Thi GVG Bất đẳng thức

Kính chào quý thầy cô và các em học sinh đến tham dự buổi thao giảng ngày hôm nay Gi¸o ¸n gi¶ng d¹y TiÕt 34: Bµi tËp 1./. Còng cè kiÕn thøc n n n n a b 0 a b 1). ac bd 2). a c b d c d 0 c d 3).a b, b c a c 4).a b 0 a b 5).a b a c b c 6).a b 0 a b ac bc khic 0 7).a b ac bc khic 0 ≥ ≥ ≥   ⇒ ≥ ⇒ + ≥ +   ≥ ≥ ≥   ≥ ≥ ⇒ ≥ ≥ ≥ ⇒ ≥ ≥ ⇔ + ≥ + ≥ ≥ ⇒ ≥ ≥ >  ≥ ⇒  ≤ <  C¸c tÝnh chÊt cña B§T §Þnh nghÜa TÝnh chÊt §Þnh nghÜa: a>b ⇔ a - b >0 a≥b ⇔ a - b≥ 0 Tõ ®ã suy ra: a≤b ⇔ a - b≤ 0 B1 B2,C3 1./. Còng cè kiÕn thøc ( ) ( ) 2 a b ab (1) 2 a b 2 ab 2 a b ab 3 2 + ≥ ↔ + ≥ +   ↔ ≤  ÷   B§T C«si Cho 2 sè kh«ng ©m B§T C«si Cho 3 sè kh«ng ©m ( ) 3 3 3 a b c abc (1') 3 a b c 3 abc (2') a b c abc 3' 3 + + ≥ ↔ + + ≥ + +   ↔ ≤  ÷   DÊu ‘=‘ x·y ra khi a=b DÊu ‘=‘ x·y ra khi a=b=c 2 3 3 1./. Cũng cố kiến thức Hệ quả : {Của BĐT Côsi} 1). Nếu 2 số thực d ơng có tổng không đổi thì tích của chúng đạt GTLN khi 2 số đó bằng nhau. 2). Nếu 2 số thực d ơng có tích không đổi thì tổng của chúng đạt GTNN khi 2 số đó bằng nhau. a b a b a b a b a b a b a b a b + + + = + + = + a.b 0 (a, b cùng dấu) a.b 0 (a, b trái dấu) BĐT chứa dấu GTTĐ  Chó ý c¸c TÝnh chÊt sau:  x 2 ≥ 0 , ∀x∈R  x 2 +y 2 +z 2 ≥ 0,∀x,y, z ∈R. DÊu ‘=‘ x·y ra khi x=y=z=0.  x.y> 0 ⇔ x vµ y cïng dÊu. 1./. Còng cè kiÕn thøc NÕu a, b ‘kh«ng ©m’, ta cã: a≥ b ⇔ a 2 ≥ b 2 B2 Bµi tËp 1. Bµi tËp 1. Cho a> b>0. CMR: 1/a <1/b Cho a> b>0. CMR: 1/a <1/b (1) (1)  C¸ch1 C¸ch1 : : (1) (1) ⇔ ⇔ 1/a-1/b>0 1/a-1/b>0 ⇔ ⇔ (b-a)/ab>0 (b-a)/ab>0 (1’) (1’)  V× a>b>0 V× a>b>0 ⇒ ⇒ b-a<0 vµ b-a<0 vµ a.b >0. Do ®ã a.b >0. Do ®ã (1’) (1’) ®óng ®óng . VËy (1) ®óng. . VËy (1) ®óng.  C¸ch 2 C¸ch 2 : : Nh©n hai vÕ cña (1) Nh©n hai vÕ cña (1) víi a.b>0 ta ® îc: víi a.b>0 ta ® îc: (1) (1) ⇔ ⇔ b < a b < a (1’) (1’)  V× V× (1’) (1’) ®óng theo gi¶ ®óng theo gi¶ thiÕt, nªn (1) ®óng. thiÕt, nªn (1) ®óng. KT C2 KT C1 C 1 C 1 C 2 C 2 Bµi 2: Bµi 2: Cho a>0, b>0. CMR: (2) Cho a>0, b>0. CMR: (2) ( ) 2 2 a b 2 a b+ ≤ +  Gi¶i Gi¶i : : V× 2 vÕ ®Òu d ¬ng. B×nh ph ¬ng 2 vÕ ta ® îc: V× 2 vÕ ®Òu d ¬ng. B×nh ph ¬ng 2 vÕ ta ® îc: (2) (2) ⇔ ⇔ (a+b) (a+b) 2 2 ≤ ≤ 2(a 2(a 2 2 +b +b 2 2 ) ) ⇔ ⇔ a a 2 2 +b +b 2 2 -2ab -2ab ≥ ≥ 0 0 ⇔ ⇔ (a-b) (a-b) 2 2 ≥ ≥ 0 (2’). 0 (2’).  V× (2’) ®óng nªn (2) ®óng. V× (2’) ®óng nªn (2) ®óng. C1 KT KT ( ) Do a 0,b 0 a b a b> > ⇒ + = + C¸ch 2: Ta dÔ dµng CM ® îc: a 2 +b 2 ≥ 2ab. ¸p dông tÝnh chÊt nµy, ta biÕn ®æi VÕ ph¶i cña (2) nh sau: KT C¸ch 2 ( ) 2 VP a b a b a b VT≥ + = + = + = 2 2 a b 2ab≥ + + ( ) ( ) 2 2 Hay : 2 a b a b CM xong+ ≥ + ( ) 2 2 2 2 VP a b a b= + + + Nhận xét: Để ý đến tổng bình ph ơng ở VP, ta có cách Nhận xét: Để ý đến tổng bình ph ơng ở VP, ta có cách giải nh sau: (PP vectơ) giải nh sau: (PP vectơ) ( ) ( ) u 1;1 , v a;b= = r r ( ) u.v u . v .cos u, v u. (*)v u . v = r r r r r r r r r r ( ) 2 2 2 2 u.v a b, u 2, v a b u . v 2 a b = + = = + = + r r r r r r C2 ( ) ( ) cos uo 1d , v r r Từ định nghĩa Tích vô h ớng của 2 vectơ, ta có: áp dụng (*) với: . îc: (1) (1) ⇔ ⇔ b < a b < a (1’) (1’)  V× V× (1’) (1’) ®óng theo gi¶ ®óng theo gi¶ thi t, nªn (1) ®óng. thi t, nªn (1) ®óng. KT C2 KT C1 C 1 C 1 C 2 C 2 Bµi 2: Bµi 2: Cho a>0, b>0 ≥ + +   ↔ ≤  ÷   DÊu ‘=‘ x·y ra khi a=b DÊu ‘=‘ x·y ra khi a=b=c 2 3 3 1./. Cũng cố kiến thức Hệ quả : {Của BĐT Côsi} 1). Nếu 2 số thực d ơng có tổng không đổi thì tích của chúng đạt