Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương Tứ giác lớp 8 trung học cơ sở

Mục tiêu đào tạo môn Toán ở trường trung học cơ sở là cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản, có hệ thống và tương đối toàn diện; rèn luyện cho học sinh những kỹ năng tư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THU HƯƠNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH

THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG “TỨ GIÁC”

LỚP 8 TRUNG HỌC SƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2010

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THU HƯƠNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH

THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG “TỨ GIÁC”

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS TS Bùi Văn Nghị, người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin cảm ơn tất cả các Thày, Cô và các cán bộ nhân viên của trường Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học này

Hà Nội, tháng 12 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thu Hương

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……… 1

1 Lí do chọn đề tài……… 2

2 Mục tiêu nghiên cứu 3

3 Phạm vi nghiên cứu 4

4 Mẫu khảo sát 4

5 Vấn đề nghiên cứu 4

6 Giả thuyết nghiên cứu 4

7 Phương pháp chứng minh luận điểm 4

8 Dự kiến luận cứ 5

9 Cấu trúc luận văn 5

Chương I: MỤC TIÊU PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH 6 1.1 Đại cương về tư duy……… 6

1.1.1 Tư duy là gì? 6

1.1.2 Quá trình tư duy……… 7

1.1.3 Các loại hình tư duy……… 7

1.2 Tư duy toán học……… 8

1.2.1 Các hình thức tư duy trong toán học……… 8

1.2.2 Các thao tác tư duy trong toán học……… 9

1.2.3 Một số loại hình tư duy toán học……… 14

1.3 Mục tiêu dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông………… 23

1.3.1 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác……… 23

1.3.2 Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng……… 23

1.3.3 Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản……… 24

1.3.4 Hình thành những phẩm chất trí tuệ……… 24

1.4 Tóm tắt chương 1……… 25

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN TRONG

CHƯƠNG “TỨ GIÁC” LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ……… 26

2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh qua các bài toán… 26 2.1.1 Phân tích, tổng hợp……… 26

2.1.2 Đặc biệt hóa……… 32

2.1.3 Tổng quát hóa……… 42

2.1.4 Lật ngược vấn đề……… 45

2.2 các bài toán nhằm phát triển các loại hình tư duy cho học sinh… 50 2.2.1 Tư duy hàm……… 50

2.2.2 Tư duy thuật toán……… 55

2.2.3 Tư duy sáng tạo……… 59

2.3 Các bài toán tổng hợp phối hợp các hoạt động trí tuệ nhằm phát triển các loại hình tư duy……… 68

2.4 Tóm tắt chương 2……… 81

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……… 82

3.1 Mục đích, tổ chức và kế hoạch thực nghiệm sư phạm………… 82

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm……… 82

3.1.2 Tổ chức thực nghiệm sư phạm……… 82

3.1.3 Kế hoạch thực nghiệm……… 83

3.2 Nội dung thực nghiệm……… 84

3.2.1 Các giáo án thực nghiệm……… 84

3.2.2 Bài kiểm tra đánh giá……… 97

3.2.3 Phân tích kết quả thực nghiệm……… 100

3.3 Tóm tắt chương 3……… 103

KẾT LUẬN……… 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 105

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục được coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội Với nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức trong tình huống công việc

Việc nâng cao chất lượng giáo dục là một trong những vấn đề được quan tâm hàng đầu trong xã hội Trong bối cảnh toàn ngành Giáo dục và Đào tạo đang nỗ lực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động của học sinh trong họat động học tập mà phương pháp dạy học

là cách thức họat động của giáo viên trong việc chỉ đạo, tổ chức họat động học tập nhằm giúp học sinh chủ động đạt các mục tiêu dạy học

Chất lượng giáo dục phụ thuộc vào nhiều thành tố trong một hệ thống bao gồm: Mục tiêu đào tạo, nội dung đào tạo, phương pháp dạy học, thầy và hoạt động của thầy, trò và hoạt động của trò, môi trường giáo dục… Trong đó phương pháp dạy học là thành tố trung tâm , giáo viên phải am hiểu sâu sắc nội dung dạy học, làm chủ kiến thức , biết chế biến nó theo ý đồ sư phạm và biết cách truyền tải nó đến với ho ̣c sinh Mặt khác ho ̣c sinh là chủ thể trong học tập và tu dưỡng Chủ thể phải tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo trong quá trình học tập

Mục tiêu đào tạo môn Toán ở trường trung học cơ sở là cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản, có hệ thống và tương đối toàn diện; rèn luyện cho học sinh những kỹ năng tư duy cơ bản như : kỹ năng phân tích, kĩ năng tổng hợp, kĩ năng sáng tạo…

Toán học là cơ sở của nhiều ngành khoa học quan trọng , sự phát triển của Toán ho ̣c gắn bó chặt chẽ và có tác động qua lại, trực tiếp với sự tiến bộ của các nghành khoa ho ̣c khác Vì vậy, tư duy Toán học có giá trị lớn trong

đời sống, trong nghiên cứu khoa ho ̣c , trong sản xuất, đặc biệt trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

Đổi mới PPDH là nhu cầu tất yếu của giáo viên, bởi vì đổi mới là sự cải tiến, nâng cao chất lượng phương pháp dạy học đang sử dụng để đóng góp nâng cao chất lượng hiệu quả của việc dạy học, là sự bổ sung, phối hợp nhiều phương pháp dạy học để khắc phục mặt hạn chế của phương pháp đã và đang

sử dụng nhằm đạt mục tiêu dạy học, là thay đổi phương pháp đã và đang sử dụng bằng phương pháp ưu việt hơn, đem lại hiệu quả dạy dạy học cao hơn Vì thế, đổi mới phương pháp dạy học được xác định trong các văn kiện của Đảng, Nhà nước mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đang chỉ đạo triển khai nhằm đáp ứng yêu cầu của mục tiêu và nội dung giáo dục mới Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1

- 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12 - 1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12 - 1998), được cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15 (4 - 1999) Nghị quyết Trung ương 2 khóa VII đã khẳng định “phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều ,rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại của quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh…” Luật Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" Để làm được điều này, với lượng kiến thức và thời gian được phân phối cho môn toán bậc THCS, mỗi giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp thì mới có thể truyền tải được tối

đa kiến thức cho học sinh, mới phát huy được tư duy sáng tạo của học sinh, không những đáp ứng cho môn học mà còn áp dụng được kiến thức đã học vào

các khoa học khác và chuyển tiếp bậc học cao hơn sau này Yêu cầu đổi mới PPDH đối với môn Toán còn có một sắc th ái riêng, phải hướng tới việc tạo điều kiện cho học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức thông qua họat động thực nghiệm và cao hơn nữa, cho học sinh có cơ hội thể hiện sự sáng tạo trong tư duy không kém phần quan trọng trong việc đổi mới PPDH nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục ở trường THCS

Trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh thì Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng Người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thấy được nhiều hình thức có thể diễn tả cùng một nội dung Toán học đồng thời phải rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn hình thức phù hợp nhất thể hiện nội dung đó Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, phân tích, tổng hợp, so sánh, là những thao tác tư duy có vai trò rất quan trọng trong quá trình dạy học Toán ở trường phổ thông Những thao tác này giúp chúng ta

mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh Tuy nhiên, các thao tác tư duy chưa được rèn luyện đúng mức trong dạy học ở trường phổ thông Phương pháp dạy học hiện nay ở nước ta còn nhiều nhược điểm: tri thức được người thầy truyền thụ dưới dạng

có sẵn, thầy thuyết trình, trò ghi nhớ, thầy áp đặt, trò thụ động Điều đó dẫn đến thực trạng học sinh tiếp nhận kiến thức một cách máy móc ít yếu tố tìm tòi, phát hiện, sáng tạo trong quá trình học Từ những lí do trên, đề tài được

chọn là: " Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ

giác” lớp 8 trung học cơ sở”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu là xây dựng hệ thống các bài toán trong chương “

Tứ giác” lớp 8 nhằm khai thác và phát triển tư duy cho học sinh

Các bài toán trong hệ thống cần tiềm ẩn các cơ hội có thể khai thác và rèn luyện được các thao thao tác tư duy cho học sinh Với đề tài này chúng tôi

hy vọng rằng sẽ đóng góp một phần nhỏ của mình vào việc nâng cao chất lượng giáo dục và cũng nhằm rút kinh nghiệm cho bản thân để việc giảng dạy

môn Toán ở trường phổ thông THCS được tốt hơn

6 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu giáo viên xây dựng được một hệ thống bài toán nhằm rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong chương “ Tứ giác” lớp 8 và tổ chức những tình huống dạy học khơi gợi được hứng thú, tính tự lực khám phá kiến thức thì sẽ góp phần phát triển tư duy cho học sinh

7 Phương pháp chứng minh luận điểm

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí luận làm cơ sở lí luận cho đề tài

- Sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm làm cơ sở thực tiễn cho đề tài

- Sử dụng phương pháp thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

8 Dự kiến luận cứ

8.1 Luận cứ lý thuyết

1) Khái niệm tư duy

2) Các thao tác tư duy cần thiết cho sự phát triển trí tuệ của học sinh

- Phân tích – Tổng hợp

- So sánh - Tương tự hóa

- Khái quát hóa - Đặc biệt hóa

3) Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo liên quan đến chương “Tứ giác” lớp 8 trung học cơ sở

8.2 Luận cứ thực tế

- Đánh giá sự phát triển tư duy cho học sinh thông qua thực nghiệm sư phạm tại một số trường trung học cơ sở

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và các tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Mục tiêu phát triển tư duy cho học sinh

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài toán trong chương “ Tứ giác” lớp 8 trung học cơ sở có tác dụng phát triển tư duy cho học sinh

Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: MỤC TIÊU PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH

1.1 Đại cương về tư duy

1.1.1 Tư duy là gì

Theo [11], có những định nghĩa khác nhau về tư duy Theo X L

Rubinstein: "Tư duy đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể

với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể " Theo A V Petrovski: "Tư duy là quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ Ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo ra cái chính yếu, quá trình phản ánh, cách từng phần học khái quát, thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở thực tiễn, từ nhận thức cảm tính, và vượt xa giới hạn của nó " "Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong sự vật khách quan" “Tư duy là sản phẩm cao

nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt -Bộ não người”.[19]

Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận v.v Theo một định nghĩa khác, "tư duy" là danh

từ triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó

Cơ chế hoạt động cơ sở của tư duy dựa trên hoạt động sinh lý của bộ não với tư cách là hoạt động thần kinh cao cấp Mặc dù không thể tách rời não nhưng tư duy không hoàn toàn gắn liền với một bộ não nhất định Trong quá trình sống, con người giao tiếp với nhau, do đó, tư duy của từng người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân vừa chịu sự tác động biến đổi

từ tư duy của đồng loại thông hoạt động có tính vật chất Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể người mà còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xã hội trong khi vẫn duy trì được tính cá thể của một con người nhất định

Tư duy bắt nguồn từ hoạt động tâm lý Hoạt động này gắn liền với phản

xạ sinh lý là hoạt động đặc trưng của hệ thần kinh cao cấp Hoạt động đó diễn

ra ở các động vật cấp cao, đặc biệt biểu hiện rõ ở thú linh trưởng và ở người Nhưng tư duy với tư cách là hoạt động tâm lý bậc cao nhất thì chỉ có ở con người và là kết quả của quá trình lao động sáng tạo của con nguời Theo quan điểm của triết học duy vật biện chứng, lao động là một trong các yếu tố quyết định để chuyển hóa vượn có dạng người thành con người Từ chỗ là một loài động vật thích ứng với tự nhiên bằng bản năng tự nhiên, con người đã phát triển sự thích ứng đó bằng bản năng thứ hai là tư duy với năng lực trừu tượng hóa ngày càng sâu sắc đến mức nhận thức đuợc bản chất của hiện tượng, quy luật của tự nhiên và nhận thức đựơc chính bản thân mình

1.1.2 Quá trình tư duy

Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm 4 bước cơ bản:

- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

- Xác minh giả thiết trong thực tiễn Nếu giải thiết không đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới

- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

1.1.3 Các loại hình tư duy

Nhân loại đã đặt cho tư duy rất nhiều loại hình tư duy như tư duy lôgic,

tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy kinh nghiệm, tư duy lý luận, tư duy khoa học, tư duy triết học v.v Về bản chất, tư duy chỉ có một, đó là sự việc hình thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các phần tử ghi nhớ Sự phân chia ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và vận dụng tốt tư duy

trong hoạt động của hệ thần kinh

1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Các hình thức tư duy trong toán học

1.2.1.1 Khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do

đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội hàm Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng

đó Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm loại của A

1.2.1.2 Phán đoán

Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi

Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu: trực tiếp và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của qua trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận điểm

1.2.1.3 Suy luận

Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những quy luật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp Suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau Quy nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp

1.2.2 Các thao tác tư duy toán học

1.2.2.1 Phân tích- tổng hợp

Đứng trước một bài toán học sinh phải đặt ra cho mình câu hỏi : Giả thiết bài toán cho điều gì? kết luận của bài toán yêu cầu gì? muốn giải quyết yêu cầu của bài toán ta phải làm gì ? vận dụng kiến thức như thế nào, muốn thế ta phải thực hiện thế nào? Đứng trước một lời giải của bài toán học sinh phải biết tự đặt câu hỏi: Bài toán tại sao lại được giải như vậy? dựa trên cơ sở nào? giải bài toán tổng quát như thế nào? liệu có cách giải nào khác không? nếu thay đổi một số giả thiết thì bài toán thay đổi thế nào? các trường hợp đặc biệt của bài toán ra sao?

Rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp cho học sinh là yếu tố rất quan trọng trong dạy học, học sinh có năng lực này sẽ nhìn nhận các bài toán một cách hệ thống, biết phán đoán, biết cách suy luận để tìm lời giải không những cho bài toán cụ thể mà còn cả hệ thống bài toán, biết nêu bài toán tổng quát dẫn đến khả năng giải quyết vấn đề được phát huy cao độ nhất

Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng nhận thức thành các

bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Trong giải toán, phân tích là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết

Xuất phát từ góc độ phân tích các hoạt động tư duy đi sâu vào bản chất thuộc tính của bộ phận từ đó đi tới những giả thiết và những kết luận khoa học Trong học tập hoạt động này rất phổ biến Chẳng hạn, muốn giải một bài toán , phải phân tích tìm các mối lien hệ, các yếu tố, dữ kiện của bài toán từ

đó mới có thể giải được bài toán

Phân tích đi lên (Suy ngược lùi): để chứng minh mệnh đề A ta suy ngược lại cần phải chứng minh A1, muốn chứng minh A1 ta phải chứng minh

A2 cứ như vậy cho đến khi có Ak là mệnh đề đúng ta dừng lại Khi trình bày lời giải lại theo trình tự ngược lại từ Ak ta suy ra đến A1 Ta có sơ đồ sau:

Ak  Ak-1  …  A1

Phép phân tích đi lên thường dùng để tìm lời giải Đây là một trong cách thức để tìm ra lời giải của bài toán một cách thông dụng và phổ biến nhất, qua bước phân tích này học sinh sẽ tìm ra cách giải quyết một vấn đề Giáo viên rèn luyện cho học sinh năng lực này giúp cho học sinh dễ dàng tìm

ra lời giải cho một bài toán, thường là những bài toán mà chưa biết thuật toán

để giải nó

Phép phân tích đi xuống (Suy ngược tiến): Giả sử đã có A ta suy ra A1tức là A A1 ; từ A1 A2 … ; từ Ak-1 Ak khi nào gặp Ak sai thì dừng lại khi đó kết luận A là sai Còn Ak đúng thì không kết luận được gì Phép phân tích này thường dùng trong chứng minh phản chứng, muốn phủ định một vấn

đề ta thường sử dụng phương pháp này từ đó suy ra muốn chứng minh một mệnh đề ta thường giả thiết mệnh đề phủ định

Tổng hợp là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong

việc xác lập tính thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu

tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong việc liên kết và liên hệ giữa chúng và chính vì vậy đã thu được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới Tổng hợp là các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần

đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể Trong giải toán, phép tổng hợp là phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa biết Nếu A là hệ thức cần chứng minh ta suy theo sơ đồ sau:

Ak  Ak-1  …  A1  A

Phép tổng hợp thường dùng khi trình bày lời giải sau quá trình phân tích Học sinh nắm vững phương pháp tổng hợp dẫn đến việc khái quát hóa một dạng toán đi từ các bài toán cụ thể, từ đó phát hiện được những lời giải cho bài toán tổng quát; khi gặp những bài toán thuộc dạng đó, học sinh dễ dàng nhận ra đường lối chung để giải nó

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời,

chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích đạt được chiều sâu bản chất hiện tượng sự vật Trong học tập môn toán, phân tích-tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

Sự phát triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tư duy và các hình thức tư duy của học sinh

1.2.2.2 So sánh, tương tự hóa

So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau,

sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò tích cực Việc tìm ra những dấu hiệu giống nhau cũng như khác nhau giữa hai sự vật hiện tượng là nội dung chủ yếu của tư duy so sánh Việc nhận thức bản chất của

sự vật hiện tuợng không thể có nếu không có sự tìm ra sự khác biệt sâu sắc, sự giống nhau của các sự vật, hiện tượng

Cũng như tư duy phân tích, tư duy tổng hợp thì tư duy so sánh có thể ở mức độ đơn giản (tìm tòi, thống kê, nhận xét) cũng có thể thực hiện trong quá trình biến đổi và phát triển Nhờ so sánh người ta có thể tìm thấy các dấu hiệu bản chất giống nhau và khác nhau của các sự vật Ngoài ra còn tìm thấy những dấu hiệu bản chất, không bản chất thứ yếu của chúng

So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích-tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số

dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức

độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

Đứng trước nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhưng có một số điểm chung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận học sinh phải biết liên hệ lôgic với nhau qua phép so sánh và tương tự Từ đó tăng khả năng phân biệt, nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đường lối giải các dạng bài toán

đó

So sánh bao gồm hai thành phần chính đó là phát hiện đặc điểm chung

và phát hiện đặc điểm khác nhau giữa các bài toán Nhờ đó có thể phát hiện hàng loạt bài toán có cách giải hoặc ý tưởng giải giống nhau Qua đó luyện tập cho học sinh phép tương tự Không những thế còn phát triển cho học sinh hàng loạt bài toán giống nhau để đi đến dạng tổng quát của nó hoặc từ một bài toán tổng quát có thể đi vào giải từng bài toán cụ thể Rèn luyện kỹ năng này giúp học sinh phân biệt các ý tưởng của các dạng bài toán mà cùng vận dụng một kiến thức những suy nghĩ theo nhưng hướng khác nhau hoặc so sánh lời giải các bài toán trong cùng một dạng giúp cho học sinh hiểu sâu hơn về dạng toán đó Chẳng hạn: So sánh tính chất của hình thang cân và hình chữ nhật

1.2.2.3 Khái quát hóa, đặc biệt hóa

Khái quát hoá là hoạt động tư duy tách những thuộc tính chung và các mối liên hệ chung, bản chất của sự vật, hiện tượng tạo nên nhận thức mới dưới hình thức khái niệm, định luật, qui tắc

- Khái quát hoá cảm tính: diễn ra trong hoàn cảnh trực quan, thể hiện ở trình

độ sơ đẳng

- Khái quát hoá hình tượng, khái niệm: là sự khái quát cả những tri thức có tính chất khái niệm bản chất sự vật và hiện tượng hoặc các mối quan hệ không bản chất dưới dạng các hình tượng hoặc trực quan, các biểu tượng

Tư duy khái quát hoá là hoạt động tư duy có chất lượng cao, sau này khi học ở cấp học cao, tư duy này sẽ được huy động một cách mạnh mẽ vì tư duy khái quát hoá là tư duy lí luận khoa học

Khái quát hoá nhằm hợp nhất nhiều đối trượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

Theo G.S Nguyễn Bá Kim: " Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [8, tr51]

Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

Khái quát hoá là thành phần cơ bản của năng lực toán học, năng lực này chỉ

có thể hình thành và phát triển trong hoạt động, Những dạng khái quát hoá thường gặp có thể được biểu diễn theo sơ đồ sau:

Khái quát hoá

Khái quát hoá từ cái

riêng lẻ đến cái tổng quát

Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái riêng lẻ

Khái quát hoá tới cái

tổng quát đã biết

Khái quát hoá tới cái tổng quát chưa biết

Hình 1.1

Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của quá trình khái quát hóa Đặc biệt hoá là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể từ đó tìm được nhiều trường hợp riêng lẻ

từ một bài toán xuất phát

Các kỹ năng này giúp học sinh có cách nhìn tổng quát về các bài toán sau khi giải Trên cơ sở đó, học sinh có thể phát triển thành các bài toán mở rộng hơn, hoặc trong mỗi trường hợp có thể xét bài toán ở các trường hợp đặc biệt Từ đó việc suy luận đến lời giải sẽ nhanh chóng hơn đối với các dạng toán đó

1.2.2.4 Trừu tượng hóa

Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

1.2.3 Một số loại hình tư duy toán học

Về cách phân loại những thành phần chủ yếu của tư duy, theo [21] có bàn đến những thành phần chủ yếu của tư duy, bao gồm:

1.2.3.1 Tư duy cụ thể

Là tư duy trong tác động chặt chẽ với một hình mẫu cụ thể của đối tượng Người ta phân biệt hai hình thái tư duy cụ thể, đó là: tư duy linh hoạt

và tư duy không linh hoạt

1.2.3.2 Tư duy trừu tượng

Là tư duy đặc trưng bởi kỉ năng và ý thức, tách khỏi nội dung cụ thể của đối tượng đang nghiên cứu để thuận tiện hơn khi xét những tính chất chung nhất cần nghiên cứu Tư duy trừu tượng có những dạng biểu hiện sau trong quá trình giảng dạy toán, đó là: trong dạng rõ rệt và trong dạng không rõ rệt Tư duy trừu tượng được Kôliagin và đồng tác giả phân chia thành ba hình

thái cụ thể và chi tiết hơn: Một là, tư duy phân tích Hai là, tư duy logic Ba là,

tư duy lược đồ không gian

1.2.3.3 Tư duy trực giác

Trong lĩnh vực Toán học, có những người có khả năng dự đoán những kết luận, với ý nghĩa đó người ta nói đến tư duy trực giác Các nhà triết học duy tâm hiểu trực giác là: "Năng lực đặc biệt của sự quan sát bên trong, là trạng thái của một tư tưởng đến đột ngột, nhờ đó mà con người dường như có thể nhận thức được tâm lí mà không cần có sự tham gia của hoạt động suy luận logic" Còn theo quan điểm của Koliagin và đồng tác giả, thì trực giác là phương pháp đặc biệt của nhận thức được đặc trưng bởi cách hiểu trực tiếp về

sự thật Người ta thường xếp vào lĩnh vực trực giác, các hiện tượng kiểu như: đột nhiên tìm ra lời giải của một bài toán đã suy ngẫm nhiều nhưng chưa giải được, đột nhiên tìm ra một biện pháp để thoát khỏi sự nguy hiểm…

1.2.3.4 Tư duy hàm

Kôliagin cho rằng: Tư duy hàm đặc trưng bởi sự hiểu biết những mối quan hệ chung và riêng, bởi các quan hệ giữa những đối tượng toán học hoặc giữa các tính chất của chúng và bởi kỉ năng sử dụng các quan hệ ấy Còn theo Nguyễn Bá Kim: Tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt động phát hiện các sự tương ứng, thiết lập các sự tương ứng, nghiên cứu các sự tương ứng, lợi dụng các sự tương ứng [8 ]

Các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm đó là:

HĐ 1: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng

HĐ 2: Nghiên cứu những sự tương ứng

HĐ 3: Lợi dụng những sự tương ứng

Tư duy hàm thể hiện ở sự nhận thức được tiến trình những tương ứng riêng và chung giữa các đội tượng toán học hay những tính chất của chúng rèn luyện tư duy hàm cho học sinh tạo điều kiện phát triển những hoạt động trí tuệ sau:

Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những tương ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kỹ năng toán học

Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động tư duy hàm trở thành những khả năng gợi động cơ nội tại toán học trong các giờ dạy học giải bài tập toán

Hình thành ở học sinh những biểu tượng, tiến tới những tri thức về tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp

1.2.3.5 Tư duy phê phán

Theo [16] thì tư duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi sau:

+ Ta sẽ tin vào điều gì?

+ Ta sẽ lựa chọn cách nào?

Loại hình tư duy này đặc trưng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sự tin tưởng vào hành động; kiên định thái độ "tin tưởng", "hoài nghi" và chỉ đưa ra phán đoán, kết luận cuối cùng khi đã xem xét hết các tư liệu đã có

Chúng ta cần phải hiểu rằng cách phân loại trên đây chỉ là tương đối Rõ ràng khó mà kể hết các loại hình tư duy, bởi vì, mỗi tác giả lại có quan điểm riêng

và ngay bản thân từng tác giả thì các loại tư duy theo cách phân loại của họ cũng có sự giao thoa và cũng không thể kì vọng vào một sự đầy đủ tuyệt đối

Tư duy logic

1.2.3.6 Tư duy thuật toán

Thuật toán là một trong những khái niệm rất quan trọng của Toán học

và Tin học Trong lịch sử toán học, khái niệm thuật toán ra đời rất sớm và ban đầu được hiểu theo nghĩa trực giác Khái niệm thuật toán theo nghĩa trực tiếp

là đủ dùng trong suốt đời một thời gian rất dài Mãi tới đầu thế kỷ 20, xuất hiện những bài toán yêu cầu phải chứng minh là không tồn tại thuật giải để giải chúng Khái niệm trực giác về thuật giải là không đủ để giải quyết vấn đề

này Từ đó, những định nghĩa toán học chính xác về thuật toán đã ra đời (trong số đó có khái niệm máy Turing và hàm đệ quy) Ở đây, chúng ta không trình bày những định nghĩa hình thức này mà chỉ nêu ra khái niệm thuật toán theo nghĩa trực giác

Theo nghĩa trực giác, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đó

ta thu được kết quả mong muốn

Đây không phải là một định nghĩa toán học của khái niệm thuật toán

mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm này Cách phát biểu trên chứa đựng một số thuật ngữ chưa được chính xác hóa, chẳng hạn: quy tắc, thao tác sơ cấp Những thuật ngữ này được hiểu theo trực giác Thuật toán

có các tính chất cơ bản sau đây:

- Tính đơn trị: Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật toán phải đơn trị Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả Tính chất này nói lên tính hình thức hoá của thuật toán nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật toán thay thế con người

- Tính dừng: Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như mong muốn Tính dừng của thuật toán không quy định cụ thể mỗi thuật giải phải có bao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toán nhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi

- Tính đúng đắn: Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn Thuật toán không

cho phép kết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp

- Tính phổ dụng: Thuật toán phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra những thuật toán, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán

- Tính hiệu quả: Yêu cầu hiệu quả của thuật toán là tính tối ưu Tiêu chuẩn tối

ưu được hiểu là:

+ Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian

+ Thuật toán dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian + Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn

Quan điểm khai thác hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng mỗi nội

dung dạy học đều chứa đựng nhiều hoạt động tương thích với nó, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung này Tương thích với khái niệm thuật toán có những hoạt động đáng chú ý sau đây:

- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán;

- Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình

tự xác định;

- Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng;

- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động;

- Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc

Phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động trên được gọi là tư duy thuật toán Mỗi khả năng ấy là một thành tố của tư duy thuật toán Thành phần đầu tiên thể hiện năng lực thực hiện thuật toán, bốn

thành phần sau thể hiện năng lực xây dựng thuật toán Các hoạt động trên được gọi là hoạt động tư duy thuật toán

1.2.3.7 Tư duy sáng tạo

i) Tư duy sáng tạo là gì?

" Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất" [10, tr.72]

Theo nhà tâm lý học G.Mehlhorn: " Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục"

Khi xem xét tư duy sáng tạo trên bình diện như một năng lực của một con người thì J.Danton quan niệm: " Tư duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá "

Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo Mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức

độ tư duy đi sau Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực được đặc trưng bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực Còn tư duy độc lập thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư duy độc lập

Mặt khác, có ý kiến cho rằng: " Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo" [10, tr.33]

Mối quan hệ các loại hình tư duy có thể biểu thị mối liên hệ bởi sơ đồ sau:

một vấn đề được giải quyết có thể mang tính sáng tạo đối với người này

nhưng

không mang tính sáng tạo đối với người khác

ii) Quá trình sáng tạo

Như J.Adama đã "Nghiên cứu về tâm lí học sáng tạo trong lĩnh vực toán học" đã chỉ ra quá trình lao động sáng tạo ấy trải qua bốn giai đoạn: + Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu liên quan

+ Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức, tiềm thức lại chiếm ưu thế, các hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm

+ Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm được lời giải đáp, đó là các bước nhảy vọt về chất trong tri thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo

+ Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả Ý thức lại được tham gia tích cực Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng tạo mới được khẳng định

Hình 1.2

Đặc điểm của quá trình sáng tạo:

+ Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới

+ Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc

+ Nhìn ra các chức năng mới ở những đối tượng quen thuộc

+ Nhận ra cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu

+ Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau

+ Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi

đã biết được nhiều phương pháp giải quyết truyền thống

Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái hay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên bừng sáng trong đầu óc con người hoặc đặt con người trong trạng thái " hứng khởi" cao độ, khi đó các tư tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, giúp họ đi đến những kết quả mới

iii) Thành phần của tư duy sáng tạo

Mang đặc thù của một quá trình sáng tạo, có thể nói tư duy sáng tạo là

sự kết hợp ở đỉnh cao của tư duy độc lập và tư duy tích cực, tư duy sáng tạo gồm các thành phần sau:

+ Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ

thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán Tính mềm dẻo gạt bỏ sự sơ cứng trong tư duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhau của chủ thể nhận thức

+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp

giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý

tưởng mới Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi khả năng tạo ra số các ý tưởng mới khi nhận thức vấn đề

+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tư duy trong quá trình xác định mục đích

cũng như giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lý, tính tối ưu của giải pháp

+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành

động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu

thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới

1.2 Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông

Như chúng ta đã biết: "Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" [19, Chương 2, mục 2, điều 23]

Môn Toán, cũng như mọi môn học, xuất phát từ đặc điểm, vai trò, vị trí, ý nghĩa của nó, phối hợp cùng môn học khác và các hoạt động khác nhau trong nhà trường, góp phần thực hiện mục tiêu trên Như vậy, phát triển tư duy (phát triển trí tuệ) cho học sinh cũng chính là một mục tiêu quan trọng của giáo dục phổ thông Toán học có tính chất trừu tượng cao độ Do đó, môn Toán có khả năng to lớn góp phần phát triển tư duy cho học sinh Chính vì mục tiêu này, cần thiết phải được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống,

có kế hoạch chứ không phải là tự phát Muốn vậy, người thầy giáo cần phải

có ý thức về việc hiểu và nghiên cứu tư duy, cách phát triển tư duy, đặc biệt đối với người thầy giáo dạy môn Toán ở trường phổ thông cần phải có ý thức

đầy đủ về Tư duy toán học và phát triển tư duy toán học cho học sinh trong

dạy học toán ở trường phổ thông

Tư duy toán học và phát triển tư duy toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông là một trong những vấn đề lớn, vấn đề trọng tâm Trong luận văn này tôi xin được trình bày một số vấn đề cơ bản thuộc về Tư duy toán học, cách rèn luyện và phát triển Tư duy toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông thông qua một số cơ sở lí luận cơ bản về tư duy và một số ví dụ cụ thể Như vậy, phát triển năng lực trí tuệ là một trong các mục tiêu chính của quá trình dạy học môn Toán Môn Toán góp phần quan trọng vào việc hình thành và phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận Toán học đặc trưng cho cuộc sống Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát Muốn vậy người giáo viên cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây:

1.3.1 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

Thật vậy, không những do đặc điểm của môn Toán mà còn do đặc điểm của tư duy có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ Tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ giữa con người với con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy việc phát triển tư duy lôgic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác

1.3.2 Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

Tác dụng phát triển tư duy toán học không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng (tức là, khả năng dự đoán và suy luận có lí) Muốn vậy, người thầy giáo phải làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng các quy tắc suy đoán, như: xét tương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, quy nạp (xuất phát từ cái riêng để suy đoán cái chung), tổng quát hoá… Chú ý rằng, những suy đoán (dự đoán) có thể rất táo bạo, rất đặc biệt, nhưng cũng cần phải có những

căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều Có những trường hợp dự đoán là định hướng chính cho việc phát hiện và giải quyết vấn đề, có những trường hợp dự đoán hỗ trợ cho việc giải quyết vấn đề, nhưng có những trường hợp nếu chỉ nghĩ rằng chỉ có dự đoán được một điều gì đó liên quan đến vấn đề thì mới giải quyết được thì có thể sẽ khiến chúng ta gặp khó khăn Nhà sư phạm Hoa

kỳ - J Pôlya phát biểu: "Toán học xem như một môn học về sự chứng minh, tuy nhiên đó chỉ mới là một khía cạnh của nó Muốn việc dạy học Toán phản ánh được quá trình hình thành của Toán học thì cần phải giành chỗ cho dự đoán và suy luận có lí".[21]

1.3.3 Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản

Môn Toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như : Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa, khái quát hóa do đó môn toán có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ này

1.3.4 Hình thành những phẩm chất trí tuệ

Việc rèn luyện cho học sinh những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống Có thể nêu ra một sô phẩm chất trí tuệ quan trọng như:

1.3.4.1 Tính linh hoạt

Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình

tư duy Trước hết cần rèn luyện cho học sinh khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lất đích của quá trình đã biết làm diểm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biết lại là đích của quá trình mới

1.3.4.2 Tính độc lập

Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề,

tự mình xá định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình hoàn thiện và kiểm tra kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của

tư duy Tính chất sau thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩa

và tư tưởng của người khác và của bản thân mình, có tinh thần hoài nghi trong khoa học, biết đạt những câu hỏi “tại sao?”, “thế nào?” đúng chỗ và đúng lúc

1.3.4.3 Tính sáng tạo

Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

1.4 Tóm tắt chương 1

Chương này trình bày một số vấn đề thuộc về cơ sở lí luận của đề tài

Đó là quan niệm về tư duy, các loại hình tư duy và các thao tác tư duy trong Toán học

Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông trong đó mục tiêu quan trọng nhất là phát triển năng lực trí tuệ, tư duy cho học sinh

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG

“TỨ GIÁC” LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN

TƯ DUY CHO HỌC SINH

Việc phát riển và rèn luyện tư duy cho học sinh gồm hai phương diện:

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa

- Phát triển các dạng tư duy: Tư duy hàm, tư duy thuật toán, tư duy sáng tạo Trong chương này, chung tôi chọn lọc các bài toán và khai thác chúng trong quá trình dạy học theo hai phương diện trên

2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh qua các bài toán

2.1.1 Phân tích Tổng hợp

Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ thường gặp nhất trong các bài toán chứng minh hình học Chứng minh là dựa vào những điều đã biết bao gồm giả thiết của bài toán, các định nghĩa, định lý, tiên đề, mệnh đề và bằng suy luận logic để chứng tỏ kết luận của bài toán là đúng

Để tìm cách giải của bài toán “ Cho A, chứng minh B”, ta thường dùng

phương pháp phân tích đi lên: Để chứng minh B, ta tìm cách chứng minh B1,

để chứng minh B1 ta tìm cách chứng minh B2…cuối cùng ta tìm cách chứng minh Bn Nếu từ giả thiết ta chứng minh được Bn thì ta đã tìm cách giải được bài toán

Khi trình bày lời giải của bài toán chứng minh, ta thường dùng phương

pháp tổng hợp, tức là trình bày theo thứ tự ngược lại của bước phân tích đi lên

Quá trình phân tích và tổng hợp là hai quá trình gắn bó mật thiết với nhau Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích có chiều sâu

Để tạo cơ hội rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh, từ những bài toán

có trong sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bài tập, giáo viên có thể sửa đề

để kích thích tư duy cho học sinh

Bài toán trong sách tham khảo như sau:

Bài toán 1: Cho ABC có AB < AC < BC Trên tia BC lấy điểm M sao cho

BM = AB Trên tia CB lấy N sao cho CN = AC Gọi O là giao của 3 đường phân giác của ABC, OE, OG, OF thứ tự là khoảng cách từ O đến BC, AB

và AC Chứng minh rằng:

a) AGEM, AFEN là các hình thang cân

b) OMN là tam giác cân [6, tr 61]

Để phát triển tư duy cho học sinh ta có thể thay đổi bài toán như sau :

Cho ABC có AB < AC < BC Gọi O là giao của 3 đường phân giác

của ABC, OE, OG, OF lần lượt vuông góc với BC, AB và AC

a) Có nhận xét gì về các tam giác AGF, BGE, CEF?

b) Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM = AB Trên tia CB lấy N sao cho

CN = AC Có nhận xét gì về các tứ giác AGEM, AFEN?

c) So sánh EM và EN

Theo bài toán đã chỉnh sửa, các câu hỏi giúp học sinh có những phán đoán, phá hiện và từ đó khám phá ra những kết quả mới Quá trình chứng minh những phánđoán là đúng sẽ trở lại chứng minh bài toán ban đầu

Ta có thể hướng dẫn học sinh tìm lời giải của bài toán bằng phương pháp nhân tích đi lên như sau:

Từ (1), (2) và (3)  EG // AM  AGEM là hình thang cân (4)

Chứng minh tương tự ta có AFEN cũng là hình thang cân (5)

b) Chứng minh tương tự ở câu a) ta có hai tam giác vuông GOA và FOA bằng nhau

Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD, gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và

CD Gọi G,H,I,K theo thứ tự là trung điểm của AF; ED; BF; EC Chứng minh rằng tứ giác GHIK là hình bình hành

Phân tích tìm lời giải: Bài toán yêu cầu chứng minh tứ giác GHIK là hình

bình hành thì ta có thể chứng minh nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà ở đây ta có G, H, I, K là trung điểm của 4 đoạn thẳng

"rời nhau" nên ta sẽ "liên kết" chúng lại bằng cách sử dụng thêm các trung điểm trung gian, đó là điểm E và F Ta có cách giải như sau:

P

K

IG

H

F

EA

D

C

B

Lời giải:

Gọi P là giao điểm của HK và IG Tứ giác GHIK có hai đường chéo là

GI và HK cắt nhau tại P, ta sẽ chứng minh P là trung điểm của mỗi đường Trong EDC có H và F là trung điểm của ED và DC nên HF là đường trung bình của EDC  HF//DC và HF=

2

1

DC

Do đó HF//EK và HF=EK (K là trung điểm của EC) nên tứ giác HFKE

là hình bình hành, suy ra EF và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Trong BAF có E và I là trung điểm của BA và BF nên EI là đường trung bình của BAF, suy ra FI // AF và FI=

2

1 AF, tức là FI//GF và FI=GF

Hình 2.2

(vì G là trung điểm của AF), do đó EIFG là hình bình hành nên EF và GI cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Như vậy ba đoạn thẳng EF, GI và HK đồng quy với nhau tại trung điểm mỗi đường tức P là trung điểm của hai đường chéo của tứ giác GHIK tứ giác GHIK là hình bình hành (đpcm)

Bài toán 3 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác, tỉ số khoảng cách từ trực

tâm đến một đỉnh và khoảng cách từ giao điểm các đường trung trực đến cạnh đối diện với đỉnh ấy là một hẳng số

Phân tích:

Xét tam giác ABC có H là trực tâm, O là giao điểm các đường trung trực,

OM BC Ta phải chứng minh HA

OM là hằng số Để xác định hằng số đó ta xét tam giác ABC vuông tại B, khi đó H trùng B, còn O là trung điểm của

AC Ta dự đoán được tỉ số cần tìm là 2 Như vậy ta cần chứng minh HA

OM = 2

l O

C B

A

;H

Xét trường hợp đặc biệt, tam giác

ABC vuông tại B, khi đó OM là

đường trung bình của tam giác ABC

nên ta có điều cần chứng minh

Cũng từ trường hợp đặc biệt này gợi

ý cho ta một cách chứng minh như

sau:

l K

O

C B

A

H

M

M Hình 2.3 Hình 2.4

Hình 2.5

Lời giải:

Kéo dài CO một đoạn OK = CO Khi đó OM là đường trung bình của tam

giác CBK nên OM // KB, OM = 1

2 KB Suy ra KB // AH (cùng song song với OM)

 A HDC (đẳng thức này đúng với mọi góc A)

ii) Thay các điều kiện của bài toán bởi điều kiện hẹp hơn Chẳng hạn thay tam

giác ABC có AC > AB bởi tam giác ABC cân

Bài toán 5: Cho tam giác ABC(AC > AB), đường cao AH Gọi D, E, F thứ tự

là trung điểm của AB, AC, BC

a) Tứ giác BDEF là hình gì ?

b) Tứ giác DEFH là hình gì?

c) Xác định dạng của tứ giác BDEF nếu tam giác ABC cân ở B

d) Xác định dạng của tứ giác DEFG nếu tam giác ABC vuông ở B

b) Vì DE // BC nên DE // HF

 Tứ giác DEFH là hình thang

c) Nếu tam giác ABC cân ở B thì BA = BC Mà BD = 1

2BA, BF = 1

2BC nên

BD = BF Suy ra BDEF là hình thoi (Hình 2.8)

d) Nếu tam giác ABC vuông tại B thì H  B Dễ dàng chứng minh đƣợc tứ giác DEFH là hình chữ nhật (Hình 2 9)

F

E D

iii) Thay vị trí bất kì của một điểm, của hình bằng vị trí đặc biệt của nó

Chẳng hạn trong các điểm C thuộc đoạn AB xét C trùng với A, hoặc C trùng với B, hoặc C là trung điểm của AB

Bài toán 6: Cho tam giác ABC cố định cân ở A Gọi D, E theo thứ tự là các

điểm thay đổi nằm trên cạnh AB và AC sao cho AD = EC Trung điểm của

DE nằm trên đường cố định nào?

Phân tích: Gọi O là trung điểm của DE, ta thấy:

- Khi D trùng với A thì E trùng với C, khi đó O trùng với trung điểm Q của

Hình 2.8 Hình 2.9