www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng ĐẠI SỐ - BÀI 13 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (Dành cho các bạn từ lớp 9 trở lên) Nhà toán học Pháp Côsi đã phát biểu một kết quả : “Nếu , , , là các số không âm thì : 1 a 2 a n a 12 n n 12 n a a a a a a n +++ ≥ Côsi còn chỉ ra rằng bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức khi và chỉ khi . Đó chính là nội dung của bất đẳng thức mang tên ông. 12 a a a=== n Bất đẳng thức này có ứng dụng rất rộng lớn để giải quyết nhiều bài toán. Các bạn hãy lưu ý đến những kỹ thuật chính sau đây : 1. Tách các số hạng của tổng : Thí dụ 1 : Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 5. Chứng minh : 23 a b 108.≤ Phân tích : Nhiều bạn nghĩ rằng “tổng hai số” là 5. Nhìn vào điều phải chứng minh lại có và 2 a 3 b , như vậy làm sao xuất hiện được chúng ? Các bạn phải nhìn a là aa 22 + và b là b bb 333 ++ thì xong ngay. Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương ta có : 5 aabbb 1 a a b b b 1 22333 5 2 2 3 3 3 ≤++++ = ⇒ 23 ab 1 108 ≤ ⇒ 23 a b 108.≤ Hãm làm thêm các bài tương tự : 1. Tính các góc A, B, C của tam giác ABC sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. 23 FA.B.C= 2. Cho x0, 2 π ∈ và p, q là các số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số p q .cosxysinx= . (ĐHBK Hà Nội - 1997). 2. Nhân thêm hệ số cho các thừa số : Thí dụ 2 : Cho a ∈ [0 ; 2] ; b ∈ [0 ; 4]. Tìm giá trị lớn nhất của F = (2 − a)(4 − b)(3a + 2b). Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng Phân tích : Ta có (2 − a) + (4 − b) + (3a + 2b) = 2a + b + 6 phụ thuộc vào a, b nên không thể áp dụng bất đẳng thức. Côsi cho 3 số hạng này. Nếu được thêm các hệ số vào chúng thì ta có thể được những thừa số mới mà tổng không đổi. Chú ý là đã có 3a + 2b rồi nên để khử a các bạn hãy dùng 3(2 − a) và để khử b hãy dùng 2(4 − b)! Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm : 3(2 −a) ; 2(4 − b) và 3a + 2b ta có : 3 11 3(2 a).2(4 b)(3a 2b) [3(2 a) 2(4 b) 3a 2b] 33 −−+≤−+−++= 4 ⇒ 3 14 6F 3 ≤ ⇒ 1372 F 81 ≤ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3(2 − a) = 2(4 − b) = 3a + 2b = 14 3 ⇔ 4 a 9 = và 5 b 3 = . Khi đó F lớn nhất là 1372 81 . Hãy làm các bài tương tự : 1. Cho x ∈ [0 ; 1]. Tìm giá trị lớn nhất của 2 y (1x)(14x0.=− + 2. Tìm giá trị lớn nhất của yx(1x)=−. 3. Tìm cách thêm các số hạng thích hợp Thí dụ 3 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : 333 22 2 xyz xyz yzx ++≥++ Phân tích : Làm sao để khử mẫu của 3 2 x y ? Tất nhiên là cần nhân với . Đó là khi nhân với nhau, còn ở phía tổng thì đó chính là y và y.Vậy để đạt được lời giải ta cần thê y và y ! 2 y Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có : Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 33 3 22 x1x .y.y y y 3 yy ≤++ ⇒ 3 2 x 3x 2y y ≤+ . Tương tự lại có 3 2 y 3y 2z z ≤+ và 3 2 z 3z 2x x ≤+ . Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức này và ước lược cho gọn, ta có đpcm. Thí dụ 4 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : 222 333 xyz11 xyz yzx ++≥++ 1 Phân tích : Để khử tử của 2 3 x y sẽ phải tìm đến 1 x và 1 x . Giải : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có : 22 3 33 x11 x 11 3 xx x x yy ≤++ ⇒ 2 3 1x 1 3. 2 yx y ≤+ . Từ đó có thêm 2 bất đẳng thức tương tự, cộng từng vế của 3 bất đẳng thức này và ước lược cho gọn ta có đpcm. Hãy làm các bài tương tự. 1. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : 2222 5555 3333 a bcd 1111 b cda abcd +++≥+++ (ĐH Thủy lợi - 1997) 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : 555 22 333 abc abc 2 b ca ++≥++ Dạng tổng nghịch đảo của các số dương : Các bạn có thể dễ dàng chứng minh được : “Nếu x, y, z > 0 thì 111 (x y z) 9 xyz ++ + + ≥ và 11 y) 4 xy ++≥ (x ”. Từ đó ta có các bất đẳng thức : 111 9 xyzxyz ++≥ ++ và 11 4 xyxy +≥ + Ta có thể áp dụng những điều này để giải quyết nhiều bài toán : Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng Thí dụ 5 : Chứng minh rằng trong một tam giác ta có : abc hhh9++>r Phân tích : Hãy nghĩ đến ab 111 hhh ++ c và dễ dàng chứng minh được biểu thức này chính là 1 r (dựa vào công thức S = pr = ab 111 ah bh ch 222 == c ). Giải : Sau khi chứng minh được abc 111 hhh ++= 1 r ta dùng 2 lần bất đẳng thức Côsi sẽ được abc abc 111 (h h h ) 9 hhh ++ + + ≥ ⇒ abc 1 h h ) 9 r ++ ≥(h ⇒ abc hhh9++≥r c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⇔ ab hhh== abc 2S 2S 2S == ⇔ a = b = c ⇔ tam giác là tam giác đều. Thí dụ 6 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có : 111 11 2 pa pb pc a b c ++≥++ −−− 1 Gợi ý : 11 4 p a p b (p a) (p b) c +≥ = −− −+− 4 c Hãy làm bài tương tự : 1. Chứng minh rằng : Trong mọi tam giác ta có abc a b rrrh h h++> + + 2. Chứng minh rằng : trong mọi tam giác ta có : ABC AB tg tg tg 9 tg tg tg 222 22 ++≥ C 2 3. “Người ta đo chu vi một mảnh vườn hình vuông và một mảnh vườn hình tam giác thì thấy như nhau. Bạn có thể biết mảnh vườn nào có diện tích lớn hơn không ?”. Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục