Tiếp tuyến khảo sát hàm số

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng KSHS 04: TIẾP TUYẾN A Kiến thức  Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y  f ( x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0  x0; f ( x0 )  Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0  x0; f ( x0 )  là: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 )  y0  f ( x0 )   Điều kiện cần đủ để hai đường (C 1): y  f ( x) (C2): y  g( x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x)  g( x)  f '( x)  g '( x) (*)  Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường  Nếu (C1) : y  px  q (C2): y  ax2  bx  c (C1) (C2) tiếp xúc  phương trình ax2  bx  c  px  q có nghiệm kép B Một số dạng câu hỏi thường gặp Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y  f ( x) điểm M ( x0; y0 )  (C) :  Nếu cho x0 tìm y0  f ( x0 ) Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình f ( x)  y0  Tính y  f ( x) Suy y( x0 )  f ( x0 )  Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y  f ( x) , biết  có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm  Gọi M ( x0; y0 ) tiếp điểm Tính f ( x0 )   có hệ số góc k  f ( x0 )  k (1)  Giải phương trình (1), tìm x0 tính y0  f ( x0 ) Từ viết phương trình  Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc  Phương trình đường thẳng  có dạng: y  kx  m   tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x)  kx  m (*)  f '( x)  k   Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình  Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến  cho gián tiếp sau: +  tạo với trục hồnh góc  k  tan a +  song song với đường thẳng d: y  ax  b k  a +  vng góc với đường thẳng d : y  ax  b (a  0) k   a k  a  tan +  tạo với đường thẳng d : y  ax  b góc   ka Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y  f ( x) , biết  qua điểm A( xA; yA ) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm  Gọi M ( x0; y0 ) tiếp điểm Khi đó: y0  f ( x0 ), y( x0 )  f ( x0 )  Phương trình tiếp tuyến  M: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 )   qua A( x A; yA ) nên: yA – y0  f ( x0 ).( xA – x0 ) (2)  Giải phương trình (2), tìm x0 Từ viết phương trình  Trang 54 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc  Phương trình đường thẳng  qua A( xA; yA ) có hệ số góc k: y – yA  k( x – xA )   tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x)  k( x  x A )  y A   f '( x)  k (*)  Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ viết phương trình tiếp tuyến  Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y  f ( x) , biết  tạo với trục Ox góc   Gọi M ( x0; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k  f ( x0 )   tạo với trục Ox góc   f ( x0 )  tana Giải phương trình tìm x0  Phương trình tiếp tuyến  M: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y  f ( x) , biết  tạo với đường thẳng d: y  ax  b góc   Gọi M ( x0; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k  f ( x0 ) ka  tan Giải phương trình tìm x0  ka  Phương trình tiếp tuyến  M: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y  f ( x) , biết  cắt hai trục toạ độ A B   tạo với d góc   cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước  Gọi M ( x0; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k  f ( x0 )  OAB vng cân   tạo với Ox góc 450 O   (a)  2S  SOAB  S  OAOB (b)  Giải (a) (b) tìm x0 Từ viết phương trình tiếp tuyến  Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị (C1) : y  f ( x), (C2 ) : y  g( x) a) Gọi : y  ax  b tiếp tuyến chung (C1) (C2) u hồnh độ tiếp điểm  (C1), v hồnh độ tiếp điểm  (C2)   tiếp xúc với (C1) (C2) hệ sau có nghiệm:  f (u)  au  b (1)  f '(u)  a (2)  g( v)  av  b (3)  (4)  g '(v)  a  Từ (2) (4)  f (u)  g(v)  u  h(v)  Thế a từ (2) vào (1)  b  k(u) (5) (6)  Thế (2), (5), (6) vào (3)  v  a  u  b Từ viết phương trình  b) Nếu (C1) (C2) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến chung (C1) (C2) tiếp tuyến (C1) (và (C2)) điểm Tìm điểm đồ thị (C): y  f ( x) cho tiếp tuyến (C) song song vng góc với đường thẳng d cho trước  Gọi M ( x0; y0 )  (C)  tiếp tuyến (C) M Tính f ( x0 ) f ( x0 )  kd  Vì  // d nên (1)   d nên f ( x0 )   kd (2)  Giải phương trình (1) (2) tìm x0 Từ tìm M ( x0; y0 )  (C) 10 Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): y  f ( x) Giả sử d : ax  by  c  M ( xM ; yM )  d Trang 55 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y  k( x – xM )  yM   tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:  f ( x)  k( x  xM )  yM (1)  f '( x )  k (2)   Thế k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  ( x – xM ) f ( xM )  yM (3)  Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) 11 Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C): y  f ( x) tiếp tuyến vng góc với Gọi M ( xM ; yM )  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y  k( x – xM )  yM   tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:  f ( x)  k( x  xM )  yM   f '( x)  k (1) (2) f ( x)  ( x – xM ) f ( xM )  yM (3)  Thế k từ (2) vào (1) ta được:  Qua M vẽ tiếp tuyến với (C)  (3) có nghiệm phân biệt x1, x2  Hai tiếp tuyến vng góc với  f ( x1) f ( x2 )  –1 Từ tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục (3) có2 nghiệ m phâ n biệ t hồnh  f ( x ) f ( x )   Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d Trang 56 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Cho hàm số y  2x3  3x2  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ Câu  Giả sử M ( x0; y0 )  (C)  y0  2x03  3x02  Ta có: y  3x2  6x PTTT  M: y  (6x02  6x0 )( x  x0 )  2x03  3x02   qua P(0;8)   4x03  3x02   x0  1 Vậy M(1; 4) Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Câu  Giả sử A(a; a3  3a2  1), B(b; b3  3b2  1) thuộc (C), với a  b Vì tiếp tuyến (C) A B song song với nên: y (a)  y (b)  3a2  6a  3b2  6b  a2  b2  2(a  b)   ( a  b)(a  b  2)   a  b    b   a Vì a  b nên a   a  a  Ta có: AB  ( b  a)2  ( b3  3b2  1 a3  3a2  1)2  ( b  a)2  ( b3  a3  3( b2  a2 ))2  ( b  a)2  (b  a)3  3ab(b  a)  3(b  a)(b  a)   ( b  a)2  (b  a)2 ( b  a)2  3ab  3.2 2 2 2  ( b  a)2  (b  a)2 ( b  a)2  ab  6  (b  a)  (b  a) (2  ab) AB2  (b  a)2 1  (2  ab)2   (2  2a)2 1  (a2  2a  2)2  2   4(a  1)2 1  (a  1)2  3   4(a  1)2 (a  1)4  6(a  1)2  10  4(a  1)6  24( a  1)  40( a  1)2 Mà AB  nên 4(a  1)6  24(a  1)4  40(a  1)2  32  (a  1)6  6( a  1)4  10( a  1)2   (*) Đặt t  (a  1) , t  Khi (*) trở thành:  a   b  1 t  6t  10t    (t  4)(t  2t  2)   t   (a  1)    a  1  b   A (3;1), B (  1;  3) Vậy điểm thoả mãn YCBT là: Câu hỏi tương tự: a) Với y  x3  3x2  2; AB  ĐS: A(3;2), B( 2; 2) Cho hàm số y  f ( x)  x3  6x2  9x  (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm tất giá trị k, để tồn tiếp tuyến với (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho OA  2011.OB  PTTT (C) có dạng: y  kx  m Hồnh độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình: Câu f ( x0 )  k  3x02  12 x0   k  (1) Trang 57 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Để tồn tiếp tuyến phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt     3k   k  3 (2)  Toạ độ tiếp điểm ( x0; y0 ) tiếp tuyến nghiệm hệ:  y  x3  6x2  9x  0   02 3x0  12x0   k  k6 2k  x0   y0  3  3x2  12x   k  k6 2k  x 3 Do d cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho: OA  2011.OB nên xảy ra: + Nếu A  O B  O Khi d qua O  k  OB k6 + Nếu A  O OAB vng O Ta có: tan· OAB   2011   2011 OA  k  6039 (thoả (2)) k  6027 (khơng thoả (2)) Vậy: k  ; k  6039  Phương trình đường thẳng d qua tếp điểm là: y  Cho hàm số y  x3  (1  2m) x2  (2  m) x  m  (1) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x  y   Câu góc  , biết cos  26 r  Gọi k hệ số góc tiếp tuyến  tiếp tuyến có VTPT n1  (k; 1) r Đường thẳng d có VTPT n2  (1;1) r r n1.n2 k 1   12k2  26k  12   k   k  Ta có cos  r r  n1 n2 26 k2  YCBT thoả mãn  hai phương trình sau có nghiệm:    /  8m2  2m   y  3x  2(1  2m) x   m         /  4m  m       y  3x2  2(1  2m) x   m    3   1 m   ; m  1   m   m  m   ; m   Câu hỏi tương tự: a) Với y  x  3mx  2; d : x  y   0; cos  Câu 26 ĐS: m   Cho hàm số y  f ( x)  mx3  ( m  1) x2  (4  3m) x  có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x  2y    (d) có hệ số góc   tiếp tuyến có hệ số góc k  Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì: f '( x)   mx2  2(m  1) x  (4  3m)   mx2  2(m  1) x   3m  Trang 58 (1) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng YCBT  (1) có nghiệm âm + Nếu m  (1)  2x  2  x  (loại) + Nếu m  dễ thấy phương trình (1) có nghiệm x  hay x= Do để (1) có nghiệm âm Vậy m  hay m  Câu  3m m  3m   m  hoặ c m m 3 Cho hàm số y  mx3  (m  1) x2  (4m  3) x  (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m  2) Tìm giá trị m cho (Cm) tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x  2y    Ta có: y  mx2  2(m  1) x   3m ; d : y   x  YCBT  phương trình y  có nghiệm dương phân biệt  mx2  2( m  1) x   3m  có nghiệm dương phân biệt m        m    1  m S   P     1 2  2  3 Vậy m  0;   ;  Cho hàm số y  x3  mx  m  (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m  2) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm M có hồnh độ x  1 cắt đường tròn (C) có phương trình ( x  2)2  ( y  3)2  theo dây cung có độ dài nhỏ Câu  Ta có: y  3x2  m  y(1)   m ; y(1)  2m  (C) có tâm I (2;3) , R = PTTT d M (1;2m  2) : y  (3  m) x  m   (3  m) x  y  m   d( I , d )  4 m   (3  m)  (3  m)2   2R (3  m)2  (3  m)2  (3  m)2  Dấu "=" xảy  m  Dó d( I , d) đạt lớn  m  Tiếp tuyến d cắt (C) điểm A, B cho AB ngắn  d( I , d) đạt lớn  m  Khi đó: PTTT d: y  x  Câu hỏi tương tự: 5 a) y  x3  mx  m  1; xM  1;(C) : ( x  2)2  ( y  3)2  ĐS: m  1; m  Cho hàm số y  3x  x3 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng (d): y   x điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)  Gọi M (m; m)  d PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k( x  m)  m Câu 3x  x3  k( x  m)  m (1) (2) 3  3x  k  tiếp tuyến (C)  hệ PT sau có nghiệm:  Trang 59 (*) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Thay (2) vào (1) ta được: 2x3  3mx2  4m   m  2x3 3x2  (**) Từ M kẻ tiếp tuyến với (C)  (**) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f ( x)  f ( x)  6x4  24x2 (3x  4) 2 x3 3x2   3  ;   Tập xác định D  R \    x  2 x0 ; f ( x)     m  2 Dựa vào BBT, (**) có nghiệm phân biệt   Vậy: M(2;2) M(2; 2) m  Cho hàm số y  x3  3x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng d : y  điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với (C)  Gọi M (m; 4)  d PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k( x  m)  Câu  x3  3x   k( x  m)  3x   k  tiếp tuyến (C)  hệ PT sau có nghiệm:  Thay (2) vào (1) ta được: ( x  1) 2x2  (3m  2) x  3m  2  (1) (2) (*) (3)  x  1  (4) 2x  (3m  2) x  3m   YCBT  (3) có nghiệm phân biệt + TH1: (4) có nghiệm phân biệt, có nghiệm –1  m  1 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1  m    m   Vậy điểm cần tìm là: (1;4) ;   ;4 ; (2; 4)   Câu 10 Cho hàm số y  x3  2x2  (m  1) x  2m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m  2) Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ tiếp tuyến với (Cm)  PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k( x  1)   tiếp tuyến (Cm)  hệ PT sau có  x3  2x2  ( m  1) x  2m  k( x  1)  2 3x  4x  m   k nghiệm:   f ( x)  2x3  5x2  4x  3( m  1)  (*) Để qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (Cm) (*) có nghiệm phân biệt  109   Các điểm cực trị (Cm) là: A(1;4  3m), B  ;  3m 27    m   A  Ox  Do (*) có nghiệm phân biệt    B  Ox  m  109  81 Ta có f ( x)  6x2  10x   f ( x)   x  1; x  Câu 11 Cho hàm số y   x3  3x2  (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Trang 60 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 2) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)  Gọi M (m;2)  ( d) PT đường thẳng  qua điểm M có dạng : y  k( x  m)   x3  3x2   k( x  m)  2  3x  6x  k  tiếp tuyến (C)  hệ PT sau có nghiệm  (1) (2) (*) Thay (2) (1) ta được: 2x3  3(m  1) x2  6mx    ( x  2) 2x2  (3m  1) x  2  x    f ( x)  2x  (3m  1) x   (3) Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C)  hệ (*) có nghiệm x phân biệt      (3) có hai nghiệm phân biệt khác    m  1  m   f (2)  m     m  1  m  Vậy từ điểm M(m; 2)  (d) với  kẻ tiếp tuyến với (C)  m  Câu hỏi tương tự: a) y   x  3x  2, d  Ox m  M ( m ; 0) ĐS: với  1  m     Dạng 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số trùng phương y  ax4  bx2  c Trang 61 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Câu 12 Cho hàm số y  f ( x)  x4  2x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với  Ta có: f '( x)  4x3  4x Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B kA  f '(a)  4a3  4a, kB  f '(b)  4b3  4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y  f (a)( x  a)  f (a)  y  f (a) x  f (a)  af (a) y  f (b)( x  b)  f (b)  y  f (b) x  f (b)  bf (b) Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi: (1) kA  kB  4a3  4a = 4b3  4b  (a  b)(a2  ab  b2  1)  Vì A B phân biệt nên a  b , (1)  a2  ab  b2   (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng khi: a2  ab  b2   a2  ab  b2    ( a  b)   4 3a  2a  3b  2b  f (a)  af (a)  f (b)  bf (b) Giải hệ ta nghiệm (a; b)  (1;1) (a; b)  (1; 1) , hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị (1; 1) (1; 1) Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với là:  a2  ab  b2     a  1; a  b Câu 13 Cho hàm số y  x4  2mx2  m (1) , m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ 3 4  điểm B  ; 1 đến tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A lớn   A  (Cm) nên A(1;1  m) y '  4x3  4mx  y '(1)   4m Phương trình tiếp tuyến (Cm) A: y  (1  m)  y(1).( x  1)  (4  4m) x  y  3(1  m)  Khi d( B; )  1 16(1  m)2   , Dấu ‘=’ xảy  m = Do d( B; ) lớn m = Câu 14 Cho hàm số y   x  1  x  1 2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)  Ta có y  x4  2x2  PT đường thẳng d qua A(a;0) có hệ số góc k : y  k( x  a)  x4  2x2   k( x  a) (I ) d tiếp tuyến (C)  hệ phương trình sau có nghiệm:  4x3  4x  k  k   4x( x2  1)  k ( A) ( B) Ta có: ( I )   hoă ăc   f ( x)  3x  4ax   (1) x 1  + Từ ă (A), cho ta tiếp tuyến d1 : y  + Vậy để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với (C) điều kiện cần đủ ă (B) phải Trang 62 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng có nghiê ăm phân biệt ( x; k) với x  1 , tức phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt    4a2   khác 1    1  a    a   f ( 1)  2 Dạng 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số biến y  Trang 63 ax  b cx  d Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Câu 15 Cho hàm số y  2x  có đồ thị (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d : 3x  4y    Giả sử M ( x0; y0 )  (C)  y0  Ta có: d( M , d)   2x0  x0  3x0  4y0  32  42   3x0  4y0  12  3x0  4y0    2x    Với 3x0  4y0  12   3x0    12    x0    x0   M1(0;3)   x0   M  ; 11  3     7  x0  5  M3  5;   2x0    4 8    Với 3x0  4y0    3x0       x  4    x    M4   ; 1     11  47  PTTT M1(0;3) y   x  ; PTTT M2  ;  y   x  ; 16 16 3   7 23 PTTT M3  5;  y   x  ;  Câu 16 Cho hàm số y  16  16   PTTT M4   ; 1 y  9x  13   2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến  Tiếp tuyến (C) điểm M ( x0; f ( x0 ))  (C) có phương trình: y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )  x  ( x0  1)2 y  x02  x0   (*)  Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*)  2x0 x   2   x0   ( x0  1)4 Các tiếp tuyến cần tìm : x  y   x  y   Câu 17 Cho hàm số y  2x (C) x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn  Tiếp tuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a  2 thuộc (C) có phương trình: y (a  2) ( x  a)  2a  4x  (a  2)2 y  2a2  a Tâm đối xứng (C) I  2;2 Ta có: d( I , d )  a 16  (a  2)  a 2 2.4.( a  2)  a2 2 a  d( I , d) lớn ( a  2)2    a   a  4 Trang 64 2 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Từ suy có hai tiếp tuyến y  x y  x  Câu hỏi tương tự: a) Với y  x x 1 ĐS: y   x; y   x  Câu 18 Cho hàm số y  2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm 4), B(4; 2) A(2;  Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm ( x0  1 ) PTTT (d) y  ( x0  1)2 ( x  x0 )  2x0   x  ( x0  1)2 y  2x02  2x0   x0  Ta có: d( A, d)  d( B, d)   4( x0  1)2  2x02  2x0   4  2( x0  1)2  2x02  2x0   x0   x0   x0  2 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y  x  ; y  x  1; y  x  Câu 19 Cho hàm số y  2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng MI  Giao điểm hai tiệm cận I(1; 2) Gọi M(a; b)  (C)  b  PTTT (C) M: y   ( x  a)  ( a  1) ( x  1)  PT đường thẳng MI: y  (a  1)2 2a  (a  1) a 1 2a  a 1 Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có:  ( a  1)  1   a  (b  1) ( a  1)  a  ( b  3) Vậy có điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3) Câu 20 Cho hàm số y  (2m  1) x  m2 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  x  TXĐ: D = R \ {1}  (2m  1) x  m2 x   x 1 y  x Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng thì:   ( m  1)   ( x  1)2 x  m (* ) (* * ) Từ (**) ta có (m  1)2  ( x  1)2   x   m  Với x = m, thay vào (*) ta được: 0m  (thoả với m) Vì x  nên m   Với x = – m, thay vào (*) ta được: (2m  1)(2  m)  m2  (2  m)(2  m  1) Trang 65 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số  4(m  1)2   m   x = (loại) Vậy với m  đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  x Câu 21 Cho hàm số: y  x2 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh  Phương trình đường thẳng d qua A(0; a) có hệ số góc k: y  kx  a x2  x   kx  a d tiếp tuyến (C)  Hệ PT  có nghiệm 3 k   ( x  1)2  PT: (1  a) x2  2(a  2) x  (a  2)  (1) có nghiệm x  Để qua A có tiếp tuyến (1) phải có nghiệm phân biệt x1, x2 a  a        3a   a  2 (*) 3 2( a  2) a ; y2   ; x1x2  y1   x1  x2  a 1 a1 Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y1.y2  Khi ta có: x1  x2     x x  2( x  x )  2   3a    a    1  1    x1    x2   x1.x2  ( x1  x2 )    a    a  Kết hợp với điều kiện (*) ta được:  Câu 22 Cho hàm số y = x2 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm đường tiệm cận,  tiếp tuyến đồ thị (C) d khoảng cách từ I đến  Tìm giá trị lớn d  y   1 ( x  1) Giao điểm hai đường tiệm cận I(–1; 1) Giả sử M  x0;  Phương trình tiếp tuyến  với đồ thi hàm số M là: y 1  x0  1 ( x  x0 )  x0  2 x0   x   x0  1 y  x0   x0  1  x0  2  Khoảng cách từ I đến  d = Vậy GTLN d Câu 23 Cho hàm số y  x0    (C) x0    2 x0  1   x0  1 =  x0  1   x0  1  x0  x0  2 x 1 2x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh với m, đường thẳng d : y  x  m ln cắt (C) điểm phân biệt Trang 66 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng A, B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn  PT hồnh độ giao điểm d (C):  x  x   xm   2x   g( x)  2x2  2mx  m   (* )    m2  2m   0, m  g Vì    nên (*) ln có nghiệm phân biệt x1, x2 g     2 m  Theo định lí Viet ta có: x1  x2   m; x1x2  Giả sử: A( x1; y1), B( x2; y2 ) 1 ;k   Tiếp tuyến A B có hệ số góc là: k1   2 (2x1  1) (2x2  1)2  k1  k2  4(m  1)2   2 Dấu "=" xảy  m  1 Vậy: k1  k2 đạt GTLN 2 m  1 Câu 24 Cho hàm số y  x2 2x  (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O  Gọi ( x0; y0 ) toạ độ tiếp điểm  y ( x0 )  1 (2x0  3)2 0 OAB cân O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y   x (vì tiếp tuyến có hệ số  x  1  y0   1   (2x0  3)  x0  2  y0  + Với x0  1; y0   : y    ( x  1)  y   x (loại) + Với x0  2; y0   : y   ( x  2)  y   x  (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  góc âm) Nghĩa là: y ( x0 )  Câu 25 Cho hàm số y = 1 2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB  Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0; y0 )  (C) cắt Ox A, Oy B cho OA  4OB OB 1   Hệ số góc d  OA 4  x0  1 ( y0  ) 1   0     Hệ số góc d y ( x0 )   ( x0  1)2 ( x0  1)2  x  ( y  5)     y   ( x  1)  y   x   Khi có tiếp tuyến thoả mãn là:   y   ( x  3)   y   x  13   4 Do OAB vng O nên tan A  Trang 67 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Câu 26 Cho hàm số y  2x x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A B cho AB  OA  Gọi M ( x0; y0 )  (C), x0  PTTT M: y  4 ( x0  2)2 ( x  x0 )  2x0 x0  Tam giác vng OAB có AB  OA nên OAB vng cân O Do d vng góc với hai đường phân giác d1 : y  x; d2 : y   x khơng qua O + Nếu d  d1 4 ( x0  2)2  1  x0   d : y   x  4   vơ nghiệm ( x0  2)2 Vậy PTTT cần tìm là: y   x  + Nếu d  d2 Câu 27 Cho hàm số y  x 1 2x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm giá trị nhỏ m cho tồn điểm M  (C) mà tiếp tuyến (C) M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng d : y  2m   Gọi M ( x0; y0 )  (C) PTTT M: y  3 (2x0  1)2 ( x  x0 )  y0 Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hồnh trục tung  yB  Từ trọng tâm G OAB có: yG  Mặt khác: 2x02  4x0  (2x0  1)2  2x02  4x0  3(2x0  1)2 x02  (2 x0  1)2 (2x0  1)2  x02 (2x0  1)2 Vì G  d nên 2x02  4x0  (2x0  1)2 2x02  4x0  3(2x0  1)2  2m    1 3 Do để tồn điểm M thoả YCBT 2m     m  Vậy GTNN m Câu 28 Cho hàm số y  2x  (C) x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho cơsin góc · , với I giao tiệm cận ABI 17  2x    I(2; 2) Gọi M  x0;  (C) , x0  x0    Phương trình tiếp tuyến  M: y ( x0  2) Trang 68 ( x  x0 )  2x0  x0  hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng  Giao điểm  với tiệm cận: A 2;  · Do cos ABI  17 ABI  nên tan· 2x0    , B(2x0  2;2) x0    x  IA   IB2  16.IA2  ( x0  2)4  16   x0  4 IB   3  2  5 Tại M  4;  phương trình tiếp tuyến: y   x   3 Kết luận: Tại M  0;  phương trình tiếp tuyến: y   x  Câu hỏi tương tự: a) y  3x  ;cos· BAI  x 1 26 Câu 29 Cho hàm số y  ĐS: : y  5x  : y  5x  2x  có đồ thị (C) x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn     ( m  2)2   Lấy điểm M  m;     C  Ta có: y ( m)   m Tiếp tuyến (d) M có phương trình: y ( m  2)  ( x  m)   m 2  Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là: A 2;2   m   B (2 m  2;2) Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là:   2 Ta có: AB  (m  2)    Dấu “=” xảy  ( m  2)2   Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) M(1;1) m  m   Câu 30 Cho hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M điểm (C), I giao điểm đường tiệm cận Tiếp tuyến d (C) M cắt đường tiệm cận A B Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2  2x   1 2x  ( x  x0 )   Ta có: I(2; 2) Gọi M  x0;  (C), x0  PTTT d: y  x0  x0   ( x0  2)   2x   , B(2x0  2;2) d cắt tiệm cận A 2;    x0   IAB vng I S( IAB)  2  ( x0  2)  Câu 31 Cho hàm số y   x   M (1;1)  2  ( x0  2)  x0   M (3;3) 2x  x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Trang 69 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số   Giả sử M  x0;  1 2x0    (C) x0  , y '( x0 )   x0    x0  2  Phương trình tiếp tuyến () với ( C) M: y  1  x0  2  ( x  x0 )  2x0  x0  2x   ; B 2x  2;2 Toạ độ giao điểm A, B () với hai tiệm cận là: A 2;     x0   Ta thấy yA  yB 2x0  xA  xB  2x0    yM  M trung điểm AB   x0  xM , x0  2 Mặt khác I(2; 2) IAB vng I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2      x    2      ( x0  2)2  S =  IM   ( x0  2)    x0   ( x0  2)2      x  1  Dấu “=” xảy ( x0  2)  ( x  2)  x0  Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Câu hỏi tương tự: a) Với y  3x  ĐS: M (0;1), M ( 4;5) x2 Câu 32 Cho hàm số y  2mx  xm 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm m để tiếp tuyến diểm (C) cắt hai tiệm cận A B cho IAB có diện tích S  64  (C) có tiệm cận đứng x  m , tiệm cận ngang y  2m Giao điểm tiệm cận I (m;2m)  2mx   2m2  2mx  0  (C) PTTT  (C) M: y  ( x  x0 )  Gọi M  x0;   x  m x  ( x0  m) 0 m     cắt TCĐ A m;  Ta có: IA  2mx0  2m2    , cắt TCN B(2x0  m;2m)  x0  m  4m2  58 ; IB  x0  m  SIAB  IA.IB  4m2   64  m   x0  m 2 Câu 33 Cho hàm số y  x x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận (C) tam giác có chu vi P      (C) có tiệm cận đứng x  , tiệm cận ngang y  Giao điểm tiệm cận I (1;1)  x  x ( x  x0 )  Gọi M  x0;   (C) ( x0  1) PTTT  (C) M: y   x0  x  ( x0  1)    x0    , cắt TCN B(2x0  1;1)  x0    cắt TCĐ A 1; Trang 70 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Ta có: PIAB  IA  IB  AB   x0   ( x0  1)2  ≥ 4 2 x0  ( x0  1)2  x0   x0  Dấu "=" xảy  x0     + Với x0   PTTT : y   x ; Câu 34 Cho hàm số y  + Với x0   PTTT : y   x  2x  có đồ thị (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ   Giao điểm tiệm cận I (1;2) Gọi M  x0;2   + PTTT M có dạng: y  3 ( x0  1) ( x  x0 )      (C) x0    x0   + Toạ độ giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận: A  1;2  + Ta có: SIAB  1  IA.IB   2 x0  2.3 6 (đvdt) 2 x0    , B (2x0  1;2) x0    + IAB vng có diện tích khơng đổi  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB   x  1  x0    x0   x0   Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1   3;2   , M2   3;2   Khi chu vi AIB =  Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) biểu thức P = a  b  a2  b2 nhỏ a = b Thật vậy: P = a  b  a2  b2  ab  2ab  (2  2) ab  (2  2) S Dấu "=" xảy  a = b Câu hỏi tương tự: a) y  2x  x 1 Câu 35 Cho hàm số y  ĐS: M1(0; 1), M2(2;3) x2 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt tiệm cận A B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất, với I giao điểm tiệm cận  (C) có TCĐ x  1 , TCN y  Giao điểm tiệm cận I (1;1)  x 2 x 2 ( x  x0 )   (C) PTTT  (C) M: y  Gọi M  x0;   x0  x  ( x  1)     cắt hai tiệm cận A 1;  x0   ; IB  x0  , B(2x0  1;1) Ta có: IA   x0  x0    Trang 71 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số  SIAB  IA.IB  Gọi p, r nửa chu vi bán kính đường trọn nội tiếp IAB Ta có: S  pr  r  S  Do r lớn  p nhỏ Mặt khác IAB vng I nên: p p p  IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB2  IA.IB  2IA.IB   Dấu "=" xảy  IA  IB  ( x0  1)2   x0  1  + Với x  1   PTTT : y  x     + Với x  1   PTTT : y  x     Câu 36 Cho hàm số y  2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai nhánh đồ thị (C), điểm M, N cho tiếp tuyến M N cắt hai đường tiệm cận điểm lập thành hình thang  Gọi M (m; yM ), N (n; yN ) điểm thuộc nhánh (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B Tiếp tuyến N cắt hai tiệm cận C, D    m1  2m  PTTT M có dạng: y  y(m).( x  m)  yM  A 1; , B(2m  1;2)  2n   , D(2n  1;2)  n 1  Tương tự: C  1; Hai đường thẳng AD BC có hệ số góc: k  3 nên AD // BC (m  1)( n  1) Vậy điểm M, N thuộc nhánh (C) thoả mãn YCBT Câu 37 Cho hàm số y  x3 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm Mo ( xo; yo ) thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB  Mo ( xo; yo )  (C)  y0   4 ( x  x0 ) PTTT (d) M0 : y  y0   x0  ( x0  1)2 Giao điểm (d) với tiệm cận là: A(2x0  1;1), B(1;2y0  1)  xA  xB y y  x0; A B  y0  M0 trung điểm AB 2 Câu 38 Cho hàm số : y  x2 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi   Giả sử M  a;  a 2   (C) a 1  PTTT (d) (C) M: y  y (a).( x  a)  3 a2  4a  a x  y a 1 (a  1)2 ( a  1) Trang 72 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng  a 5 , B(2a  1;1)  a 1  Các giao điểm (d) với tiệm cận là: A 1;     IA   0; ; IB  (2a  2;0)  IB  a    IA  a 1  a 1 Diện tích IAB : S IAB = IA.IB = (đvdt)  ĐPCM Câu hỏi tương tự: a) y  2x  x 1 ĐS: S = 12 Câu 39 Cho hàm số y  2x  1 x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hồnh độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ    I (1; 2), A a; 2a  2a   ( x  a)   PT tiếp tuyến d A: y  1 a 1 a  (1  a)2  2a    1 a  Giao điểm tiệm cận ngang tiếp tuyến d: Q(2a  1; 2) Ta có: xP  xQ  2a  2xA Vậy A trung điểm PQ Giao điểm tiệm cận đứng tiếp tuyến d: P  1; IP = 2a 2  ; IQ = 2(a  1) Suy ra: 1 a 1 a Câu 40 Cho hàm số y  SIPQ = IP.IQ = (đvdt) 2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm đồ thị (C), điểm M có hồnh độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn: IA2  IB2  40   (C) có TCĐ: x  1 ; TCX: y   I(–1; 2) Giả sử M  x0; 2x0     (C), (x0 > 0) x0     x   2x   ( x  x0 )  A 1; , B  (2x0  1;2 PTTT với (C) M: y    x0  x0   ( x0  1)    36  4( x0  1)2  40  2  x0  (y0 = 1)  M(2; 1) IA  IB  40   ( x0  1) x   Câu 41 Cho hàm số y  x 1 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C)  Gọi M (0; yo ) điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y  kx  yo (d) Trang 73 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số  x 1 ( y  1) x2  2( y  1) x  y   (1)  x   kx  yo o o  o  2 (d) tiếp tuyến (C)   2 (*) k  k  x  1; 2 ( x  1)   ( x  1) YCBT  hệ (*) có nghiệm  (1) có nghiệm khác  yo      x    yo  x  ; yo   k  8    2   '  ( yo  1)  ( yo  1)( yo  1)  x  0; yo  1  k  2  Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) M(0; –1) Câu 42 Cho hàm số y  x3 (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng d : y  2x  điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C)  Gọi M (m;2m  1)  d PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k( x  m)  2m  PT hồnh độ giao điểm  (C): k( x  m)  2m    kx2   (m  1)k  2m x   mk  (2m  4)  x3 x 1 (*)  k      ( m  1)k  2m  4k  mk  (2m  4)   tiếp xuc với (C)  (*) có nghiệm kép   k  2 2  g(k)  ( m  1) k  4( m  m  4) k  4m  Qua M (m;2m  1)  d kẻ tiếp tuyến đến (C)   g(k)  m   m  1  m   m     32(m2  m  2)  0; g(0)  4m2   2 có nghiệm k      32(m  m  2)  0; g(0)  4m    m    16k    k    M (0;1)  M (1; 1)  M (2;5)  M (1;3) Trang 74 [...]... thi đại học môn toán Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y  x và y  x  8 Câu hỏi tương tự: a) Với y  x x 1 ĐS: y   x; y   x  4 Câu 18 Cho hàm số y  2x  1 x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm 4), B(4; 2) A(2;  Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0  1 )... Tùng Khảo sát hàm số  4(m  1)2  0  m  1  x = 1 (loại) Vậy với m  1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  x Câu 21 Cho hàm số: y  x2 (C) x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Cho điểm A(0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành  Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a) và có hệ số góc... Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2  2x0 x  0  2  0  x0  2 1  ( x0  1)4 Các tiếp tuyến cần tìm : x  y  1  0 và x  y  5  0 Câu 17 Cho hàm số y  2x (C) x2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất  Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại... A( x1; y1), B( x2; y2 ) 2 1 1 ;k   Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là: k1   2 2 (2x1  1) (2x2  1)2  k1  k2  4(m  1)2  2  2 Dấu "=" xảy ra  m  1 Vậy: k1  k2 đạt GTLN bằng 2 khi m  1 Câu 24 Cho hàm số y  x2 2x  3 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần... 0  0 Câu 41 Cho hàm số y  x 1 (C) x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C)  Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y  kx  yo (d) Trang 73 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số  x 1 ( y  1) x2  2( y  1) x  y  1  0 (1)  x  1  kx  yo o o  o  2 (d) là tiếp tuyến của (C)  ...     Hệ số góc của d là y ( x0 )   4 ( x0  1)2 ( x0  1)2  x  3 ( y  5) 0  0 2   1 3 1 5  y   4 ( x  1)  2 y   4 x  4  Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là:   y   1 ( x  3)  5  y   1 x  13   4 2 4 4 Do OAB vuông tại O nên tan A  Trang 67 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Câu 26 Cho hàm số y  2x x2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương... Cho hàm số y   x  1  M (1;1)  2  0 ( x0  2)  x0  3  M (3;3) 2x  3 x2 1 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Gọi M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất Trang 69 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số. .. âm) Nghĩa là: y ( x0 )  Câu 25 Cho hàm số y = 1 2 2x  1 x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB  Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0; y0 )  (C) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA  4OB OB 1 1 1   Hệ số góc của d bằng hoặc  OA 4 4 4 ... a 1 Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có:  1 ( a  1) 2 1  1   a  0 (b  1) ( a  1)  a  2 ( b  3) 2 Vậy có 2 điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3) Câu 20 Cho hàm số y  (2m  1) x  m2 x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1 2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  x  TXĐ: D = R \ {1}  (2m  1) x  m2 x   x 1 y  x Để đồ thị tiếp. ..Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Câu 15 Cho hàm số y  2x  3 có đồ thị là (C) x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d : 3x  4y  2  0 bằng 2  Giả sử M ( x0; y0 )