CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TRONG TS 10 2011-2012

CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TRONG TUYỂN SINH LỚP 10 2011-2012 CAO HOÀNG LỢI sưu tầm Bài 1: HẢI DƯƠNG 11-12 Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: 1 3 3 3 + + ≤ + + + + + + x y z x x yz y y zx z z xy Hướng dẫn: Từ ( ) 2 2 x yz 0 x yz 2x yz− ≥ ⇔ + ≥ (*) Dấu “=” khi x 2 = yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x 2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz≥ + + Suy ra 3x yz x(y z) 2x yz x( y z)+ ≥ + + = + (Áp dụng (*)) x x x 3x yz x ( x y z) x 3x yz x y z + + ≥ + + ⇒ ≤ + + + + (1) Tương tự ta có: y y y 3y zx x y z ≤ + + + + (2), z z z 3z xy x y z ≤ + + + + (3) Từ (1), (2), (3) ta có x y z 1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy + + ≤ + + + + + + Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 Bài 2: ĐăkLăk 11-12 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , 4 3 7. 1 1 3 3 4 3 4 4 2. . 2. . 3 3 4 3 4 2 4 2 1 3 2 3 7 7, , , 2 2 x y z x y z yz x y x y z yz x y x x y y z z y y x y z y x y z + + − − − ≥ −     + + − − − = − + + − + + − + − −  ÷  ÷  ÷         = − + − + − − ≥ − ∀ ∈  ÷  ÷  ÷     ¡ Cho lµ ba sè thùc tuú ý. Chøng minh: Ta cã: Bài 3: Ninh Bình 11-12 Cho ba số x, y, z thỏa mãn [ ] x, y, z 1:3 x + y + z 3  ∈ −   =   . Chứng minh rằng: 2 2 2 x + y + z 11≤ Hướng dẫn: Vì [ ] 3;1,, −∈zyx 11 23 2)( 2)(2 2)(2 0)(3)(927 01 0)3)(3)(3( 0)1)(1)(1( 31 31 31 222 2222 2222 222222 ≤++⇒ ++≥+⇒ −++≥++⇒ −++≥+++++⇒ −≥++⇒    ≥−+++++− ≥+++++++ ⇒    ≥−−− ≥+++ ⇒      ≤≤− ≤≤− ≤≤− ⇒ zyx zyx zyxzyx zyxxzyzxyzyx xzyzxy xyzxzyzxyzyx zyxxzyzxyxyz zyx zyx z y x Cách2:.Không giảm tính tổng quát, đặt x = max }{ zyx ,, ⇒ 3 = x + y + z ≤ 3x nên 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ 2 ( x -1 ) . (x - 3) ≤ 0 (1) Lại có: x 2 + y 2 + z 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 + 2(y +1) (z+1) = x 2 + ( y + z ) 2 + 2 ( y + z ) + 2 = x 2 + ( 3 - x ) 2 + 2 ( 3- x) + 2 = 2 x 2 - 8x + 17 = 2 ( x -1 ) . (x - 3) + 11 (2) Từ (1) và (2) suy ra x 2 + y 2 + z 2 ≤ 11 Dấu đẳng thức xảy ra x = max }{ zyx ,, ( x -1 ) . (x - 3) = 0 (y +1) (z+1) = 0 x + y + z = 3 ⇒ Không xảy ra dấu đẳng thức Bài 4: Hà Tỉnh 11-12 Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 5 2 5 2 5 a b c Q b c a = + + − − − . Hướng dẫn: Do a, b, c > 25 4 (*) nên suy ra: 2 5 0a − > , 2 5 0b − > , 2 5 0c − > Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho 2 số dương, ta có: 2 5 2 2 5 a b a b + − ≥ − (1) 2 5 2 2 5 b c b c + − ≥ − (2) 2 5 2 2 5 c a c a + − ≥ − (3) Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: 5.3 15Q ≥ = . Dấu “=” xẩy ra 25a b c ⇔ = = = (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 25a b c⇔ = = = Bài 5: Bình Định 11-12 2 2 x 2x 2011 Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = x − + Hướng dẫn: * Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8) ( ) − + ≠   − × + × − ≠  ÷     − × × + + −  ÷     − + ≥ ⇔ ⇔ =  ÷   2 2 2 2 2 2 2 x 2x 2011 A = với x 0 x 1 1 1 = 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (với t = 0) x x x 1 1 1 = 2011 t 2 t 1 2011 2011 2011 1 2010 2010 1 = 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; tho 2011 2011 2011 2011   ≠  ÷   õa x 0 * 2010 Vậy MinA = x = 2011. 2011 ⇔ * Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x 2x 2011 A = với x 0 x A.x x 2x 2011 A 1 x 2x 2011 0 * coi đây là phương trình ẩn x − + ≠ ⇒ = − + ⇔ − + − = 2011 Từ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1) 2 − ⇔ ⇔ Nếu A 1 0 thì (*) luôn là phương trình bậc hai đối với ẩn x.− ≠ x tồn tại khi phương trình (*) có nghiệm. ( ) / / 2 0 1 2011 A 1 0 2010 b 1 1 A dấu "=" (*) có nghiệm kép x = 2011 ; thõa x 0 (2) 2010 2011 a A 1 1 2011 ⇔ ∆ ≥ ⇔ + − ≥    ÷ − − − ⇔ ≥ ⇔ = = = ≠  ÷ −  ÷ −   So sánh (1) và (2) thì 1 không phải là giá trò nhỏ nhất của A mà: * 2010 MinA = x = 2011. 2011 ⇔ Bài 6: Thanh Hóa 11-12 Cho c¸c sè d¬ng x, y , z . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc 2> + + + + + yx z zx y zy x Hướng dẫn: Cho c¸c sè d¬ng x, y , z . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : 2> + + + + + yx z zx y zy x Áp dơng B§T Cosi ta cã : zyx x zy x x zyx x zy x zy ++ ≥ + => ++ = + + ≤ + 2 22 1 1. zyx y zx y y zyx y zx y zx ++ ≥ + => ++ = + + ≤ + 2 22 1 1. zyx z xy z z zyx z xy z xy ++ ≥ + => ++ = + + ≤ + 2 22 1 1. Céng vÕ víi vÕ ta cã : 2 )(2 = ++ ++ ≥ + + + + + zyx zyx xy z zx y zy x dÊu b»ng x¶y ra y+ z = x x+ z = y  x + y + z = 0 y+ x = z V× x, y ,z > 0 nªn x + y + z > 0 vËy dÊu b»ng kh«ng thĨ x¶y ra . => 2> + + + + + xy z zx y zy x víi mäi x, y , z > 0 ( §pcm ) Bài 7: Bắc Giang 11-12 Cho hai số thực dơng x, y thoả mãn: ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 3 3 3 4 4 0x y xy x y x y x y x y + + + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y. Hng dn: Đặt a = x+y = M; b = xy; 2 4a b Từ giả thiết có: 3 2 2 2 3 3 3 6 4 4a ab a b b ab b + + = 2 2 2 2 ( 2 )( 2 3 ) 0 2 2 3 0 a b a ab b b a b a ab b b + = = + = +) Nếu a =2b Thì: x+y = 2xy. Mà (x+y) 2 4xy nên (x+y) 2 2( )x y + 2; " " : 1. M x y khi x y = + = = = (*) +) Nếu 2 2 2 3 0a ab b b + = 2 2 2 2 2 3 0 2 ( 3) 0 a ab b b b a b a + = + + = (1) Giả sử = (1) có nghiệm b thoả mãn b 2 4 a thì b= 2 3 2 4 a a+ 2 2 6 0 1 7;( : 0)a a a Do a + > và 2 2 3 ( 3) 8 0 ( 3 2 2)( 3 2 2) 0 2 2 1 a a a a a a a+ + + + Vậy a 1 7 + (**) Từ (*) và (**) suy ra a = M có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y =1. Bi 8: H Ni 11-12 Vi x > 0, tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2 1 M 4x 3x 2011 4x = + + . Hng dn: 2 2 2 1 1 4 3 2011 4 4 1 2010 4 4 1 (2 1) ( ) 2010 4 M x x x x x x x x x x = + + = + + + + = + + + Vỡ 2 (2 1) 0x và x > 0 1 0 4x ⇒ > , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + 1 4x 1 1 2 . 2. 1 4 2 x x ≥ = =  M = 2 1 (2 1) ( ) 2010 4 x x x − + + + ≥ 0 + 1 + 2010 = 2011  M ≥ 2011 ; Dấu “=” xảy ra  2 1 2 1 2 1 0 2 1 1 1 4 4 2 0 0 1 2 0 x x x x x x x x x x x  =    =  − =          = ⇔ = ⇔ =         > >      = −       >   ⇔ x = 1 2 Vậy M min = 2011 đạt được khi x = 1 2 Cách 2 2010 4 1 8 1 8 1 2 1 3 4 1 2010 8 1 8 1 4 1 3 2011 4 1 34 2 2 22 2 +++++       −= +++++       +−= ++−= xx xxM xx xxxM x xxM Áp dụng cô si cho ba số xx x 8 1 , 8 1 , 2 ta có 4 3 8 1 . 8 1 .3 8 1 8 1 3 22 =≥++ xx x xx x Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2 mà 0 2 1 ≥       − x Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2 Vậy 20112010 4 1 4 3 0 =+++≥M Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi M = 1 2 Bài 8 : Nam Định chuyên 11-12 Chứng minh rằng : Với mọi 2 3 2 3 1 1 x 1, ta luôn có 3 x 2 x x x     > − < −  ÷  ÷     . Hướng dẫn: 2 3 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 x 2 x 3 x x 2 x x 1 x x x x x x 1 1 1 3 x 2 x 1 (vì x 1 nên x 0) (2) x x x           − < − ⇔ − + < − + +  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ ÷               ⇔ + < + + > − >  ÷  ÷     Đặt 2 2 2 1 1 x t thì x t 2 x x + = + = − , ta có (2) ( ) ( ) 2 2t 3t 2 0 t 2 2t 1 0 ⇔ − − > ⇔ − + > (3) Vì ( ) 2 2 1 x 1 nên x 1 0 x 1 2x x 2 hayt 2 x > − > ⇔ + > ⇔ + > > => (3) đúng . Vậy ta có đpcm Bài 9: Vĩnh Phúc 11-12 ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ab bc ca c ab a bc b ca + + + + + . Hướng dẫn: Có: ( ) 2 1 .a b c c a b c c ac bc c+ + = ⇒ = + + = + + ⇒ 2 ( ) ( )c ab ac bc c ab a c b c b c+ = + + + = + + + = ( )( )c a c b+ + ⇒ ( )( ) 2 a b ab ab c a c b c ab c a c b + + + = ≤ + + + Tương tự: ( )( ) ( )( ) a bc a b a c b ca b c b a + = + + + = + + ( )( ) 2 ( )( ) 2 b c bc bc a b a c a bc a b a c c a ca ca b c b a b ca b c b a + + + ⇒ = ≤ + + + + + + = ≤ + + + ⇒ P ≤ 2 a b b c c a c a c b a b a c b c b a + + + + + + + + + + + = 2 a c c b b a a c c b b a + + + + + + + + = 3 2 Dấu “=” xảy ra khi 1 3 a b c= = = Từ đó giá trị lớn nhất của P là 3 2 đạt được khi và chỉ khi 1 3 a b c= = = . CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TRONG TUYỂN SINH LỚP 10 2011-2012 CAO HOÀNG LỢI sưu tầm Bài 1: HẢI DƯƠNG 11-12 Cho x, y, z là ba số dương thoả. + z 2 ≤ 11 Dấu đẳng thức xảy ra x = max }{ zyx ,, ( x -1 ) . (x - 3) = 0 (y +1) (z+1) = 0 x + y + z = 3 ⇒ Không xảy ra dấu đẳng thức Bài 4: Hà Tỉnh 11-12 Cho các số a, b, c đều. 1 2011 2011 2011 1 2 010 2 010 1 = 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; tho 2011 2011 2011 2011   ≠  ÷   õa x 0 * 2 010 Vậy MinA = x = 2011. 2011 ⇔ * Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9) ( ) (