phát huy tư duy sáng tạo linh hoạt trong bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực A - PHẦN MỞ ĐẦU Trong chương trình toán học ở cấp phổ thông trung học thì bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất là một dạng bài toán hay, khó và cũng rất hay có mặt trong các kỳ thi học kỳ, thi tốt nghiệp cũng như thi học sinh giỏi hay thi đại học. Nhưng mãi đến sách giáo khoa lớp 12 mới có định nghĩa cụ thể về bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, và sử dụng bảng biến thiên hàm số như là một công cụ để giải bài toán này. Thông thường, trong các đề thi thì bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất thường ở các dạng như: - Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức, của hàm số. - Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong việc chứng minh các bất đẳng thức - Áp dụng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm sốtrong việc giải hệ phương trình. Qua quá trình giảng dạy cũng như qua quá trình tìm hiểu học sinh sau mỗi kỳ thi tuyển. Rất nhiều em học sinh gặp vướng mắc trong việc giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Hay như một số bài toán vận dụng kiến thức tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất để giải bất phương trình, bất đẳng thức, giải hệ… các em học sinh cũng thường lúng túng không biết vận dụng kiến thức tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất như thế nào. Như vậy, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất được vận dụng rất nhiều trong đời sống sinh hoạt, trong kinh doanh, trong kỹ thuật và cũng rất quan trọng trong việc giảng dạy tại trường Trung học phổ thông. Xét thấy những vấn đề quan trọng như thế của bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất nên tôi đã lựa chon đề tài:“ Phát huy tư duy sáng tạo linh hoạt trong bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất” để làm sáng kiến kinh nghiệm của mình. 1 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực B - NỘI DUNG I. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ. 1. Phương pháp áp dụng miền giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số. VD 1: Tìm giá trị lớn nhât, nhỏ nhất của hàm số: X 2 + x + 1 Y= X 2 – x + 1 Lời giải: - Miền xác định: D =R - Y 0 thuộc miền giá trị T của hàm số khi và chỉ khi phương trình (ẩn x) X 2 + x + 1 Y 0 = (1) có nghiệm X 2 – x + 1 - Từ (1) ↔(1 − Y 0 ) x 2 + (1 + Y 0 ) x + 1 – Y 0 = 0 (2) - Từ đó ta có: • Với Y 0 = 1 thì (2) có nghiệm x = 0 • Y 0 ≠ 1 thì (2) có nghiệm ⇔ (1 + Y 0 ) 2 – 4(1 – Y 0 ) 2 ≥ 0 ⇔ 3 Y 0 2 – 10 Y 0 + 3 ≤ 0 ⇔ 1/3 ≤ Y 0 ≤ 3 Vậy miền giá trị của hàm số là T = [ 1/3 , 3 ] Do đó, max Y = 3, min Y = 1/3 VD 2: Cho hàm số : 2k Cosx + k + 1 Y k = 2 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực Cosx + Sinx + 2 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với giá trị k = 1. b) Xác định tham số k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số Y k là giá trị nhỏ nhất (Đề thi vào đại học năm 1996). Lời giải: a) Với k = 1. Ta có : 2 Cosx + 2 Y = Cosx + Sinx + 2 - Vì Sinx và Cosx không đồng thời bằng 1 nên Cosx + Sinx + 2 ≠ 0 - Với ∀x, Miền xác định hàm số D = R - Y 0 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi: 2 Cosx + 2 Y 0 = (1) có nghiệm Cosx + Sinx + 2 - Ta có: (1) ⇔ (Y 0 − 2)Cosx + Y 0 Sinx = 2(1 − Y 0 ) (2) Ta có (2) có nghiệm ⇔ (Y 0 −2) 2 + Y 0 2 ≥ 4(1 − Y 0 ) 2 ⇔ Y 0 2 − 2Y 0 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ y 0 ≤ 2 Vậy Min Y = 0, Max Y = 2. b) Xác định k để Max Y k nhỏ nhất. Ta có Y k thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình: 2k Cosx + k + 1 Y k = (3) có nghiệm Cosx + Sinx + 2 (3) có nghiệm ⇔ (Y k − 2k) 2 + Y 2 k ≥ (k + 1 − 2Y k ) 2 3 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực ⇔ 2Y k 2 − 4Y k − 3k 2 + 2k + 1 ≤ 0 (3) Ta có: (3) có nghiệm ⇔ 1 − 2 1 246 2 +− kk ≤Y k ≤ 1 + 2 1 246 2 +− kk Từ dó suy ra Max Y k = 1 + 2 1 246 2 +− kk ⇒ Max Y k nhỏ nhất ⇔ 6k 2 − 4k + 2 nhỏ nhất ⇔ k = 3 1 Vậy với k = 3 1 thì giá trị lớn nhất của Y k là giá trị nhỏ nhất. VD 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: Y = [ 36 )(12 2 + − x axx ] 4 3 Với a ≠ 0 Lời giải: - Đặt Z = 36 )(12 2 + − x axx thì Y = 4 3 z Y đạt giá trị lớn nhất ⇔ Z đạt giá trị lớn nhất Ta tìm miền giá trị của hàm số Z = 36 )(12 2 + − x axx (Với Z≥ 0) - Miền xác định của hàm số Z là D = R - Z 0 thuộc miền giá trị T của hàm số khi và chỉ khi phương trình: Z 0 = 36 )(12 2 + − x axx (1) có nghiệm. Ta có: (1) ⇔ (12 −Z 0 )x 2 −12ax − 336Z 0 = 0 (2) • Với Z 0 = 12 thì (2) có nghiệm x = a Z 0 3 (Với a ≠0) •Với Z 0 ≠ 12 Thì (2) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 36a 2 + 36 Z 0 (12−Z 0 ) ≥ 0 ⇔ Z 0 2 − 12Z 0 − a 2 ≤ 0 ⇔ 6 − 2 36 a + ≤ Z 0 ≤ 6 + 2 36 a + 4 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực Vậy MaxY = 3 4 2 )366( a ++ 2. Phương pháp áp dụng tính chất của bất đẳng thức cơ bản. VD 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = z xy + x yz + y zx Trong đó x,y,z là số thực dương thoả mãn điều kiện : x 2 + y 2 + z 2 = 1. Lời giải: Ta có S 2 = 2 22 z yx + 2 22 x zy + 2 22 y xz + 2(x 2 + y 2 + z 2 ) = 2 22 z yx + 2 22 x zy + 2 22 y xz + 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : 2 22 z yx + 2 22 x zy ≥ 2 22 242 zx zyx = 2y 2 (1) Hoàn toàn tương tự ta có: 2 22 x zy + 2 22 y xz ≥ 2z 2 (2) 2 22 y xz + 2 22 z yx ≥ 2x 2 (3) Từ (1), (2), (3) và x 2 + y 2 + z 2 = 1 Ta có: S 2 ≥ 2 1 (2x 2 + 2y 2 + 2z 2 ) + 2 ⇔ S 2 ≥ 3 do đó S = 3 ⇔ 2 22 x zy = 2 22 y xz = 2 22 z yx , x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x,y,z > 0 ⇔ x = y = z = 3 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 3 khi x = y = z = 3 1 5 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực VD 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = z yx + + 1 + x zy + + 1 + y xz + + 1 Trong đó x,y,z là các số thực thuộc       1, 2 1 . Lời giải: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P - Vì x,y,z ∈       1, 2 1 nên x + y ≥ 1; y + z ≥ 1; x + z ≥ 1 - Do đó x + y + z ≥ 1 + z ; x + y + z ≥ 1 + x ; x + y + z ≥ 1 + y Vì vậy: P ≥ zyx yx ++ + + zyx zy ++ + + zyx xz ++ + = zyx zyx ++ ++ )(2 = 2 Ta có: P = 2 ⇔ x + y = y + z = z + x = 1 ⇔ x = y = z = 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2 khi x = y = z = 2 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của P Do x,y,z ∈       1, 2 1 nên 2 1 ≤ x ≤ 1 ; 2 1 ≤ y ≤ 1 ; 2 1 ≤ z ≤ 1 từ đó ta có: P = z x + 1 + z y + 1 + x y + 1 + x z + 1 + y z + 1 + y x + 1 ≤ zx x + + zy y + + xy y + + xz z + + yz z + + yx x + = ( zx x + + xz z + ) + ( zy y + + yz z + ) + ( xy y + + yx x + ) = 3 Vậy P = 3 ⇔ x = y = z = 1 Do đó, giá trị lớn nhất của P = 3 khi x = y = z = 1 VD 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: F (x) = 4x + x 2 9 π + Sinx Với 0 < x < +∞ 6 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực ( Đại học KTQD Hà nội 1999). Lời giải: − Vì x > 0 nên 4x và x 2 9 π là hai số dương. − Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 4x + x 2 9 π ≥ 2 x x 2 9 .4 π = 12 π Và với ∀x > 0 ta có Sinx ≥ -1 ⇒ F (x) = 4x + x 2 9 π + Sinx ≥ 12 π − 1 Với ∀x > 0 Nhưng F ( 2 3 π ) = 4. 2 3 π + 2 3 9 2 π π + Sin ( 2 3 π ) = 6 π + 6 π − 1 =12 π − 1 Do đó: Min F (x) = 12 π − 1 Với ∀x > 0 VD 4: Cho hình chóp S ABC , có đáy là ∆ABC. Cạnh SA = x, BC = y, Các cạnh khác còn lại đều bằng 1. a) Tính thể tích của hình chóp theo x,y b) Với x,y nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất. Lời giải: a) Ta có thể tích của hình chóp S ABC là: V = 12 xy )(4 22 yx +− (ĐVTT) b) Theo câu a ta đã có V(S ABC ) = 12 xy )(4 22 yx +− (ĐVTT) 7 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực − Vì SA = x > 0, BC = y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x 2 + y 2 ≥ 2 22 yx = 2xy ⇒ 4 − (x 2 + y 2 ) ≤ 4 − 2xy = 2.( 2 − xy) ⇒ )(4 22 yx +− ≤ )2(2 xy − ⇒ V ≤ )2(2 12 xy xy − = 6 1 2 )2( )( 2 xy xy − ⇒ V ≤ 6 1 )2( 22 2 xy xyxy − Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương: xy xyxy − 2, 2 , 2 ta có: V ≤ 6 1 3 3 2 22 2             −++ xy xyxy = 6 1 27 16 = 27 32 Vậy MaxV = 27 32 ⇔ xy xyxy −== 2 22 và x 2 + y 2 = 2xy ⇔    =−+ −= 02 24 22 xyyx xyxy ⇔      = = 3 4 2 x yx Vậy với x = y = 3 2 thì Max V = 27 32 3. Phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm số(Bảng biến thiên của hàm số) để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên khoảng ( ) ba, hoặc trên [ ] ba, Cách giải: Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( ) ba, rồi dựa vào đó để lập luận. Nếu trên ( ) ba, hàm số có 1 cực trị duy nhất là cực đại hoặc cực tiểu, thì giá trị đó là giá trị lớn nhất hoặc giá trị bé nhất của hàm số. Ngoài ra có thể áp dụng quy tắc tìm Max ƒ (x) và Min ƒ (x) trên khoảng [ ] ba, VD 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Y = Sin 20 x + Cos 20 x (Đại học Luật 1999) 8 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực Lời giải: Ta có Sin(x + 2 π ) = Cosx = Cos(x + 2 π ) = - Sinx nên hàm số Y = Sin 20 x + Cos 20 x có chu kỳ là 2 π . Do đó, ta chỉ cần xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên       2 ,0 π . Ta có Y’ = 20 Sin 19 xCosx − 20Cos 19 xSinx = 20SinxCosx .(Sin 18 x − Cos 18 x) Y’ = 0 ⇔      = = = CosxSinx Cosx Sinx 0 0 ⇔         = = = 4 2 0 π π x x x Ta có Y (0) = 1, Y ( 2 π ) = 1, Y ( 4 π ) = 9 2 1 Vậy Min Y = 12 5 1 khi x = 24 ππ k + (Với k ∈Z) Max Y = 1 khi x = 2 π k (Với k ∈Z) VD 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Y = Sin 6 x + Cos 6 x + aSinxCosx Lời giải: Ta có: Sin 6 x + Cos 6 x = (Sin 2 x) 3 +(Cos 2 x) 3 = (Sin 2 x + Cos 2 x)( Sin 4 x − Sin 2 x Cos 2 x + Cos 4 x) = (Sin 2 x + Cos 2 x) 2 − 3Sin 2 x Cos 2 x = 1 − 3Sin 2 x Cos 2 x Nên Y = − 3Sin 2 x Cos 2 x + aSinx Cosx + 1 = − 4 3 Sin 2 2x + 2 a Sin2x + 1 Đặt Sin2x = t Với t ∈ [ ] 1,1 − 9 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực Ta có: Y = − 4 3 t 2 + 2 a t + 1 ⇒ Y’ = − 4 3 t + 2 a ; Y’ = 0 ⇒ t = 3 a Ta có: Y ( 3 a ) = 1 12 2 + a ; Y (-1) = 4 21 a − ; Y (1) = 4 21 a + Lập bảng biến thiên: x -∞ 3 a +∞ Y’ + 0 − Y 12 2 a Ta có 3 trường hợp có thể xảy ra là:  [ ] 1,1 − ∈       ∞− 3 , a ⇔ 3 a > 1 ⇔ a > 3 Khi đó: Y = − 4 3 t 2 + 2 a t + 1 đồng biến trên [ ] 1,1 − ; Do đó: MinY = Y (-1) = 4 21 a − và MaxY = Y (1) = 4 21 a +  [ ] 1,1 − ∈       +∞ , 3 a ⇔ 3 a < -1 ⇒ a < -3 Khi đó hàm số Y = − 4 3 t 2 + 2 a t + 1 nghịch biến trên [ ] 1,1 − ; Do đó: MinY = Y (1) = 4 21 a + ; MaxY = Y (-1) = 4 21 a −  3 a ∈ [ ] 1,1 − ⇔ -1 ≤ 3 a ≤ 1 ⇔ -3 ≤ a ≤ 3 Khi đó hàm số Y = − 4 3 t 2 + 2 a t + 1 đồng biến trên       − 3 ,1 a , nghịch biến trên       1, 3 a . Đạt cực trị tại t = 3 a 10 [...]... đã phát huy được tư duy sáng tạo thể hiện ở việc các em đã đưa ra nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán Kết quả kiểm tra cuối chương tôi đã đưa vào bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất thì phần lớn học sinh làm được Kết quả cụ thể là: 70% khá giỏi, 25% trung bình, 5% yếu kém 2 .Bài học kinh nghiệm: − Cần có định nghĩa và các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất. .. Lực Bài 3: x1,x2 là nghiệm của phương trình x 2 + px + 1 =0 p ( p ≠ 0) Xác định p để x41 + x42 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 4: Cho hàm số Y = 13x2 – 6x + 2a -1 Với -2 ≤ x ≤ 3 a) Xác định a để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất b) Xác định a để giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 29 Bài 5: Cho hàm số Y = Sin4x + Cos4x + mSinxCosx Tùy theo giá trị của m tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của Y Bài. .. lôgic chặt chẽ 29 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực D - KẾT LUẬN Vấn đề tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số được làm quen từ trung học cơ sở Ở cấp THPT đưa thêm một số cách giải khác như dùng công cụ đạo hàm, bảng biến thiên của hàm số làm cho việc giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số được giải quyết một cách dễ dàng hơn Và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số... pháp giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số Dạng toán này có vai trò quan trọng trong các kỳ thi tuyển vào đại học, cao đẳng; đặc biệt trong các đề thi học sinh giỏi bao giờ cũng có ít nhất 1 câu Bất kỳ một học sinh cũng như giáo viên nào cũng phải nên quan tâm đến dạng toán này Qua bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất rèn luyện được tư duy sáng tạo, linh hoạt cho hoc sinh Quả... là nhỏ nhất Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số: a) Y = b) Y = Cosx + 2 Sinx + 3 2Cosx − Sinx + 4 Trong khoảng: (-π, π) Sinx 2 + Cosx Bài 11: Xác định k để Trong đoạn [0 , 1] k − Sinx + 1 ≥ −1 Cosx + 2 Với ∀ x Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Y = Sinx – Cos2x + 1 2 26 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Đức Lực Bài 13: Cho tam giác ABC bất kỳ với 3 góc A, B, C Tìm giá trị lớn nhất. .. 2 I CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 2 1 Phương pháp áp dụng miền giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số .2 2 Phương pháp áp dụng tính chất của bất đẳng thức cơ bản 5 3 Phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm số(Bảng biến thiên của hàm số) để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên khoảng hoặc... trình lượng giác, hàm số mũ, hàm Lôgarit − Trong quá trình giảng dạy ở chương trình toán lớp 12 cần phải giành quỹ thời gian thích hợp cho dạng bài toán này Đưa vào các dạng bài toán có nhiều phương pháp giải Đặc biệt áp dụng đạo hàm, bảng biến thiên của hàm số để giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số một cách ưu việt,hiệu quả từ đó phát huy tính sáng tạo, linh hoạt ,tư duy lôgic chặt... học hàm số bậc nhất, bậc 2 đưa ra định nghĩa nhờ áp dụng hằng đẳng thức − Khắc sâu bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số ở chương bất đẳng thức, bất phương trình − Với học sinh lớp 11 cần đưa vào ở phương trình lượng giác, phương trình mũ và phương trình lôgarit nhiều bài tập hơn nữa học sinh làm quen với việc vận dụng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong việc giải... rãi trong đời sống hằng ngày, trong giáo dục Khi giải được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất sẽ giải quyết được các bài toán chứng minh bằng đẳng thức, bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham biến Trong quá trình giảng dạy đặc biệt là lớp 12 cần có lượng thời gian thích hợp giành cho dạng bài toán này Cũng như cũng cần phải tổng kết các phương pháp giải bài toán tìm. .. các em tiếp xúc với bài toán tìm giá trị nhỏ nhât, lớn nhất của hàm số bằng định nghĩa và bằng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số Đặc biệt, phương pháp áp dụng miền giá trị của hàm số, học sinh làm khá tốt Được thể hiện là kết quả kiểm tra cuối chương có bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số thì có 60% học sinh làm được tôt • Ở chương bất đẳng thức, bất phương trình Trong quá trình giảng . lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức, của hàm số. - Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong việc chứng minh các bất đẳng thức - Áp dụng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. thức tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất như thế nào. Như vậy, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất được vận dụng rất nhiều trong đời sống sinh hoạt, trong kinh doanh, trong kỹ thuật và cũng. TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ. 1. Phương pháp áp dụng miền giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số. VD 1: Tìm giá trị lớn nhât, nhỏ nhất của hàm