khóa luận tốt nghiệp về chiều fractal của tập cantor

Giới thiệu về sự ra đời và phát triển lý thuyết, ý nghĩa, một số hình ảnh và ứng dụng của hình học Fractal.. Sự ra đời và phát triển lý thuyết về hình học Fractal Sự ra đời của lý thuyế

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học cơ bản, là tổng hòa của nhiều mối quan hệ với các môn khoa học khác Toán học ngày càng đi tới những tầm cao mới, đem lại những ứng dụng thực tế phục vụ cho không chỉ hoạt động sống của con người mà còn là nền tảng để cùng các môn khoa học khác khám phá sâu hơn thế giới tự nhiên

Tập Cantor được giới thiệu đầu tiên bởi nhà toán học người Đức Georg Cantor vào năm 1883 Nó là một tập hợp điểm nằm trên một đoạn thẳng được xây dựng bằng thuật toán hết sức đơn giản nhưng có cấu trúc phức tạp tinh tế, có nhiều tính chất đặc biệt, thú vị Thông qua xem xét nó, Cantor và nhiều nhà toán học khác đã đặt nền móng nghiên cứu cấu trúc của nhiều đối tượng

Vào đầu những năm 70 của thế kỉ 20, một hướng nghiên cứu mới mẻ và hấp dẫn của toán học hiện đại ra đời đó hình học Fractal Với những đóng góp lớn của các nhà Toán học B.N.Mardelbrot, Hutchinson, K.J.Falconer…đã khắc phục được những hạn chế bị đánh giá là “ khô cứng” và “lạnh lẽo” của hình học Euclide Mặt khác, nó có nhiều điểm hấp dẫn và có rất nhiều ứng dụng phong phú trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống Công cụ để nghiên cứu hình học fractal

là chiều và độ đo Trong đó tập Cantor là ví dụ điển hình được dùng để minh họa cho các phương pháp tính chiều fractal Với những lý do trên, chúng tôi

chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là "Về chiều fractal của tập Cantor" để tiến hành nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Giới thiệu về hình học Fractal, tìm hiểu, trình bày một cách hệ thống và chứng minh chi tiết một số tính chất của tập Cantor và độ đo Hausdorff

Thông qua việc nghiên cứu các tính chất của tập Cantor và độ đo Hausdorff

để tìm hiểu cách tính chiều fractal dựa vào độ đo Hausdorff

3 Đối tượng nghiên cứu

Độ đo Hausdorff và tính chiều fractal của tập Cantor dựa vào độ đo Hausdorff

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng hợp các quan điểm và kết quả của các nhà Toán học về độ đo Hausdorff và chiều fractal của tập Cantor

6 Đóng góp của khóa luận

- Khóa luận được thực hiện dựa trên việc hệ thống, tổng hợp và làm rõ một

số kết quả của các sách và bài báo có liên quan

- Khóa luận là một tài liệu tham khảo cho các độc giả bước đầu tìm hiểu về hình học fractal

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đề tài gồm hai chương:

Chương 1 Hình học Fractal

Khóa luận này trình bày khái quát một số vấn đề về hình học fractal, một số kiến thức cơ sở cần thiết để hỗ trợ cho chương sau

Chương 2 Chiều Fractal của tập Cantor

Khóa luận này trình bày các tính chất của tập Cantor C3, định nghĩa và một

số tính chất cơ bản về độ đo Hausdorff Trình bày phương pháp tính chiều fractal của tập Cantor dựa vào độ đo Hausdorff

Chương 1 HÌNH HỌC FRACTAL

Trong chương này tôi trình bày lại một số kiến thức cơ sở về độ đo, ánh xạ

co, ánh xạ đồng dạng, tập tự đồng dạng, tập compact, tập liên thông Giới thiệu

về sự ra đời và phát triển lý thuyết, ý nghĩa, một số hình ảnh và ứng dụng của

hình học Fractal Trình bày cách xây dựng một số tập fractal

1.1 Một số kiến thức cơ sở

1.1.1 Định nghĩa:

 được gọi là một độ đo trên  nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) (A)0 với mọi A 

ii) ( ) 0

iii)  là - cộng tính, nghĩa là nếu A  i  , A iA j   (i j) ,

1

i i

( i) ( ).i

i i

A  thì AL,(A)0

Hàm  được gọi là một độ đo ngoài trên  nếu thỏa mãn i), ii) và điều

kiện iii) được thay bởi iii') với

iii')  là - dưới cộng tính, tức là nếu A   , i A i A j   (i j),

1

i i

iii) Tính đơn điệu , A B   , B A thì (A)(B)

iv) Tính nửa  - cộng tính dưới theo nghĩa, nếu A  k  , A 

1

k k

ii) Cho một tập F trong không gian mêtric X Một điểm xF không phải

là điểm tụ của F được gọi là điểm cô lập của F

1.1.4 Nhận xét

i) Một điểm x là điểm tụ của tập F khi và chỉ khi mỗi lân cận của x có chứa

ít nhất một điểm của F khác với x

ii) Điểm x  F là điểm cô lập của F khi và chỉ khi có một lân cận của x

không chứa điểm nào của tập F \ x

1.1.5 Định nghĩa

Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu X không thể biểu diễn được

dưới dạng hợp của hai tập con khác rỗng, tách được

Tập con A  X không gian tôpô được gọi là tập liên thông nếu không gian con A với tôpô cảm sinh là không gian liên thông

Giả sử X là không gian tôpô, A  X Tập A được gọi là thành phần liên thông của X nếu A là tập liên thông cực đại

Không gian tôpô X được gọi là hoàn toàn không liên thông nếu mỗi thành phần liên thông của X chỉ là một điểm

1.1.6 Định nghĩa

i) Không gian tôpô X được gọi là không gian compact, nếu với mọi phủ mở của X đều chọn ra được một phủ con hữu hạn

ii) Tập con M của không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu M là không gian compact với tôpô cảm sinh ( bởi tôpô của X trên M)

iii) Không gian tôpô X được gọi là không gian compact địa phương nếu với mọi điểm a thuộc X, tìm được lân cận U của a sao cho U compact

1.1.7 Định nghĩa

D  D Ánh xạ f D: D được gọi là ánh xạ co trên D nếu

tồn tại hằng số c0;1 sao cho f x( ) f y( ) c x y , x y, D và c được gọi

Nếu f i , 1 i m là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F được gọi là tập

tự đồng dạng ( Self – Similar set)

Các tập bất biến được xem là các tập fractal Một tính chất vô cùng quan trọng của các tập Fractal là tự đồng dạng, có ý nghĩa là khi chọn một phần nhỏ

tùy ý nào đó của một tập tự đồng dạng F thì phần được chọn này luôn là " bản sao" của F

1.2 Sự ra đời và phát triển lý thuyết về hình học Fractal

Sự ra đời của lý thuyết hình học fractal là kết quả của nhiều thập kỷ nỗ lực giải quyết các vấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc biệt là vật lý và toán học Fracral là một thuật ngữ do nhà toán học Mandelbrot đưa ra khi ông khảo sát những hình hoặc những hiện tượng trong thiên nhiên không có đặc trưng về độ dài

Năm 1982, nhà toán học thiên tài Mandelbrot nảy sinh ra ý tưởng về sự tồn tại của một cuốn “ Hình học của tự nhiên”, Fractal Geometry Fractal là cấu trúc thể hiện sự gần giống nhau về hình dạng của các hình thể kích thước khác nhau Nếu bạn nghiền một củ khoai tây rán giòn bạn sẽ có vô số những mảnh vỏ lớn nhỏ, các mảnh này có thể gọi là fractal Fractal là những vật thể hình học có cấu trúc nhưng quá bất thường để có thể mô tả bằng hình học Euclide

Lý thuyết hình học fractal được xây dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan tâm ở những thập niên ở đầu thế kỷ 20 Các vấn đề bao gồm:

+) Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên +) Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Eclide

cổ điển

Năm 1979, nhà toán học Benoit Mandelbrot áp dụng tập Mandelbrot đầy kì

ảo lên máy tính Ông đã khám phá ra một lĩnh vực hình học mới đầy thú vị cho phép phản ánh thế giới thực một cách tự nhiên hơn so với hình học Eclide Tất

cả những hình ảnh mà ta thường gặp trong tự nhiên như: núi, mây, sông, nước… nay máy tính đã có khả năng mô tả được bằng phương pháp fractal

Trong giai đoạn này B Mandelbrot và các nhà toán học khác như A.Douady và J.Hubbard đã đặt nền móng và phát triển lý thuyết cho hình học

fractal Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu trúc fractal cơ sở như tập Maldenbrot và tập Julia Ngoài ra các nghiên cứu khác cũng cố gắng tìm kiếm mối quan hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối quan

hệ giữa Maldenbrot và Julia

Dựa trên các công trình của Maldenbrot ( trong những năm 1976, 1979, 1982) và Hutchinson(1981), vào các năm 1986, 1988 Michael F.Barnsley và M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ sở

lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn các phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh của các đối tượng trong tự nhiên Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển rất có hiệu lực trong việc biểu diễn các đối tượng nhân tạo như một tòa nhà, một

cổ máy nhưng lại hoàn toàn không thích hợp cho việc biểu diễn các đối tượng của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng quá lớn các đặc tả cần có Nếu như trong hình học Euclide các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình vuông… thì

lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới là vô số thuật toán để vẽ nên các fractal của tự nhiên

Ngoài các công trình có tính chất lý thuyết , hình học fractal còn được bổ sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính và các khoa học chính xác khác, ví dụ như dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã phát triển lý thuyết biến đổi fractal áp dụng vào công nghệ nén ảnh tự động trên máy tính, là một lĩnh vực đòi hỏi những kỷ thuật tiên tiến nhất của tin học hiện đại Hiện nay nhiều vấn đề về lý thuyết fractal vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về các độ đo

đa fractal (multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng các khái niệm

số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời cũng liên quan đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự nhiên

1.3 Ý nghĩa của hình học Fractal

Rất nhiều người khi có dịp làm quen với hình học fractal đã nhanh chóng thích thú có khi đến say mê, bởi nhiều lý do:

Một là: Hình học fractal ra đời và phát triển với nhiều ý tưởng mới lạ, độc

đáo gợi cho ta một cách nhìn thiên nhiên khác với cách nhìn quá quen thuộc do hình học Euclid đưa lại từ mấy nghìn năm nay

Hai là: Hình học fractal thường được xây dựng với quy tắc khá đơn giản,

nhưng đưa đến những hình ảnh rất lạ mắt, rất đẹp

Ba là: Hình học fractal có nhiều ứng dụng phong phú, đa dạng, có khi rất

bất ngờ vào rất nhiều lĩnh vực khác nhau, từ các ngành xây dựng, khai thác dầu khí, chế tạo dụng cụ chính xác… đến sinh lý học, ngôn ngữ học, âm nhạc

Bốn là: Hình học fractal là một ngành toán học cao cấp, hiện đại nhưng một

số ý tưởng của nó, một số kết quả đơn giản của nó có thể trình bày thích hợp cho đông đảo người đọc

Hình học Euclid được giới thiệu ở trường trung học với việc khảo sát các hình đa giác, hình tròn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua hình học Euclid đã có tác dụng to lớn đối với nền văn minh nhân loại, từ việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng và máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đến mô tả cấu trúc của nguyên tử Tuy nhiên, qua hình học Euclid ta nhìn mọi vật dưới dạng

“đều đặn”, ”trơn nhẵn” Với những hình dạng trong hình học Euclid ta không thể hình dung và mô tả được nhiều vật thể rất quen thuộc xung quanh như quả núi, bờ biển, đám mây, nhiều bộ phận trong cơ thể như mạch máu… là những vật cụ thể cực kỳ không đều đặn không trơn nhẵn mà rất xù xì, gồ ghề Một ví

dụ đơn giản: bờ biển đảo Phú Quốc dài bao nhiêu? Ta không thể có được câu trả lời Nếu dùng cách đo hình học quen thuộc dù thước đo có nhỏ bao nhiêu đi nữa

ta cũng đã bỏ qua những lồi lõm giữa hai đầu của thước đo ấy, nhất là chỗ bờ đá nhấp nhô Và với thước đo càng nhỏ ta có chiều dài càng lớn và có thể là… vô cùng lớn

1.4 Một số hình ảnh về tập fractal

Hình bông tuyết Von Koch

Lá Dương Xỉ

Đệm Sierspinski

Hòn đảo Minkowski

1.5 Ứng dụng của hình học Fractal

Có 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết hình học fractal, đó là:

+) Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính

+) Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh

+) Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản

a) Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh bằng máy tính

Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm gần đây, công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi, anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó Công nghệ này đòi hỏi sự

mô tả các hình ảnh của thế giới thực trên máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự tốn kém rất lớn về thời gian và công sức Gánh nặng đó hiện nay

đã được giảm nhẹ đáng kể nhờ các mô tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các đối tượng tự nhiên Với hình học fractal khoa học máy tính có trong tay một công cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ

Ngoài các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, hình học fractal còn có mặt trong các ứng dụng tạo ra các hệ đồ họa trên máy tính Các hệ này cho phép người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh đồng thời cho phép tạo các hiệu ứng vẽ rất tự nhiên, hết sức hoàn hảo và phong phú, ví dụ hệ phần mềm thương mại fractal Design Painter của công ty fractal Design Hệ này cho phép xem các hình ảnh dưới dạng hình họa vectơ cũng như sử dụng các ảnh bitmap như các đối tượng Như đã biết, các ảnh bitmap được hiển thị hết sức nhanh chóng, thích hợp cho các ứng dụng mang tính tốc độ, các ảnh vectơ mất nhiều thời gian hơn

để trình bày trên màn hình(vì phải được tạo ra bằng cách vẽ lại) nhưng đòi hỏi rất ít vùng nhớ làm việc Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm của hai loại đối tượng này sẽ giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sử dụng các hệ phần mềm này trong việc tạo và hiển thị các ảnh có độ phức tạp cao

b) Công nghệ nén ảnh fractal

Một trong những mục tiêu quan trọng hàng đầu của công nghệ xử lý hình ảnh hiện nay là sự thể hiện hình ảnh thế giới thực với đầy đủ tính phong phú và sống động trên máy tính Vấn đề nan giải trong lĩnh vực này chủ yếu do yêu cầu

về không gian lưu trữ thông tin vượt quá khả năng của các thiết bị lưu trữ thông thường Có thể đơn cử một ví dụ đơn giản: 1 ảnh có chất lượng gần như ảnh chụp đòi hỏi một vùng nhớ 24 bit cho 1 điểm ảnh, nên để hiện ảnh đó trên một màn hình máy tính có độ phân giải tương đối cao như 1024x768 cần xấp xỉ 2.25Mb với các ảnh “thực” 24 bit này, để thể hiện được một hoạt cảnh trong thời gian 10 giây đòi hỏi xấp xỉ 700Mb dữ liệu, tức là bằng sức chứa của một đĩa CD-ROM Như vậy khó có thể đưa công nghệ multimedia lên máy PC vì nó đòi hỏi một cơ sở dữ liệu ảnh và âm thanh khổng lồ

Đứng trước bài toán này, khoa học máy tính đã giải quyết bằng những cải tiến vượt bậc cả về phần cứng lẫn phần mềm Tất cả các cải tiến đó dựa trên ý tưởng nén thông tin hình ảnh trùng lặp Phương pháp nén ảnh fractal được phát triển gần đây bởi Iterated System đáp ứng được yêu cầu này

Như đã biết, với một ánh xạ co trên một không gian metric đầy đủ, luôn tồn

tại một điểm bất động x r sao cho: x r  f x( )r

Micheal F.Barnsley đã mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ co F.Barnsley đã chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy vẫn tồn tại một “

điểm” bất động x r Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôn tìm được điểm bất động

của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó trên các kết quả thu được ở mỗi lần lặp Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm được càng xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động Dựa vào nhận xét này, người ta đề nghị xem ảnh cần nén là “ điểm bất động” của một họ ánh xạ co Khi đó đối với mỗi ảnh chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này làm giảm đi rất nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thông tin ảnh

Việc tìm ra các ánh xạ co thích hợp đã được thực hiện tự động hóa nhờ quá

trình fractal một ảnh số hóa do công ty Iteratad System đưa ra với sự tối ưu về

thời gian thực hiện Kết quả nén cho bởi quá trình này rất cao, có thể đạt đến tỉ

lệ 10000:1 hoặc cao hơn Một ứng dụng thương mại cụ thể của kĩ thuật nén fractal là bộ bách khoa toàn thư multimmedia với tên gọi “Microsoft Encarta” được đưa ra vào 12 – 1992 Bộ bách khoa này bao gồm hơn 7 giờ âm thanh, 100 hoạt cảnh, 800 bản đồ cùng màu với 7000 ảnh chụp cây cối, hoa quả, con người,

phong cảnh, động vật,… Tất cả được mã hóa dưới dạng các dữ liệu fractal và chỉ chiếm xấp xỉ 600Mb trên 1 đĩa compact

Ngoài phương pháp nén fractal của Barnsley, còn có một phương pháp khác cũng đang được phát triển Phương pháp đó do F.H.Preston, A.F.Lehar, R.J.Stevens đưa ra dựa trên tính chất của đường cong Hilbert Ý tưởng cơ sở của phương pháp là sự biến đổi thông tin n chiều về thông tin một chiều với sai số cực tiểu Ảnh cần nén có thể xem là một đối tượng ba chiều, trong đó hai chiều dùng để thể hiện vị trí điểm ảnh, chiều thứ ba thể hiện màu sắc của nó Ảnh sẽ được quét theo thứ tự hình thảnh trên đường cong Hilbert chứ không theo hàng

từ trái sang phải như thường lệ để đảm bảo các dữ liệu nén kế tiếp nhau đại diện cho các khối ảnh kế cạnh nhau về vị trí trong ảnh gốc Trong quá trình quét như vậy, thông tin về màu sắc của mỗi điểm ảnh được ghi nhận lại Kết quả cần nén

sẽ được chuyển thành một tập tin có kích thước nhỏ hơn rất nhiều vì chỉ gồm các thông tin màu sắc Phương pháp này thích hợp cho các ảnh có khối cùng tông màu lớn cũng như các ảnh dithering

c) Ứng dụng trong khoa học cơ bản

Có thể nói cùng với lý thuyết tôpô, hình học fractal đã cung cấp cho khoa học một công cụ khảo sát tự nhiên vô cùng mạnh mẽ Vật lý học và toán học thế

kỷ XX đối đầu với sự xuất hiện của tính hỗn độn trong nhiều quá trình có tính quy luật của tự nhiên Từ sự đối đầu đó, trong những thập niên tiếp theo đã hình thành một lý thuyết mới chuyên nghiên cứu về các hệ phi tuyến, gọi là lý thuyết hỗn độn Sự khảo sát các bài toán phi tuyến đòi hỏi rất nhiều công sức trong việc tính toán và thể hiện các quan sát một cách trực quan, do đó sự phát triển của lý thuyết này bị hạn chế rất nhiều Chỉ gần đây với sự ra đời của lý thuyết fractal và

sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, các nghiên cứu chi tiết về sự hỗn độn mới được đẩy mạnh Vai trò của hình học fractal trong lĩnh vực này là thể hiện một cách trực quan các cư xử lỳ dị của các tiến trình được khảo sát, qua đó tìm ra được các đặc trưng hoặc các cấu trúc tương tự nhau trong các ngành khoa học khác nhau Hình học fractal đã được áp dụng vào nghiên cứu lý thuyết từ tính, lý thuyết các phức chất trong hóa học, lý thuyết tái định chuẩn và phương trình Yang & Lee của vật lý, các nghiệm của các hệ phương trình phi tuyến được giải

dựa trên phương pháp xấp xỉ liên tiếp của Newton trong giải tích số,… các kết quả thu được giữ một vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực tương ứng

1.6 Cách xây dựng một số tập Fractal

1.6.1 Cách xây dựng tập Cantor cổ điển và tập kiểu Cantor

1.6.1.1 Tập Cantor cổ điển

Tập cantor C 3 được xây dựng bằng cách lấy đoạn thẳng [0, 1], chia làm ba

phần bằng nhau, bỏ đi khoảng mở )

3

2,3

1(

1

I ở giữa và giữ lại hai đoạn ở hai

đầu nghĩa là giữ lại tập     ;1

3

23

1

;0

\1,

2 2

3

8

;3

73

2

;3

7

;3

63

3

;3

23

1

;0)(

\1

;0

2 2

2 2

2 2

2 1

Lặp lại cách làm y như vậy đối với mỗi đoạn còn lại và cứ tiếp tục mãi Tập

còn lại trong cả quá trình đó là tập Cantor C 3 , còn khoảng mở đã bỏ đi trong đoạn [0;1] ở bước thứ k để tạo ra tập Cantor gọi là khoảng bù cấp k của tập Cantor C 3

2

;3

1 gọi là khoảng bù cấp 1, các khoảng 

3

8

;3

7,3

2

;3

1

là khoảng bù cấp 2,

Xây dựng tập Cantor C 3

1

89

79

23

13

29

19

0

1.6.1.2 Tập tựa Cantor

Với mỗi n3, ta xây dựng tập C trên n thông qua các bước lặp như sau:

Một đoạn thẳng được chia thành n đoạn có độ dài như nhau, ở bước lặp tiếp

theo ta chỉ giữ lại một đoạn đầu tiên và một đoạn cuối cùng của phần chia này Gọi E k( k 0,1,2,3, ) là bước thứ kcủa quá trình lặp

f1( )1 ,

n

n x n x

, giữ lại 4 hình vuông và bỏ đi 12 hình vuông khác Cứ tiếp tục như

thế cho đến bước thứ k ta có 4k hình vuông cạnh là

k

4

1 Quá trình này được lặp lại vô hạn lần, khi đó ta thu được bụi Cantor

Tương tự như tập Cantor ta cũng chứng minh được bụi Cantor là tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp  4

1



i i

f trên 2 xác định bởi

4

,4

14)

,4

34),(

2

y x

y x f

4

34

,2

14)

,4),(

r 0;1 Ta thay I bởi m đoạn I 1 ,

I 2 , , I m cách đều nhau và có độ dài mỗi đoạn là r I sao cho điểm mút bên trái của I 1 và điểm mút bên trái phải của I trùng với điểm mút bên phải của I m Đặt

 Tiếp tục cách làm như thế cho mỗi đoạn I 1 , I 2 , , I m ta có tập F 2 Lặp

lại cách làm y như vậy đối với mỗi đoạn con của F 2 và tiếp tục mãi Khi đó,

F được gọi là tập Cantor đều

1.6.2 Cách xây dựng đường cong Von koch

Fractal tự đồng dạng mà chúng ta sẽ dựng là “ Đường cong bông tuyết Koch”, được đặt để vinh danh Helge Von Koch (1870 – 1924), nhà toán học người Thụy Điển mà người hầu như nổi tiếng đối với đường cong mang tên ông Nó là một ví dụ về đường cong liên tục mà không khả vi tại bất kỳ điểm nào của nó

Bước 1: Để dựng đường cong mẫu đối với hình bông tuyết Koch, ta bắt đầu

với đoạn thẳng AB Đúng như chúng ta đã loại bỏ đoạn thứ ba ở giữa đối phép

dựng tập Cantor, chúng ta loại bỏ đoạn thứ ba ở giữa của AB , nhưng thay nó

bằng hai đoạn thẳng dựng phía trên của tam giác đều có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh thứ ba mà ta đã loại bỏ

Bước 2: Quá trình vừa được mô tả như một quá trình thay thế, nơi mà

chúng ta lấy đi một đoạn thẳng và thay thế nó bởi một đường cong mới, đường cong mẫu Mỗi một đoạn thẳng của đường cong mẫu mới này có thể được thay

thế bởi bản sao của mẫu mà hệ số tỉ lệ là 1

3 Hoàn thành quá trình thay thế này đối với mỗi một trong bốn đoạn thẳng nhỏ của mẫu này, ta thu được đường cong cho bởi hình vẽ sau

Bước 3: Quá trình vừa được phác họa có thể được làm một cách đệ quy

Chúng ta có thể lấy một trong các đoạn thẳng mới này trong đường cong vừa được mô tả và thay thế chúng bởi bản sao tỉ lệ giảm của mẫu này Sau đó chúng

ta có thể lặp lại việc lấy mỗi tập mới của các đoạn thẳng tại cấp n và thay thế chúng bằng các bản sao của mẫu để thu được đường cong cấp n + 1 Như vậy

việc thay thế các đoạn thẳng bằng các bản sao của mẫu lặp trở lại với chính nó một cách vô hạn

Tại điểm mà chúng ta ngừng quá trình thay thế, đường cong này có 16 đoạn

thẳng nhỏ, mỗi một đoạn thẳng có độ dài bằng 1

9 đoạn thẳng ban đầu AB Thay

thế mỗi một trong các đoạn thẳng này với tỉ lệ 1

27bản sao của mẫu chúng ta, ta nhận được một đường cong mới với 64 đoạn thẳng, mỗi một đoạn thẳng có độ