Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy học phương trình lượng giác (đại số và giải tích lớp 11 nâng cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN MẠNH THẮNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 NÂNG CAO LUẬ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN MẠNH THẮNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 NÂNG CAO)

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học

(Bộ môn Toán học)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Lê Minh

HÀ NỘI - 2011

LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo cùng các thầy cô giáo giảng dạy bộ môn toán của trường Đại học Giáo Dục- Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành cuốn luận văn này

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Hoàng Lê Minh, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hình thành ý tưởng, nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn

Em xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục và Đào Tạo Hải Phòng, Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Trãi cũng như đồng nghiệp, gia đình, bạn bè

đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để em có thể hoàn thành cuốn luận văn này

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Nguyễn Mạnh Thắng

BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

BĐT : Bất đẳng thức

? : Câu hỏi ĐC : Đối chứng

GV : Giáo viên HS : Học sinh

NL : Năng lực

NLTT : Năng lực trí tuệ

NC : Nâng cao

VD : Ví dụ PT : Phương trình

PTLG : Phương trình lượng giác

SGK : Sách giáo khoa

THPT : Trung học phổ thông

TN : Thực nghiệm

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Giả thuyết khoa học 3

6 Cấu trúc luận văn 3

Chương 1 : CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Một số vấn đề về phát triển năng lực trí tuệ của học sinh 4

1.1.1 Khái niệm năng lực trí tuệ 4

1.1.2 Mối quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ 6

1.1.3 Tầm quan trọng của việc phát triển năng lực trí tuệ của học sinh 7

1.1.4 Các biện pháp phát triển trí tuệ của học sinh thông qua dạy học toán 8

1.2 Dạy học giải bài tập Toán học với việc phát triển trí tuệ của học sinh 14

1.2.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 14

1.2.2 Phương pháp chung để giải bài tập toán học 15

1.2.3 Vai trò của bài tập toán học với việc phát triển trí tuệ của học sinh 17

1.3 Những tiềm năng để bồi dưỡng năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy học phương trình lượng giác 17

1.3.1 Mục tiêu dạy học phương trình lượng giác ở lớp 11 nâng cao 17

1.3.2 Nội dung cơ bản phần phương trình lượng giác ban nâng cao ở trường trung học phổ thông và những đổi mới so với sách giáo khoa trước đây 18

1.3.3 Tiềm năng bồi dưỡng năng lực trí tuệ của học sinh thông qua dạy học phương trình lượng giác 20

1.3.4 Những thuận lợi và khó khăn trong dạy học phương trình lượng giác lớp 11 nâng cao 20

Tiểu kết chương 1 21

Chương 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH

TRONG DẠY HỌC PT LƯỢNG GIÁC (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

LỚP 11 NÂNG CAO) 22

2.1 Một số phương pháp cơ bản giải PT lượng giác 22

2.1.1 Giải PT lượng giác bằng các phép biến đổi tương đương 23

2.1.2 Giải PT lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ 26

2.1.3 Giải PT lượng giác bằng phương pháp đánh giá 30

2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy học PT lượng giác (Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao) 33

2.2.1 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác 33

2.2.2 Rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng 46

2.2.3 Rèn luyện các hoạt động trí tụê cơ bản 58

2.2.4 Hình thành các phẩm chất trí tuệ 76

Tiểu kết chương 2 89

Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 90

3.1 Mục đích, nội dung, kế hoạch thực nghiệm sư phạm 90

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 90

3.1.2 Nội dung thực nghiệm 90

3.1.3 Kế hoạch thực nghiệm 90

3.2 Giáo án thực nghiệm 91

3.2.1 Giáo án 1 91

3.2.2 Giáo án 2 97

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 103

Tiểu kết chương 3 105

KẾT LUẬN 106

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

Phát triển NLTT cho HS là một nhiệm vụ rất quan trọng và thường xuyên trong dạy học ở nhà trường phổ thông Để làm tốt điều này người GV phải có kiến thức sâu sắc về tâm lý học, giáo dục học, đặc biệt là kiến thức chuyên môn về môn học mình phụ trách cùng với khả năng truyền thụ tốt

Môn toán trong nhà trường phổ thông có một vị trí, ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc góp phần nâng cao NLTT cho HS Tuy nhiên dạy toán thế nào để đạt được mục đích trên thì không phải là điều đơn giản Hiện nay phần lớn HS rất thụ động trong học tập, làm bài máy móc, thiếu tính linh hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ.Vì vậy nếu người GV không đổi mới phương pháp dạy theo hướng phát huy tính tích cực của người học thì sẽ không thể phát triển được NLTT của các em

Vấn đề phát triển trí tuệ của HS thông qua dạy học môn Toán đã được nhiều tác giả trong nước quan tâm Có thể kể đến các công trình nghiên cứu như:

- “Rèn luyện khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự cho học sinh phổ thông”- Luận văn thạc sĩ khoa học sư phạm- Tâm lý của Lê Tuấn Anh (1998)

- “ Khai thác các bài toán trong SGK đại số 10 thí điểm ban khoa học

tự nhiên nhằm phát triển khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá của học sinh khá giỏi”- Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục của Lê Anh Tuấn (2005)

- " Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh trong dạy học chương vectơ"

- Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục của Nguyễn Ngọc Hiếu (2010)

- “Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua dạy học môn Toán ở trường THCS”, của các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tần Thâu (1998)

- “Rèn luyện tư duy trong dạy học Toán” của tác giả Trần Thúc Trình (2003)

- “Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán” của tác giả Nguyễn Thái Hoè (1997)

Tuy nhiên chưa có một công trình nào đi sâu nghiên cứu việc phát triển NLTT của HS thông qua việc dạy học PTLG mặc dù PTLG là mảng kiến thức hay và khó trong trường phổ thông Các bài tập về giải PTLG rất đa dạng và thường xuyên có trong các kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp Đây là mảng kiến thức có nhiều tiềm năng để người GV có thể phát triển

được NLTT của HS Do đó tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy học phương trình lượng giác (Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao)

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu biện pháp phát triển NLTT của HS thông qua dạy học PTLG trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lí luận về NLTT, biện pháp phát triển NLTT

- Nghiên cứu nội dung dạy học PTLG ở trường THPT để đưa ra biện pháp thích hợp và sử dụng các biện pháp đó nhằm phát triển NLTT của HS

- Thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu chương trình, SGK, sách GV, sách tham khảo liên quan đến các kiến thức về PTLG ở lớp 11 nâng cao

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo và các luận án, luận văn có liên quan đến vấn đề phát triển NLTT của HS

4.2 Quan sát, điều tra

- Quan sát, điều tra việc dạy PTLG ở các lớp 11 ban nâng cao tại trường THPT Nguyễn Trãi – Thành phố Hải Phòng

4.3 Thực nghiệm sư phạm

- Tiến hành thực nghiệm dạy học giải PTLG cho HS lớp 11 nâng cao

theo hướng phát phát triển NLTT của các em nhằm kiểm chứng tính khả thi

và hiệu quả của đề tài

5 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng một cách linh hoạt các biện pháp phát triển NLTT của học sinh trong dạy học PTLG thì không những học sinh đạt kết quả cao trong học tập mà còn đáp ứng mục tiêu phát triển tư duy của học sinh

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy học PTLG lớp 11 nâng cao

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về phát triển năng lực trí tuệ của học sinh

1.1.1 Khái niệm năng lực trí tuệ

1.1.1.1 Khái niệm năng lực

Năng lực là khả năng thực hiện có hiệu quả các hoạt động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trong những tình huống khác nhau trên cơ sở sự hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm của mỗi người [36; tr 303]

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong một loại hoạt động nhất định Một người được coi là có năng lực nếu trong một hoàn cảnh nhất định người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào

đó và đạt kết quả cao hơn so với kết quả của những người khác Năng lực được nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt

ra Năng lực chỉ được hình thành và phát triển thông qua hoạt động và bằng hoạt động

1.1.1.2 Khái niệm trí tuệ

Trong tiếng La Tinh, trí tuệ có nghĩa là hiểu biết, thông tuệ Còn trong

từ điển Tiếng Việt (NXB Khoa học xã hội 1994) giải thích: Trí tuệ là khả năng nhận thức lý tính đạt đến một trình độ nhất định

Xét trong khoa học tâm lý học, có thể khái quát một cách tương đối các quan niệm đã có về khái niệm trí tuệ thành 3 nhóm chính: Nhóm thứ nhất định nghĩa trí tuệ là khả năng hoạt động lao động và học tập của cá nhân; Nhóm thứ hai định nghĩa trí tuệ là năng lực tư duy trừu tượng của cá nhân; Nhóm thứ ba coi trí tuệ là năng lực thích ứng tích cực của cá nhân

- Quan niệm thứ nhất đã có từ lâu và khá phổ biến Theo nhà tâm lý học người Nga B.G.Ananhev, trí tuệ là đặc điểm tâm lý phức tạp của con người

mà kết quả của công việc lao động và học tập phụ thuộc vào nó Mối quan hệ

giữa học tập (đặc biệt là kết quả học tập) với khả năng trí tuệ cá nhân đã được các nhà sư phạm quan tâm từ lâu Các công trình nghiên cứu cho thấy giữa hai yếu tố này có mối quan hệ nhân quả với nhau nhưng không phải là quan

hệ tương ứng 1-1 Năm 1905 nhà tâm lý học A.Binet (1857-1911) đã nghiên cứu bằng test trí lực và xác định được những HS học kém do khả năng trí tuệ

và những em do lười hoặc do nguyên nhân khác [37; tr.46]

- Nhóm thứ 2 đã quy hẹp khái niệm trí tuệ vào các thành phần cốt lõi của nó là tư duy và gần như đồng nhất chúng với nhau Trên thực tế, nhóm quan niệm này khá phổ biến bao gồm: A.Binet (1905), L.Terman (1937), G.X.Cotchuc (1971), V.A.Cruchetky (1976), R.Sternberg (1986) [33; tr.46]

- Nhóm thứ 3, coi trí tuệ là khả năng thích ứng của cá nhân được phổ biến hơn cả và thu hút nhiều nhà nghiên cứu lớn: U.Ster, G.Piagie, D.Wechsler, R.Zazzo…Theo G.Piagie( 1969) bất kỳ trí tuệ nào cũng là một

sự thích ứng D.Wechsler (1939) cho rằng trí tuệ là khả năng tổng thể để hoạt động một cách có suy nghĩ, tư duy hợp lý, chế ngự được môi trường xung quanh Trí tuệ là khả năng xử lý thông tin để giải quyết vấn đề và nhanh chóng thích nghi với tình huống mới ( F.Raynal và A.Rieunier- 1997) Trí tuệ

là khả năng hiểu các mối quan hệ sẵn có giữa các yếu tố của tình huống và thích nghi để thực hiện cho lợi ích bản thân ( N.Sillamy-1997) [37; tr.47]

Các quan niệm về trí tuệ không loại trừ nhau Không có quan niệm nào chỉ chú ý đến duy nhất một khía cạnh năng lực tư duy hay khả năng thích ứng, mà thường đề cập đến hầu hết các nội dung đã nêu Sự khác biệt về các quan niệm chỉ là ở chỗ khía cạnh nào được nhấn mạnh và nghiên cứu sâu hơn Tuy nhiên để có cách hiểu bao quát về vấn đề khái niệm trí tuệ, cần lưu ý đến

4 đặc trưng của trí tuệ là:

- Trí tuệ là yếu tố tâm lý có tính độc lập tương đối với các yếu tố tâm lý khác của cá nhân

- Trí tuệ có chức năng đáp ứng mối quan hệ tác động qua lại giữa chủ thể với môi trường sống, tạo ra sự thích ứng tích cực của cá nhân

- Trí tuệ được hình thành và biểu hiện trong hoạt động của chủ thể

- Sự phát triển của trí tuệ chịu ảnh hưởng của yếu tố sinh học của cơ thể

và chịu sự chế ước của các yếu tố văn hoá xã hội

1.1.1.3 Khái niệm năng lực trí tuệ

Từ các khái niệm về năng lực và trí tuệ đã nêu ở trên ta có thể định nghĩa về NLTT như sau: NLTT là khả năng thực hiện có hiệu quả các hoạt động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề thuộc về lĩnh vực trí tuệ

1.1.2 Mối quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ

Dạy học và sự phát triển trí tuệ có mối quan hệ thống nhất biện chứng Dạy học phải dẫn đến sự phát triển trí tuệ cho người học Sự phát triển trí tuệ vừa là kết quả, vừa là tiền đề cho việc dạy học có hiệu quả

Tuy nhiên nói dạy học thống nhất với sự phát triển trí tuệ không có nghĩa là trình độ dạy học tương đồng hoặc ngang bằng với trình độ phát triển trí tuệ của người học Theo L.X.Vưgotxki: “Dạy học theo đúng chức năng của

nó phải đi trước và kéo theo sự phát triển trí tuệ cho người học” Nếu dạy học

đi sau hoặc ngang bằng với sự phát triển trí tuệ của người học sẽ kìm hãm lại

sự phát triển trí tuệ Do đó trong quá trình dạy học việc xác định đúng trình độ phát triển của HS là một việc làm vô cùng quan trọng của GV Theo L.X.Vưgotxki, cần thiết phải phân biệt hai trình độ trong suốt quá trình phát triển của HS: Trình độ phát triển hiện thời và khả năng phát triển gần nhất (vùng phát triển gần nhất) Trình độ phát triển hiện thời là trình độ mà ở đó các chức năng tâm lý đã đạt tới mức chín muồi, còn vùng phát triển gần nhất

là vùng trong đó các chức năng tâm lý đang trưởng thành nhưng chưa chín Trình độ phát triển hiện thời được biểu hiện qua tình huống HS có thể độc lập giải quyết nhiệm vụ, không cần sự trợ giúp từ bên ngoài Còn khả năng phát triển gần nhất biểu hiện qua tình huống HS hoàn thành nhiệm vụ khi có sự

hợp tác giúp đỡ của người khác, mà nếu tự mình HS không thể thực hiện được Dạy học đón đầu sự phát triển của HS nghĩa là phải tác động vào vùng phát triển gần nhất, hướng dẫn và tạo ra sự phát triển trí tuệ tối đa, đúng hướng ở người học [33; tr.50]

Nhưng như vậy không có nghĩa là nếu dạy học đón đầu sự phát triển của

HS thì sẽ phát triển được trí tuệ của các em Muốn làm được điều đó dạy học phải có sự định hướng đứng đắn, phù hợp Nếu không dạy học sẽ làm cho trí tuệ không phát triển, thậm trí phát triển lùi lại hoặc rơi vào lối tư duy hình thức, thụ động, thiển cận

1.1.3 Tầm quan trọng của việc phát triển năng lực trí tuệ của học sinh

Trong thời đại ngày nay, khoa học công nghệ đang phát triển rất nhanh

và dần trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức Kho tàng tri thức của nhân loại gia tăng với tốc độ chóng mặt trong khi thời gian học tập tại nhà trường có hạn Nhiệm vụ đặt ra cho dạy học hiện nay là phải nâng cao chất lượng học tập nhằm giúp HS có thể tự tìm kiếm tri thức, tự học suốt đời và bắt kịp nhịp sống của xã hội hiện đại Hay nói cách khác dạy học không chỉ hướng vào việc cung cấp kiến thức lý thuyết mà quan trọng hơn, phải hình thành năng lực hoạt động trí tuệ, hình thành phẩm chất tư duy và phương pháp hoạt động cho người học

Để giải quyết được bài toán trên, việc phát triển NLTT cho người học trở thành nhiệm vụ trọng tâm trong dạy học Người GV cần chú trọng hình thành, rèn luyện phương pháp tư duy sáng tạo, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, rèn luyện khả năng suy nghĩ và giải quyết các tình huống đặt ra trong cuộc sống một cách nhạy bén cho HS Trong dạy học cần chú trọng hình thành phương pháp học, phương pháp làm việc, rèn luyện các thuộc tính độc lập, sáng tạo, mềm dẻo của trí tuệ Cần rèn luyện tính đa dạng, chiều rộng, chiều sâu của tư duy Có như vậy nhiệm vụ phát triển NLTT của người học

1.1.4 Các biện pháp phát triển trí tuệ của học sinh thông qua dạy học toán

Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển NLTT của HS Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát Các biện pháp phát triển trí tuệ của HS thông qua dạy học Toán bao gồm:

1.1.4.1 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ

Do đặc điểm của khoa học toán học, môn toán có tiềm năng quan trọng

có thể khai thác để rèn luyện cho HS tư duy logic Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác

Việc phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ở HS qua môn Toán

có thể thực hiện theo 3 hướng liên quan chặt chẽ với nhau:

- Thứ nhất: Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát…

- Thứ hai: Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa cho HS

- Thứ ba: Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh [9; tr.45]

1.1.4.2 Rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng

Tác dụng phát triển tư duy của môn toán không những ở sự rèn luyện

tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Muốn rèn luyện khả năng này cho HS, GV cần lưu ý:

+) Làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen,…những suy đoán có thể rất táo bạo, nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, nghĩ liều

+) Tập luyện cho HS khả năng hình dung được những đối tượng, quan

hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống [9; tr.45- 46]

1.1.4.3 Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản

Môn toán đòi hỏi HS phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá, so sánh Vì thế môn toán có ý nghĩa to lớn trong việc rèn luyện cho HS những hoạt động trí tuệ này Sau đây tôi xin trình bày cụ thể từng hoạt động trí tuệ

- Phân tích và tổng hợp

Theo định nghĩa của G.S Nguyễn Bá Kim: Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ

G.S Nguyễn Cảnh Toàn định nghĩa một cách tường minh hơn: phân tích là đi sâu tìm hiểu các chi tiết, bộ phận của một tổng thể, tìm ra những đặc điểm của các chi tiết, bộ phận đó

Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận cấu thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp

- Trừu tượng hoá và khái quát hoá:

Trừu tượng hoá là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động

Theo G.Pôlya: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu”

G.S Nguyễn Bá Kim định nghĩa khái quát hoá một cách tường minh hơn như sau: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" Như vậy ta thấy trừu tượng hoá là điều kiện cần của khái quát hoá

Có hai dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán là: Khái quát hoá từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát và khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn Trong Toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát

VD: Chúng ta khái quát hoá khi mở rộng công thức

)02

;01

(2

.12

0(

2

.1

21

n i

i a

n

n a a a n

n a a

- Đặc biệt hoá

Theo G Pôlya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” Hay nói cách khác đặc biệt hóa chính là quá trình đi từ cái chung

đến cái riêng, là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí

bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể

Có hai dạng đặc biệt hoá thường gặp là: Đặc biệt hoá từ cái tổng quát

đến cái riêng lẻ và đặc biệt hoá từ cái riêng đến cái riêng hơn

Như vậy chúng ta thấy đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với

khái quát hoá Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các

khái niệm, chứng minh các định lí, bài toán…Trong bài toán quỹ tích hoặc

tìm điểm cố định đặc biệt hóa thường được sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ

tích, dự đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán

VD: Chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang

việc nghiên cứu đa giác đều Từ việc nghiên cứu đa giác đều n cạnh (n 3) ta

lại đặc biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng

đến cái riêng hơn

VD: Trong hệ thức a2 b2 c2 2bc.cos với một tam giác, ta đặc

biệt hoá góc  900sẽ được định lý Pytagore trong tam giác vuông

- So sánh và tương tự

So sánh: Là sự phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm

riêng ở một số các đối tượng

Tương tự:

Theo G.Polya: “Hai hệ được gọi là tương tự nhau nếu chúng phù hợp với

nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa các bộ phận tương ứng”

Nếu đối tượng A có các tính chất a,b,c,d và đối tượng B cũng có các

tính chất a,b,c thì thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có tính

chất d

Phép tương tự trong môn Toán thường được đề cập trên 3 khía cạnh sau:

+) Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối và phương pháp

chứng minh của chúng giống nhau

+) Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hoặc vai trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau

+) Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của hai hình tương tự

VD: Tam giác trong hình học phẳng được xem là tương tự với tứ diện trong hình học không gian vì tam giác là hình có diện tích hữu hạn được giới hạn bởi một số tối thiểu nhất những yếu tố cơ bản của mặt phẳng, còn tứ diện

là hình có thể tích hữu hạn được giới hạn bởi một số tối thiểu nhất những yếu

tố cơ bản của không gian

Việc thực hiện một số hoạt động trí tuệ trên có thể được minh hoạ

thông qua VD tìm giá trị của

12

11cos 

Để giải bài toán này HS thực hiện các hoạt động trí tuệ sau:

Hoạt động phân tích biến đổi

12

11cos 

12cos( 

 Sự phân tích

này có được trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức

12

11cos 

với công thức

b a b

a b

a ) cos cos sin sin

12cos( 

vào biểu thức tổng quát cos(ab) cosacosbsinasinb là một sự khái quát hoá nhờ sự trừu tượng hoá: Nêu bật các đặc điểm bản chất “hàm số cos”,

“đối số có dạng hiệu hai số” và tách chúng khỏi đặc điểm không bản chất là

sinsin12coscos)

12cos(      

Tiếp tục phân tích

12cos

43cos( 

 Điều này dẫn tới việc

4

1)4

sin3

sin4

cos3

với kết quả biến đổi ( 2 6)

4

1 

1.1.4.4 Hình thành các phẩm chất trí tuệ cho người học

Việc rèn luyện cho HS các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống Các phẩm chất trí tuệ quan trọng là:

- Tính linh hoạt: Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư duy Trước hết cần rèn luyện cho HS khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới Việc chuyển hướng quá trình tư duy không chỉ có nghĩa là đảo ngược quá trình này mà còn có thể là chuyển từ hướng này sang một hướng khác không nhất thiết phải ngược với hướng ban đầu [9; tr.49]

Tính linh hoạt của tư duy có những đặc trưng sau:

+) Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

+) Suy nghĩ không dập khuôn máy móc những kinh nghiệm, kiến thức

đã có vào hoàn cảnh mới, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, phương pháp, cách nghĩ đã có từ trước

+) Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết, nhìn sự vật một cách động chứ không phải bất biến

- Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy, điều này thể hiện ở khả năng đánh giá những nghiên cứu, ý nghĩ và tư tưởng của người khác và của chính bản thân mình,

có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt ra những câu hỏi như “tại sao”, “như thế nào” đúng lúc, đúng chỗ [9; tr 49-50]

+) Tính sáng tạo: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ thế nào Tính sáng tạo có thể dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo nhưng có căn cứ và cân nhắc cẩn thận [9; tr 50- 51]

1.2 Dạy học giải bài tập Toán học với việc phát triển trí tuệ của học sinh

1.2.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

Bài tập là tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn ở thời điểm bài tập được đưa ra

Bài tập Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn toán Bài tập toán là giá mang hoạt động của HS Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định như nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học

- Về mặt mục đích dạy học: Bài tập toán ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện những hoạt động đó thể hiện mức

độ đạt mục tiêu Ngoài ra bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:

+) Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+) Phát triển NLTT chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ

+) Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là giá mang hoạt động liên

hệ với những nội dung cụ thể Nó là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần

lý thuyết

- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để HS kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt bài toán như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động

cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập toán là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của HS, cũng như hiệu quả giảng dạy của GV

1.2.2 Phương pháp chung để giải bài tập toán học

Không có một thuật toán tổng quát nào để giải mọi bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho HS cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài

Polya (1975) về cách thức giải một bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung cho quá trình tìm lời giải một bài toán bao gồm 4 bước:

- Tìm hiểu nội dung bài toán

- Tìm cách giải

- Trình bày lời giải

- Nghiên cứu sâu lời giải

Nội dung cụ thể của từng bước như sau:

Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán:

Để giải được một bài toán HS phải hiểu và hứng thú với việc giải bài toán

đó Vì thế người GV cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò và giúp HS hiểu bài toán phải giải GV có thể yêu cầu HS thực hiện những thao tác sau:

- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Dùng công thức, kí hiệu , hình vẽ để hỗ trợ việc diễn tả đề bài

Bước 2 Tìm cách giải:

- GV phải chú ý cho HS tới những suy nghĩ có tính chất tìm đoán như: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quĩ tích…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…

- Tìm thêm các cách giải khác, so sánh và chọn ra cách giải hợp lý nhất

Bước 3 Trình bày lời giải:

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4 Nghiên cứu sâu lời giải:

- Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải bài toán

- Thử tìm cách làm mới hay hơn, sáng tạo hơn

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.2.3 Vai trò của bài tập toán học với việc phát triển trí tuệ của học sinh

Quá trình giải bài tập Toán học đòi hỏi người học thường xuyên tiến hành những hoạt động sau:

- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học như: Lật ngược vấn

đề, xét tính giải được (có nghiệm, nghiệm duy nhất, vô số nghiệm), phân chia trường hợp…

- Những hoạt động trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá

- Những hoạt động ngôn ngữ khi HS phát biểu bài toán bằng lời lẽ của mình hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác như từ dạng ký hiệu Toán học sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại

Tất cả các hoạt động trên đều góp phần hình thành và phát triển trí tuệ cho người học Do đó có thể khẳng định bài tập toán học có vai trò số một trong việc phát triển trí tuệ cho HS

1.3 Những tiềm năng để bồi dưỡng năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy học phương trình lượng giác

1.3.1 Mục tiêu dạy học phương trình lượng giác ở lớp 11 nâng cao

Dạy học PTLG trong chương trình lớp 11 nâng cao có những mục tiêu sau:

- Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm của các PTLG cơ bản (Sử dụng đường tròn lượng giác, các trục sin, côsin, tang, cotang và tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác);

- Nắm vững công thức nghiệm của các PTLG cơ bản

- Nắm vững cách giải một số dạng PTLG đơn giản như: PT bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác, PT bậc nhất với sin và cos, PT thuần nhất bậc hai đối với sin và cos

- Có thể giải các PTLG phải sử dụng các biến đổi để quy về một trong các dạng trên

Về kỹ năng:

- Biết cách tìm điều kiện xác định của PTLG

- Biết vận dụng thành thạo công thức nghiệm của các PTLG cơ bản

- Biết cách biểu diễn nghiệm của các PTLG cơ bản trên đường tròn lượng giác

- Nhận biết và giải thành thạo các dạng PT: PT bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác, PT bậc nhất với sin và cos, PT thuần nhất bậc hai đối với sin và cos, các PTLG phải sử dụng các biến đổi để quy về một trong các dạng trên

Về thái độ:

- HS thấy được vai trò của lượng giác trong thực tế, yêu thích bộ môn lượng giác nói riêng và môn Toán nói chung

- Chăm chỉ, say mê trong học tập, cẩn thận, tỉ mỉ, sáng tạo khi làm bài

- Say mê nghiên cứu khoa học

1.3.2 Nội dung cơ bản phần phương trình lượng giác ban nâng cao ở trường trung học phổ thông và những đổi mới so với sách giáo khoa trước đây

Khối kiến thức về lượng giác trong chương trình nâng cao ở trường THPT hiện nay được trình bày trong 2 chương: Chương góc lượng giác, công

thức lượng giác ở lớp 10 và chương hàm số lượng giác, PTLG ở lớp 11 Nội dung cụ thể và thời lượng từng chương như sau:

- Chương góc lượng giác và công thức lượng giác: 14 tiết

- Chương Hàm số lượng giác và PT lượng giác 17 tiết

Nhìn vào phân bố chương trình ta thấy nội dung của PTLG chiếm một

tỷ trọng lớn trong khối kiến thức về lượng giác được giảng dạy trong chương trình lớp 11 (13/17 tiết) Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt

là các kỳ thi tuyển sinh vào đại học thường xuyên có các bài toán về giải PTLG Điều đó cho thấy tầm quan trọng của lớp bài toán PTLG với việc thực hiện các nhiệm vụ dạy học môn Toán trong đó có nhiệm vụ phát triển

Yêu cầu về giải các PTLG trong SGK hiện nay đã được giảm nhẹ đi so với SGK xuất bản năm 2000 Điều đó thể hiện ở 2 điểm cơ bản:

- Chỉ nêu các dạng PTLG đơn giản, hạn chế những thủ thuật biến đổi lượng giác phức tạp Nếu có các điều kiện kèm theo thì việc thử các điều kiện

đó khá đơn giản

- Không yêu cầu giải và biện luận PTLG chứa tham số

Tuy nhiên GV cần chú ý rèn luyện cho HS kỹ năng giải các PTLG cơ bản thật thành thạo Đây là cơ sở để HS nâng cao kỹ năng giải các PT phức tạp hơn

1.3.3 Tiềm năng bồi dưỡng năng lực trí tuệ của học sinh thông qua dạy học phương trình lượng giác

Khi giải một PTLG học sinh phải biết cách sử dụng các ký hiệu Toán học, các liên từ logic, phải thực hiện các phép biến đổi thích hợp và các phép suy đoán để tìm ra lời giải Điều này giúp cho tư duy logic, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác cũng như khả năng suy đoán của HS được nâng cao

Trong quá trình giải PTLG học sinh phải thực hiện nhiều thao tác như phân tích bài toán, tổng hợp các kết quả, so sánh kết quả tìm được với điều kiện bài toán Đây là điều kiện thuận lợi để HS được rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản

Mỗi bài tập PLTG có thể có nhiều cách biến đổi và cách làm khác nhau Việc suy nghĩ để tìm ra các cách giải mới sẽ giúp HS rèn luyện được các phẩm chất trí tuệ như linh hoạt, độc lập, sáng tạo

1.3.4 Những thuận lợi và khó khăn trong dạy học phương trình lượng giác lớp 11 nâng cao

Trong quá trình dạy học phần PTLG ở lớp 11 nâng cao hiện nay có những thuận lợi sau:

- Phần công thức lượng giác được chuyển về chương cuối cùng của chương trình lớp 10 vì thế đã góp phần giảm tải cho HS nhưng vẫn đảm bảo

sự liên tục về mặt kiến thức

- Chương trình học được trình bày khoa học, hợp lý, các bài toán giải PTLG có thủ thuật biến đổi phức tạp được hạn chế, không đưa vào chương trình các bài giải và biện luận PTLG chứa tham số

- Ở nhiều nơi, việc ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy đã góp phần nâng cao chất lượng dạy và học phần kiến thức này

Bên cạnh những thuận lợi trên, GV thường gặp một số khó khăn sau:

- HS không nắm vững các khái niệm về đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác nên hiểu về lượng giác rất mơ hồ

- HS không nhớ hoặc rất hay nhầm lẫn giữa các công thức lượng giác khi áp dụng giải PT

- HS không linh hoạt khi biến đổi các PTLG, các em thường lúng túng khi gặp các PT “lạ”, mặc dù có thể đưa PT đó về PT cơ bản chỉ sau một vài bước biến đổi đơn giản

- Thời gian dành cho dạy học PTLG trong phân phối chương trình không nhiều, trong khi đây là mảng kiến thức rộng lớn và khó với HS

Tiểu kết chương 1

Phát triển NLTT của HS là nhiệm vụ hết sức quan trọng và cấp bách với ngành giáo dục hiện nay Môn toán có nhiều điều kiện thuận lợi để góp phần thực hiện nhiệm vụ đó

Trong chương 2 tôi sẽ trình bày cụ thể các biện pháp này thông qua hệ thống các bài toán về PTLG trong chương trình toán đại số và giải tích lớp 11 ban nâng cao

CHƯƠNG 2 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH TRONG DẠY

HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 NÂNG CAO) 2.1 Một số phương pháp cơ bản giải PT lượng giác

Khi giải PTLG, người ta luôn sử dụng đến các PTLG cơ bản sau đây:

2

2

Z k k x

k x

k x

(kZ)

3 tanxm (x  k

2 ) Đặt mtan thì tanxm  x + k (kZ)

4 cotxm (xk )

Đặt m = cot thì cotxm  x + k (kZ)

Để giải một PTLG, nói chung ta tiến hành theo các bước sau:

1 Đặt điều kiện để PT có nghĩa các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện

để căn bậc chẵn có nghĩa, phân số có nghĩa, biểu thức logarit có nghĩa Ngoài

ra trong các PTLG có chứa các biểu thức của tan x và cot x thì cần điều kiện

để tanx và cotx có nghĩa

2 Bằng các phương pháp thích hợp, đưa các PT đã cho về một trong các loại PT cơ bản trên

3 Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại

Có nhiều phương pháp khác nhau để giải PTLG.Theo quan điểm của mình, tôi phân ra 3 phương pháp chính là:

- Giải PTLG bằng các phép biến đổi tương đương

- Giải PTLG bằng cách đặt ẩn phụ

- Giải PTLG bằng phương pháp đánh giá

Sau đây tôi xin trình bày cụ thể từng phương pháp:

2.1.1 Giải PT lượng giác bằng các phép biến đổi tương đương

Nội dung chủ yếu của phương pháp này là tuỳ theo từng PTLG cụ thể

mà sử dụng các công thức lượng giác và phép biến đổi tương đương thích hợp

để đưa PT về một trong các PTLG cơ bản Sau khi tìm được nghiệm so sánh nghiệm đó với điều kiện của ẩn (nếu có) để loại đi các nghiệm ngoại lai

VD 1: a) Giải PT cos5x.cos x  cos4x.cos2x (1)

Lời giải :

(1) 

2

1(cos6x + cos4x) 

2

1(cos6x + cos2x)  cos6x + cos4x cos6x + cos2x

4

22

4

k x x

k x x





k x

k x

b) sinx + sin2x  cosx + cos2x (2)

3cos2

3sin

02cos

x x

323

22

3223

k x

x

k x x

6cos12

4cos12

2cos1

 2cos5x.cos3x + 2cos5x.cos x  0

 cos 5x.(cos 3x + cos x)  0

 2cos5x.cos2x.cosx 0

k x

k x

k x

k x

k x

x x x

2

24

510

2

22

25

0cos

02cos

05cos

( kZ)

Vậy: Nghiệm của PT là: x

510



 k

 , x

24



 k

 ,x  k

2 (kZ) Trong bài tập trên ta đã sử dụng phép biến đổi tương đương và công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích để giải PT

VD 3: Giải PT: cos2x+ cos4x + cos6x  cosx.cos2x.cos3x + 2 (1)

Lời giải :

(1)  cos2x + cos4x + cos6x 

2

1(cos3x+cosx).cos3x+2

 cos2x + cos4x + cos6x 

2

1cos23x+

2

1cosx.cos3x+2

 cos2x + cos4x + cos6x

4

1 (1+cos6x) +

4

1(cos4x+cos2x)+2



4

3(cos2x + cos4x+cos6x) 

49

 cos2x + cos4x + cos6x  3

x s

x x

x x

112cos2

12cos

16cos

14cos

12cos

3 2

Vậy: Nghiệm của PT là: x  k (kZ)

Trong bài toán trên công thức được sử dụng để giải PT là:

+ Công thức biến đổi tích thành tổng: cosx.cos2x

2

1(cos3x + cosx)

+ Công thức hạ bậc: cos23x 1cos6x

+ Công thức góc nhân đôi: cos4x  2cos22x - 1

+ Công thức góc nhân ba: cos6x  4cos32x - 3cos2x

2.1.2 Giải PT lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ

Trong phương pháp đặt ẩn dụ để giải PT tôi chia làm 2 cách đặt ẩn phụ sau:

- Đặt ẩn phụ để đưa PTLG về PT đại số

- Đặt ẩn phụ để đổi biến

Sau đây tôi xin trình bày cụ thể từng phương pháp

2.1.2.1 - Đặt ẩn phụ để đưa PT lượng giác về PT đại số

Lược đồ chung của phương pháp giải này như sau:

- Tiến hành đặt ẩn phụ cho hàm số lượng giác một cách hợp lý nhằm đưa PTLG về PT đại số quen thuộc

- Giải PT đại số trung gian

- Giải một PTLG cơ bản để tìm nghiệm của PTLG ban đầu

Khi đặt ẩn phụ, phải đặc biệt chú ý đến điều kiện của ẩn Các phép đặt

ẩn phụ thường gặp là:

1 Đặt t sinx; t cosx Điều kiện: t 1

2 Đặt tsinx + cosx Điều kiện t 2

3 Đặt ttanx + cotx Điều kiện t 2

VD 4: Giải PT: 2cos2x - 3cosx + 10 (1)

23

k x

k x

(kZ)

Vậy: Nghiệm của PT là: xk2 ; x 

3

+k2 ; x-

3

+k2 (kZ) Một cách tổng quát, các PT có dạng acos2

x + bcosx + c0 được gọi là

PT bậc hai với hàm số cosx và giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ tcosx

Tương tự: các PT dạng:

asin2x+bsinx+c0

atan2x+btanx+c0

acot2x + bcotx + c 0

cũng được giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

VD 5: Giải PT: sinx.cosx + 2sinx + 2cosx2 (1)

1 = cos

244

24

k x

k x

22

k x

k x

(kZ)

Vậy: Nghiệm của PT là : x

2

 + k2 và xk2 (kZ)

VD 6: Giải PT: 2 + cosx2tan

2

x

(1) Lời giải :

Điều kiện: cos

Vậy: Nghiệm của PT là: x =

2

+k2 (kZ)

2.1.2.2 Đặt ẩn phụ nhằm mục đích đổi biến

Trong phương pháp này, ta sử dụng biến t để chuyển PT ban đầu có các cung phức tạp thành PT chứa các cung t, 2t, 3t , kt rồi áp dụng các công thức lượng giác như góc nhân đôi, góc nhân 3 để giải

VD 7: Giải PT: sin (

210

3  x

)

2

1sin(

2

310

x





) (1) Lời giải :

Đặt t

210

x





 - 3t Khi đó PT (1) trở thành:

sint

2

1sin( - 3t)

12cos

0sin

6 k k Z

t

k t

k x

k x

k x

k x

k x

2514

254

253

62

10

3

6210

3

210

4

;25

 (kZ)

34

t x

PT ban đầu được đưa về dạng:

sin(3t - )sin(2t -

2



).sint

 - sin3t- cos2t sint

 3sint - 4 sin3t(1 - 2sin2t).sint



k

(k Z)

2.1.3 Giải PT lượng giác bằng phương pháp đánh giá

Phương pháp đánh giá được sử dụng để giải những PT đặc biệt mà ta không thể sử dụng các phương pháp thông thường để giải Dựa vào tính chất các hàm số lượng giác, biểu thức lượng giác hoặc các BĐT ta chỉ ra điều kiện

để vế tráivế phải từ đó  nghiệm của PT Có thể sử dụng phương pháp đánh giá theo hai cách sau:

- Đánh giá dựa trên tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác

- Đánh giá dựa vào các bất đẳng thức kinh điển như: BĐT cosi; BĐT Bunhiacopki

2.1.3.1 Đánh giá dựa trên tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác

3sin.2sin.sin

12

cot3

x x

x x

2sin

03sin0

sin

02sin

03sin

k x k

x

k x x

x x

12

sin.3sin

5sin





x x x

x x

15sin

15

sin

1sin

15sin

x x x x

0cosx

  x

2

+k không thoả mãn điều kiện Vậy: PT vô nghiệm

2.1.3.2 Đánh giá dựa vào các bất đẳng thức kinh điển như Cosi và Bunhiacopxki

VD 10: Giải PT: cos3x + 2cos23x = 2(1 sin22 )

x

Có: sin22x  0  2(1+sin22x)  2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(cos3x + 2cos23x)2  (12 + 12)(cos23x + 2 - cos23x)4

cos3x + 2cos23x  2  cos3x + 2cos23x  2

02sin2

3cos23

cos

2)2sin1(2

2 2

2

x x

x x

4

1cos

0cos1

3cos

0cos.sin

3

k x x

x x

x

x x

x x

cos2x0x

24



  k (kZ)

Vậy: Nghiệm của PT là: x

24



 k (kZ)

2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy học PT lƣợng giác (Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao)

Giống như trong quá trình dạy học môn Toán nói chung, trong quá trình dạy học PTLG, muốn phát triển trí tuệ của HS, người GV cần thực hiện tốt 4 biện pháp sau:

- Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác;

- Rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng;

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản;

- Hình thành các phẩm chất trí tuệ;

Sau đây tôi sẽ trình bày cụ thể từng biện pháp

2.2.1 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

Muốn rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác trong quá trình dạy học PTLG, ngoài những định hướng đã nêu trong chương1, GV cần chú ý rèn luyện cho HS những mặt sau:

- Nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic như: và, hoặc, nếu thì những lượng từ, kí hiệu toán học thường được sử dụng trong quá trình giải PTLG

- Thành thạo các phép biến đổi tương đương và các phương pháp giải PTLG

- Hiểu tính chất các hàm số lượng giác, mối quan hệ giữa các hàm số, công thức lượng giác

Sau đây là các ví dụ minh hoạ:

VD 1: Giải PTLG: tan (2x + 100) + cotx 0 (1)

- GV phát phiếu học tập cho từng HS HS suy nghĩ độc lập và trình bày vào phiếu học tập của mình:

102cos( x 0

Với điều kiện đó:

Ta thấy x800 + k1800 thoả mãn điều kiện xác định

Vậy: Nghiệm của PT là x800 + k1800 (k )

- Giáo viên đưa ra lời giải hoàn chỉnh:

0)102cos( 0

x x

Với điều kiện đó:

(1)  tan (2x+100)-cotx  tan (2x+100)cot (-x)

 tan (2x+100)tan (900 + x)

 2x + 100 900 + x + k1800

 x800 + k1800 (k Z)

Ta thấy x800 + k1800 thoả mãn điều kiện xác định

Vậy: nghiệm của PT là x800 + k1800 (k Z)

- Để nhấn mạnh cho HS cách viết công thức nghiệm chính xác GV có thể đưa ra câu hỏi trắc nghiệm sau và yêu cầu HS giải thích câu trả lời của mình:

Trong các cách viết công thức nghiệm sau của PT (1), cách viết nào chính xác:

b Không là nghiệm của (1)

c Sai vì kZ

d Đúng

- Nhận xét: Qua VD trên HS được rèn luyện:

+) Phép biến đổi tương đương khi giải một PTLG

+) Cách vận dụng tính chất và mối quan hệ các hàm số lượng giác

cotx = cot(-x); cotx = tan( 0

90 -x)

+) Cách sử dụng kí hiệu như  , k Z , đặc biệt là việc sử dụng kí hiệu

số đo độ trong công thức nghiệm cho thống nhất Cách viết đúng là x800 + k1800 (kZ) GV cần đặc biệt chú ý điều này vì sẽ có nhiều HS viết không đúng là x800 + k

VD 2: Giải PT: sin(sin2x)1

- GV chia lớp học thành các nhóm gồm 2 HS rồi phát phiếu học tập cho các nhóm HS thảo luận trong nhóm và trình bày suy nghĩ vào phiếu học tập của nhóm mình