Điều kiện cân bằng của hệ lực (Trường Đại học sư phạm kĩ thuật)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬTKHOA: Xây dựng và cơ học ứng dụng THU HỆ LỰC VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC 1... Tại giữa và thẳng góc với AB tác dụng môt lực... Tìm ứng lực các thanh v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

KHOA: Xây dựng và cơ học ứng dụng

THU HỆ LỰC VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC

1 Các nội dung kiến thức tối thiểu mà sinh viên nắm vững sau khi học xong chương 1

a – Nội dung

- Liên kết và phản lực liên kết

- Momen của lực đối với điểm và đối với trục

- Ngẫu lực và momen ngẫu lực

- Định lý dời lực

- Thu hệ lực về một tâm-Thu hệ lực về dạng tối giản

- Điều kiện cân bằng của một hệ lực

b- Dạng bài tĩan

- Bài tĩan thu một hệ lực:

o Tìm vectơ chính và vectơ momen chính

o Thu về dạng tối giản

- Bài tĩan cân bằng hệ lực

a- Mo = 0, Ro= 0 thì hệ lực cân bằng (Fi ) ∼ 0

b- Mo ≠ 0, Ro= 0 thì hệ lực tương đương với 1 ngẫu lực (Fi ) ∼ M

c- Mo = 0, Ro≠ 0 Hệ lực có hợp lực (Fi ) ∼ R

d- Mo ≠ 0, Ro ≠ 0

 M R = 0 Hệ lực có hợp lực (Fi ) ∼ Rđặt tại điểm

o Phân tích các lực tác dụng

o Đặt các phản lực liên kết

o Viết các phương trình cân bằng tương ứng

o Giải phương trình –Tìm kết quả

5 Tổng hợp Tìm điều kiện để cho hệ

lực tác dụng vào vật rắn cân bằng

Sử dụng phương trình cân bằng momen

Lọai Nội dung

1 Bài 1 Cho hệ gồm các lực tác dụng lên hình lập phương có cạnh là a

như hình vẽ P 1 = 10 kN; P 2 = 4 kN; P 3 = 4 kN; P 4 = 11 kN , a = 30cm =

0,3m

1 Thu gọn hệ lực trên về A

2 Hệ lực này thu về được hợp lực hay hệ xoắn

2

Z

Y A

a

Đáp án

bài 1

1-Thu gọn hệ lực trên về A

KN ; kN kN

KN

1,2 kNm kNm

2 Hệ lực này thu về được Vậy hệ lực thu được hệ xoắn

2 Bài2 Hệ 3 lực ( ) đặt tại 3 điểm A, B, C và có chiều như hình vẽ Biết

OA=OB=OC=a

a Tìm điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực

b Tìm điều kiện để hệ lực thu về một lực

Đáp án

bài 2 ; ;

;, ,

A A

A

a Điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lựcChỉ cần đưa thêm điều kiện: ⇒ F1= F2 = F3

b Điều kiện để hệ lực thu về một lựcChỉ cần đưa thêm điều kiện: ⇒ F1≠ F2 ≠ F3

3 Bài 3 Cho kết cấu có liên kết và chịu lực như hình vẽ Xác định các

phản lực tại các liên kết? Cho: P = 2qa, M = qa2

Đáp án

bài 3

Hệ lực tác dụng gồm:(

ΣmA(F) = 0 ⇒M - P.5a - RB.3a – R.2a =0 ⇒ RB = 4qa

ΣFy = 0 ⇒ RA – R + RB – P = 0 ⇒ RA = R + P + RB = -

Kết quả: RA = - ; RB = 4qa

4 Bài 4 Cho hệ thanh như hình vẽ thanh AB nặng Q = 2kN ; thanh BE nặng P =

4kN

CB = AB ; DE = BE

Tìm phản lực tại A,B,C,D Cho α = 450

P M q

P Q

α

P M q

∑mB =0 ⇒ - Chú ý :X'B = XB' Y’B = YB'

Kết quả : ND = 2,12KN, XB =-1,5kN.YB = - 2,5kN, NC = 5,25 KN, XA = 1,5 KN, YA=-0,75KN

5 Bài 5 Cột AB bị ngàm vào nền ở đầu A và nghiêng 60 0 với nền

Dầm CD liên kết với cột bởi bản lề B và được đỡ nằm ngang nhờ thanh EF (2 đầu là bản lề) Đầu D treo vật nặng P Bỏ qua trọng lượng của cột ,dầm, thanh cho:AE = EB = BC = BF = FD = a.Tìm phản lực tại A và các lực tương hổ tại B,E và F

D

E

F C

P B

B C

X’B

Y’B

B1

B1B

E D

B1

B1

• Xét cân bằng của thanh AB Hệ lực tác dụng gồm ( )∼ 0

ΣmA(F) = 0 ⇒ MA + S’EF.AE.sin30 + X’B.AB.sin60 – Y’B.AB.cos60 = 0

ΣX= 0 ⇒ XA –X’B – S’EFcos30 = 0 ⇒ XA = 0

ΣY = 0 ⇒ Y’B+S’EFsin30 – YA = 0 ⇒YA = P

Kết quả: XB = P ; YB = -2P ; SEF = 6P ; MA = 4Pa; XA = 0 ; YA = PGhi chú: Có thể giải bằng phương pháp hóa rắn

6 Bài 6 Hai thanh DE và FC nối với nhau bằng bản lề và nối với thanh AB bằng bản

lề tại E,F Thanh AB cĩ liên kết ngàm tại A Hệ thanh chịu tải và kích thước như hình vẽ Xác định phản lực tại A,E và ứng lực trong thanh CF Cho q=0,5

A A

bài 6

Hóa rắn Trong đó : Q=4ql=2P

ΣX= 0 ⇒ XA + Q = 0

ΣY= 0 ⇒ YA - P = 0

ΣmA = 0 ⇒ MA -2lQ – 4lP = 0 ED:

7 Bài 7 Hai thanh AB = 4a, AC=2a, trọng lượng không đáng kể được ghép

cứng với nhau (ngàm) ở A và được cắm sâu vào (ngàm) tường

ở C Biết góc  = 60o , AC nằm ngang Tại giữa và thẳng góc với AB tác dụng môt lực Tìm phản lực tại C và các lực tương hỗ tại A

A

B

C 60

8 Bài 8 Hai dầm đồng chất AB và CD cùng chiều dài 4a, cùng trọng

lượng P, được nối với nhau bằng ba thanh không trọng lượng như hình vẽ Các dầm nằm ngang Đầu A của dầm bị ngàm vào tường

Tìm ứng lực các thanh và phản lực tại ngàm A

RA

MA

Kết quả: RA = 2P ; MA = 6Pa ; S1= 0 ; S2 = S3 = -P

9 Bài 9 Thanh ngang OC có trọng lượng P = 1000 N , dài 2 m chịu tác dụng

của ngẫu lực ( ) nằm trong mặt phẳng nằm ngang Lực Q = 100 N, cánh tay đòn EF = 20 cm Thanh được giữ nằm ngang nhờ bản lề cầu tại O với hai dây AB và CD Biết: OB = 0,5 m, α = 30o

Hãy xác định phản lực tại O và sức căng của các dây khi thanh cân bằng

B

D

Y Z

A

A

A

10 Bài 10 Tấm đồng chất hình chữ nhật , trọng lượng P = 200N mắc vào

tường nhờ gối cầu A và bản lề trụ B và được giữ cân bằng ở

vị trí nằm ngang nhờ dây CE nghiêng 600 với đường thẳng đứng

AE Biết đường chéo AC nghiêng 300 với cạnh AB Tìm phản lực tại A, B và sức căng của dây

( , , , , , , ) ∼ 0Lập các phương trình cân bằng:

11 Bài 11 Mơt tấm chử nhựt ABCD đồng chất trọng lượng Q = 15N được giữ ở vị trí

nằm ngang bằng bản lề cầu tại A, bản lề trụ B và thanh KC Tấm chịu tác dụng của lực ngang F = 30N Hãy xác định phản lực tại A , B và lực nén thanh KC, nếu

K Z

A A

A

:( 0

ΣX = XA + XB -F + Ssin30osinβ = 0

ΣY = YA - Ssin30ocos30 = 0

ΣZ = - Q + ZA +ZB +Scos30o = 0 = - P + AB.ZB + Scos 30o AB= 0 (4) = Q – Scos30o BC= 0 (5)

Kết quả:XA = 27,84N , YA=-3,75N , ZA = 7,5P , XB=0 , ZB = 0 , S=8,7 N

12 Bài 12 Thanh gấp khúc ABCD có ABC thuộc mặt phẳng ngang BCD

thuộc mặt phẳng đứng Khớp cầu tại D, khớp trục tại E và sợi dây không giãn DK song song với BA chịu lực như hình vẽ Cho AB= 40 cm , BE= 20cm, EC= CD = 40cm , P = 100N, m1= 60 Ncm, m2 =

40 Ncm Tìm phản lực tại A,E va2 sức căng của dây DK

A

A A

( 0Lập các phương trình cân bằng cho hệ lực ta có :

ΣX = XA + XE -T = 0

ΣY = YA = 0

ΣZ = - P + ZA +ZE = 0 = -P.BC + ZE.BE - m1 = 0 = T.CD + P.AB –ZE.AB = 0 = -XE BE+ T.BC + m2 = 0

Kết quả: XA = -408N , YA=-0 , ZA = -203N , XE=611N , ZE = 303N ,

T=203 N

13 Bài 13 Tấm không trọng lượng , chịu lực P và được đỡ ở vị trí nằm

ngang nhờ 6 thanhkhông trọng lượng như hình vẽ Toàn hình có dạng khối lập phương cạnh a

4

Z

3

2 1

Y

a a

a

X

5 6

4

Z

3

2 1

Lập các phương trình cân bằng:

14 Bài 14 Cột OA được đặt thẳng đứng xuống đất và được giữ bằng các

dây chằng dọc AB và AD tạo thành với cột các góc bằng nhau và bằng α = 300 .Góc giữa các mặt phẳng AOB và AOD bằng ϕ

=600 Người ta buộc vào cột hai sợi dây chằng ngang vuông góc với nhau và song song với các trục Ox và Oy với sức căng mỗi dây P = 100KN

Hãy xác định áp lực thẳng đứng tác dụng lên cột và sức căng trong các dây chằng cho biết trọng lượng của chúng không đáng kể

R

2

R3ϕ

X

Z

Y Y

α α

ϕ

A

B

D

Hệ lực không gian đồng qui cân bằng:( ) ∼ 0Các phương trình cân bằng

; R1 = P ( 1+ tgϕ/2).cotgα

Kết quả:R1= 273KN , R2 = 85KN , R3 = 231KN

15 Bài 15 Giá đở gồm ba thanh có chiều dài AB = 145 cm, AC = 80 cm, AD =

60 cm treo vật nặng có trọng lượng Q = 420 N Mặt phẳng hình chử nhựt ACED nằm ngang, đầu B, C, D gắn với tường thẳng đứng Bỏ qua trọng lượng của các thanh Tìm ứng lực trong các thanh đở

Đáp án

bài 15

Xác định các thành phần ứng lực trong các thanh

Hệ lực không gian đồng quy cân bằng:

Lập phương trình cân bằng

17 Bài 17 Thanh đồng chất OA có trọng lượng P quay được quanh trục O và

tựa lên điểm giữa B của nó lên quả cầu đồng chất C Quả cầu này có trọng lượng Q, bán kính R, được treo vào trục O nhờ sợi dây OD = R Biết OD nghiêng 30o so với OA Tìm góc nghiêng ϕ

của dây OD với đường thẳng đứng khi hệ cân bằng

Đáp án

bài 17

 Xét cân bằng của thanh OA : (

Σmo = 0 ⇒ NB OB – P OB sin (30 - ϕ) =0 ⇒ NB = P sin(30-ϕ)

(1)

 Xét cân bằng của quả cầu : (

P Q

NBN’B

Σmo = 0 ⇒ Q (OD +R) sinϕ -NB OB = 0

OB = (OD +R)cos30 = (OD + R)

⇒ Q sinϕ = NB ⇒ NB = Q sinϕ (2)(1)(2) ⇒ (P cosϕ)/2 - P sinϕ = Q sinϕ⇒

(Pcosϕ)/2 = (Q + P) sinϕ

⇒ tgϕ = =

18 Bài 18 Hai quả cầu đồng chất, tâm O1 và O2, bán kính R1, R2 (R1>R2),

trọng lượng P1, P2 (P1>P2) tựa vào nhau ở B và cùng được treo vào điểm O nhờ hai dây OA1 và OA2 Biết OA1 + R1 = OA2 + R2 = R1 + R2

(do đó OO1O2 là tam giác đều)

Tìm góc nghiêng θ của OA1 với đường thẳng đứng khi hệ cân bằng

• Xét quả cầu O2 chịu ba lực: ( , , ) ∼ 0

⇒sin = 0 ⇒

N = N’ ⇒ ⇒

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

KHOA: Xây dựng và cơ học ứng dụng

- Bài tĩan xác định tọa độ trọng tâm vật rắn

2 Các mục tiêu đánh giá và dạng câu hỏi gợi ý chương 2

Lọai Nội dung

1 Bài 1 Một vật rắn nằm trên một mặt phẳng không nhẳn có hệ số

ma sát trượt f, nghiêng với mặt phẳng nằm nghiêng một góc α

1 Xác định góc α để vật rắn cân bằng dưới tác dụng của lực hướng thẳng đứng xuống dưới và có giá trị lớn tùy ý

2 Giả sử lực cho trước và vật chiụ tác dụng của lực nằm ngang Xác định góc α để vật có thể trượt lên

2 Bài2 Trên trục nằm ngang không nhẵn Ox có con chạy A, trọng lượng

P Nhờ sợi dây vòng qua ròng rọc B con chạy bị kéo bởi vật cùng trọng lượng Biết hệ số ma sát trượt giữa con chạy và trục là: f= tgϕ ( góc ϕ là góc ma sát trượt)

Tìm góc nghiêng θ của đoạn dây AB với đường thẳng đứng khi cân bằng

28

-θ

A O

3 Bài 3 Ống trụ đồng chất đặt giữa 2 tấm AO và BO nối khớp với nhau

tại O Trục O1 của ống trụ và trục của khớp O cùng nằm trong

mặt phẳng đứng , dưới tác dụng của hai lực trực đối nằm ngang

P đặt tại các điểm A, B, 2 tấm này ép trụ lại Cho biết trụ có

trọng lượng Q, bán kính r hệ số ma sát giữa trụ và tấm là f

Góc = 2 , khỏang cách AB = a

Độ lớn của lực P phải thoả điều kiện nào để trụ cân bằng

A

Đáp

án

bài 3

• Điều kiện cân bằng có ma sát trượt: F = f.N

• Xét cân bằng của thanh OB ( :

∑mo = 0 ⇒ P -N r tg = 0 (1)

• Xét cân bằng của khối trụ ( :

∑Fy = - Q + 2Nsin + 2Fmscos = 0 ⇒2N ( sin + fcos ) = Q (2)(1) N = =

Thay vào (2) Q = Khi trụ chuyển động xuống :

P = Khi trụ chuyển động đi lên :

P = (Vì chỉ có lực ma sát đổi chiều)Vậy P phải thỏa điều kiện :

4 Bài 4

Trụ I Có xu hướng quay quanh trục I dưới tác dụng của vật nặng

P treo ở đầu dây cuốn quanh tầng trong bán kính r để giữ cân bằng, người ta dùng má hãm B ép vào tầng ngòai bán kính R Má hãm này được bắt vào cần OAC quay được quanh O và gồm đọan thẳng đứng OA và đọan thẳng nằm ngang AC Cho OA = a,

AB = b, AC = c , hệ số ma sát trượt giữa má hãm và trụ là f Tìm lực Q thẳng đứng đặt tại C để có cân bằng Trong điều kiện nào thì hệ cân bằng, dù không có lực ép Q

α

Q

O a

Đáp

án

bài 4

1 Tìm lực Q thẳng đứng

• Điều kiện cân bằng có ma sát tới hạn: F = f.N

• Xét cân bằng của bánh xe ( :

∑mI = 0 ⇒ P.r – Fms R = 0 Pr = f.N.R = 0 ⇒ N = (1)

• Xét cân bằng của cần OAC : (

∑mo = 0 ⇒ Q.c + F’ms a – N’.b = 0 N’ = (2)(1) và (2) cho : = Q =

Điều kiện để cân bằng là :

Q

2 Hệ cân bằng dù không có Q Q = 0

⇒ b- fa = 0 ⇒ Điều kiện : f

5 Bài 5 Xác định góc nghiêng α để khối trụ có bán kính R đặt trên mặt

phẳng nghiêng cân bằng.cho biết hệ số ma sát trượt giữa mặt nghiệng OA là f và hệ số ma sát lăn là µ

31

I

B

A C

Q

O Q

Q Q

α

A

P

Đáp

án

bài 5

Khảo sát khối trụ O cân bằng:

Hệ lực tác dụng : ∼0Hệ phương trình cân bằng:

ΣX = Psinα - Fms = 0 (1)

ΣY = - Pcosα + N = 0 (2)

ΣmA = - PRsinα + Mms = 0 (3)Từ pt (2) ⇒ N = Pcosα

Điều kiện cân bằng khi có ma sát trươt: Fms ≤ f.N Từ pt(1) ⇒ Psinα - fpcosα ≤ f ⇒ tgα≤ f

Điều kiện cân bằng khi có ma sát trươt: Mms ≤ µNTừ pt(3)⇒ PRsinα - µ Pcosα≤ 0 ⇒

Thường thì rất bé so với f cho nên điều kiện để cân bằng:

So sánh cho ra kết quả:

6 Bài 6 Hãy xác định toạ dộ trọng tâm của tấm đồng chất vẽ trên hình

Tất cả kích thước đã cho tính bằng cm

2

C3

2 y

7 Bài 7 Xác định vị trí của trọng tâm của tấm tròn bán kính R có lỗ

khuyết tròn bán kính r ( hình vẽ ) khoãng cách C1C2 = a

Đáp

án

bài 7

Trọng tâm của bản nằm trên đường C1C2 (Trục x)

Áp dụng công thức :xc = ( ( ) )

2 1

2 2 1 1

S S

S x S x

− +

− +

r

Trong đó:

S1 = πR2 , x1 = 0 , S2 = πr2 , x2 = a , S = S1 +(- S2 )= π(R2 - r2) Thay các giá trị vừa tìm được

xc = 2 2 2

r R

r a

−

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

KHOA: Xây dựng và cơ học ứng dụng

o Khảo sát chuyển động của vật rắn quay quanh trục cố định

o Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh trục cố định

- Công thức xác định vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật quay quanh trục cố định

- Các phương trình chuyển động của điểm và của vật rắn

) (

) (

t z z

t y y

t x x

; v

; v ;

z

y

z y

y w

x x

v v

v w

- S = S t ( );v=s ;

0 w ; w

; d

b

2 n

2 2

=

=

=

= ρ

τ τ

v dt

s dt

dv W

- Mối quan hệ vectơ vận tốc dài, vận tốc góc,các vectơ gia tốc

o V = ω∧ r

o W = ε∧ r+ ω∧ v

3 Vận dụng - Giải bài tóan thuận

- Giải bài tóan nghịch

- Giải bài tóan tổng hợp

4 Phân tích

5 Tổng hợp

6 So sánh, đánh So sánh cá`c phương

giá pháp chuyển động, các

mối quan hệ của chúng

3 Ngân hàng câu hỏi và đáp án chi tiết chương 3(ĐH)

T

T

Lọai Nội dung

1 Bài 1 Cho phương trình chuyển động của điểm (x,y,z tính bằng cm, t tính

2 sin(

10

) 5

2 cos(

10

t y

t x

π π

Tìm quỹ đạo , vận tốc , gia tốc của điểm

2 (sin

2 Bài2 Một xe chuyển động trên đường tròn bán kính R = 400m với vận

tốc đầu vo=18km/h Xe chuyển động nhanh dần đều và 1 phút sau đạt được vận tốc 72 km/h Tìm gia tốc tiếp pháp, toàn phần của

xe và đoạn đường mà xe đi được sau 20s kể từ lúc bắt đầu chuyển động

- t = 1 phút = 60s Thì V = 72km/h = 72000/3600 = 20m/s

Thay vào (1) cho :

Wτ =

60

5 20

−

t

V V

= 4

1m/s2

Khi t = 20s thì :V = Vo + Wτ.t = 5 +

4

1.20 = 10m/s

Gia tốc pháp tuyến :Wn =

400

10 2 2

1

= +W n

1.(20)2 = 150 m

3 Bài 3 Cho cơ cấu tay quay thanh truyền OAB tay quay OA = l = 10cm quay

quanh O với qui luật ϕ = 10πt làm cho con chạy B chuyển động theo máng trượt nhờ thanh truyền AB = l

a) Lập phương trình chuyển động của B và M trung điểm của AB b) Quĩ đạo của M

c) Tìm vận tốc của B và M

ϕ

M

• Điểm B : xB = OB = 2lcosϕ = 20 cos(10πt).

• Điểm M: xM = 3

2(lcosϕ)= 15cos(10πt)

yM = 1

2lsinϕ = 5sin(10πt)b) Để tìm quĩ đạo của điểm M cần khử t trong các phương trình chuyển động :

1 5

15

2 2

W

) 5 4 ( = (4t2)2 + 82

⇔ 80 = 16t4 +64⇔t4 = 1 ⇒ t = 1 và t = - 1 (loại) vậy t = 1s

 Quãng đường mà điểm thứ 2 đi được sau t = 1s :

4 4

4

0 2 1

0

1 0 0

5 Bài 5 Một điểm chuyển động nhanh dần đều trên mặt nghiêng AB sau

đó chậm dần đều trên mặt ngang và cuối cùng dừng lại ở C Biết AB=S1, BC = S2 và thời gian điểm chuyển động từ A đến C là t

Tìm trị số các gia tốc W1 và W2 khi điểm chuyển động trên AB và BC Lúc đầu ở A vận tốc của điểm bằng không

• Xét BC : Chất điểm chuyển động chậm dần đều và dừng

lại ở C :

2 2 2

2 2 2 2

2 2

1

W

S t t

A

(t1t2)2 =

2 1

2 1

4

W W

S S

2 1 2

2 1

2 2 2

W W

S S W

S W

S

+ +

⇔ 2 1 2 1 2

4 2

2 2

Đáp

án

bài 6

Phương trình chuyển động

• Xác định vận tốc:

∫

v

x dt dv

x

2 12

y

2 12

t y dt t

dy

t t x dt t dx

t y

t x

8 3 )

8 (

) 2 ( 2 )

4 4 (

3 0

2 0

2 0

0

+

=

⇒ +

=

+

=

⇒ +

7 Bài 7 Một vật quay quanh trục cố định Ở thời điểm khảo sát, điểm

A cách trục quay khoảng R = 0,5m có vận tốc v = 2m/s và gia tốc (toàn phần) là 8 3 m/s2

1 Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của vật

2 Tìm vận tốc và gia tốc điểm B cách trục quay một khoảng r =

0,2m

Đáp

án

bài 7

1 Vận tốc góc và gia tốc góc của vật

• vận tốc góc của vật : 4 /

5 , 0

2

s rad R

= ω

• gia tốc góc của vật

2 8

s rad R

W t

A = =

= ε

2 Tìm vận tốc và gia tốc điểm B

5

2 5 , 0

2 ,

W v

v

A

B A

= A

B W

8 Bài 8 Vật quay quanh trục cố định theo phương trình : ϕ = 1,5t2 – 4t.Tìm :

1 Tính chất chuyển động ở các thời điểm t1 =1s và t2 = 2s

2 Vận tốc và gia tốc của điểm cách trục quay một khoảng r = 0,2m ở những thời điểm trên

A

W

O