Chuyên Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ I.. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Bài toán 1.. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bà
Trang 1Chuyên Đề:
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
I BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1 Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
2
P
ab
+
Giải
Dấu “=” xảy ra
1
1
2 Min 4 khi
2
a
a b
a b
b
=
=
+ =
Bài toán 2 Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
2 1
P
ab
Giải
P
ab
Dấu “=” xảy ra
Vậy không tồn tại Min ? ?P
Lời giải 2 Ta có:
P
Mặt khác
2 1
a b
ab≤ + =
3
P
+ ÷ ÷
Dấu “=” xảy ra
2 2
1 2 1
a b
+ + =
+ =
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức
a b+ ≥ a b
+ Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
2ab= 6ab+3ab? ? Làm sao
nhận biết được điều đó…? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị
Trang 2II NỘI DUNG
1 Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa: a b≥ ⇔ − ≥a b 0
b c
≥
≥
• a b≥ ⇔ + ≥ +a c b c
c d
≥
≥
≥ > ⇒ ≤
b) Một số bất đẳng thức cơ bản
• Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số thực khơng âm a a1 2, , , (a n n ≥2) ta luơn cĩ
1 2
1 2
n n
n
a a a n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 =L =a n.
• Một vài hệ quả quan trọng:
1 2
n
+
2
i
n
L
L
+ Cho 2n số dương ( n Z n∈ , ≥2): a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b ta cĩ: n
n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2
• Bất đẳng thức BCS
Cho 2n số dương ( n Z n∈ , ≥2): a a1 2, , , , , , ,a b b n 1 2 b ta cĩ: n
(a b1 1+a b2 2+ +L a b n n)2 ≤(a12+a22 + +L a n2)(b12+b22+ +L b n2)
Dấu “=’ xảy ra 1 2
1 2
(quy ước nếu 0 0)
n
n
a
• Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Cho hai dãy số a a1 2, , , và , , , với a n b b1 2 b n b i > ∀ =0 i 1,n ta luơn cĩ:
2 2
1 2
1 2
+ + +
L L
L Dấu “=’ xảy ra 1 2
1 2
n n
a
2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho f x x( , , , )1 2 x là một hàm n biến thực trên n D⊂¡ n: :f D⊂¡ n →¡
− Max ( , , , )01 20 0 ( , , , )1 20 0 0
( , , , ) : ( , , , )
D
Trang 3− 01 20 0 1 20 0 0
( , , , ) ( , , , ) Min
( , , , ) : ( , , , )
D
= ⇔
3 Phương pháp chọn điểm rơi
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và
ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên
a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Sử dụng hệ quả (1) và (2)
Bài 1 Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
, tìm GTNN của biểu thức 2 2
ab
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2ab+ ab≥ 2ab ab = Vậy P≥ +4 2 2 nên MinP=2(2+ 2)
Sai lầm 2:
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2
1
a b
+ =
+ =
Thay 1
2
a b= = vào ta được P≥7
7
MinP
2
a b= =
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 1 1
ab = ab+ ab là do thói quen để
làm xuất hiện a2+b2 +2ab= +(a b)2 4 2 2 1 4
2
1
a b
ab
a b
=
+ =
Dấu “=” bất
đẳng thức không xảy ra ⇒ không kết luận được MinP= +4 2 2
Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi 1
2
a b= = nên đã tách
các số hạng và MinP=7 khi 1
2
a b= = là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như 2
(1−x) + ≥x x, dấu bằng xảy ra khi x=1⇒Min x( −1)2+x =1??.
Trang 4Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với , a b , ta dự đoán MinP đạt tại 1
2
a b= = , ta có:
4 2
Dấu bằng xảy ra
2 2
2 2
2
1
a b
+ =
+ =
Bài 2 Cho , 0
1
a b
a b
>
+ ≤
S
Sai lầm thường gặp:
3
S
3
2
+
59
3
MinS =
Nguyên nhân sai lầm:
3 3 3 2
3
1
a b
+ =
+ =
Lời giải đúng
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi 1
2
a b= = , và ta thấy a3+ +b3 3a b2 +3ab2 = +(a b)3 vì thế ta
muốn xuất hiện (a b+ )3; ta áp dụng bất đẳng thức 31 3 12 12
dụng bất đẳng thức cho 5 số:
3
4
S
a b
Dấu bằng xảy ra khi 1
2
a b= =
Trang 5Bài 3 Cho
, , 0
1 1 1 4
x y z
>
+ + =
P
Sai lầm thường gặp:
P
10
9
MaxP
Sai lầm 2:
P
Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm
rơi
2 2
2 9
1 1 1 4
y x z
= =
+ + =
, tức là không tồn tại ( , , ) : 10
9
x y z ∈D P=
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại 4
3
x= = =y z nên tách các số
2x x x= + ra cho dấu bằng xẩy ra
16
P
4 3
x= = =y z
+ +
1 .4 1 1 1 1
16
P
Dấu “=” xảy ra khi
1 4
x= = =y z , suy ra:
1
4
x= = =y z
Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:
Cho
, , 0
1 1 1 4
x y z
>
+ + =
P
Trang 6Với α β γ, , ∈N∗: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách x x x số x,
α
α = + + =1 44 2 4 43L Nếu α β γ, , ∈R+, thì bài tốn cĩ cịn giải quyết được khơng? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS”
Bài 4 Cho , , 0
3
a b c
a b c
>
+ + =
Chứng minh rằng:
3a+2b+3b+2c+3c+2a ≤3 33
Sai lầm thương gặp:
Ta cĩ: 31.1( 2 ) 1 1 ( 2 ) 2 2
, tương tự ta cĩ:
,
mà 5 3 3> 3 ⇒ đề ra sai ? ?
Nguyên nhân sai lầm:
3
a b c
+ =
+ + =
, vậy P<5
Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi a b c= = =1 Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a+2 ,3,3b ta cĩ:
3
, tương tự ta cĩ:
3
, dấu bằng xảy ra khi a b c= = =1
Bài 5 Cho , , 0
1
x y z xyz
>
, chứng minh rằng:
Sai lầm thường gặp:
+ ≥
+ ≥
+ ≥
, suy ra:
(1+ y)(1+z)(1+ ≤x) 8 xyz =8 Vậy 3
2
P≥ , dấu “=” xảy ra khi x= = =y z 1
Sai lầm 2: ta cĩ:
2
2 2
(1 ) 2 1
1
(1 ) 2 1
x
y y
z z
x
+
+
+ + ≥
+
,
mặt khác x y z+ + ≥33 xyz = ⇒ ≥3 P 0
Trang 7Nguyên nhân sai lầm:
Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 0 1 1
a b
≥ > ⇒ ≤
Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra
1
xyz
= =
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x= = =y z 1 Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho 2
1
x
y
+ và
1 y
α
+
:
+
+
Ta có:
2
2
2
1
1
x y
z
z x
+
+
+
Dấu “=” xảy ra khi x= = =y z 1.
Bài tập tương tự(trích dẫn trong các đề thi đại học)
Bài 1 Cho , , 0
1
x y z xyz
>
, chứng minh rằng
3 3
với m N∈ ∗ Nếu m = 1 là đề thi Đại học Khối D năm 2005
Bài 2 Cho , , x y z là 3 số thỏa x y z+ + =0, chứng minh rằng:
Bài 3 Cho a≥2,b≥3,c≥4, tìm GTLN: ab c 4 bc a 2 ca b 3
P
abc
=
Bài 4 Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn 3
4
a b c+ + = Chứng minh rằng:3a+3b+3b+2c+3c+3a ≤3 (ĐTK 2005)
Bài 5 Cho , , 0
1
a b c
a b c
>
+ + ≤
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
2 2 2
P
ab bc ca
S
ab bc ca
Q
ab bc ca
Trang 8Bài 6 Cho u2+v2 =1, chứng minh rằng:
2
Bài 7 Cho , , a b c là các số dương Tìm GTNN của:
Q
=
+ +
(ĐHQGHN 2001-2002)
Bài 8 Cho , , a b c dương thỏa abc=1, tìm GTNN của biểu thức:
2( ) 2( ) 2( )
Q
Bài 9 Cho , , 0
1
x y z
x y
>
+ =
P
− − (ĐHNT 2001 – 2002)
Bài 10 Cho , , x y z là ba số dương và x y z+ + ≤1, chứng minh rằng:
b) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức BCS.
Bài 1 Cho , , x y z là ba số dương và x y z+ + ≤1, chứng minh rằng:
Nhận xét: chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1
2
Vậy P≥3 2 ?
Nguyên nhân sai lầm:
1
x y z
+ + =
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 1
3
x= = =y z ; và biểu thức trong căn gợi
2
1
y x
β
với ,α β là những số thỏa mãn:
2
1
9
x x
α
α β β= = ⇔ = β = , chọn
α = β =
Trang 9Ta có 2 ( 2 2) 2 2
82
82
1 1 1
x y z
+ +
Vậy P≥ 82, dấu “=” xảy ra khi 1
3
x= = =y z
Bài 2 Cho
, , 0
1 1 1 1
x y z
+ + ≤
P
Giải
Áp dụng hệ qua (1) ta có:
2 1 1 ( )2
z
+ + , ta chọn α sao cho x= = =y z 3 và
( )
2
2
2 2
2 2
P
+ + ≥
+
Bài tập áp dụng
Bài 1 Cho , , 0
1
a b c abc
>
2
Bài 2 Cho , , 0
1
a b c abc
>
, tìm GTNN của
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
P
Bài 3 Cho , , , a b c d >0, tìm GTNN của
P
Bài 4 Cho
1
0, 1, 1
i n i i
x
=
> =
∑ , tìm GTNN của P= 1− +x1 1−x2 + +L 1−x n
Trang 10Bài 5 Cho , , a b c>0, chứng minh rằng: 2 2 2 1
III THAY CHO LỜI KẾT
Để làm rõ vai trò quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài toán
và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tôi xin nêu một phương pháp mới giải bài toán sau:
Bài toán: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có sin sin sin 3 3
2
Phân tích để đi đến lời giải: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều
3
A B C= = =π
Vì A B C+ + =π ta giảm bớt số biến bằng sinC =sin cosA B+sin cosB A
P= A+ B+ C = A+ B+ A B+ B A, ta nghĩ đến:
; ,A B không còn quan hệ ràng buộc, làm thế nào để xuất hiện
sin ,cosA A
, ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức
2 2 2
A= B= A= B= , Ta áp dụng Cauchy:
Ta có:sin sin 1 sin2 3 sin2 3
3