dụ 3.7 Chứng minh với a, b \in \mathbb{R}, ta có: \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{1 + \left| {a + b} \right|}} \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}} Lời giải Xét hàm số f(x) = \frac{x}{1 + x} khoảng [0;+ \infty) Ta có f'(x) = \frac{1}{(1 + x)^2} > với x \geqslant Do hàm số f đồng biến khoảng [0; + \infty) Từ suy f(|a + b|) \leqslant f(|a| +|b|) với a,b \in \mathbb{R} tức \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|+|b|}{1+|a|+| b |} với a,b \in \mathbb{R} \quad (1) Mặt khác ta có \begin{align*} \frac{{\left| a \right| + \left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} &= \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}}\\ & \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}} \quad (2) \end{align*} Từ (1) (2) ta có \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{1 + \left| {a + b} \right|}} \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b converted by W eb2PDFConvert.com \right|}}{{1 + \left| b \right|}} \quad \square Ví dụ 3.8 Cho hai số thực a, b cho 00, biến đổi bất đẳng thức cho để chứng minh bất đẳng thức dạng: f(b)>f(a) Lời giải Do a,b \in (0;\frac{\pi }{2}) nên \tan a, \tan b > a, b>0 Vậy \frac{\tan b}{\tan a} > \frac{b}{a} \Leftrightarrow \frac{\tan b}{b} > \frac{\tan a}{a} Xét hàm số f(x) = \frac{\tan x}{x} toán trở thành: "Cho a,b \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) cho b>a Hãy chứng minh rằng: f(b)>f(a)" Như theo định nghĩa tính đơn điệu hàm số ta cần chứng minh f đồng biến (a;b) Thật vậy, ta có: f'(x) = \frac{{x - \sin x\cos x}}{{{x^2}{{\cos }^2}x}} = :\frac{{g(x)}}{{{x^2}{{\cos }^2}x}} Dấu f'(x) dấu hàm g(x):=x-\sin x \cos x [{0;\frac{\pi }{2}}] Ta lại có: g(x) = x - \sin x\cos x = x - \frac{\sin x}{2} \Rightarrow g'(x) = - \cos 2x,\forall x \in (0;\frac{\pi }{2}) Do g(x) đồng biến g(x)>g(0)=0, \forall x \in (0;\frac{\pi }{2}) Vậy f'(x)>0, \forall x \in (0;\frac{\pi }{2}) tức f đồng biến (0;\frac{\pi }{2}) \quad \square Ví dụ 3.9 Chứng minh x \in (0;\frac{\pi }{2}) thì: {2^{\sin x}} + {2^{\tan x}} > {2^{x + 1}} Lời giải Do x \in (0;\frac{\pi }{2}) nên {2^{\sin x}}{,2^{\tan x}} số dương Áp dụng BĐT Cauchy ta có: {2^{\sin x}} + {2^{\tan x}} \geqslant 2\sqrt {{2^{\sin x + \tan x}}} \Leftrightarrow {2^{\sin x}} + {2^{\tan x}} \geqslant {2^{\frac{{\sin x + \tan x + 2}}{2}}} Khi BĐT cho trở thành: {2^{\frac{{\sin x + \tan x + 2}}{2}}} > {2^{x + 1}} Hay \frac{{\sin x + \tan x + 2}}{2} > x + \Leftrightarrow \sin x + \tan x - 2x > Đặt xét hàm số f\left( x \right) := \sin x + \tan x - 2x > (0;\frac{\pi }{2}) Như để chứng minh BĐT cho ta cần rằng: f(x) > 0,\forall x \in (0;\frac{\pi }{2}) Thật vậy, ta có f'(x) = \cos x + \frac{1}{{{\cos }^2}x} - Ta đánh giá sau: f'\left( x \right) = \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - > \cos x + \frac{1}{{\cos x}} - 2,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) Theo BĐT Cauchy \cos x + \frac{1}{{\cos x}} > 2,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) Vậy, hàm số f(x) đồng biến (0;\frac{\pi }{2}) Suy với \forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) f(x)>f(0)=0.\quad \square Bài tập tự luyện: Bài tập 3.1 Chứng minh rằng: \quad a) x > \ln (1 + x) với x>0 \quad b) {e^x} > + \ln (1+x) với x>0 Bài tập 3.2 Chứng minh: \sin > \frac{{2x}}{\pi } \text{ với } x \in (0;\frac{\pi }{2}) Bài tập 3.3 Chứng minh: \frac{x + y}{2} > \frac{x - y}{\ln x - \ln y} \text{ với }x > y > Bài tập 3.4 Chứng minh: {a^b} < {b^a} \text{ với } a > b \geqslant e Bài tập 3.5 (D-2007) Chứng minh: {({2^a} + \frac{1}{2^a})^b} \leqslant {({2^b} + \frac{1}{{{2^b}}})^a} \text{ với } a \geqslant b > Bài viết chỉnh sửa nội dung E Galois: 30-09-2012 - 08:23 E Galois, leminhansp, bugatti người khác yêu thích Đi sau đến muộn ->Đang làm quen sục sạo khắp nơi diễn đàn! #4 NosoZ Binh Đã gửi 16-09-2012 - 22:04 Vấn đề Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận phương trình bất phương trình converted by W eb2PDFConvert.com Thành viên 24 Bài viết Giới tính: Nam \quad Bài toán biện luận số nghiệm, có nghiệm tập hợp cho trước toán mà đề thi năm có Ngoài việc yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức sở, toán đòi hỏi óc tư duy, sáng tạo Đối với dạng toán có nhiều phương án giải quyết, phương án sử dụng tính đơn điệu hàm số cho ta lời giải ngắn gọn, độc đáo đánh giá cao! Ví dụ 4.1 Cho hàm số f(x)=mx^2+2mx-3 \quad a) Tìm m để phương trình: f(x)=0 có nghiệm x \in [1;2] \quad b) Tìm m để bất phương trình: f(x) \leqslant nghiệm \forall x \in [1;4] \quad c) Tìm m để bất phương trình: f(x) \geqslant có nghiệm x \in [1;3] \quad Nhận định: Một cách tự nhiên, biện luận phương trình bất phương trình có chứa tham số việc cần làm cố gắng đưa tham số vế độc lập Sau sử dụng tính chất đơn điệu hàm số mà bạn biết Để tiện đối sánh, xin nhắc lại số "hằng đẳng thức" sau: \quad a) Nghiệm phương trình u(x)=v(x) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y=u(x) với đồ thị y=v(x) \quad b) Nghiệm bất phương trình u(x) \geqslant v(x) phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y=u(x) nằm phía so với phần đồ thị y=v(x) \quad c) Nghiệm bất phương trình u(x) \leqslant v(x) phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y=u(x) nằm phía so với phần đồ thị y=v(x) \quad d) Nghiệm phương trình u(x)=m hoành độ giao điểm đường thẳng y=m với đồ thị y=u(x) \quad e) Bất phương trình u(x) \geqslant m với \forall x \in I \Leftrightarrow \mathop {min}\limits_{x \in I} u(x) \geqslant m \quad f) Bất phương trình u(x) \leqslant m với \forall x \in I \Leftrightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in I} u(x) \leqslant m \quad g) Bất phương trình u(x) \geqslant m có nghiệm x \in I \Leftrightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in I} u(x) \geqslant m \quad h) Bất phương trình u(x) \leqslant m có nghiệm x \in I \Leftrightarrow \mathop {min}\limits_{x \in I} u(x) \leqslant m Lời giải a) Biến đổi phương trình f(x)=0 cho tham số m nằm vế độc lập: f(x) = m{x^2}+2mx-3 = \Leftrightarrow m({x^2+2x}) = \Leftrightarrow \frac{3}{x^2+ 2x}=m Đặt g(x):=\frac{3}{x^2 + 2x}=\frac{3}{(x+1)^2-1}=m Để f(x)=0 có nghiệm x \in [1;2] m phải lớn GTNN nhỏ GTLN hàm g(x) đoạn [1;2] (Xem "hằng đẳng thức" (d) hình 1), tức là: \mathop {min}\limits_{x \in [1;2]} g(x) \leqslant m \leqslant \mathop {Max}\limits_{x \in [1;2]} g(x) Bây xét hàm g(x) [1;2] tương tự vấn đề 1, cụ thể sau: Vì g(x) = \frac{3}{(x + 1)^2- 1} hàm liên tục [1;2], có đạo hàm g'(x) = - \frac{2(x + 1)}{(x+1)^2-1} < 0,\forall x \in [1;2] nên g(x) hàm nghịch biến [1;2] Do đó, \begin{align*} & \mathop {min }\limits_{x \in [1;2]} g(x) = g(2) = \frac{3}{8}\\ & \mathop {Max}\limits_{x \in [1;2]} g(x) = g(1) = \end{align*} Kết luận: Giá trị m thỏa mãn toán là: \frac{3}{8} \leqslant m \leqslant b) Với \forall x \in [1;4], ta có: \begin{align*} f(x) \leqslant & \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx - \leqslant 0\\ & \Leftrightarrow m(x^2+2x) \leqslant 3\\ & \Leftrightarrow g(x):= \frac{3}{x^2+2x} \geqslant m,\forall x \in [1;4] \end{align*} Để f(x) \leqslant nghiệm với x \in [1;4] g(x):= \frac{3}{x^2+2x} \geqslant m,\forall x \in [1;4], điều có \mathop {min }\limits_{x \in [1;4]} g(x) \geqslant m (xem (e) hình 1) Vì hàm g(x) liên tục có đạo hàm g'(x)=- \frac{2(x + 1)}{(x+1)^2-1} < đoạn [1;4] nên g(x) hàm nghịch biến [1;4] Do \mathop {min }\limits_{x \in [1;4]} g(x) = g(4) = \frac{1}{8} Kết luận: Giá trị m thỏa mãn toán là: m \leqslant \frac{1}{8} b) Với x \in [-1;3], ta có: \begin{align*} f(x) \geqslant & \Leftrightarrow m({x^2+2x}) \geqslant & \Leftrightarrow m \geqslant \frac{3}{x^2+ 2x} (1) \end{align*} Đặt xét hàm số g(x): = \frac{3}{x^2+2x},x \in [-1;3] (2) Ở ta gặp chút rắc rối đoạn [-1;3] chứa điểm "đặc biệt" mà làm cho g(x) không xác định điểm x=0 Kỹ thuật ta tách làm hai đoạn xét riêng điểm x=0 Cụ thể: converted by W eb2PDFConvert.com Xét khả sau: \bullet Nếu x=0, thay trực tiếp vào (1), bất phương trình trở thành m.0=0 \geqslant Vô nghiệm! \bullet Nếu x \in (0;3] \begin{align*} \text{bất phương trình cho }& \Leftrightarrow g(x) \leqslant m \text{ có nghiệm } x \in (0;3] & \Leftrightarrow \mathop {min}\limits_{x \in (0;3]} g(x) \leqslant m \end{align*} Do g\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - nghịch biến (0;3] nên \mathop {min}\limits_{x \in(0;3]} g(x) = g(3)= \frac{1}{5} \leqslant m \bullet Nếu x \in [-1;0) x^2+2x0 hàm tăng TXĐ, v(x)>0 hàm giảm (tức \frac{1}{v(x)}>0 hàm tăng) TXĐ Suy f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} hàm số tăng đoạn [0;4] Như vậy: f(x)=m có nghiệm \Leftrightarrow m \in \left[ {\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right);\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right)} \right] = \left[ {f\left( \right);f\left( \right)} \right] = \left[ {2\left( {\sqrt {15} - \sqrt {12} } \right);12} \right] Kết luận: m \in [2(\sqrt {15}- \sqrt {12});12] Ví dụ 4.3 Tìm m để phương trình 3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x^2-1} \quad (1) có nghiệm thực Lời giải Điều kiện: x \geqslant Biến đổi phương trình (1) xét hàm f(x) sau: f(x):= -3\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=m \quad \quad (2) Có thể đặt ẩn phụ t=\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=\sqrt[4]{{1-\frac{2}{x+1}}} \sqrt {\frac{x - 1}{x + 1}} = {t^2}, với t \in [0;1) Khi (2) trở thành: g(t)=- 3{t^2}+3t=m Đó hàm số bậc hai, việc khảo sát khó khăn!\par Ta có g'(t)=0 \Leftrightarrow t= \frac{1}{3} Lập bảng biến thiên cho hàm g(t) sau: Nhìn vào bảng biến thiên dễ dàng suy giá trị m cần tìm là: - 1< m \leqslant \frac{1}{3} Ghi chú: \quad a) Đối với ẩn phụ t trên, bạn buộc phải tìm miền giá trị nó, có để sót bước \quad b)Bài toán đề thi khối A-2007 số cách giải khác, bạn tự tìm hiểu thêm! converted by W eb2PDFConvert.com Ví dụ 4.4 Tìm m để bất phương trình: m4^x+(m-1)2^{x+2}+m-1>0 \text{ }\forall x \in \mathbb{R} \quad \quad (1) Lời giải Đặt 2^x= t,t > (1) trở thành: \begin{align*} mt^2+ 4(m-1)t+m-1 > & \Leftrightarrow m(t^2+ 4t + 1) > 4t + 1\\ & \Leftrightarrow \frac{4t + 1}{t^2 + 4t + 1} < m \end{align*} Đặt g(t): = \frac{4t + 1}{t^2 + 4t + 1} với t>0 Khi (1) với \forall x \in \mathbb{R} g(t) 1} Ví dụ 4.5 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: \left\{ \begin{gathered} x+\frac{1}{x}+y+ \frac{1}{y}=5 \\ x^3+ \frac{1}{x^3}+y^3+ \frac{1}{y^3} = 15m-10 \\ \end{gathered} \right \quad \,(1) \quad Nhận định: Đây hệ đối xứng loại I, đề yêu cầu giải hệ toán đơn giản, song xuất m yêu cầu tìm giá trị m để hệ có nghiệm Nhiều bạn chọn cách đặt ẩn phụ cố gắng biến đổi cho sử dụng Định lý Viète biện luận theo m \quad Lời giải sau theo hướng bước cuối lại rẽ sang hướng khác! Lời giải Đặt u: = x + \frac{1}{x} v: = y + \frac{1}{y} Khi đó: \left| u \right| = \left| {x + \frac{1}{x}} \right| = \left| x \right| + \left| {\frac{1}{x}} \right| \geqslant 2\sqrt {\left| x \right|\left| {\frac{1}{x}} \right|} = Tương tự ta tìm được: |v| \geqslant Ta lại có: \begin{align*} x^3+ \frac{1}{x^3} & = {(x + \frac{1}{x})^3} - 3x^2.\frac{1}{x} - 3x.({\frac{1}{x}})^2\\ & = {({x + \frac{1}{x}})^3} 3( {x + \frac{1}{x}})\\ & = {u^3} - 3u \end{align*} Tương tự, {y^3} + \frac{1}{y^3}={v^3} - 3v Thay vào hệ (1): \left\{ \begin{gathered} u + v = \\ {u^3} + {v^3} - 3\left( {u + v} \right) = 15m - 10 \\ \end{gathered} \right \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = \\ uv = - m \\ \end{gathered} \right Suy u, v phải nghiệm phương trình bậc hai g(t):=t^2-5t+8=m Như vậy, hệ phương trình (1) có nghiệm phương trình g(t)=m có hai nghiệm t_1, t_2 cho |{t_1}| \geqslant |{t_2}| \geqslant \quad Bây công việc lại khảo sát hàm số g(t) tập D = \mathbb{R} \backslash (-2;2) Ta nhìn thấy kết việc khảo sát hàm g(t) qua bảng biến thiên sau: Kết luận: Hệ (1) có nghiệm \Leftrightarrow \frac{7}{2} \leqslant m \leqslant m \geqslant 22 Bài tập 4.1 Tìm m để bất phương trình: -x^3+3mx-2 < -\frac{1}{x^3} nghiệm \forall x \geqslant Bài tập 4.2 Tìm m để bất phương trình: x^3+3{x^2}-1 \leqslant m({\sqrt x}-\sqrt {x-1})^3 có nghiệm Bài tập 4.3 Tìm m để bất phương trình: \sqrt {(4+x)(6-x)} \leqslant {x^2} - 2x + m nghiệm \forall x \in [-4;6] Bài tập 4.4 Tìm m để bất phương trình: \sqrt {3+x}+ \sqrt {6-x}- \sqrt {18+3x-x^2} \leqslant {m^2}-m+1 \forall x \in converted by W eb2PDFConvert.com [-3;6] Bài tập 4.5 Tìm m để phương trình: \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {18 + 3x - {x^2}} = m có nghiệm Bài tập 4.6 Chứng minh rằng: Với m>0 phương trình {x^2} + 2x - = \sqrt {m\left( {x - 2} \right)} có hai nghiệm phân biệt Bài tập 4.7 Tìm m để phương trình: \root \of {2x}+ \sqrt {2x}+2\root \of {6-x}+2\sqrt {6-x}=m có hai nghiệm thực phân biệt Bài tập 4.8 Tìm x để bất phương trình: x^2+2x(\sin y+\cos y)+1\geqslant với \forall y \in \mathbb{R} Bài tập 4.9.(A-2002) Tìm m để phương trình: \log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} - 2m - = có nghiệm thuộc đoạn [1;3^{\sqrt }] .Loading! Các bạn thảo luận đặt câu hỏi bên Cần lưu ý quy định sau: QUY ĐỊNH VỀ THẢO LUẬN Tuân thủ Nội quy diễn đàn Khi hỏi tập cần nêu rõ nguồn (đề thi, lớp, sách ) trình bày suy nghĩ toán (đã làm đến đâu, đề có chỗ chưa hiểu, chưa xử lí điều kiện nào) Khi giải (giúp bạn khác) cố gắng đưa lời hướng dẫn đường hướng giải toán hay phân tích rõ giả thiết toán sử dụng giả thiết Khuyến khích bạn chưa có lời giải cuối tham gia thảo luận (chẳng hạn "mình nghĩ phải làm thế này, làm đến chịu ", hay "BĐT đánh giá đến bạn giúp đánh giá tiếp với ") Bên cạnh tập tự luyện, khuyến khích bạn gửi toán hay (kể bạn làm chưa làm được) trình ôn tập mà bạn gặp phải Bài viết chỉnh sửa nội dung Nesbit: 24-05-2013 - 02:15 E Galois, minhson95, leminhansp người khác yêu thích Đi sau đến muộn ->Đang làm quen sục sạo khắp nơi diễn đàn! #5 z0r0 Lính Đã gửi 02-10-2012 - 22:01 Vào lúc 16 Tháng 2012 - 08:13, 'NosoZ' nói: \quad \quad c) \sqrt {2{x^2} + 23} = 4x - + \sqrt {2{x^2} + 7} \quad \quad d) \sqrt {{x^2} + 15} = 3x - + \sqrt {{x^2} + 8} Thành viên Thưa thầy hai làm ạ? Bài viết Bài viết chỉnh sửa nội dung z0r0: 02-10-2012 - 22:03 Giới tính: Nam Đến từ: Thái Nguyên converted by W eb2PDFConvert.com #6 dangerous_nicegirl Binh Đã gửi 03-10-2012 - 18:09 Vào lúc 02 Tháng 10 2012 - 10:01, 'z0r0' nói: Thưa thầy hai làm ạ? Thành viên chuyen ve xong nhan lien hop ban ak z0r0 yêu thích 37 Bài viết #7 z0r0 Lính Đã gửi 04-10-2012 - 00:03 Vào lúc 03 Tháng 10 2012 - 06:09, 'dangerous_nicegirl' nói: chuyen ve xong nhan lien hop ban ak Thành viên Hi tưởng dùng tính đơn điệu hàm số chứ? Bài viết Giới tính: Nam Đến từ: Thái Nguyên #8 NosoZ Binh Đã gửi 06-10-2012 - 21:42 Vào lúc 02 Tháng 10 2012 - 10:01, 'z0r0' nói: Thưa thầy hai làm ạ? Thành viên 24 Bài viết Giới tính: Nam Pt c) \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 23} - \sqrt {2{x^2} + 7} = 4x - VT dương với x nên với x \leqslant \frac{1}{2} phương trình vô nghiệm Xét hàm f\left( x \right) = 4x - + \sqrt {2{x^2} + 7} - \sqrt {2{x^2} + 23} \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right) Ta thấy f(x)=f(1) Bây bạn cần chứng minh f đồng biến \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right) đến kết luận pt có nghiệm x=1 Bài d) bạn làm tương tự Bài viết chỉnh sửa nội dung NosoZ: 06-10-2012 - 21:42 minhson95 yêu thích Đi sau đến muộn ->Đang làm quen sục sạo khắp nơi diễn đàn! #9 hanh ngan Lính Đã gửi 25-10-2012 - 21:23 thua thầy phần em thấy không nên mò nghiệm mà nên bấm máy tính giải pt trc vây nhanh va xác hon Thành viên Bài viết anhtuan2b #10 converted by W eb2PDFConvert.com Lính Đã gửi 05-11-2012 - 21:20 Mò nghiệm có nhiều cách bạn à, bấm máy tính mà nhẫm mà không cần dùng máy tính Vui vui Thành viên Bài viết Giới tính: Nam Đến từ: Tp HCM Sở thích: Du ngoạn #11 hoangthuong893 Lính Đã gửi 05-04-2013 - 16:13 thầy để tải tài liệu thầy ạ? Thành viên Bài viết #12 25 minutes Thành viên bật 2015 Đã gửi 06-04-2013 - 00:40 Vào lúc 02 Tháng 10 2012 - 10:01, z0r0 nói: Thưa thầy hai làm ạ? Thành viên bật 2015 2794 Bài viết Giới tính: Nam Đến từ: KHTN-NEU Sở thích: Cafe + radio + mưa Câu d: Ta có \sqrt{x^2+15} > \sqrt{x^2+8} \Rightarrow 3x-2 > 0\Leftrightarrow x>\frac{2}{3} với x \in \left ( \frac{2}{3},+\infty \right ) Xét f(x)=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2 \Rightarrow f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}-3 Dễ thấy \frac{x}{\sqrt{x^2+15}} \sqrt {3 - x} - \sqrt {x - 1} Điều kiện: \leqslant x \leqslant Bất phương trình cho tương đương: \sqrt {{x^2} - 2x + 3} + \sqrt {x - 1} > \sqrt {x^2 - 6x + 11} + \sqrt {3 - x} \Leftrightarrow \sqrt {(x-1)^2+ 2}+ \sqrt {x - 1} > \sqrt {(3- x)^2+2}+ \sqrt {3 - x} \quad \quad (1) Đặt u: = (x - 1)^2 v: = (3 - x)^2 (1) thành \sqrt {u + 2} + \sqrt u > \sqrt {v + 2} + \sqrt v hay f(u)>f(v) Xét hàm số f(t) = \sqrt {t+2}+ \sqrt t [1;3] Khi f(x) hàm liên tục [1;3] có đạo hàm f'(x) = \frac{1}{2\sqrt {x + 2}} + \frac{1}{2\sqrt x }>0 [1;3] nên hàm f(t) đồng biến [1;3] Vì tính đồng biến nên từ f(u)>f(v) suy u>v hay x-1>3-x \Leftrightarrow x>2 Kết hợp với điều kiện ta có: < x \leqslant Kết luận: Tập hợp nghiệm bất phương trình là: S=(2;3] Cho em hỏi đặt t=\sqrt{x-1} mà khoảng xác định x [1;3] phải xét hàm số f(t) [0;2] đâu [1;3] Bản chất vấn đề em hiểu chỗ khoảng đồng biến nghịch biến chưa rõ lắm, chỗ u với v loạn xạ lên Mong thầy giúp em converted by W eb2PDFConvert.com #17 mentos Lính Đã gửi 19-06-2013 - 16:55 thầy giải giúp em hệ pt \left\{\begin{matrix} &x^{2}-2x+1=2y & \\ &y^{2}-2y+1=2z & \\ &z^{2}-2z+1=2x & \end{matrix}\right e giải theo cách xét hàm số f(t)=t^{2}-2t+1 ,f'(t)=2t-2 t0 Nếu ta xét TH : +) x,y,z \geqslant Dễ thấy x \geqslant 1\Rightarrow z^2-2z+1=2x\geqslant 2\Rightarrow z \geq 1+\sqrt{2} \Rightarrow y^2-2y+1=2z \geqslant 2+2\sqrt{2}\Rightarrow y >3 Tóm lại ta phải có x,y,z \geqslant Khi xét f(t)=t^2-2t+1,t \in \left [ 0;+\infty \right ] \Rightarrow f'(t)=2t-2 \geqslant Từ ta có x=y=z \geqslant Tương tự xét \leqsalnt x,y,z \leqslant 0 f(x)yf(z)>f(y)=> x>z đánh giá kiểu bạn kidngoc1412 #20 converted by W eb2PDFConvert.com Lính Thành viên Bài viết Đã gửi 12-07-2013 - 15:58 có chút thắc mắc vấn đề tập xác định mà ta khảo sát hàm dạng F(a)=F(b)( pt hay hpt mà đưa dạng rồi),nhưng tập xác định không rõ ví dụ toán nhé: xét hpt {(4x^2+1)x+(y-3).căn(5-2y)=0(1) {4x^2+y^2+2 căn(3-4x)=7(2) dk y=0 điều kiện đâu mà có, lại dk x hay y giúp cách tìm "tập xác định đưa hàm đặc trưng theo t t trung gian hàm không" TXD không hiểu, làm ơn giải thích rõ nha quandan yêu thích Trang / 2 Trở lại Ôn thi Đại học SAU Like 31 Được gắn nhãn với nhiều số từ khóa sau: chuyên đề, ôn thi đh Toán Trung học Phổ thông Thi Đại học → Tài liệu - đề thi THPT → Thi TS ĐH → Tổng hợp tài liệu, chuyên đề CASIO - Bùi Thế Việt Bắt đầu nthoangcute, 07-08-2016 bùi việt, casio, tài liệu Toán Trung học Cơ sở → Số học → x^{2010}-1 chia hết cho y+1 Bắt đầu phuocchubeo, 11-04-2016 chuyên đề Toán Trung học Phổ thông Thi Đại học → Tài liệu - đề thi THPT → Thi TS ĐH → Tổng hợp 22 chuyên đề toán ôn thi ĐH-CĐ Bắt đầu hotrohoctot123, 22-12-2014 chuyên đề toán Toán Trung học Phổ thông Thi Đại học → Chuyên đề toán THPT → TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP - LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bắt đầu leminhansp, 23-07-2013 elip, hình học phẳng Toán Trung học Phổ thông Thi Đại học → Ôn thi Đại học → Phương pháp ôn thi, Kinh nghiệm phòng thi, Kĩ làm bài, v.v Bắt đầu Nesbit, 19-05-2013 ôn thi đh, luyện thi đh Trả lời 360 Views nthoangcute 07-08-2016 Trả lời 124 Views I Love MC 12-04-2016 Trả lời 760 Views hotrohoctot123 22-12-2014 Trả lời 15876 Views anhtuan2b 21-05-2014 20 Trả lời 4214 Views toloc 17-12-2015 người xem chủ đề thành viên, khách, thành viên ẩn danh Diễn đàn Toán học → Toán Trung học Phổ thông Thi Đại học → Ôn thi Đại học Vietnamese Đang xử lý toán: 5% Trợ giúp Nội quy Diễn đàn Toán học · Privacy Policy Community Forum Software by IP.Board Licensed to: Diễn đàn Toán học converted by W eb2PDFConvert.com [...]... 4131 Bài viết Giới tính: Nam Đến từ: Đảo mộng mơ Sở thích: Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga #16 younglady9x Binh nhất Đã gửi 15-06-2013 - 00:18 Vào lúc 16 Tháng 9 2012 - 08:48, NosoZ đã nói: Thành viên 26 Bài viết Giới tính: Nữ Đến từ: THPT chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình Sở thích: Ăn, ngủ, chơi Vấn đề 2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình, hệ phương trình Ví dụ 2.1... tưởng dùng tính đơn điệu của hàm số chứ? 2 Bài viết Giới tính: Nam Đến từ: Thái Nguyên #8 NosoZ Binh nhất Đã gửi 06-10-2012 - 21:42 Vào lúc 02 Tháng 10 2012 - 10:01, 'z0r0' đã nói: Thưa thầy hai bài này làm thế nào ạ? Thành viên 24 Bài viết Giới tính: Nam Pt c) \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 23} - \sqrt {2{x^2} + 7} = 4x - 2 VT luôn dương với mọi x nên với x \leqslant \frac{1}{2} thì phương trình vô... viết converted by W eb2PDFConvert.com Giới tính: Nam Đến từ: Đại học Bách Khoa Hà Nội #14 namcpnh Red Devil Đã gửi 02-05-2013 - 19:02 Nhờ BBT vào tổng hợp bài giảng này thành file PDF hay word Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại : Dãy số- giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học Wolframalpha đây Hiệp sỹ 1078 Bài viết Giới tính: Nam Đến từ: Ho Chi Minh City University... [1;3] và có đạo hàm f'(x) = \frac{1}{2\sqrt {x + 2}} + \frac{1}{2\sqrt x }>0 trên [1;3] nên hàm f(t) đồng biến trên [1;3] Vì tính đồng biến nên từ f(u)>f(v) suy ra u>v hay x-1>3-x \Leftrightarrow x>2 Kết hợp với điều kiện ta có: 2 < x \leqslant 3 Kết luận: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là: S=(2;3] Cho em hỏi khi đặt t=\sqrt{x-1} mà khoảng xác định của x là [1;3] thì phải xét hàm số f(t) trên [0;2]... 2013 - 04:55, mentos đã nói: Thành viên nổi bật 2015 2794 Bài viết Giới tính: Nam Đến từ: KHTN-NEU Sở thích: Cafe + radio + mưa thầy ơi giải giúp em hệ pt này \left\{\begin{matrix} &x^{2}-2x+1=2y & \\ &y^{2}-2y+1=2z & \\ &z^{2}-2z+1=2x & \end{matrix}\right e cũng giải theo cách xét hàm số f(t)=t^{2}-2t+1 ,f'(t)=2t-2 nếu t