; TRẦN VĂN HẠO (Chủ biín)
NGUYEN CAM - NGUYEN MONG HY - TRAN DUC HUYEN
CAM DUY LE - NGUYEN SINH NGUYEN - NGUYEN VU THANH
CHUYEN BE LUYEN THỊ VĂO BAI HOC BAT DANG THUC BIEN SOAN THEO CHUONG TRINH TOAN THPT NANG CAG HIEN HANH
(Tâi bản lần thứ sâu có chỉnh lí vă bỗ sung)
Trang 4Loi noi dau
Bộ sâch Chuyín đề luyện thì văo Đại học được biín soạn nhằm mục đích giúp câc em học sinh lớp 12 có thím tăi liệu tham khảo, năm vững phương phâp giải câc dạng băi toân cơ bản, thường gặp trong câc kì thị tuyín sinh văo câc trường Đại học vă Cao đăng hăng năm
Nội dung bộ sâch bâm sât theo chương trình bộ mơn Tôn THPT nđng cao hiện hănh vă Hướng dẫn ôn tập thi tuyín sinh văo câc trường Đại học vă Cao đăng mơn Tôn của Bộ Giâo dục vă Đăo tạo Bộ sâch gồm 7 tập, tương ứng với 7 chuyín đí : 1 Đại số 2 Lượng giâc 3 Hình học không gian 4 Hinh học giải tích 5 Giải tích - Đại số tổ hợp 6 Khảo sât hăm số 7 Bất đăng thức Tập sâch "Chuyín đề luyện thi văo Đại học : Bất đắng thức” năy, gôm 3 phđn : Phan I : Bất đẳng thức : có 2 chương Phần II : Giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất của hăm số : có 3 chương
Mỗi chương gồm nhiều đơn vị kiến thức (§) Mỗi (§) được biín soạn
thông nhđt gôm câc mục :
A Kiến thức cơ bản : Tóm tắt, hệ thống kiến thức trọng tđm
B Ví dụ âp dụng : gồm nhiều ví dụ theo từng (§), có hướng dẫn giải Mỗi ví dụ lă một dạng băi tập cơ bản, thường gặp (hoặc đê ra) trong câc dĩ
thi tuyĩn sinh Dat hoc
Trang 5Phđn III : Cđu hỏi trắc nghiệm ôn tập : Phần năy gồm câc cđu hỏi
trắc nghiệm ôn tập tổng hợp, có trả lời ; giúp học sinh tự kiểm tra, đânh giâ kết quả giải băi tập của mình
Phụ lục : Trích giới thiệu một số đề thi tuyển sinh Đại học (2005 —
2010) Đđy lă phần trích giới thiệu một số đề thi tuyển sinh Đại học đê ra từ 2005 đến 2010 — môn Toân, có liín quan đến phần Bất đẳng thức, có
hướng dẫn giải, giúp học sinh lăm quen với câc dạng cđu hỏi của đề thi
tuyển sinh Đại học
Tập thể tâc giả trđn trọng giới thiệu với câc em học sinh 12 bộ sâch
Chuyín để luyện thì văo Đại học Chúng tôi tin tưởng bộ sâch năy sẽ góp
phần giúp câc em học sinh 12 nđng cao chất lượng học tập vă đạt được kết
quả mĩ mên trong kì thí tuyển sinh văo Đại học, Cao đăng
Chủ biín
Trang 6CAU TRUC DE THI TUYEN SINH BAI HOC
CAO DANG 2009, MON TOAN™
II PHAN CHUNG CHO TAT CA THI SINH (7 oe
Cau I (3 diĩm) :
— Khảo sât, vẽ đỗ thị của hăm số
7 Câc băi toân liín quan đến ứng dụng của đạo hăm vă đồ thị của hăm số : chiều biến thiín của hăm số Cực trị Giâ trị lớn nhất vă nhỏ nhất của hăm số Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng vă ngang) của đỗ thị hăm số Tìm trín đồ thị những điểm có
tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị lă đường thang) ;
Cđu II (2 điểm) :
— Phương trình, bat phuong trinh ; hĩ phurong trinh dai Số ;
— Công thức lượng giâc, phương trình lượng giâc Cđu II (1 điểm) : — Tìm giới hạn — Tìm nguyín hăm, tính tích phđn ~ Ứng dụng của tích phđn: tính diện tích hình phăng, thể tích khối tròn xoay Cđu IV (1 điểm) :
Hình học không gian (tổng hợp) : Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của
đường thắng, mặt phẳng Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay ; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ
tròn xoay ; tính diện tích mặt cđu vă thí tích khối cầu Cđu V (I điểm) :
Băi toân tổng hợp
II PHAN RIENG (3 DIEM) :
Thí sinh chi được lăm một trong 2 phần (phđn 1 hoặc 2)
Trang 7
1 Theo chuong trinh chuan : Cau VLa (2 diĩm) :
Nội dung kiến thức : Phương phâp toạ độ trong mặt phẳng vă trong không gian : — Xâc định toạ độ của điểm, vectơ
~ Đường tròn, clip, mặt cầu
— Viết phương trình mặt phăng, đường thẳng
— Tính góc ; tính khoảng câch từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đôi của
đường thắng, mặt phẳng vă mặt cđu
Cđu VII a (1 điểm) :
Nội dung kiến thức :
— Số phức
— Tổ hợp, xâc suất, thống kí
— Bắt đẳng thức Cực trị của biển thức đại số 2 Theo chương trình nđng cao :
Cđu VI.b (2 điểm) :
Nội dung kiến thức :
Phương phâp toạ độ trong mặt phẳng vă trong không gian :
— Xâc định toạ độ của điểm, vectơ — Đường tròn, ba đường cônic, mặt cđu
— Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
— Tính góc ; tính khoảng câch từ điểm đến đường thăng, mặt phẳng, khoảng câch giữa hai đường thăng Vị trí tương đối của đường thăng, mặt phẳng vă mặt cđu
Trang 8› Phản [ BAT DANG THUC Chương 1 KIEN THUC CO BAN VE BAT DANG THUC § 1 ĐỊNH NGHĨA BÂT ĐĂNG THỨC
Giả sử A vă 8 lă hai biểu thức băng chữ hoặc số
A>B (hoặc <4) 4< ð (hoặc 8 > 4) gọi lă câc bất đẳng thức ; A, B lă hai về của một bất đăng thức
4>B (hoặc B< 4), 4< B (hoặc 8> 4) gọi lă câc bất đăng thức
suy rộng
4>B©A—-B>0,A>PB©A-B2>0
Trang 9Nĩu a>b>0 hay O>a>b+— <> a +.Ja>b Va,b,c,d ER”: oz yor ac bd a" >b" a> vb Nếu x> y>0 va a> thi a’ >a’ ; 22205 :VneN\(0;1
Nếu x> y>0 vă 0<a<l thì a <a’
a>bea™ sh" Wren’: a>bo Na >?“NÍp VneN'"
§ 3 BAT DANG THU VE GIA TRI TUYET DOI —lal<a<lal,VaeER; lal<as—a<a<a (vĩi a>0)
lal>as a>e (với >0)
a<-œ
la|—Ìð|<<|a+b| <Ìa|+Ìð| (với mọi a, b€ R)
§ 4 BAT DANG THU'C LIEN QUAN DEN HAM SO MU VA HAM SO LOGARIT
bề >a">a”™,; 0 Sasha <a"
a>l _ ; 0<a<l
{22 0 82> toed ES aS pe loge <logy d
§ 5 BAT DANG THU CO-SI (CAUCHY) Bắt đẳng thức Cô-si đối với hai số không đm
Trang 10Đẳng thức xảy ra khi vă chỉ khi : a= b
Chứng minh : Với a>0, b>0, ta có :
= _ fab = 2=2Nab +b —— 2(da~ J5} >0= =i > Jab
, 2
Đăng thức xảy ra khi vă chỉ khi : (Ja —Vb) =0sa=b
Bat dang thire Cĩ-si đối với bốn số không đm
Cho a, 5, c, đ lă bốn số không đm Ta có : mg > Yabed
Đẳng thức xđy ra khi vă chỉ khi: a=b =c= đ Chứng minh : Với a>0, b>0, c>0, đ>0, suy ra , bo va c+d ‘ ko at : a SE » &£ x A : >0 Âp dụng Bât đăng thức Cô-si đôi với hai số không đm, ta có : atb c+âả atb+c+d 2 ` 2 > jatb etd 4 2 —N 2 2
>VVab Ved = 4/abed Đăng thức xảy ra khí va chỉ khi : a=b c=d Sa=b=c=d a+b c+đd 2 2
Bất đắng thức Cĩ-si dĩi vĩi ba sĩ khong đm
Cho a, b, c lă ba số không đm Ta có : oa > Yabe
Đăng thức xđy ra khi vă chỉ khi : a=b=e
Trang 1110
Lai 4p dung Bat dang thtrc Cĩ-si dĩi với hai số, ta có :
Jab + Wlabe* > 2) ab Yabe* = \ababe*
- lala pics - 2llabc
Thay văo (*) vă âp dụng tính bắc cầu ta được :
(a+b)+(ce+3 abe) > 4¥abe + F248 > Y abc (**)
Ta da 4p dung Bat dang thtre Cĩ-si đối với hai số không đm ba lđn, vi thế đăng thức trong (**) xđy ra khi vă chỉ khi :
a=b a=b
c=Wabc «&|c=abec @&a=b=c
ab = Ñabc* a’b’ = abc"
Bắt đăng thức Cô-sí đối với ø số không đm Cho m sô không đm ẩy, đ;, , 4„ Ta Có :
a +a;+-:‹+a
——————*>tffa,a; d,
n
Đăng thức xảy ra khi vă chỉ khi : a = a; =: = 4 ne
§ 6 BAT DANG THỨC BU-NHI-A-CÓP-SKI
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski đối với 4 số thực
Với bốn số thực a, ð, e, đ Ta có : (ab+cđ}) < (a? +c?)(b? + 4) (*)
Đăng thức xảy ra khi vă chỉ khi : ad = be Chứng mình : Ta có :
(*) œ© a?Ð? + 2abcd + c?4? < a?b2 + a2d? + c?b2 + c24? © 2abcd < ad? +07? & a’d? +026? —2abed >0
Trang 12Bất đăng thức (**) luôn luôn đúng nín ta có bất đăng thức (*) luôn
luôn đúng Đăng thức xảy ra khi vă chỉ khi :
(ad — be) =0 4 ad —be = 0 & ad = be
Nhận xĩi : Nếu bđ z0 thi: ad =be eons
Như vậy, với bốn số thực a, ở, c, ở cùng khâc 0, ta có :
(ab + cđ)) < (4 +e?)(b3 + 4)
Đẳng thức xđy ra khi vă chỉ khi : sa:
Bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-ski đối với 6 số thực
Với sâu sô thực a,, đ;, œ;, Ö,, b,, b, cùng khâc 0, ta có : (a,b, + a,b, +ayb,} <(a? +4; + a3 )(B? +b; +53) Đăng thức xảy ra khi vă chỉ khi :
A
b by b
Bat ding thức Bu-nhi-a-cốn-ski đối với 2n số thực
Với 2n số thực œ, đy, , đ„., Ð,, b,, , b„ cùng khâc 0, ta có :
(a,b, + a,b, +-+a,b,) <(a? +a; + -+42)(bệ +b? + .+2),
Đăng thức xảy ra khi vă chỉ khi :
4 —
bb, bạ
Trang 1312 Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÂP CƠ BẢN CHUNG MINH BAT DANG THUC §7 PHƯƠNG PHÂP DÙNG ĐỊNH NGHĨA BAT BANG THỨC A KIEN THUC CO BAN
Dĩ chimg minh 4 > B, ta có thể sử dụng định nghĩa bằng câch chứng
minh A—B>0
Để chứng minh 04— 8>, ta có thĩ dùng câc phĩp biến đổi chuyển
A—B thănh tổng của nhiều bình phương, tích của hai thừa số cùng
dau hoặc tích của nhiều thừa số không đm
B VÍ DỤ ÂP DỤNG
Ví dụ I Chứng minh răng, nếu 4, ð, c lă độ đăi câc cạnh của một tam
Trang 14Vidu2.Cho ham số y = 2 cosa 2x cosa với tham sô xˆ—2xcosa+] a€(0; z) Chứng minh rằng, với mọi x ta đều có —1< „<1 Hướng dẫn giải Vì —1< y<1©I— y? >0 nín ta chỉ cần chứng minh 1— y? >0, Vx x’ cosa — 2x +cosa ? Lập hiệu : I—y?=t—|——————— “pis 7 x’ —2xcosa+] (x? —2xcosa+1) —(x? cosa—2x+¢osa) (x? —2xcosa+ 1) (x? —2xcosa +! — x? cosa + 2x —cosa) (x? —2xc0sa+ 1)
x(x? ~2xcosa+i+x? cosa— 2x + cosa] l(a _ cosa)x7 +2x(I—cosa)+l— cosa] (x? —2xcosa+ 1) x| (1 + cosa)x* ~2x(1+cosa)+1+ cosa _ la +cosa)(x? ~2x+'Ì —eosa)(x” +2x+1]| (x? —2xcosa+ 1) 3 (I —eos2 a)(x? -1) _ sin? a(x ~1) (x? —2xcosa+1) (x? —2xcosa +1) Vậy : I— y? >0
Ta thdy : x—1 y= 2008472 2—2cosa ey ata y = 20088 +? 7, 2+2cosa
Trang 15Vi du 3 Cho x > z>0 Chứng minh : 2 zx 2 xy pee “»x?+y?+2, Zz x y Hướng dẫn giải 2 2 Xĩt hiệu : T=134/ 7,75 (ạ +y?+z?) Z x y _ 8 (yz) (e-x) Pe») Zz x y 2(y— 2/, Tir gia thiĩt : z<y+x2(y-z)>oaX-Ð-?)„x 0—?), : y 2 y '(z—*x) y?(z—x) z<x>y (z—x)<0 ;ÿyS<Šx*>————>— Do đó: p> x (y=2)+y" (2-2) +2? (x-y) ˆ y yT>xÌ(y—x+x~—z)+yˆ(z—x)+z?(x— y) =(x-y)(z°—=x?)+(x—z)(x?—
Trang 16y`+3my? +2n?y y +2yx+ 2z? my? y?+2yx+2z7 Vậy bất đăng thức được chứng minh Ví dụ 5 Cho x, y, z€ R Chứng mnnh : =—siny+ =—siny+yt+ >0, Vy > 0.(Do sin y < y, Vy > 0) x?+y?+z?—~xy— yz—zx>0 (Trích đề thì Đại học Sư phạm Tp HCM, năm 2000) Hướng dẫn giải 1 Taco: x+y? +2) —sy—yt— r= (x ay +y") 2 +*(y2 —z+z!)+2 (: —zx+x) 2 =s-yŸ +5(9-2) +sứ—x” >0
Dấu “=” xảy ra khi vă chi khi x = y =z
Ví dụ ó Chứng minh với mọi x€ R, ta có : 9J+I-B[srceos 5 4 3 (Trích đề thì Đại học, Khối B, năm 2005) Hướng dẫn giải Ở Ví dụ 5 nếu lđy :-|#J , „=[°] › 7=|2 ; voi aER Tasĩ có bắt đăng thức cần chứng minh Ví dụ 7 Cho x, y,z lă câc số đương thoả mên du Ta x y Zz Chứng minh : + + : <1
2x+y+z2 x†+2y+z x+y+2z -
(Trích đề thì Đại học, Khối A, năm 2005)
Trang 17
Hướng dẫn giải Với a,b>0 ta có: 4ab<(a+b}” a+b” 1 ath, 1 <4{+44] Dấu “=” xđy ra khi vă chỉ khi 4ab a+b 4la b a=b Âp dụng kết quả trín, ta có : 1 1/1 1 1} 1 471 1 > <-|=—- 2x+y+z 4|2x ols] 2x HỆ <-|—+†~|—=+-— ; II, 1 ] =—|-+—+— SE 2y | (1) | Tương tự: ————<+|-L | ctf ttyl x+2y+z 4|2y x+tz] 42y 4|x yp II I1 1 =~-|~†+—†+—— 2 | 2z | (2 1 <1(1„ 1 |„I1 TỊ,L 1{ 1 1 x+y+2z 4|2z x+y) 4|2z 4|x y| II, 1 1 =-|- + +2 {2 2x 2y ` @) 3 ˆ 1 1
Vay 2x+2y+z + x+2y+z +———<-|~+~+*|=I x+y+22 Ă4|x yp z
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=
C LUYEN TAP 7.1 Chimg minh ring voi moi x, y, z tacd:
a)x? + y?+2? >2xy—2xz+-2yz ;
b) xˆ+y?+z?+3>2(x+y+?)
Trang 187.2 7.3 7.4 Chứng minh : 2 2 2 2 2 2 2 2) a’ +b >|] b) a’+b* +c == 2 2 3 3 Chứng minh rằng VỚI mỌi ?,ứ, p, đ ta có : m+n 4+ p?t+q?+1>m(n+ p+qt)
Cho x, y, z c|0, I| Chứng minh :
2z +y° +z3)—(x°y+ y°z+z2x)<3
(Trích đề thi Đại học An nính, năm 1999)
§ 8 PHƯƠNG PHÂP DÙNG PHĨP BIĨN ĐỎI TƯƠNG ĐƯƠNG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
Để chứng minh một bất đăng thức, ta có thĩ biến đổi bat đẳng thức
(BĐT) cđn chứng minh tương đương với BĐT đúng hoặc BĐT đê được chứng minh ding
Trong quâ trinh thực hiện câc phĩp biến đổi tương đương, cần lưu ý
câc hêng đẳng thức sau : ® (a+b}Ÿ =a?2+2ab+ bỀ ;
° (at+b+c) =a? +b? +c? + 2ab+ 2be + 2ca ;
Trang 1918 B Vi DU AP DUNG Ví dụ I Chứng mình rằng với x, y, z thoả mên điều kiện : x?+y?+z” =Il thì ta có -2Sw+z+zL Hướng dẫn giải Ta cần chứng minh BĐT kĩp : S(t ty +2)<ytyeters x?+y?+z? i) Taco: -S(x' ty +2)<w+ + eet ty t2 +2 +2yz + 2zx >0 e(x+y+zŸ >0 (1) BĐT (1) luôn luôn đúng nín ta có :— (+ + y2 +zˆ)< xy + ye tax (2) II) Mặt khâc, ta có :
xy+yz+zx<x?+ y°+z! œ2xˆ +2y? +22? > 2xy+2yz+2zx > (x? -2xz+y)+(y ~2yz+z?)+{z? —2ex+x7)>0
& (x—y) +(y—-2) +(z-x) 20 (3)
BĐT (3) luĩn ding nĩntacĩ: xyt+yztzx<x?+y? 42? (4)
Từ (2) vă (4) ta có đpcm
Ví dụ 2 Chứng mình rằng với 5 số a, b, c, d, e bất kì, bao giờ ta cũng có :
a?+b?+c?+dˆ+e?>a(b+c+d+e)
Hướng dẫn giải
Tacó: a*+b?+c?+d* +e? >alb+ct+d+e)
& 4a? + 4b? + 4c? +.4d* + 4c? > 4ab + 4ac + 4ad + 4ae
Trang 20« (a2 — Âab -+ 4b?) + (a? — 4ac + 4c?) + (a? — 4ad + 4d*) + +(a? —4ae + 4e?)>0
4+ (a~2b) +(a—2c) +(a-2d) +(a—2e) >
BĐT cuối cùng luôn đúng nín ta có đpcm vă đấu đăng thức xảy ra khi vă chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e Vĩ dụ 3 Chứng minh rằng với 3 số đương a, b, c bất kì, ta luôn có : 3 bì c +b+ec 2 = r+ 7+3G 72" : a+ab+}b` b+bhc+c` c+ca+a 3 Hướng dẫn giải 3 a , 24-5 Ta cĩ6 : =——_, > a +ab+b
& 3a’ > (2a—b)(a? +ab +b?)
©a?+bì—a*b— ab? >0 œ(a+b)(a? — ab + b2)— ab(a + b) >0
« (a+ b)(a ~ 2ab + b?) >0 @ (a+b)(a—b)” >0 (1) BĐT (1) luôn đúng nín ta có : Ta? a" (2)
Dấu đăng thức xảy ra khi vă chỉ khi a= ö
Tương tự, ta cũng có Ti (3)
Cộng (2), (3) vă (4) theo từng về ta được đpcm vă dấu đăng thức xảy
ra khi vă chỉ khi a—= b =e
Trang 21Ta có : (1) © 2(x? +y*)> (x+y) ex +y?—2xy>0 sự > >0 BĐT cuối cùng đúng nín ta có (1) đúng, dấu “ ” xảy ra khi vă chỉ khi x = y : a+b? _ (a+b) Âp dụng BĐT (1) ta có : >| 5 | =l=a?2+}?>2 (2) Lại âp dụng (1) lần nữa với x= a?, y= ðˆ ta có : 4, 34 2,22) =>: >1 (theo (2))
Trang 22Hướng dẫn giải
Taeó: cc+ T= > va + Vb © a2 +bjB > vab (da + VB) (Va + Vb )(a— Jab +b) > Vab(Ja + Vb)
eatb>2WVab (Ja —Jb) >0 (BDT luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi vă chỉ khi a= ở
Vĩ dụ 7 a, b, c lă độ dăi câc cạnh của một tam giâc nội tiếp trong
đường tròn có bản kính ® = 1 Chứng minh răng đí tam giâc đó nhọn (ba góc nhọn) thì can va dt la a’? +b? +c? >8
Hướng dẫn giải
Âp dụng định lí hăm số sin trong ABC, ta có : a2+b?+c? =4(sin? A+sin? B+sin? C) Do đó: a”+b?+c?>8<>sin” 4+sin? Ð8+sin?C >2
<> AABC nhon (Vi dy 2)
Vi du 8 Cho x,y>0 thoa điều kiện x?+y)>x'+ÿt
Chimg minh: x? + yÌ < x”+ y° <x+ y<2
(Trích đề thi Đại học Ngoại thương, năm 2000)
Hướng dẫn giải
)Tacó: xÌ+y°<x?+y°)©ex'—x2?<y?—y (1)
Từ giả thiết suy ra : ` <y°—y, do đó dĩ có (1) ta cần chứng
minh : y —y! < y? — ÿ, Thật vậy :
ỳ—y* < y?—y?) œ y—y? <1—y@(y~1Ÿ >0 (luôn đúng)
i) Tacó: x?+y?<x+y«+x—x?+y—y?>0 2)
Theo giả thiết ta có : x2—x”+ y`— y*“ >0 Để chimg minh (2), ta chứng minh : x— x” + y— yŸ > x? —xỶ + yŸ — yf
Trang 23That vay : x—x?+y—y?>x?—x'+y`—y° ®xÍI-2x+x?]+I~y~y?°+y)>0
z(1—zxŸ +y(I+y)(I— yŸ >0 (uôn đúng)
iii) Ta chứng minh : 2—~x— y> x2—x) + y?— y4 —
©lI-x—x°+x'+l-y-y°`+„'>0 &(—z)—x?(I—x)+(t—y)—(I—y)>0
œ(I—z?)q+z)+(I—yŸ'ÍI+>y+y?)> 0 (đúng)
Vay: Pty <r ty <xty<2
Ví dụ 9 a, b, c lă 3 số tuỳ ý thuộc đoạn [0 ; 1].Chimg minh: a4? +b +c2<1+-a?b+ bŸc + c?a
Hướng dẫn giải
Nhận xĩt :(I— đ)(1—ð)(L—c)=1—a—b—e+ab +be+ ca — abe > 0 - BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT :
a’ (1—b) +87 (1—c) +c? (l-a) <1 (1)
Vi 0<a;b;c<1 nĩnad’ <a;b’<b:c? <c Dodd:
Trang 24Hướng dẫn giải er ap = ra ” lờ “ra tim "raj>9 œ ab—aˆ + ab —b* I+a?)+ab) (+ð2)d+aø) - a(b—a) b(a—b) +a2)+a¿) (+ð2)(+ab) — (ð—a|a+ø2)—s+a?)| ` © (b— a)” (ab —1) _(I+z?)(+#?)(+ap) — — (+a?)(1+02)(+ab) - BDT cuối cùng đúng do að > 1 Vậy, ta có đpcm 1 + 1 > 2 lta 1+) “1+ Vap b) Âp dụng cđu l) ta có : (1) Tw (1) va (2) suy ra: 1 rz†——r†+—+ 1 1 ] >2 1 + 1 l¢a@ 148) lrc` lI+abc ` 1+ Vabe' ———— (theo ])) > =h 4 Tae + abe 1 1 3 + + > dpem)
Trang 25(vi x? > x?, x>x°) @ UP+y42)—-(yt y2z427x) <3 Vi du 12 Chimg minh ring voi moi a, b tacĩ: la+ðL „ _la|+lðl 1+|a+b| — 1-+|a| + |b| Dấu bằng xảy ra khi năo 2
(Trích đề thi Đại học Nông nghiệp, năm 1999) Hướng dẫn giải lat bl dtl 1z+ø|+lal+lbl)<(lal+lll(1+|a+ðl) 1+]a+4|~ 1+lal+lal > |a+b|+la+dllal+|a+d|ld| < la|+|b|+|a+#||a|+|a + »||#| «|a+b| <|a|+|b| (ỳng) â(a+é <(la+| ôđ ab < |ab|(đúng) Dấu bằng xảy ra khi vă chi khi ab > 0 Vi dy 13 Chimg minh rang vĩi moi tam gidc ABC , bao giờ ta cũng có : a4+bB+cC ` a+b+c 3 a, b, c theo thứ tự lă độ dăi cạnh đối điện với góc 4, B, C Hướng dẫn giải Ta có : 4+ B+C —r nín BĐT cần chứng minh tương đương với : a@A+bB+cC A+B+C a+b+c 3 {3(24+bB+cC)—(a+b+ (41+ B+ €) ca 3(a+b+c}
& (aA —aB—bA+bB)+(bB—bC —cB+cC)
Trang 27A <> coscosC + sin gìn € = 2cos“eosC ~ sin ĐsinC 2 2 2 2 2 AC †1 <> tan — tan — — — 2 2 3 @) A cy 4 Taco: «xen +t S| >— q) 2 85 1^a 2 Ầ [rand + nS] > 4tan 4 tan © (do (2)) 2 2 2 2 2 e> {tan 4 —tan$] > 0 (3) 2 2 (3) hiĩn nhiín đúng nín (1) đúng Dđu đăng thức xảy ra khí vă chỉ khi : tan “tan C=} 22 3 estan A= tone =
tan 4 = tan& 2° 2 ge’? >
+ A=C=60° œ AABC đều Ví dụ 16 Cho AABC Chứng minh :
sin? A+sin? B+sin?C > 2V3 sin Asin BsinC Hướng dẫn giải
Âp dụng định lí hăm sĩ sin va cosin, ta có BĐT cần chứng mỉnh tương
duong vĩi : a? +b? +(a? +5? -2abcosC) > 2V3absinC
a+b? ~ ab(J3 sinC +cosC}> 0
Vi V3sinC+cosC <2 nĩn:
a?+b? —ab(J3 sinC +cosC) >a*+h* —2ab=(a by > 0
Vi du 17 Chimg minh ring trong moi tam gidc ABC, ta dĩu cĩ:
sinA+sinB+sinC <2
——— (1)
cos A+cosB+cosC
Trang 28Hướng dẫn giải
, A, B.C A
Ta có : cos 4+ cos B + cosC = I+4sin sin sim >1 nín †a có :
(1) sin A+sin B+sinC <2(cos A+cos B+cosC)
= sin(B+C)+sin(A + C)+sin(A+ B) < 2cos 4+ 2cos B+ 2cos C > sin BcosC +sinC cos B+sin AcosC +sinC cos A
+sin 4cos B+sin Bcos 4 < 2cos 4+ 2cos B + 2cosC © sin 4(cos 8 +cosC)+sin B(cos 4 + cosC)
+sinC(cos 4+cos B) < 2cos 4+ 2cos B +2 cosC
<> (cos B+ cosC)(sin A—1)+(cos A +cosC)(sin B-1)
+(cos 4+cos BXsinC-—I)<0 (2) A+B 4-B cos Ta lại có cos Ð+ cosC = 2cos = 2sin © eos —>0; 2 sin A—1<0 Do &6 (cos A+cosC)(sin A—1) <0 nĩn vĩ trai cha (2) không đương
Mặt khâc dấu đẳng thức không thể xảy ra vì không thể đồng thời có sin A =sin B=sinC Vay ta có {2) tức lă có đpcm
Vĩ dụ 18 AABC' lă tam giâc bất kì, chứng minh :
(1 — cos 4)(1 — cos 8)(1 — eosC)> cos 4cos BcosC
Dau bat đẳng thức xảy ra khi năo ?
(Trích đề thi Đại học Dược Hă Nội, Năm 2000)
Hướng dẫn giải
e Nếu tam giâc vuông hoặc tù thì :
(I—eos 4)(1 —- cos BX(I— cos C) >0 > cos 4cos Beos C
nín BĐT đúng
e Nếu AABC nhọn thì BĐT tương đương với :
1—x? 1-y? I-z?)_1-x? 1-y? 1-27
t l+x a I- l+y ¬ lr- l+zZ le I+x“ lty“ l+z 2` T: 2" (1) (với ven y=tan2, z=tanS),
2 2 2
Trang 2928 Ta có : (1) 2x?.2y?.2z? >(i-z?)(t-y?)(I-z?) 2x 2y 2z sill Ix? 1-y? 1-2? “x yz
€ tan A.tan B.tanC 2 cot -+c0t + cot S
oS tan A+ tan B+ tan C2 cot +cot=+ cot S sinc 2sinC Ma: tan A+ tan B= = cosAcosB cos(A—B)+cos(A+ B) _C C 4sin — cos — C > 1—cosC 2 2 ~reot= 2 Dấu “=” xảy ra khi vă chỉ khi 4 = B A B Tương tự : tan B + tân C > 2cotế ; gy Gegian 4 2 2cot-, Cĩng vĩ theo vĩ cdc BDT trĩn ta cĩ dpem Dấu “=” xảy ra khi vă chỉ khi A4BC đều
Ví dụ 19 Với tam giâc ABC, đặt T —sin? A+sin? B+sin?C Chứng
minh ring ABC lă tam giâc có ba góc nhọn khi vă chỉ khi 7 > 2
Hướng dẫn giải
Ta có : —“——= ắ
=2- 5 (©0824 +cos2B)— cos? C =2—cos(4+ 8)cos(4— B)— cos? C
=2+cosC[cos(4— B)+cos(4+ B)| =2+2cos Acos BcosC cos A>0
Vậy : 7 >2 © cos 4cos BcosC > 0 © 3cos B >0 <> AABC nhon
Trang 30Vi du 20 Chimg minh rang nĩu ABC không phải lă tam giâc tủ thì :
(1+ sin? A)(1+ sin? B)(14 sin? C) > 4
(Trích đí thi Đại học Kĩ thuật Công nghệ, năm 1997)
Hướng dẫn giải
Ta cĩ: sin Asin B > sin Asin B—cos Acos B =—cos(A + B) = cos C
(vi AABC không tù)
Tuong ty: sin BsinC >cos A; sin AsinC > cos B
Do đó : (1 +sin? AML +sin? B)(I +sin? C)
=l+sin? 4+sinˆ B+sin” C +sin” 4sin? B
+sin? Bsin? C +sin? Csin? A+sin? Asin? Bsin? C
>1+sin? A+sin? B+sin’ C+cos” A+cos” B+cos?C
+sin? Asin? Bsin?C >4 (dpcm)
Trang 318.1 8.2 8.3 8.4 30 «&(2+#)`—6(+u)(I+v)<s œ&(2+0)`—6(I+„+v+ưv) <8 es (241) -6|I+r+="|<s“ « 47) — 6? — 4: > 0 ©/(2¡ 1)ứ —2) >0 đúng vă £ >2 C LUYỆN TẬP Cho a, b, c bất kì Chứng minh : a) a?+b?+c? >ab+bc+ca ;
b) (ab + bc+ ca)” > 3abe(a+b +c)
(Trích đề thi Đại học Sư phạm, năm 2000)
3 3 3
a+b | <a + — 2
(Trích đí thi Đại học Y Hă Nội, năm 2000) Cho tam giâc 448C Chứng minh :
Cho a, b có a+b >0 Chứng minh : |
A B C A B C
t— (— t—> 3| tan— + tan—¬+ tan —| cot + coLE +eotE >3| 2 21 |
Hướng dẫn : Đặt x= cot, yaootS, z= cots Vă x+ y+z=xz BĐT cần chứng minh tương đương với : 1 Lady tles(arys) > 3(xy+ yz+ zx) x yz Cho x, y, z>0 Chứng minh : x+y+z>3
\jx2+xy+y? +jy? +yz+?? +4jz?+zx~+>x? >VJ3(x+y+2)
(Trích đề thi Học viện Quan hệ Quốc tế, năm 1997) Hướng dẫn : x° +xy+y? =.(° +4xy+4y’)
Trang 328.5
8.6
8.7
8.8
Suy ra: yx? +xy+y? >2 (v+), 2 Cho a, b, c, đ tuỳ ý Chứng minh :
J(a+e)` +(b+4)” <4? +b? +Ve2 +d?
Cho a>c>0 va b>c Chứng minh : fe(a—c) + e(b—e) < Jab Chứng minh : xŸ + x ~ 4x'“+x?+>0, VWxeR
Hướng dẫn : Về trâi bằng : x?(x? —1Ÿ + (x~L >0
Chứng minh : VI+f +V1— >1+1~/? >2—?2, Vĩ €[—1; IÌ
(Trích đí thì Đại học Quốc gia Tp HCM, năm 2001)
§ 9 PHƯƠNG PHÂP DÙNG PHĨP CHỨNG MINH PHAN CHUNG
A KIEN THUC CO BAN
Giả sử cần phải chứng minh BĐT năo đó đúng, ta hêy giả sử BĐT đó
sai vă kết hợp với câc gia thiĩt dĩ suy ra kĩt qua vô lí Điều vô lí có
thể lă điều trâi giả thiết, có thí lă điều trâi với một điều đúng Từ đó suy ra BĐT cần chứng mình lă đúng B VÍ DỤ ÂP DỤNG VỊ dụ 1 Cho 0< a, b, c<1 Chứng mính rằng có ít nhất một trong câc bất đăng thức sau lă sai : ] ] 1 I—B)>—;b(I-c)>—;c(—a)>- aq—b) P (i—c) 1 c(l—a) 4 Hướng dẫn giải
Giă sử câc bất đăng thức trín đều đúng, khi đó nhđn về với về câc bất
đăng thức trín lại với nhau ta được :
1
a(l1—a) B(l-b) cll-e) >= (1)
Trang 3332 Ta lại có : a(1—a)=a—a?= aI 2 -lš-z+z|=z-s-3| <1, 4 4 2 4 1 Tương tự : b(l—b) <7 c(l—c)< + |— Do 0<a, ð, c<1 nín z(Í—a)>0, b(1—ð)>0, c(1I—c)>0 vă lúc đó ta có : aI=a)b(1~ð)eI—e) << (2) Từ (1) vă (2) ta gặp mđu thuẫn Vậy có it nhất một trong câc BĐT đê cho lă sai,
Vĩ dụ 2 Chứng minh răng, nếu a,a, > 2(b, + b;) thì ít nhất một trong hai phương trình x? + a¡x-+b, =0; x”+a;x-+-b„ = 0 có nghiệm Hướng dẫn giải Giả sử cả hai phương trình đê cho vô nghiệm, khi đó A, = a7 —4b <0 va A, =a; —4b, <0 Do dĩ: a; +a; — 4b, —4b, <0 > a? +05 < 4(b, +b,) < 2a,a, (theo giả thiết) => (a,—a,) <0 (v6 li)
Vậy có it nhất một trong hai phương trình đê cho có nghiệm
Vĩ dụ 3 Cho ba số a,b,c thỏa mên a+b+c>0, ab+be+ac >0,
abc > 0 Chứng minh z > 0, ö >0, e > 0
Hướng dẫn giải
Giả sử a<0 thì từ abe>0 a0 do đó a<0 Mặt khâc abc >0
văa < 0 nín suy ra cò <0 Từ ab + be +ea > 0 > a(b-+c) > —be > 0 Vì a<0 mă a(b+c)>0—> b+c<0 Cuối cùng, ta có a<0 vă
b+c<0 nín suy ra a+b+c<0 trâi giả thiết a+b+c>0 Vậy
a>0 Tương tự ta có ö>0, c>0
Ví dụ 4 Cho 4 số a, b, c, dthỏa mên điều kiĩn ac >2(b+a)
Trang 34_ 94 9.2 9.3 Hướng dẫn giải Giả sử hai bất đăng thức : a”`<4ð, c°<4d_ đều đúng khi đó cộng câc về ta được : a?+c?< 4(b+đ) " (1)
Theo giả thiết ta có : 4(6+d) < 2ac (2)
Từ (1) vă (2) suy ra a’ +¢* <2ac hay (a—cY <0 (vô lí) Vậy trong hai bất đẳng thức 4” <4 vă cˆ< 44 có ít nhất một câc bât đăng thức
Ví dụ 5 Chứng minh răng, nếu a+b = 2cđ thì ít nhất một trong hai
bắt đăng thức sau đđy lă đúng :
c>a:d*>b
Hướng dẫn giải Giả sử cả hai bat đẳng thức đều sai Ta có :
I; <a |» ost =+c=a+dˆ—b<0
dđˆ<b đˆ—b<Q0
=>¢?4d*—(a+b)<030¢ +d —2d <0 (c—dY <0 V6 li
Chứng tỏ hai bat đăng thức không thẻ cùng sai Vậy ít nhất một bất đăng thức đúng
G LUYỆN TẬP
Cho abc = 0, chứng mình rằng có it nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm :
ax? +2bx+c= 0, bx! + 2cx+a=0, cx)+2ax+b= 0
Cho az, ð, c€(0 ; 2), chứng minh rằng có ít nhất một trong câc bất
đẳng thức sau lă sai: a(2—ð)>l; öð(2—c)>1; c(2—a)>1
Trang 359.4 Chứng minh răng trong ba BĐT sau đđy có ít nhất một BĐT đúng :
9.5
34
>
2 2 2
a* +b? > bre) b? +e Ere) sc 4+q? > {er8) -
Hướng dẫn : Gia sit ca ba BDT đều sai ta có :
(b+cy 2 2
a?+bÌ< TT an > 2 > nho `
Cộng câc bất đăng thức trín về theo về ta được điều vô lí
Chứng minh rằng nếu z;z; >2(b +b,) thì có ít nhất một trong hai
phương trình : x” +a,x+b =0; x7 +a;x+b; =0 có nghiệm
§ 10 PHƯƠNG PHÂP DÙNG QUY NẠP TOÂN HỌC A KIẾN THỨC CƠ BẢN
Để chứng mình bất đẳng thức đúng với n> mạ ta thực hiện câc
bước sau :
1) Kiểm tra bất đăng thức đúng với n = nạ
2) Giả sử bất đăng thức đúng với = Ỉ (thay n= Ỉ văo bất đăng thức
Trang 36Hướng dẫn giải © Voi n=1 Tacĩ: 1>2V2-243>2V2 (BDT ding) ® Giả sử BĐT on vol n=k, mạ lă : vă ——+ ri | s2/ mi —2 + RB Jk > 2VJk+2—2 (1) Ta chimg minh: 1+—= 1 "1 1 42 x5 Vk+1 Ta có : ] 1 1 1 1 1 1 l+——+——+ +——-ÌI+ +-=+ -+ |l+——— 42 V3 k+l J2 5 jk} xjk+l >2jt+1—2+ 1 J4k+L 1 > 2JVk+2—-2 2 vn @ Ta có: (2) o Jk +1(2Vk4+1—-2) 41> Je41(2Vk +2 —2) > 2(k +1)—2Vk +1 41> 2Vk 41Vk +2 —2Vk 41 & (k+1)+(k+2)—-2Vk+1Vk +2 >0 oe (Jk+1—-Jk+2) >0 (3)
Bất đăng thức (3) luôn luôn đúng nín ta có (2) đúng Từ đó suy ra bất đăng thức (1) đúng, tức lă bất đẳng thức đúng với n— k+I
Vậy bất đăng thức đúng với mọi n > I
Để có (1) ta chứng minh : 2-/Ỉ +1—2+
Vĩ đụ 2 a, b,c lă số đo ba cạnh của một tâm giâc vuông với c lă
cạnh huyền Ching minh : an 4b <c" (n>2,n€ N)
Hướng dẫn giải
® Với n=]: Theo Định lí.Pi- -ta-go ta c6: a? +b* =c? nĩn bat ding
thức xảy ra dấu bằng Vậy bất đăng thức đúng khi w = 1
Trang 38n e Giả sử BĐT đúng đến n, tức lă ta có : >—— an I+x, 1+ IX,X, X, e Ta chứng minh bat dang thu ding dĩn n+1, tire lă chimg minh : n+l 1 » i=l 1+ x, 1+ 7) Xe MX nat n+l Ta có : n+] 1 -] n 1 Ss + a 3 + a ra +, 1+ ix, ox XzX„ ¡1 nz tuc I+ x, 2% X ee > n n > 2n 1+2/x .x, +" Le nn nal “ela x eet xn ntl 4 n+l Vay : > 7 paves 1+"‡xị X„x n*n+] ,„ Suy ra đpcm
Ví dụ § Chứng tỏ nếu a,b lă hai số tuỳ ý, thoả mên điều kiện
Trang 39at 4b" (a—b)(a* —b*) 2 4 Ta chứng minh được (a— b)(4* —ð*) > 0 k+l k+l k+l Ne (2x? ca +b ~ 2 Vậy (1) đúng với mọi số nguyín dương n C LUYỆN TẬP 10.1 Chứng minh rằng với ø số nguyín dương phđn biệt đ;, đ›, , đ„, ta có : n n 2 Sa 2[ Sa | k=h k=l 10.2 Cho x;, x;, , x„ >1 Chứng minh : 1 1 1 4 n + teeth 2 1+x, l+x; I+x, l+gfxix; X„ n 7k 10.3 Chứng minh ring vĩi moi & =1,2, ,n, tacd: > dê Cy <0 ki L† § 11 PHƯƠNG PHÂP DÙNG BÂT ĐĂNG THỨC VỀ CẠNH CỦA TAM GIÂC
A KIEN THUC CƠ BẢN
Khi gặp băi toân chứng minh bất đẳng thức mă câc biíu thức trong bat
đăng thức cần chứng minh có liín quan đến độ dăi câc cạnh của tam
giâc thi ta nín xuất phât từ câc bất đẳng thức về cạnh của tam giâc để biến đổi đưa đến bất đăng thức cần chứng minh
Nếu z, b, c lă độ đăi ba cạnh của một tam giâc thì z, b, e>0 vă
|b—cl<a<b+e ; Ìa—e|<b<a+e ; |a—b|<e<a+b
Trang 40B Vi DU AP DUNG
Vi du 1 Chimg minh rằng nếu a, b, c lă độ dăi câc cạnh của một tam
giâc thì ta có : 4” +b° +c? <2(ab + be + ca) Hướng dẫn giải a, b, c lă độ dăi ba cạnh của tam giâc nín ta có : 0<a<b+c>a?<a(b+c); 0<b<a+c>b?<b(a+c): 0<c<a+b>c? <e(a+b) Cộng về với về câc BĐT trín, ta được :
a? + +c? <2(ab + be + ca) (đpem)
Ví dụ 2 Gọi r, R lă bân kính đường tròn nội tiếp vă ngoại tiếp tam giâc 4BC có câc cạnh lă a, ð, c Chứng minh : a) (a+b—cXb+c—a)(a+c— b)< abc ;b) R>2r Hướng dẫn giải a) Câch 1 Ta có: a>Ìb—c|=>a? >a?—(b—e) ` >0; b>|a— e|=> b2 >b—(e—a)” >0; c>la—b|=> e2 >c*~—(a—b}` >0 Nhđn về với về câc BĐT trín, ta được :
a’b*c? >|a —(b—e}ˆ ||? —(e—a}||e —(a—b}Ÿ]
>(a+b—e)(a+c—b)(b+e—a)(b+a—ec) x(e+a—bỈ)(eđ+b—a) >(at+b—c) (b+c—a) (e+a—by
Suy ra: abe > (a+b—c)(b+e—a\(ct+a—b) Dđu “=” xđy ra khi vă chỉ khi a=b=c