BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh 1 Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiakôpxki 1) bất đẳng thức Cauchy. Với n321 a, ,a,a,a là những sôù dương , ta luôn có n n321 n321 a aaa n a aaa Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n aaaa 321 2) Bất đẳng thức Bunhiakôpxki hay Cauchy-Svaxơ Với mọi n321 a, ,a,a,a , n221 b, ,b,b,b ta luôn có 2 n 2 3 2 2 2 1 2 n 2 3 2 2 2 1 nn332211 a bbba aaa ba bababa Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n n 3 3 2 2 1 1 b a b a b a b a Đặc biệt . 0b,a ba 4 b 1 a 1 0b,a ab4baba 0b,a ab4ba 0b,a 0ba 22 Chúng ta nên nhận biết trước điểm rơi của các bất đẳng thức thò việc chứng minh có thể dễ hơn một ít. Ngoài ra có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức như khảo sát , phương pháp đồ thò , phương pháp tương đương , vectơ , tam thức ,điều kiện có nghiệm …… I.Cauchy ngược dấu Bài 1. Cho 0,, cba và 3cba . Tìm giá trò nhỏ nhất 222 a1 c c1 b b1 a A Giải (Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (a;b;c) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là 1 cba ) Ta có 2 ab a b1 a ab2b1 b1 ab a b1 a 2 2 2 2 2 Cũng chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được : 1)cabcab( 2 1 cbaA Mà: ( ) 2 3 3 2ab bc ca a b c ab bc ca Vậy từ 1 và 2 ta được 2 3 A BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh 2 Đẳng thức xảy ra khi : c1 b1 a1 và ac cb ba hay 1cba Bài 2. Chứng minh rằng số dương cba ,, , d ta luôn có: 2 dcba ad d dc c cb b ba a 22 3 22 3 22 3 22 3 Giải Ta có 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab a a b a a b a b a b a b ab ; 3 3 2 2 2 2 2 2 b c c d b c b c c d ; 2 a d ad d 22 3 Cộng vế theo vế ta được đpcm: 2 dcba ad d dc c cb b ba a 22 3 22 3 22 3 22 3 Bài 3. Chứng minh rằng số dương cba ,, ,ta luôn có: 3 22 3 22 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a Giải Ta có 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 ab a b a ab a b a a a b a a a ab b a ab b a ab b ab a b ab Chứng minh tương tự ta có. ; 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 bc b c ca c a b b c c c a b b c c b bc c bc c ca a ca Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh: 3 cba acac c cbcb b baba a 22 3 22 3 22 3 Bài 4. a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác với chu vi 2p. Chứng chứng minh rằng : ) ; ) 1 1 1 1 1 1 2 8 abc a p a p b p c b p a p b p c a b c Giải a) p dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương ta có . BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh 3 ;1 2 2 2 2 2 3 2 2 p a p b c p b p c a p a p b p b p c p c p a b p c p a Trong đó p cba 2 nhân vế theo vế 321 ta được : 8 abc cpbpap (đpcm) b) như chứng minh trên ta có . ; 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 p a p b p a p b c p b p c p b p c a p c p a p c p a b Cộng vế theo vế ta được đpcm: c 1 b 1 a 1 2 cp 1 bp 1 ap 1 Bài tập. 1) Cho 0,, cba và 3cba . Chứng minh rằng 1 a21 c c21 b b21 a 3 2 3 2 3 2 2) Cho 0,,, cba ø Chứng minh : abc 1 abcac 1 abccb 1 abcba 1 333333 3) Cho 0,,, cba và 4dcba . Chứng minh 2 ba1 d ad1 c dc1 b cb1 a 2 2 2 2 2 2 2 2 4) Cho 0,,, cba . Chứng minh 2 cba ac ca cb bc ba ab 5) Cho 20,10 yx . Chứng minh : 4421 yxyx .Đẳng thức xảy ra khi nào 6) Cho z,y,x là các số dương thỏa mãn 20 z 1 y 1 x 1 7) Chứng minh rằng . 5 y2xz 1 x2zy 1 z2yx 1 II. Điểm rơi của Cauchy . Bài 1. Cho 0,, yx và 1yx 22 . Tìm giá trò nhỏ nhất 33 yxA Giải (Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là 2 1 yx ). áp dụng Cauchy cho 3 số dương. . . ; . . 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x y y y y y Cộng vế theo vế ta được . ( ) 3 3 2 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 x y x y A . 2 1 . AMin Bài 2. BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh 4 Cho 0,, zyx và 3zyx 222 . Tìm giá trò nhỏ nhất 444 zyxA Giải (Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là 1 yx ) áp dụng Cauchy cho 4 số dương . . . ; . . . . 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 2 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 x x x x x y y y y y z z z z z cộng vế theo vế ta được . ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 4 4 4 2 6 4 12 3x y z x y z x y z . 3A.Min Bài 3. Cho 0,, yx , ba và 1yx aa . Tìm giá trò nhỏ nhất bb yxA Giải áp dụng Cauchy cho b số dương ta có . . ( ) . 1 1 1 2 2 2 2 a b b b a a a a b b b b a a b a bx x x x Tương tự ta có . . ( ) . 1 1 1 2 2 2 2 a b b b a a a a b b b b a a b a by y y y Cộng vế theo vế ta được : a. )ab( a b 2 b 2 1 )ab(2A.a . ( ) ( ) . ( ) min 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a a a a b a b a b a b a b a A b a A A Bài 4. Cho 0,y,x , và 1byax 22 . Tìm giá trò nhỏ nhất 33 dycxA Giải Gọi số m là số dương giả đònh và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương . 3 2 2 3 33 m.ax3m. c a cxcx ; 3 2 2 3 33 m.by3m. d b dydy Cộng vế theo vế ta được: 3 2 3 2 3 m3.m. d b c a A2 (*) Đẳng thức xảy ra khi . m. d b c a A m c b dy m c a cx 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 do đó từ (*) ta được: 32323 33 3 2 3 2 3 )cbda( dc mm3m. d b c a 2 BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh 5 Khi đó giá trò nhỏ nhất là : 2323 cbda cd A Bài tập. 1) Cho 0z,y,x , và 3zyx 444 . Tìm giá trò nhỏ nhất 666 zyxA 2) Cho 0,y,x , và 1yx 22 . Tìm giá trò nhỏ nhất 2 2 yxA 33 3) Cho 0,y,x , và 1y4x3 22 . Tìm giá trò nhỏ nhất 33 y6x5A 4) Cho 0,y,x , và 1y4x3 22 . Tìm giá trò nhỏ nhất 33 y6x5A 5) Cho 0,y,x , và 1y8x7 22 . Tìm giá trò nhỏ nhất 33 y10x9A III.Cauchy thuận- phép tương đương-Bunhiacôpxki hay Cauchy-Svaxơ. Bài 1. 1) Cho ba số cba ,, bất kỳ Chứng minh rằng : cabcabcba 222 Giải Cách1 p dụng Cauchy cho hai số dương ta luôn có . ababba 22 22 .Tương tự : ; 2 2 2 2 2 2 2 2b c bc bc c a ca ca Cộng vế theo vế ta ra điều phải chứng minh . Cách2 Dùng phép biến đổi tương đương ,ta chứng minh ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca a b c ab bc ca ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a b ab b c bc c a ca a b b c c a Bất đẳng thức luôn luôn đúng với mọi cba ,, Cách3 dùng tam thức bậc hai bccba)cb(a)a(f 222 Ta cần chứng minh aaf 0)( ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 6 3 3 0 a b c b c bc b cb c b c Vậy a0)a(f hay cabcabcba 222 Bài 2. Cho cba ,, ba số dương thỏa mãn điều kiện : 2 c1 1 b1 1 a1 1 . Chứng minh rằng 125,0c.b.a Giải Từ giả thuyết ta có . 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a b c a b c b c ù áp dụng Cauchy cho hai số dương ta có . c1b1 bc 2 c1 c b1 b a1 1 BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh 6 Tương tự ta có : a1c1 ca 2 a1 a c1 c b1 1 b1a1 ab 2 b1 b a1 a c1 1 Nhân vế theo vế ta được . . . , 1 1 1 1 8 0 125 1 1 1 1 1 1 8 abc abc a b c a b c Bài 3. Cho ba số 0,, cba . Chứng minh rằng : 3 3 1111 abccba Giải Ta có . (*)abccabcabcba1c1b1a1 áp dụng Cauchy với ba số dương ta được. ; 2 3 3 3 3a b c abc ab bc ca abc (*) 2 2 3 3 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1a b c abc abc abc a b c abc Bài 4. Cho ba số 0,, cba . Thỏa mãn : abccabcab CMR: 3 222 222222 ca ca bc bc ab ab (*) Giải Từ giả thuyết ta có 0c,b,a abccabcab 1 c 1 b 1 a 1 3 111111111 * 222222222 aacccbbba áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có . 222222 zyx.111zyx Do đó ta có . b 1 b 1 a 1 3 1 b 1 b 1 a 1 222 ; c 1 c 1 b 1 3 1 c 1 c 1 b 1 222 a 1 a 1 c 1 3 1 a 1 a 1 c 1 222 Cộng vế theo vế ta được : c 1 b 1 a 1 3 3 1 cb c2a bc b2c ab a2b 222222 3 cb c2a bc b2c ab a2b 222222 Bài 5. Cho ba số c,b,a bất ky. Chứng minh rằng : cbaabc3cabcab 2 Dùng phép biến đổi tương đương. BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh 7 2 2 2 2 2 3 0 0 ab bc ca abc a b c ab bc ca abc a b c ab bc bc ca ca ab Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng nên bất đẳng thức cần chưng minh đúng . Bài 6. Cho ba số 0 cba bất ky.ø Chứng minh rằng : 222222 cba 9 c 1 b 1 a 1 Giải Đặt 2 2 2 cz by ax từ đó bài toán được chứng minh là Với 0,0,0 zyx chứng minh : zyx 9 z 1 y 1 x 1 ( )( )1 1 1 9 9 xy yz zx x y z x y z x y z xyz áp dụng Cauchy cho ba số dương ta có : ; 2 3 3 3 3xy yz zx xyz x y z xyz Nhân vế theo vế ta được . ( zxyzxy )( zyx ) xyz9 9 xyz )zyx)(zxyzxy( (đpcm) Bài tập. 1) Cho dcba ,,, ba số dương thỏa mãn điều kiện 3 d1 1 c1 1 b1 1 a1 1 chứng minh rằng: 81 1 c.b.a 2) Chứng minh rằng với mọi yx, dương ta có: yx2 y 1 x 1 yx 22 . 3) Chứng minh rằng với mọi yx, dương ta có : 4 y 1 x 1 xy1 IV.Cauchy - Cauchy-Svaxơ ket hơïp khảo sát Bài 1. Giả sử yx, là những số dương thỏa mãn điều kiện: 1yx Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức xy 1 xyP Giải áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 4 1 xyxy2yx1 đặt 4 1 t0xyt . / ; ( , ] 2 1 1 1 1 0 0 4 P t p x t t Để phương trình có nghiệm: 4 17 ) 4 1 (PP , 2 1 yx 1yx 4 1 xy 4 17 Pmin BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh 8 Bài 2. Cho zyx ,, thay đổi 1zyx 222 tìm giá trò lớn nhất , và nhỏ nhất của zxyzxyzyxP Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxky ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3x y z x y z x y z Ta lại có : zx2yz2xy21zyx 2 . Đặt 3tzyxt 2 1 tt 2 1 )t(fP 2 trê đoạn 3t . Đạo hàm ( ) ; ( )1 0 1f t t f t t Bảng biến thiên. x 3 1 3 )(tf - 0 + 31 31 )(tf 1 Từ bảng biến thiên ta có : 31Pmax;1Pmin Bài 3. Cho ,, yx thay đổi thỏa mãn điều kiệ: 1yx 0y 0x ,hãy tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhấtcủa biểu thức : yx 93P Giải 2 2 9 3 9 3 3 3 3 x x x y x x P P . Đặt 3.1t1,0x,3t x ta khảo sát hàm số 2 t 9 tP trên đoạn 3,1 đạo hàm : , 3 3 18 1 0 18P P t t Ta có 4)3(P 4 9 3)18(P 10)1(P 3 3 10Pmax 4 9 3Pmin 3 Bài tập 1) Cho z,y,x thay đổi là những số dương sao cho 1zyx 222 tìm giá trò lớn nhất , và nhỏ nhất của: zxyzxyzyxP 2) Tìm giá trò lớn nhất , và nhỏ nhất của hàm số: 1 x1 x4 cos x1 x2 sin 22 y = . BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN VÀ GTNN http://violet.vn/kinhhoa Ngọc Vinh 1 Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiakôpxki 1) bất đẳng thức Cauchy. Với n321 a, ,a,a,a là. của các bất đẳng thức thò việc chứng minh có thể dễ hơn một ít. Ngoài ra có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức như khảo sát , phương pháp đồ thò , phương pháp tương đương , vectơ , tam thức. ab Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng nên bất đẳng thức cần chưng minh đúng . Bài 6. Cho ba số 0 cba bất ky.ø Chứng minh rằng : 222222 cba 9 c 1 b 1 a 1