Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Ðại số và Giải tích

MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để tồn tại và phát triển, con người có nhu cầu và yêu cầu phải nhận thức các sự vật, hiện tượng và kể cả chính mình. Nói cách khác, con người cần phải tư duy. Mỗi sự vật và hiện tượng đều có những dấu hiệu, thuộc tính, cần phải biết phân tích, so sánh và tổng hợp để tìm được các dấu hiệu, thuộc tính bản chất của các sự vật và hiện tượng hướng tới mục đích nhận thức. Quá trình nhận thức trên cũng phải tiến hành các thao tác tư duy khác như tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa để có được các tri thức đầy đủ, chính xác về các sự vật hay hiện tượng ấy. Quá trình nhận thức nói trên là kết quả của tư duy. Trong học tập nói chung, học tập toán nói riêng, để hình thành một khái niệm, người học phải suy nghĩ, phân tích để tìm ra các thuộc tính của khái niệm, thuộc tính nào là thuộc tính bản chất, thuộc tính nào là đặc trưng, phân chia khái niệm thành các bộ phận theo các thuộc tính đó để hiểu khái niệm một cách đầy đủ, sâu sắc hơn, ... Nhờ phân tích, con người tách ra các thuộc tính của các đối tượng, còn nhờ tổng hợp, con người hợp nhất các thuộc tính bản chất, tách chúng ra khỏi các thuộc tính còn lại, không bản chất, đưa các thuộc tính bản chất này vào một thể thống nhất, đó là khái niệm. Để tiếp thu một định lý, HS phải biết phân tích được giả thiết và kết luận của định lý, các cách chứng minh định lý và vận dụng định lý vào giải các bài tập cụ thể, ... Khi giải một bài tập, HS phải biết phân tích cấu trúc của bài tập đó, cái đã cho và cái phải tìm, huy động các kiến thức liên quan để tìm cách giải bài tập, so sánh các cách giải để tìm lời giải tối ưu, từ trường hợp đặc biệt có thể khái quát hóa để tìm bài toán tổng quát, ... Từ đó có thể thấy, quá trình học toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, ... Chính vì vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của việc giảng dạy toán là dạy cách nghĩ, dạy tư duy, dạy cho học sinh biết các loại thao tác tư duy, ý nghĩa và tác dụng của từng loại thao tác, mối quan hệ giữa các thao tác, cách thức phối hợp các thao tác. Tư duy phải được phát triển trong quá trình học thông qua việc được thường xuyên rèn luyện, mà trước hết là rèn luyện các thao tác tư duy. Rèn luyện các thao tác tư duy được quan niệm như thế nào là đầy đủ và đúng đắn, hoạt động đó phụ thuộc những yếu tố nào, về mặt sư phạm nên được tổ chức ra sao ... là những vấn đề quan trọng cần được nghiên cứu. Đây là những vấn đề thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học. Vai trò quan trọng của các thao tác tư duy và yêu cầu phải rèn luyện các thao tác đó cần thiết như đã nêu ở trên, nhưng trong thực tiễn giảng dạy toán ở trường phổ thông chưa được chú ý thích đáng. Tác giả luận án do công việc phải đảm nhiệm đã có nhiều cơ hội tiếp cận thực tiễn dạy học toán thông qua dự giờ, trao đổi ý kiến với giáo viên, học sinh, qua nghiên cứu các báo cáo về tình hình giảng dạy học tập của một số trường đã rút ra một số nhận xét chung, đó là: Một số giáo viên nhận thức về vai trò, ý nghĩa, tác dụng của tư duy, của các thao tác tư duy còn hạn chế. Một số giáo viên khác mặc dù nhận thức đúng về vai trò, ý nghĩa, tác dụng của các thao tác tư duy nhưng chưa thực hiện một cách có kết quả nhiệm vụ dạy cách tư duy cho học sinh khi học toán. Đặc biệt, một số giáo viên lúng túng trong quá trình dạy học khi thực hiện yêu cầu rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh. Những vấn đề đặt ra về lý luận và từ thực tiễn nói trên cần được nghiên cứu trong lĩnh vực phương pháp dạy học toán học. Phân môn toán nào cũng đòi hỏi phải rèn luyện cho HS thực hiện các thao tác tư duy, tuy nhiên trong luận án này, chúng tôi lựa chọn Đại số và Giải tích vì những lý do chính sau đây: - Đại số, đặc biệt là Giải tích ở trường THPT có nhiều khái niệm khó và quan trọng gắn liền với phạm trù vô hạn, với đại lượng vô cùng bé như khái niệm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, đạo hàm, nguyên hàm, ... Để hiểu được các khái niệm này và mối quan hệ giữa chúng đòi hỏi học sinh phải biết phân tích nội hàm và xác định rõ ngoại diên của chúng. Điều này cũng liên quan tới việc phát hiện dấu hiệu chung và bản chất của khái niệm, nhận dạng khái niệm và hình thành mối quan hệ của các khái niệm trong cùng một hệ thống. - Một số định lý của Đại số và Giải tích có cấu trúc phức tạp, có nhiều ứng dụng trong giải toán và trong thực tiễn, chẳng hạn định lý về dấu của tam thức bậc hai, định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục, các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số, hàm số, ... Dạy học những nội dung này đòi hỏi phải làm rõ ý nghĩa của từng yếu tố được cho trong giả thiết, xác định cấu trúc lôgic và khả năng vận dụng của định lý. - Mạch toán ứng dụng đã được tăng cường ở trường THPT, đặc biệt là một số yếu tố về đại số tổ hợp, xác suất và thống kê. Đối với HS, các khái niệm thuộc chủ đề này còn mới và khó, các bài toán đếm đa dạng, phong phú trong đời sống thực tiễn, có thể giải theo nhiều cách khác nhau, HS gặp nhiều sai lầm. Do đó, dạy học chủ đề này thích hợp với việc phát hiện dấu hiệu chung và bản chất của bài toán, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải và cách khắc phục, ... - Nhìn bề ngoài, Đại số và Giải tích có vẻ giống nhau, thực ra chúng khác nhau về bản chất. Trong khi Đại số gắn liền với các bất biến, hữu hạn hoặc vô hạn đếm được thì Giải tích lại nghiên cứu các đại lượng biến thiên, liên tục và gián đoạn, có lực lượng vô hạn không đếm được. Nếu GV không phân tích kỹ, đầy đủ, sâu sắc, thì việc dạy Giải tích sẽ bị "Đại số hóa", hạn chế rất nhiều đến khả năng tư duy của HS ở độ tuổi trưởng thành - chuyển từ việc nhìn thế giới theo quan điểm "tĩnh" sang quan điểm "động". Đã có nhiều công trình nghiên cứu về tư duy, về kỹ năng học toán cho HS trong đó có bàn đến các thao tác tư duy [6], [8], [36], [44], [50], [52], [61], [103], ... nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu một cách tương đối hệ thống và đầy đủ về việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy trong quá trình học toán, đặc biệt là đối với Giải tích và Đại số và cách thức rèn luyện các thao tác đó. Vì những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích" với mong muốn trình bày một cách có hệ thống về mặt lý luận và thực tiễn vấn đề thao tác tư duy và nêu một số biện pháp rèn luyện các thao tác đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy học bộ môn Đại số và Giải tích ở trường THPT.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO

HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán

Mã số: 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS TS TRẦN KIỀU

2 TS NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN - 2014

TN : Thực nghiệm

tr : Trang THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9

1.1 Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học 9

1.1.1 Khái niệm tư duy 9

1.1.2 Đặc điểm của tư duy 9

1.1.3 Một số vấn đề về tư duy toán học 11

1.2 Thao tác tư duy 12

1.2.1 Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy 12

1.2.2 Phân tích - Tổng hợp 15

1.2.3 So sánh 22

1.2.4 Tương tự hóa 24

1.2.5 Trừu tượng hóa - Khái quát hóa 28

1.2.6 Đặc biệt hóa 37

1.2.7 Mối liên hệ giữa các thao tác tư duy 39

1.3 Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy 41

1.3.1 Kỹ năng 41

1.3.2 Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy 44

1.3.3 Các cấp độ của kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy 44

1.4 Một số đặc điểm của học sinh Trung học phổ thông 45

1.4.1.Đặc điểm hoạt động học tập 45

1.4.2 Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ 46

1.4.3 Một số đặc điểm nhân cách chủ yếu 46

1.5 Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường Trung học phổ thông 47

1.5.1 Mục đích 47

1.5.2 Đối tượng khảo sát 47

1.5.3 Hình thức khảo sát 47

1.5.4 Kết quả khảo sát thực trạng 47

1.6 Kết luận chương 1 58

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 60

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp 60

duy cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích 60

2.2.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh phân tích nội hàm và ngoại diên của khái niệm toán học, cũng như khả năng vận dụng các khái niệm đó vào việc giải quyết các vấn đề toán học 60

2.2.2 Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh làm rõ ý nghĩa của từng yếu tố được cho trong giả thiết và tìm các khả năng vận dụng của định lý 69

2.2.3 Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh diễn đạt các định nghĩa, định lý và giải các bài toán theo những cách khác nhau 80

2.2.4 Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh tìm ra dấu hiệu chung và bản chất của các yếu tố và quan hệ trong một hoặc một lớp bài toán 97

2.2.5 Biện pháp 5: Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập kỹ năng tương tự hóa trong quá trình giải toán 111

2.2.6 Biện pháp 6: Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên cơ sở khai thác bài toán đã cho 117

2.2.7 Biện pháp 7: Xây dựng một số tình huống có chứa lời giải các bài toán với những sai lầm, hướng dẫn học sinh phân tích để giúp họ nhận ra các sai lầm thường gặp, qua đó tìm các biện pháp dạy học thích hợp để khắc phục 128

2.3 Kết luận chương 2 143

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 145

3.1 Mục đích thực nghiệm 145

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 145

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 145

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 146

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 152

3.3.1 Đánh giá định tính 152

3.3.2 Đánh giá định lượng 154

3.4 Kết luận chương 3 160

KẾT LUẬN 161

TÀI LIỆU THAM KHẢO 163

PHẦN PHỤ LỤC 171

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Để tồn tại và phát triển, con người có nhu cầu và yêu cầu phải nhận thức các

sự vật, hiện tượng và kể cả chính mình Nói cách khác, con người cần phải tư duy Mỗi sự vật và hiện tượng đều có những dấu hiệu, thuộc tính, cần phải biết phân tích,

so sánh và tổng hợp để tìm được các dấu hiệu, thuộc tính bản chất của các sự vật và hiện tượng hướng tới mục đích nhận thức Quá trình nhận thức trên cũng phải tiến hành các thao tác tư duy khác như tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa để có được các tri thức đầy đủ, chính xác về các sự vật hay hiện tượng ấy

Quá trình nhận thức nói trên là kết quả của tư duy

Trong học tập nói chung, học tập toán nói riêng, để hình thành một khái niệm, người học phải suy nghĩ, phân tích để tìm ra các thuộc tính của khái niệm, thuộc tính nào là thuộc tính bản chất, thuộc tính nào là đặc trưng, phân chia khái niệm thành các bộ phận theo các thuộc tính đó để hiểu khái niệm một cách đầy đủ, sâu sắc hơn, Nhờ phân tích, con người tách ra các thuộc tính của các đối tượng, còn nhờ tổng hợp, con người hợp nhất các thuộc tính bản chất, tách chúng ra khỏi các thuộc tính còn lại, không bản chất, đưa các thuộc tính bản chất này vào một thể thống nhất, đó là khái niệm Để tiếp thu một định lý, HS phải biết phân tích được giả thiết và kết luận của định lý, các cách chứng minh định lý và vận dụng định lý vào giải các bài tập cụ thể, Khi giải một bài tập, HS phải biết phân tích cấu trúc của bài tập đó, cái đã cho và cái phải tìm, huy động các kiến thức liên quan để tìm cách giải bài tập, so sánh các cách giải để tìm lời giải tối ưu, từ trường hợp đặc biệt

có thể khái quát hóa để tìm bài toán tổng quát,

Từ đó có thể thấy, quá trình học toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, Chính vì vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của việc giảng dạy toán là dạy cách nghĩ, dạy tư duy, dạy cho học sinh biết các loại thao tác

tư duy, ý nghĩa và tác dụng của từng loại thao tác, mối quan hệ giữa các thao tác, cách thức phối hợp các thao tác Tư duy phải được phát triển trong quá trình học thông qua việc được thường xuyên rèn luyện, mà trước hết là rèn luyện các thao tác

tư duy Rèn luyện các thao tác tư duy được quan niệm như thế nào là đầy đủ và đúng đắn, hoạt động đó phụ thuộc những yếu tố nào, về mặt sư phạm nên được tổ

chức ra sao là những vấn đề quan trọng cần được nghiên cứu Đây là những vấn

đề thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học

Vai trò quan trọng của các thao tác tư duy và yêu cầu phải rèn luyện các thao tác đó cần thiết như đã nêu ở trên, nhưng trong thực tiễn giảng dạy toán ở trường phổ thông chưa được chú ý thích đáng Tác giả luận án do công việc phải đảm nhiệm đã có nhiều cơ hội tiếp cận thực tiễn dạy học toán thông qua dự giờ, trao đổi

ý kiến với giáo viên, học sinh, qua nghiên cứu các báo cáo về tình hình giảng dạy học tập của một số trường đã rút ra một số nhận xét chung, đó là: Một số giáo viên nhận thức về vai trò, ý nghĩa, tác dụng của tư duy, của các thao tác tư duy còn hạn chế Một số giáo viên khác mặc dù nhận thức đúng về vai trò, ý nghĩa, tác dụng của các thao tác tư duy nhưng chưa thực hiện một cách có kết quả nhiệm vụ dạy cách tư duy cho học sinh khi học toán Đặc biệt, một số giáo viên lúng túng trong quá trình dạy học khi thực hiện yêu cầu rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh

Những vấn đề đặt ra về lý luận và từ thực tiễn nói trên cần được nghiên cứu trong lĩnh vực phương pháp dạy học toán học

Phân môn toán nào cũng đòi hỏi phải rèn luyện cho HS thực hiện các thao tác tư duy, tuy nhiên trong luận án này, chúng tôi lựa chọn Đại số và Giải tích vì những lý do chính sau đây:

- Đại số, đặc biệt là Giải tích ở trường THPT có nhiều khái niệm khó và quan trọng gắn liền với phạm trù vô hạn, với đại lượng vô cùng bé như khái niệm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, đạo hàm, nguyên hàm, Để hiểu được các khái niệm này và mối quan hệ giữa chúng đòi hỏi học sinh phải biết phân tích nội hàm và xác định rõ ngoại diên của chúng Điều này cũng liên quan tới việc phát hiện dấu hiệu chung và bản chất của khái niệm, nhận dạng khái niệm và hình thành mối quan hệ của các khái niệm trong cùng một hệ thống

- Một số định lý của Đại số và Giải tích có cấu trúc phức tạp, có nhiều ứng dụng trong giải toán và trong thực tiễn, chẳng hạn định lý về dấu của tam thức bậc hai, định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục, các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số, hàm số, Dạy học những nội dung này đòi hỏi phải làm rõ ý nghĩa của từng yếu tố được cho trong giả thiết, xác định cấu trúc lôgic và khả năng vận dụng của định lý

- Mạch toán ứng dụng đã được tăng cường ở trường THPT, đặc biệt là một

số yếu tố về đại số tổ hợp, xác suất và thống kê Đối với HS, các khái niệm thuộc chủ đề này còn mới và khó, các bài toán đếm đa dạng, phong phú trong đời sống

thực tiễn, có thể giải theo nhiều cách khác nhau, HS gặp nhiều sai lầm Do đó, dạy học chủ đề này thích hợp với việc phát hiện dấu hiệu chung và bản chất của bài toán, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải và cách khắc phục,

- Nhìn bề ngoài, Đại số và Giải tích có vẻ giống nhau, thực ra chúng khác nhau về bản chất Trong khi Đại số gắn liền với các bất biến, hữu hạn hoặc vô hạn đếm được thì Giải tích lại nghiên cứu các đại lượng biến thiên, liên tục và gián đoạn, có lực lượng vô hạn không đếm được Nếu GV không phân tích kỹ, đầy đủ, sâu sắc, thì việc dạy Giải tích sẽ bị "Đại số hóa", hạn chế rất nhiều đến khả năng tư duy của HS ở độ tuổi trưởng thành - chuyển từ việc nhìn thế giới theo quan điểm

"tĩnh" sang quan điểm "động"

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về tư duy, về kỹ năng học toán cho HS trong đó có bàn đến các thao tác tư duy [6], [8], [36], [44], [50], [52], [61], [103], nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu một cách tương đối hệ thống và đầy đủ về việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy trong quá trình học toán, đặc biệt là đối với Giải tích và Đại số và cách thức rèn luyện các thao tác đó Vì những

lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích" với mong

muốn trình bày một cách có hệ thống về mặt lý luận và thực tiễn vấn đề thao tác tư duy và nêu một số biện pháp rèn luyện các thao tác đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy học bộ môn Đại số và Giải tích ở trường THPT

2 TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI

Vấn đề tư duy thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và nhiều nhà khoa học trên thế giới Tư duy không chỉ được nghiên cứu ở phương diện triết học mà còn được nghiên cứu ở nhiều phương diện khác như Lôgic học, Xã hội học, Sinh lý học, Tâm lý học, Lý luận dạy học, Triết học nghiên cứu tư duy dưới góc độ lý luận nhận thức Lôgic học nghiên cứu tư duy dưới góc độ các quy tắc tư duy đúng Xã hội học nghiên cứu tư duy ở sự phát triển của quá trình nhận thức trong các chế độ xã hội khác nhau Sinh lý học nghiên cứu cơ chế hoạt động thần kinh cao cấp với tư cách là nền tảng vật chất của các quá trình tư duy ở con người Điều khiển học nghiên cứu tư duy để có thể tạo ra “Trí tuệ nhân tạo” Tâm lý học nghiên cứu diễn biến của quá trình tư duy, mối quan hệ qua lại cụ thể của tư duy với

các khía cạnh khác của nhận thức

Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lý học X L Rubinstein đã viết: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy”

Tư duy là một quá trình tâm lý, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau được nhà tâm lý học

K K Platônôp minh họa bởi sơ đồ [102, tr 116]:

Tuy nhiên, tính giai đoạn của quá trình tư duy chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn nội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình tư

duy lại là một quá trình phức tạp, diễn ra trên cơ sở của những thao tác tư duy, còn gọi

là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr 116]

2.1 Tình hình nghiên cứu ở nước ngoài

Một số tác giả nước ngoài đề cập đến thao tác tư duy, nêu định nghĩa của một

số thao tác và mối quan hệ giữa chúng, chẳng hạn như:

G Polya cho rằng thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa [77] Ông cũng đã đưa ra một số ví dụ về toán học minh họa cho các thao tác đó

G Polya trong [75] đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán, trong mỗi bước tác giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán Có thể thấy

Nhận thức vấn đề

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hóa Tìm giả thuyết mới

Giải quyết vấn đề Hành động tư duy mới

Xuất hiện các liên tưởng

trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với nhau Trong phân tích có tổng hợp (tổng hợp thành phần) và trong quá trình tổng hợp phải có phân tích (đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình tổng hợp)

M N Sácđacôp cho rằng: tư duy được thực hiện và phát triển trong những hình thức riêng của nó: phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên hệ và quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng [82], [83] Những ví dụ được ông nêu trong [82], [83] đều không thuộc về toán học

Trong [103], Đào Văn Trung có nói đến năng lực khái quát hóa và đưa ra một số ví dụ về toán học

2.2 Tình hình nghiên cứu ở trong nước

Trong nước chưa có công trình nào của các tác giả đề cập đến định nghĩa thao tác tư duy mà chỉ nêu lên thao tác tư duy bao gồm những thao tác nào, nêu định nghĩa của một số thao tác và mối quan hệ giữa chúng, chẳng hạn như:

Các nhà tâm lý học trong các công trình [94], [95], [106], [107], [108] cho rằng thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa

Nguyễn Bá Kim không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt động trí tuệ

cơ bản, bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa [52], [54]

Hoàng Chúng cho rằng thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa [8]

Trong Giáo dục học môn Toán, các tác giả có đề cập đến trừu tượng hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa [33]

Qua tìm hiểu một số công trình như đã nêu ở trên, có thể thấy:

- Quan niệm về các thao tác tư duy chưa nhất quán

- Chưa làm rõ thứ tự để tiến hành các thao tác tư duy

- Chưa cụ thể hóa các thao tác tư duy biểu hiện trong dạy học Toán như thế nào

- Chưa có đánh giá về thực trạng của việc thực hiện các thao tác tư duy ở trường Trung học phổ thông một cách khá toàn diện và cụ thể

- Thiếu các biện pháp dạy học cụ thể nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy

2.3 Định hướng nghiên cứu của tác giả

- Đưa ra trật tự để tiến hành một số thao tác tư duy

- Đưa ra một quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh Trung học phổ thông

- Tìm hiểu thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy của GV và HS Trung học thông qua dạy học môn Đại số và Giải tích

- Xây dựng một số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh Trung học phổ thông

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện pháp đề xuất

3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của luận án là nghiên cứu để làm sáng tỏ các thao tác tư duy về các khía cạnh: khái niệm, vai trò, tính phổ dụng trong nhận thức nói chung và trong giáo dục toán học nói riêng, đồng thời nghiên cứu để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện thao tác tư duy

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận án có nhiệm vụ làm sáng tỏ các vấn đề sau:

- Quan niệm về thao tác tư duy, các loại thao tác tư duy, sự cần thiết phải chú

ý rèn luyện chúng;

- Xem xét thao tác tư duy từ bình diện hoạt động;

- Các thao tác tư duy trong dạy học toán;

- Thực trạng rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học toán ở THPT;

- Đề xuất các biện pháp dạy học để rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy;

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các

biện pháp đã đề xuất

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm hợp lý, khả thi, có cơ sở khoa học xác đáng thì có thể phát triển kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS, góp

phần nâng cao chất lượng dạy học môn Đại số và Giải tích ở trường THPT

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

6.1 Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài

nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài

6.2 Điều tra, quan sát: Nhận thức và thực trạng dạy học của giáo viên toán

THPT về bồi dưỡng kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS

6.3 Thực nghiệm sư phạm

7 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN

7.1 Về mặt lý luận

7.1.1 Làm sáng tỏ tính phổ dụng, vai trò và vị trí của các thao tác tư duy

trong dạy học toán

7.1.2 Đưa ra một quan niệm về hành động tư duy trong mối quan hệ với thao

tác tư duy

7.1.3 Đưa ra một quan niệm về kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy và quy

trình rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS THPT trong học tập toán

7.1.4 Nêu được một số khó khăn và sai lầm của HS khi đứng trước những

vấn đề toán học mà việc giải quyết những vấn đề đó đòi hỏi phải có kỹ năng về các thao tác tư duy

7.1.5 Nêu được cơ sở khoa học cho các biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ

năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh

7.2 Về mặt thực tiễn

7.2.1 Xây dựng một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS THPT

7.2.2 Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán

nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT

8 NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ

8.1 Quan niệm về các thao tác tư duy, trật tự để tiến hành một số thao tác 8.2 Quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS

THPT

8.3 Thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy ở Trường THPT

8.4 Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các

thao tác tư duy cho HS THPT

9 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung Luận án gồm

có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học

1.2 Thao tác tư duy

1.3 Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy

1.4 Đặc điểm tâm lý của HS THPT

1.5 Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường THPT

1.6 Kết luận chương 1

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp

2.2 Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích

2.3 Kết luận chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chương 3

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học

1.1.1 Khái niệm tư duy

Để tồn tại và phát triển trong cuộc sống, con người cần phải nhận thức các hiện tượng, các sự vật, các quá trình của tự nhiên, của xã hội và của chính bản thân

để hiểu về bản chất, mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của chúng Quá trình nhận thức đó bao gồm nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính Quá trình nhận thức lý tính được gọi là tư duy

Có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy của các nhà tâm lý học X L Rubinstein cho rằng: "Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể" (dẫn theo [15, tr 246]) Trong các tài liệu [95], [106], [107], [108], các tác giả cho rằng: "Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan" "Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó

Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó" (dẫn theo [93, tr 8])

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Theo [95], [106], [107], [108], tư duy có những đặc điểm cơ bản sau đây:

- Tính "có vấn đề" của tư duy

Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống "có vấn đề" Tình huống "có vấn đề" là tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ không đủ sức giải quyết Muốn giải quyết vấn đề mới đó, để đạt được mục đích mới đó, con người phải tìm cách thức giải quyết mới, tức con người phải tư duy

Ví dụ 1.1: Sau khi HS đã được học cách giải phương trình bậc hai, thầy giáo

yêu cầu các em giải phương trình sau:(x2 +3x)(x2 +3x+2)−3=0 Giải phương trình này là một tình huống có vấn đề với các em tại thời điểm đó vì chưa có một thuật giải nào có thể giúp các em giải được một phương trình bậc bốn Do đó, buộc

các em phải suy nghĩ để tìm cách giải phương trình trên Các em tìm thấy hứng thú trong việc tìm lời giải bởi vì có biểu thức đồng dạng x2 +3x giúp các em liên tưởng tới đặt ẩn phụ Và sau khi đặt ẩn phụ t = x2 +3x thì phương trình ban đầu trở thành phương trình t2 +2t−3=0 đã có thuật giải

- Tính gián tiếp của tư duy

Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (khái niệm, phán đoán, quy luật, ) vào quá trình tư duy

để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tượng Trong quá trình tư duy, con người sử dụng những công cụ, phương tiện (đồng hồ, nhiệt kế, máy móc, )

để nhận thức đối tượng mà không thể trực tiếp tri giác chúng

- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy

Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung, bản chất cho nhiều sự vật và hiện tượng Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù

Ví dụ 1.2: Công thức tính diện tích tam giác S ah a

2

1

= , trong đó h a là độ dài đường cao hạ từ đỉnh A, a là độ dài cạnh đối diện đỉnh A (diện tích tam giác bằng một nửa đường cao nhân với cạnh đáy) Để có được công thức tổng quát trên, chúng

ta đã gạt bỏ những chi tiết không quan trọng như tam giác gì, làm bằng chất liệu nào, độ dài các cạnh có mối quan hệ như thế nào, đặt trong phẳng hay trong không

gian, mà chỉ giữ lại yếu tố bản chất là độ dài đường cao và độ dài cạnh đáy để có

được công thức mang tính khái quát trên

- Tư duy liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ

Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được, đồng thời các sản phẩm của tư duy (khái niệm, phán đoán, quy luật, ) cũng không được chủ thể và người khác tiếp nhận Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của

tư duy, là vỏ vật chất của tư duy và là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là chuỗi âm thanh vô nghĩa Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy

- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lý học X L Rubinstein đã viết: "Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy"

Tư duy là một quá trình tâm lý, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc

1.1.3 Một số vấn đề về tư duy toán học

Cũng như những lĩnh vực khác của đời sống xã hội, toán học với tư cách là một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng vô cùng đa dạng, phong phú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng và phương pháp nghiên cứu cũng là một đối tượng của tư duy, và như là một tất yếu, xuất hiện tư duy toán học

"Để nhận thức được mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng,

và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy lôgic Do đó, tư duy toán học là sự thống nhất giữa tư duy biện chứng và tư duy lôgic Theo đó, tư duy toán học cũng có những cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thức cảm tính - nhận thức lý tính, cái chung - cái riêng, cái bản chất - cái không bản chất" [33, tr 60-61] Luận điểm nói trên cần được vận dụng một cách cụ thể và thích hợp vào việc dạy học nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh

Giáo dục toán học cho HS nhằm đạt các mục tiêu:

- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản được chọn lựa cho phù hợp với đặc điểm của đối tượng Toán học một cách có hệ thống;

- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo toán học;

- Phát triển tư duy toán học cho HS (dẫn theo [93, tr 12])

Tư duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của

HS, nhưng nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt được mức độ mong muốn về kiến thức và kỹ năng trong quá trình dạy học toán

Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến về tư duy toán học như sau:

Viện sĩ B V Gơnhedencô đưa ra một số yêu cầu đối với tư duy toán học, đó là:

- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận;

- Thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;

- Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;

- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký hiệu (dẫn theo [93, tr 15])

Nhà toán học A Ia Khinsin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư duy toán học là:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia rành mạch các bước suy luận;

- Sử dụng chính xác các ký hiệu;

- Tính có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở (dẫn theo [33, tr 127])

A I Marcusêvich nhấn mạnh đến những kỹ năng cần được bồi dưỡng cho

HS trong dạy học Toán là:

- Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản chỉ để giữ lại bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa;

- Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho;

- Kỹ năng phân tích vấn đề thành những trường hợp riêng;

- Kỹ năng khái quát hóa kết quả nhận được và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái quát;

- Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tượng sao cho chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;

- Kỹ năng xây dựng các kết luận được rút ra từ các suy luận, đối chiếu kết quả đó với các điều được dự kiến;

- Kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến sự tin cậy, (dẫn theo [93, tr 16])

1.2 Thao tác tư duy

1.2.1 Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy

Về mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy, có hai cách giải thích như sau:

Nhiều nhà tâm lý học (trong đó có J Piaget) cho rằng:

- Hành động (Action) là các ứng xử của cá nhân đối với sự tác động của các yếu tố môi trường bên ngoài;

- Thao tác (Operations) là các hành động đã được chuyển vào bên trong (hành động bên ngoài được nội hiện) và đã được rút gọn

Đối tượng của thao tác tư duy không phải là sự vật có thực như của hành động, mà là những hình ảnh, biểu tượng, ký hiệu Như vậy, thao tác tư duy là hành động tinh thần, chứ không phải là hành động thực, vật chất ở bên ngoài [68, tr 73]

Cách giải thích của A N Lêônchiep và các nhà tâm lý học cùng xu hướng có phần khác với cách hiểu trên khi xem xét tư duy từ bình diện hoạt động Các nhà tâm lý học này giải thích hành động và thao tác trong cấu trúc chung của hoạt động

Sự giống nhau và khác nhau giữa chúng thể hiện như sau:

- Hành động tư duy được hiểu là hành động tâm lý trọn vẹn, chịu sự chi phối

bởi một mục đích được ý thức (hành động tâm lý có thể hiểu là làm một việc nào đó

có mục đích);

- Thao tác là phương tiện, là cơ cấu kỹ thuật, là phương thức hành động để triển khai đến mục đích đó Thao tác không có mục đích tâm lý riêng, nó chỉ là phương tiện để thực hiện mục đích của một hành động nào đó;

- Thao tác và hành động có chung lôgic;

- Cấu trúc của thao tác được định hình trong các phương tiện (công cụ) kỹ

thuật Vì vậy, quá trình hình thành thao tác thực chất là quá trình học cách sử dụng các công cụ đó Thời kỳ đầu, quá trình học này chính là hành động tâm lý Sau đó, hành động được luyện tập và kỹ thuật hoá để trở thành thao tác

- Cùng một mục đích nhưng trong những điều kiện khác nhau, chủ thể hành động phải có các thao tác khác nhau

Như vậy, mặc dù thao tác khác hành động, nhưng nó được sinh ra từ hành động, kỹ thuật hoá nó, tước bỏ mục đích và chuyển nó vào trong một hành động

khác Khi chuyển thành thao tác, hành động được rút gọn và thuần thục [68] Vì vậy, thao tác gắn bó chặt chẽ với kỹ năng

Quá trình tư duy nảy sinh khi con người có nhu cầu giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó, không thể tách tư duy ra khỏi tâm lý nói chung trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức Bởi vì, tâm lý về bản chất là hoạt động, cho nên tham gia vào tâm lý với tư cách yếu tố cấu thành nó, không chỉ có các đối tượng tinh thần (các biểu tượng, các khái niệm), mà còn có các hành động tinh thần (hành động tri giác, hành động tưởng tượng, hành động xúc cảm, ) Với ý nghĩa đó, có thể xem xét tư duy với tư cách là một hoạt động của con người, là một hoạt động trí tuệ với các hành động và thao tác đặc trưng Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến quá trình tư duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức Mỗi hành động trí tuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trong một trật tự xác định và phù hợp với những quy tắc nhất định Từ đó, một tập hợp các hành động trí tuệ như là một chỉnh thể để giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi là hoạt động trí tuệ trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy [33]

Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn, tuy nhiên tính giai đoạn của quá trình tư duy chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn nội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình tư duy lại là một quá trình phức tạp,

diễn ra trên cơ sở của những thao tác tư duy, và như quan điểm đã nêu trên, còn gọi

là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr 116]

Xét về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác tư duy

để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra Cá nhân có tư duy hay không chính là ở chỗ họ có tiến hành các thao tác tư duy trong đầu mình hay không Do vậy, thao tác

tư duy còn được gọi là quy luật bên trong của tư duy [107, tr 116]

Thao tác tư duy không đồng nhất với tư duy Quá trình tư duy là quá trình thực hiện các thao tác tư duy để đạt được mục đích Việc rèn luyện các thao tác tư duy cuối cùng cũng nhằm vào mục đích chung là phát triển tư duy cho HS, một trong các mục tiêu chính của việc dạy học Có thể liệt kê, mô tả một số thao tác tư duy cụ thể dưới đây của các nhà khoa học:

Theo M N Sácđacôp [82], tư duy được thực hiện và phát triển trong những hình thức riêng của nó: phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên hệ và quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng

Theo G Polya [77], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa

Trong [95], [106], [10], [108], các tác giả cho rằng thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa

Nguyễn Bá Kim trong [54] không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt động trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa

Theo tác giả Hoàng Chúng [8], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp,

so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa

Từ phân tích và tổng hợp các ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng thao tác tư

duy là một hành động tư duy được kỹ thuật hóa và đã rút gọn, có thể rèn luyện để

đạt được các mức độ nhất định Việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh

chính là việc tập luyện các hành động tư duy Trong luận án, chúng tôi tập trung

nghiên cứu các thao tác tư duy sau: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa,

trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa

Tương ứng với các thao tác tư duy trên, cũng có thể nói là có các hành động

tư duy, đó là các hành động phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa xét từ bình diện hoạt động trí tuệ

1.2.2 Phân tích - Tổng hợp

1.2.2.1 Phân tích

Thế giới vật chất khách quan là một tổng thể các sự vật, hiện tượng, biến cố

và các quá trình nguyên vẹn mà mỗi sự vật, biến cố và quá trình đó bao gồm nhiều

bộ phận riêng biệt với các dấu hiệu và thuộc tính riêng Việc nhận thức các sự vật

và hiện tượng của thế giới đòi hỏi phải nghiên cứu, phân tích các bộ phận theo các dấu hiệu và thuộc tính của chúng Các bộ phận của bất kỳ một sự vật nguyên vẹn nào cũng có những mối quan hệ và liên hệ nhất định với nhau Cho nên để nhận thức một sự vật nguyên vẹn cần phải phân tích, nghiên cứu các mối quan hệ và liên

hệ giữa các bộ phận đó Nghiên cứu một sự vật nguyên vẹn với các bộ phận của nó, cũng như các mối liên hệ, quan hệ giữa các bộ phận càng chi tiết bao nhiêu thì càng nhận thức nó một cách sâu sắc bấy nhiêu

Việc nghiên cứu có phân tích không phải là sự liệt kê đơn giản hoặc chỉ là việc lần lượt nghiên cứu các yếu tố của sự vật nguyên vẹn với các dấu hiệu của chúng và các mối liên hệ giữa chúng Phân tích luôn luôn là một việc làm có mục đích, được thực hiện theo một định hướng nào đó Ý nghĩa tổng hợp ban đầu của sự vật nguyên vẹn và mục đích hoạt động sẽ xác định phương hướng và góc độ của sự nghiên cứu có phân tích Ví dụ, việc phân tích một định lý để tìm cách chứng minh

nó có thể được tiến hành bằng cách phân tích cấu trúc lôgic của định lý, giả thiết của định lý, kết luận của định lý, các phương pháp chứng minh một định lý,

Xét từ bình diện của triết học thì: "Phân tích là phương pháp phân chia cái toàn thể ra thành từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên cứu và hiểu được các bộ phận, mặt, yếu tố đó" [100, tr 86]

Ngoài ra,còn có rất nhiều định nghĩa khác nhau về phân tích của các nhà khoa học, chẳng hạn như: "Phân tích là quá trình dùng trí óc để tách đối tượng nhận thức thành những bộ phận, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ giữa chúng để nhận thức đối tượng sâu sắc hơn" [95], [106], [10], [108] "Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ" [54, tr 46] "Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định Quá trình đó nhằm mục

đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính vì vậy mới nhận thức được

trọn vẹn các sự vật và hiện tượng" [82, tr 88] "Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn

thể ra thành từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó" [8, tr 16] "Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân cái toàn thể ra từng bộ phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hóa đi một mặt nào

đó những dấu hiệu và những phần riêng lẻ nào đó" [33, tr 109] "Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Sau khi đã chia ra như vậy, mỗi bộ phận đều phải được nghiên cứu để cho sự hiểu biết sâu hơn, chi tiết hơn" [97, tr 122]

Mỗi một đối tượng, mỗi một quan hệ mà chúng ta nghiên cứu đều có những thuộc tính, trong số các thuộc tính này có những thuộc tính bản chất, thuộc tính không bản chất, thuộc tính chung, thuộc tính đặc trưng Trong [18], nhóm tác giả cho rằng: Thuộc tính bản chất là thuộc tính gắn liền với một đối tượng Nếu mất thuộc tính bản chất thì đối tượng đã cho sẽ trở thành một đối tượng khác Thuộc tính bản chất là điều kiện cần thiết để phân biệt đối tượng này với đối tượng khác Thuộc tính đặc trưng là thuộc tính chỉ đối tượng đó mới có Thuộc tính đặc trưng là điều kiện cần

và đủ của khái niệm Thuộc tính chung là thuộc tính mà nhiều đối tượng cùng có

Ví dụ 1.3: Phân tích khái niệm hình chữ nhật

Nhìn hình chữ nhật là một tứ giác từ các thuộc tính của cạnh, góc, đường chéo ta thấy:

- Nhìn từ yếu tố cạnh: Đa giác lồi có 4 cạnh (tứ giác); tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau; tứ giác có các cặp cạnh đối diện bằng nhau; tứ giác có hai cạnh kề nhau vuông góc với nhau

- Nhìn từ yếu tố góc: Tứ giác có 4 góc bằng nhau; tứ giác có 4 góc vuông; tứ giác có tổng các góc đối diện bằng 0

180

- Nhìn từ yếu tố đường chéo: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; tứ giác có hai đường chéo bằng nhau

Tất cả các thuộc tính trên đều là thuộc tính bản chất của hình chữ nhật, còn

độ lớn của các cạnh, vị trí của hình, chất liệu làm nên hình, màu sắc của hình, là các thuộc tính không bản chất Tuy nhiên, không phải thuộc tính bản chất nào cũng

là thuộc tính đặc trưng của hình chữ nhật Chẳng hạn, thuộc tính "tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau" không phải là thuộc tính đặc trưng vì không phải "tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau" nào cũng đều là hình chữ nhật Phân tích mối quan hệ giữa các thuộc tính chúng ta thấy các thuộc tính "tứ giác có các

cặp cạnh đối song song với nhau", "tứ giác có các cặp cạnh đối diện bằng nhau",

"tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường" có thể kéo theo nhau (đó chính là các thuộc tính đặc trưng của khái niệm hình bình hành); "tứ giác

có các cặp cạnh đối song song với nhau" có thể kéo theo "tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau" và ngược lại; "tứ giác có một cặp cạnh đối song song

và bằng nhau" cùng với "tứ giác có hai cạnh kề nhau vuông góc với nhau" có thể kéo theo "tứ giác có 4 góc vuông" và ngược lại; "tứ giác có 4 góc vuông" có thể kéo theo "tứ giác có hai đường chéo bằng nhau" và ngược lại (đây chính là các thuộc tính đặc trưng của khái niệm hình chữ nhật)

Từ các quan niệm đã nêu, tuy có một vài điểm khác, nhưng tựu trung lại phân tích thực chất là tìm cho ra cấu trúc của sự vật và hiện tượng bao gồm những thành phần chủ yếu nào, quan hệ giữa các thành phần đó như thế nào, mỗi một thành phần như vậy với tư cách là một bộ phận của cái chung lại bao gồm những gì Phân tích là làm nhiệm vụ tách cấu trúc, nhận thức cấu tạo của bộ phận, mối quan

hệ giữa các bộ phận, nhiệm vụ cuối cùng là hiểu được bản chất của đối tượng, sự vật, hiện tượng Trên cơ sở phân tích các định nghĩa đó, có thể quan niệm về phân

tích như sau: Phân tích là quá trình dùng trí óc tách cái toàn thể ra từng bộ phận theo các dấu hiệu và thuộc tính của chúng nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ

và sâu sắc hơn

Chúng ta có thể xem có hai hình thức phân tích như sau:

Hình thức thứ nhất, đó là tách vấn đề thành các bộ phận theo một tiêu chí Chẳng hạn như phân tích khái niệm số nguyên thành hai bộ phận: số chẵn và số lẻ; phân tích khái niệm số nguyên thành ba bộ phận: chia cho 3 dư 1, chia cho 3 dư 2 và chia hết cho 3; phân tích biệt thức ∆=b2 −4ac của tam thức bậc hai

( )x =ax2 +bx+c(a ≠0)

f (trong tập số thực) thành ba trường hợp: ∆>0,∆<0 và 0

=

∆ , Việc tách như thế nào tùy từng đặc điểm, yêu cầu, mục đích của bài toán Hình thức phân tích thứ hai, đó là tách ra một thành phần, tập trung chú ý vào thành phần đó, thu thập các thông tin từ việc nghiên cứu thành phần vừa tách

ra Chẳng hạn, trong một phương trình, tách vế phải của phương trình, quan sát, xem xét các phép toán, các con số trong biểu thức vế phải, từ đó đưa ra các thông tin về biểu thức này Tiếp tục tách vế trái của phương trình và rút ra các thông tin thu nhận được từ vế trái

1.2.2.2 Tổng hợp

Xét từ bình diện của triết học thì: "Tổng hợp là phương pháp dựa vào sự phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố, để nhận thức được cái toàn thể" [100, tr 86]

Ngoài ra, còn có rất nhiều định nghĩa khác nhau về tổng hợp của các nhà khoa học, chẳng hạn như: "Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống" [54, tr 46] "Tổng hợp là một hoạt động nhận thức, phản ánh của tư duy, biểu hiện trong việc xác lập tính chất thống nhất của các phẩm chất và thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được, trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ và các quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong việc liên kết và kết hợp chúng và chính như vậy là đã thu được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới" [82, tr 97] "Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể" [8, tr 16] "Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những bộ phận, những thuộc tính, những thành phần đã được phân tách nhờ phân tích thành một chỉnh thể" [107, tr 116] "Tổng hợp là kết các phần riêng lẻ lại, là khái quát các dấu hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn" [33, tr 110] "Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, cố mô tả được bức tranh toàn cảnh của cả chỉnh thể, các mối quan hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chỉnh thể với môi trường xung quanh" [97, tr 125]

Ví dụ 1.4: Từ việc phân tích các thuộc tính của hình chữ nhật nhìn từ các góc

độ cạnh, góc, đường chéo và mối quan hệ giữa các đối tượng đó, tổng hợp lại chúng

ta có định nghĩa về khái niệm hình chữ nhật dựa trên các thuộc tính đặc trưng của nó: "Hình chữ nhật là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau"; "hình chữ nhật

là hình bình hành có một góc vuông"; "hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông"

Mặc dù có nhiều định nghĩa khác nhau về tổng hợp nhưng đều thống nhất rằng tổng hợp là kết hợp các thành phần đã được tách nhờ phân tích thành một chỉnh thể nguyên vẹn, cuối cùng nhìn nhận lại để biết được các thuộc tính của đối tượng, dấu hiệu bản chất của đối tượng Trên cơ sở các định nghĩa trên, có thể thống

nhất quan niệm về tổng hợp: Tổng hợp là quá trình dùng trí óc liên kết những bộ phận, những thuộc tính, những thành phần đã được tách nhờ phân tích thành một chỉnh thể theo một mục đích xác định nhằm đem lại một kết quả mới, một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực

Tương ứng với hai hình thức của phân tích, có hai hình thức tổng hợp sau: Hình thức tổng hợp thứ nhất đó là nhập các đối tượng vừa phân tích, chẳng hạn như hợp nhất hai đối tượng số chẵn và số lẻ sẽ được khái niệm số nguyên Hình thức thứ hai là gắn một thông tin vừa thu nhận được từ việc tách một bộ phận ra nghiên cứu vào cái toàn thể, chẳng hạn như từ việc nghiên cứu vế trái của phương trình có thể đưa ra thông tin về vế trái là hàm số đồng biến, gắn thông tin này vào cái toàn thể là phương trình, ta thu nhận được phương trình này có vế trái là một hàm số đồng biến

Ngoài hai hình thức tổng hợp trên, có thể có một hình thức khác của tổng hợp, đó là trước tiên nhìn nhận sự vật hay hiện tượng trong sự toàn vẹn của nó một

cách bao quát để định hướng cho sự phân tích

1.2.2.3 Mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp

Có nhiều luận điểm nói về mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp, chẳng hạn như: "Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại

là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều được diễn ra trên nền tảng phân tích

và tổng hợp" [54, tr 46] "Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ qua lại mật thiết với nhau, tạo thành sự thống nhất không tách rời được: Sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp, còn sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích" [107, tr 116] "Là những thao tác trái ngược nhau, phân tích và tổng hợp đồng thời lại liên hệ chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình thống nhất" [8, tr 16] F Engels viết: " Trước hết, chúng ta thấy bức tranh tổng quát, trong đó các chi tiết còn mờ nhạt ít nhiều Nhưng dù đã nắm được toàn bộ tính chất chung của bức tranh các hiện tượng đến thế nào đi nữa, cách nhìn ấy vẫn không đủ để giải thích những chi tiết kết thành toàn bộ bức tranh ấy, và chừng nào chúng ta chưa giải thích nổi các chi tiết thì chúng ta cũng chưa thể có một quan niệm rõ rệt về bức tranh chung được" (dẫn theo [82, tr 105]).Đây chính là lý do để tiến hành thao tác phân tích nhằm hướng tới tổng hợp ở mức độ nhận thức cụ thể và sâu sắc hơn

Nhận thức luôn luôn bắt đầu từ sự tri giác và sự thông hiểu cái nguyên vẹn,

từ sự tổng hợp, bởi vì hiện thực cụ thể tồn tại trong các sự vật và hiện tượng nguyên vẹn Những tri giác tổng hợp ban đầu cung cấp cho chúng ta tri thức tổng quát, tản mạn về các sự vật hiện tượng Nhưng sự tổng hợp ban đầu đó thường xác định được phương hướng nghiên cứu phân tích các sự vật hoặc hiện tượng Sự phân tích ban đầu xuất phát từ tri thức tổng hợp, nó chỉ có ý nghĩa trong mối tương quan với tổng

hợp [82, tr 102] I P Páplốp viết: "Trong thực tế, trước khi phân tích thì đã có một hiện tượng thần kinh đặc biệt, một loại hoạt động tổng hợp" (dẫn theo [82, tr 102])

Về sau, chúng ta nghiên cứu các bộ phận của một sự vật nguyên vẹn với các phẩm chất và thuộc tính của nó trong các mối quan hệ giữa chúng theo một phương hướng nhất định sẽ giúp ta có một nhận thức tổng hợp đầy đủ hơn và sâu sắc hơn về sự vật

và hiện tượng đó

Đồng thời với sự tổng hợp trên, sự phân tích đi càng xa và càng sâu bao nhiêu, thì sự tổng hợp càng trở nên đầy đủ bấy nhiêu, tri thức về sự vật hoặc hiện tượng hoàn chỉnh càng được hiểu rõ và phong phú bấy nhiêu Sự tổng hợp được hoàn thiện sẽ ảnh hưởng đến chất lượng của sự phân tích tiếp sau và giúp cho việc nghiên cứu đầy đủ và sâu sắc hơn sự vật và hiện tượng với các bộ phận của nó và

mối quan hệ giữa chúng Như vậy, sự phân tích được hoàn thiện cùng với sự phát

triển tổng hợp của học sinh và việc hoàn thiện sự phân tích cũng dẫn đến hoàn thiện

sự tổng hợp [82]

Trong dạy học giải bài tập toán, Hoàng Chúng cho rằng: Trước tiên, phải tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đi vào ngay các chi tiết trước khi nhìn bài toán một cách tổng quát, hiểu bài toán một cách toàn bộ Sau đó, phân tích bài toán: cái gì chưa biết, phải tìm? những cái gì đã cho? mối liên hệ giữa cái chưa biết và cái đã cho là gì? [8]

Từ các luận điểm trên, chúng ta có thể thống nhất rằng:

- Bất cứ hoạt động học tập nào cũng được thực hiện thông qua phân tích và tổng hợp, vì suy cho cùng đó là việc thực hiện một nhiệm vụ nhận thức;

- Sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp, còn sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích;

- Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy Phân tích cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn

- Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trái ngược nhau, không tách rời nhau của một quá trình thống nhất vì chúng cùng một mục đích là phục vụ quá trình tư duy Sự thống nhất này còn thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I) định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào Kết quả của phân

tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II)

Trên cơ sở định nghĩa cùng với mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp, có thể đưa ra quy trình chung thực hiện các thao tác đó đối với một nhiệm vụ nhận thức như sau:

Bước 1: Quan sát cái toàn thể một cách tổng quát, xác định vấn đề cần giải quyết; Bước 2: Xác định các đối tượng, quan hệ cần thiết cho việc giải quyết vấn

đề Tách cái toàn thể thành các bộ phận theo các quan hệ đã được xác định;

Bước 3: Xác định, nghiên cứu tính chất của các bộ phận vừa phân tách; Bước 4: Gắn thông tin thu nhận được ở bước 3 vào cái toàn thể ban đầu, kết hợp các bộ phận vừa tách thành cái toàn thể hoàn chỉnh hơn

Trong quy trình của phân tích - tổng hợp ở trên, bước 1 là sự tổng hợp sơ bộ ban đầu về cái toàn thể, định hướng cho việc phân tích ở bước 2 (hình thức phân tích thứ nhất) Sau khi tách cái toàn thể thành các bộ phận thì tiếp tục bước 3, phân tích mỗi bộ phận để tìm hiểu thông tin từ mỗi bộ phận đó (hình thức phân tích thứ 2) Bước 4 gắn thông tin vừa thu nhận được từ việc phân tích mỗi bộ phận vào cái toàn thể (hình thức tổng hợp thứ nhất), đồng thời kết hợp các bộ phận thành cái toàn

thể hoàn chỉnh (hình thức tổng hợp thứ 2)

Ví dụ 2.5: Phân tích - tổng hợp thể hiện trong bài toán: Giải bất phương trình:

x2 −4x+3+ x2 −5x+4≥2 x2 −6x+5

Bước 1: Quan sát cái toàn thể một cách tổng quát, xác định vấn đề cần giải quyết

Cái toàn thể ở đây là một bất phương trình vô tỷ, vấn đề cần giải quyết là tìm cách giải bất phương trình đó

Bước 2: Xác định các đối tượng, quan hệ cần thiết cho việc giải quyết vấn

đề Phân tách cái toàn thể thành các bộ phận theo các quan hệ đã được xác định

Các đối tượng, quan hệ cần thiết cho việc giải bất phương trình đó là: các phương pháp thường dùng để giải bất phương trình vô tỷ, tập xác định của bất phương trình, vế trái của bất phương trình, vế phải của bất phương trình, Phân tích bất phương trình đã cho thành các thành phần theo các yếu tố vừa chỉ ra ở trên

Bước 3: Xác định, nghiên cứu tính chất của các bộ phận vừa phân tách

Các phương pháp thường dùng để giải bất phương trình vô tỷ là: bình phương hai vế một cách thích hợp, đặt ẩn phụ, phân chia tập xác định của bất phương trình thành các bộ phận và giải trên mỗi bộ phận đó, đánh giá,

Tập xác định của bất phương trình là D=(−∞;1] [∪ 5;+∞)

Phân tích vế trái (VT) của bất phương trình:

=+

−+

−

VP 2 (x−1)(x−5)=2 x−1 x−5

Từ việc phân tích như vậy, HS thu nhận được thông tin (tổng hợp): Vế trái

có nhân tử x−1, vế phải cũng có nhân tử x−1

Bước 4: Gắn thông tin vừa thu nhận được ở bước 2 vào bất phương trình, HS

thu nhận được thông tin: mỗi vế của bất phương trình đều có nhân tử x−1 Do

đó bất phương trình được biến đổi về dạng x−3 + x−4 ≥2 x−5 sau khi nhận xét x= 1 là một nghiệm của bất phương trình

Đến đây, các bước của thao tác phân tích - tổng hợp lặp lại từ đầu

Mỗi cách phân tích bất phương trình ở mỗi góc độ sẽ cho các cách giải khác nhau Với cách dẫn dắt HS phân tích bất phương trình và cách giải bất phương trình như vậy không những HS sẽ giải được bất phương trình đó một cách đúng đắn mà còn giúp họ củng cố cách nhận dạng một bất phương trình và phương pháp giải

chúng

1.2.3 So sánh

Có nhiều định nghĩa về so sánh của các nhà tâm lý học, lý luận dạy học, chẳng hạn như: "So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức" [107, tr 116] "So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau của các sự vật và hiện tượng của hiện thực" [82,tr 110] "So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng Muốn so sánh hai

sự vật (hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính giữa chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có

gì giống nhau và khác nhau" [8, tr 21]

Ví dụ 1.6: So sánh các tính chất của hàm số y=sinx và hàm số y =cosx

để thấy những đặc điểm giống nhau và khác nhau của hai hàm số này:

Đặc điểm giống nhau: Tập xác định R; tập giá trị [−1;1]; tuần hoàn với chu

2

;2

2 k k và nghịch biến trên mỗi khoảng

3

;

2

2 k k ; hàm số y=cosx đồng biến trên mỗi khoảng

(−π +k2π;k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π;π +k2π))

Khi nói đến sự giống nhau là muốn đề cập đến một số quy luật chung, các thuộc tính và phẩm chất hoặc các mối quan hệ như nhau giữa các đối tượng hoặc hiện tượng được so sánh Mức độ giống nhau có thể nhiều hay ít, tuy nhiên điều đó chuẩn bị cho tổng hợp và khái quát "Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ một mục đích nhận thức nào đó, nó luôn có mục đích Do đó, các sự vật và hiện tượng có thể giống nhau theo quan điểm (mục đích) này, và khác nhau theo quan điểm (mục đích) khác" [82, tr 111]

Nhờ có so sánh mà người ta có thể nghiên cứu được những dấu hiệu, những quan hệ giống nhau và khác nhau, bên ngoài và có thể trực tiếp quan sát được các

sự vật và hiện tượng cũng như các dấu hiệu và quan hệ bên trong, không nhận thức trực tiếp được và chỉ thể hiện ra trong hoạt động tư duy của HS Mặt khác, nhờ so sánh người ta còn tìm thấy cả những dấu hiệu không bản chất, thứ yếu của chúng Chỉ có so sánh các đối tượng và hiện tượng với nhau, con người mới có thể định hướng đúng đắn trong thế giới xung quanh, phản ứng như nhau đối với những cái giống nhau trong đối tượng và hành động khác nhau dựa vào sự khác biệt trong đối tượng [106, tr 227]

Trên cơ sở các định nghĩa và các luận điểm vừa nêu, có thể thống nhất với

quan niệm rằng So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng trong tất cả các mối quan hệ có thể có nhằm một mục đích nhận thức nào đó

Theo M N Sácđacôp [82], có các hình thức so sánh sau:

+) So sánh liên tiếp: Là sự so sánh thể hiện ở chỗ đối tượng hoặc khái niệm mới đang nghiên cứu được đem so sánh với những đối tượng hoặc khái niệm đã được học từ trước, theo sự giống nhau hoặc khác nhau nào đấy

Chẳng hạn, so sánh sự giống nhau giữa phép nhân và phép cộng trên R, giữa phép trừ trên Z và phép trừ trên N, giữa cấp số nhân và cấp số cộng, giữa giới hạn của hàm số và giới hạn của dãy số, giữa tính liên tục tại một điểm và tính giới hạn tại một điểm, giữa hình học không gian và hình học phẳng, …

+) So sánh đối chứng: Là sự so sánh thể hiện ở chỗ nghiên cứu hai đối tượng hoặc hiện tượng cùng loại xen kẽ nhau Việc áp dụng sự so sánh dưới hình thức đối chứng tạo điều kiện học tập có kết quả cùng một lúc các cặp khái niệm có nội dung liên quan với nhau, chẳng hạn các khái niệm về nô lệ và chủ nô, về sự ân cần và hờ hững, sự hưng phấn và sự ức chế của các quá trình thần kinh,

Trong Toán học, ta thường so sánh khái niệm tam giác với tứ diện, đường tròn với mặt cầu, đạo hàm và tích phân, giữa hàm số mũ và hàm số lôgarit, giữa các cách giải khác nhau của cùng một bài tập, Việc so sánh giúp cho HS lĩnh hội các khái niệm, các định lý, các quy tắc, phương pháp với tất cả tính đa dạng và độc đáo của các dấu hiệu và thuộc tính của nó

Nhờ có so sánh mà HS đã nghiên cứu được các sự vật và hiện tượng với các dấu hiệu giống nhau và khác nhau, chung và riêng của chúng Bằng cách so sánh,

HS đã hình thành được những hình tượng phong phú, trong sáng, trực quan về những điều đã học, từ đó việc học tập của HS có tính tích cực, tự giác và làm cho việc ghi nhớ lại các tài liệu đã học tốt hơn, củng cố trí nhớ của HS

1.2.4 Tương tự hóa

Theo G Polya [77, tr 19], tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói

tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm Ông giải thích điều trên như sau: "Sự khác nhau căn bản giữa tương

tự và những loại giống nhau khác là ở ý định của người đang suy nghĩ Những đối tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó Nếu bạn có ý định quy mối quan hệ trong đó các đối tượng phù hợp với nhau về những khái niệm đã định thì bạn sẽ xem những đối tượng giống nhau ấy như là những đối tượng tương tự

Và nếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng, thì tức là bạn làm sáng tỏ sự tương tự."

Trong [23], Đ P Goocki cho rằng: "Tương tự là phép suy luận trong đó từ chỗ

hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối tượng A có dấu hiệu là a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có tính chất d Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau: A

có tính chất a, b, c, d; B có tính chất a, b, c; Kết luận B cũng có tính chất d."

"Tương tự là chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng

khác của cùng một cái tổng quát" [52, tr 9]

Trong Toán học, người ta thường xét các vấn đề tương tự trên các khía cạnh sau đây:

- Hai phép chứng minh tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau;

- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau Chẳng hạn, đường thẳng trong mặt phẳng tương tự với mặt phẳng trong không gian vì trong hình học phẳng đường thẳng là đường đơn giản nhất có vai trò giống mặt phẳng là đơn giản nhất trong hình học không gian Ngoài ra, có nhiều định lý vẫn còn đúng nếu ta thay từ "đường thẳng" bởi từ "mặt phẳng", ví dụ định lý "Nếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau" có thể thay "đường thẳng" bởi "mặt phẳng" thì kết luận thu được vẫn đúng

Nói về vai trò của tương tự, nhà thiên văn học tài ba Kepler (người Đức), người đã phát minh ra ba định luật nổi tiếng trong thiên văn học cho rằng: "Tôi vô cùng biết ơn các phép tương tự, những người thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở ngại" (dẫn theo [18, tr.148])

Trên cơ sở các định nghĩa và các luận điểm vừa nêu, có thể thống nhất rằng

Tương tự hóa là quá trình dùng trí óc để kết luận về sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính khác từ sự giống nhau của các đối tượng ở một

số dấu hiệu, thuộc tính nào đó nhằm mục đích tạo ra một kết quả mới, vượt qua một trở ngại

Ví dụ 1.7: Cho n∈N*, hãy tính các tổng sau:

11

1

3.2

12.1

=

n n n n

12

1

5.3

13.1

=

n n n n

11

1

1

4.3.2

13.2.1

1

3

++

++

−+++

=

n n n n

n n

GV có thể hướng dẫn HS tìm tổng S1 bằng các câu hỏi gợi ý như sau: Tổng S1

được rút gọn bằng cách nào? Các số hạng trong tổng có mối quan hệ ra sao? Số hạng tổng quát của tổng là gì? Có thể phân tích số hạng tổng quát đó như thế nào?

Với những câu hỏi dẫn dắt như trên, HS sẽ chỉ ra được số hạng tổng quát của tổng là

11

11

1

+

−

=+

−+

+

=+

−+

=

k k

k

k k

k

k k

k

Từ đó, HS có thể tính tổng S1 dễ dàng bằng cách phân tích mỗi số hạng của

tổng thành hiệu của hai số hạng, trong đó số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của số hạng thứ k+1, do đó chúng triệt tiêu lẫn nhau

11

111

1111

1

3

12

12

11

1

1

+

=+

−

=+

−+

−

−++

−+

−

=

n

n n

n n n n

22

11

+

=+

−+

=+

−

k k k

k

k k

12

1

k k k

Việc tách như vậy cũng có tính chất số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của số hạng thứ k+1, do đó chúng triệt tiêu lẫn nhau

22

11

12

12

1112

1

5

13

13

11

12

−

−++

−+

−

=

n

n n

n n n n

1, thử suy nghĩ xem nếu ở tổng S1 chúng ta phân tích

11

13.2.1

Ở bài toán tính tổng S1 ở trên, HS đã tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số, vậy đối với tổng S3, để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số, HS thử ghép đôi từ những số ở mẫu Mẫu số của số hạng đầu có ba số 1, 2, 3, HS thử ghép thành (1,2)

và (2,3), có nghĩa là:

3.2

12.1

13.2.1

12.1

12

13.2.1

1

Hãy thử xét tiếp số hạng thứ hai!

24

24.3

13.2

13.2

12

14.3.2

1

Hãy thử thêm vài trường hợp nữa! Kết quả đã khả quan, từ đó có thể đưa ra

− +

= +

1 1

1 2

1 2 1

1

n n n

n n

−++

11

12

1

4.3

13.2

12

13.2

12.1

12

1

3

n n n

n S

4

3++

+

=

n n

n n

13.1

1 − = , nên

3.2.1

1 được tách thành 

13.1

1

Tuy nhiên,

việc tách này lại không có tính chất số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của

số hạng thứ k+1, nên không rút gọn được tổng S3

Sau khi HS biết cách tính các tổng S1,S2,S3, bằng thao tác tương tự hóa, GV yêu cầu HS tính các tổng sau:

(3 2)(3 1)

1

7.4

14.1

1

4

+

−+++

=

n n

1 3

2 2 1 5

1

11

+

+++

=

n

n u u u

u u u

S ∀n∈N*, trong đó ( )u n là cấp số cộng với công sai d ≠ 0 và u n ≠ 0 với *

N

n∈

Bằng cách tương tự, HS có thể tính được tổng S5 ở trên như sau:

−+

−

=

+ 1 3

2 2 1 5

11

11111

n

n u u u

u u u d

1 1 1

n

u u

n u u

n

1.2.5 Trừu tượng hóa - Khái quát hóa

1.2.5.1 Có nhiều định nghĩa về trừu tượng hóa và khái quát hóa, chẳng hạn:

G Polya cho rằng: "Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp

đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu" [77, tr 18]

Theo M N Sácđacôp: "Sự phát triển của việc trừu tượng hóa của HS được biểu hiện trong việc hình thành khả năng tách ra và trừu xuất các dấu hiệu, các mối liên hệ và các mối quan hệ chung và bản chất khỏi các sự vật và hiện tượng riêng lẻ, cũng như biết phân biệt các dấu hiệu và các mối liên hệ không bản chất của các sự vật hoặc hiện tượng này và biết trừu xuất khỏi chúng" [82, tr 3]

Tác giả Đào Văn Trung đã viết: "Từ trong những sự vật khác nhau, tìm ra những tính chất chung của chúng và quy kết lại, phương pháp tư duy này gọi là khái quát" [103, tr 169]

"Trừu tượng hoá là quá trình dùng trí óc gạt bỏ những mặt, những thuộc

tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố cần

thiết cho tư duy Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tượng

khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ chung nhất định" [107, tr 117]

"Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập

hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập xuất phát" [54, tr 46]

Theo Hoàng Chúng: "Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong

các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng Muốn khái quát hóa, thường phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau" [8, tr 23] "Khi khái quát hóa, chúng

ta tách ra cái chung trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú

ý tới những cái riêng này Chẳng hạn, khi xem xét hình dáng của các vật, ta gạt qua một bên kích thước, màu sắc, chất liệu, công dụng, … của các vật đó Đó là trừu tượng hóa" [8, tr 27]

Trong [33], các tác giả cho rằng trừu tượng hóa biểu thị khả năng tách những mối liên hệ nào đó từ mạng những sợi dây liên kết chằng chịt các đối tượng và hiện tượng Có ba loại trừu tượng hóa cơ bản, đó là trừu tượng hóa đồng nhất, trừu tượng hóa giải tích (còn gọi là lý tưởng hóa), trừu tượng hóa khả hiện Khái quát hóa là thao tác chuyển từ khái niệm có ngoại diên hẹp sang khái niệm có ngoại diên rộng, còn được gọi là mở rộng khái niệm

Trên cơ sở các định nghĩa vừa nêu, có thể cho rằng Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc tách (trừu xuất) những đặc điểm bản chất ra khỏi đối tượng, đưa những đặc điểm đó vào quá trình tư duy nhằm giải quyết vấn đề Khái quát hóa quá trình dùng trí óc chuyển một tập đối tượng vào một tập đối tượng lớn hơn chứa tập ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm bản chất của các phần từ trong tập hợp ban đầu

1.2.5.2 Mối quan hệ giữa trừu tượng hóa và khái quát hóa

Trong quá trình nghiên cứu các sự vật và hiện tượng riêng lẻ ban đầu ta tách

ra và trừu xuất các thuộc tính và các mối liên hệ chung, bản chất, nghĩa là trừu tượng hóa khỏi các dấu hiệu và các mối liên hệ không bản chất Sau đó, nhờ khái quát hóa các thuộc tính và các mối liên hệ chung và bản chất đó ta thu được các tri thức khái quát, trừu tượng dưới hình thức những khái niệm, những định lý, quy tắc Như vậy, mọi tri thức khái quát có tính chất lý luận dưới hình thức các khái niệm, các định lý, quy tắc mà HS đã tiếp nhận được trong quá trình học tập đều đạt được bằng trừu tượng hóa

Mỗi sự vật và hiện tượng đều có những dấu hiệu, thuộc tính bản chất và không bản chất Chỉ khi các dấu hiệu và các mối liên hệ chung, bản chất của một nhóm những sự vật, hiện tượng nhất định nào đấy được khái quát hóa, ta mới thu được các tri thức có tính chất lý luận khái quát về nhóm các sự vật hay hiện tượng đó

"Khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với trừu tượng hóa Trừu tượng hóa

là sự nêu bật và tách những đặc điểm không bản chất ra khỏi các đặc điểm bản chất Trừu tượng hóa là điều kiện ắt có nhưng chưa đủ để khái quát hóa" [52, tr 10] "Sự trừu tượng hóa là một thành phần không thể tách được của quá trình khái quát hóa" [83, tr 5] "Trừu tượng hóa và khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với nhau Nhờ trừu tượng hóa, ta có thể khái quát hóa rộng hơn và nhận thức sự vật sâu hơn Không có khái quát hóa và trừu tượng hóa thì không thể có khái niệm và tri thức lý thuyết được" [8, tr 27]

Chúng tôi thống nhất với tác giả Nguyễn Bá Kim có hai dạng khái quát hóa thường gặp trong môn Toán có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau [52, tr 5]:

Chẳng hạn, khi dạy quy tắc nhân, GV có thể dẫn dắt HS đi từ những trường hợp riêng lẻ đến tổng quát:

- Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có

3 con đường đi Do đó, để đi từ nhà An đến nhà Cường có tất cả 3 4 = 12 cách đi;

từ nhà An đến nhà Bình có m con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có n con đường đi Do đó, có m n cách đi từ nhà An đến nhà Cường;

- Giả sử một công việc nào đó gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có

thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách Đó là một kết quả tổng quát

- Chúng ta tiếp tục đi đến một kết quả tổng quát hơn từ kết quả tổng quát

trên: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1,A2, ,A k Công đoạn

1

A có thể thực hiện theo n cách, công đoạn 1 A có thể thực hiện theo 2 n cách, , 2

công đoạn A có thể thực hiện theo k n cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo k

k

n

n

n1 2 cách

Cả hai trường hợp trên đều là sự khái quát đi đến kiến thức mới Bên cạnh

đó còn có dạng khái quát hóa đi đến kiến thức đã biết, dạng này được tiến hành

chẳng hạn khi giải những bài toán, trong đó khái quát hóa thể hiện ở việc liên hệ những tình huống cụ thể của bài toán với những tiên đề, định nghĩa, định lý thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát đã biết trong những cái cụ thể [52, tr 6]

Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ

Ví dụ 1.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y= x3 −3x2 +2 tại điểm M( )1;0

Để làm bài toán cụ thể này, HS phải liên hệ đến phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tổng quát y= f( )x tại điểm M(x0 ;f( )x0 ) là:

'

x f x x x f

y= − + , đó chính là khái quát hóa

Có thể thực hiện khái quát hóa đến cái tổng quát đã biết mang tính quy trình như sau:

Khái quát hóa đến cái tổng quát đã biết

Bước 2: Lựa chọn, xác định những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn với bản chất vấn đề cần giải quyết;

Bước 3 Đưa đối tượng vào một lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã xác định Xác định những nguyên tắc, quy luật, công thức tổng quát của lớp đối tượng đó có liên quan đến việc giải quyết vấn đề

Ví dụ 1.9: Tìm giới hạn của dãy số ( )u n , với u n = 4n2 −5n+8−n

Có nhiều hành động tham gia vào quá trình giải bài toán trên, dự kiến rằng vì chưa có một quy tắc, định lý nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng được trực tiếp để tìm lim( 4n2 −5n+8−n)

cho nên HS sẽ biến đổi dãy số cần tìm giới hạn trên theo hai hướng như sau:

−

=

−+

n n n

n n

n

hoặc

n n n n

n n n

n n

n n n

n n

1854

8538

54

8538

54

4 3 2

2 2

2 2

++

−

+

−

=++

Nếu HS không tự mình biến đổi thì thầy giáo có thể gợi ý bằng câu hỏi:

- Có quy tắc, định lý nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng được trực tiếp để tìm lim( 4n2 −5n+8−n) hay không?

- Hãy tìm cách biến đổi 4n2 −5n+8−n

n n

Bước 2: Lựa chọn, xác định những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn với bản chất vấn đề cần giải quyết

GV có thể đặt câu hỏi sau cho HS:

Có quy tắc, định lý nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng được

4

n n

Đến đây, HS sẽ nhận thấy nếu đặt = , = 4−5 + 82 −1

n n v

n

1lim,

limu n =+∞ v n =

Bước 3: Đưa đối tượng vào một lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã xác định Xác định những nguyên tắc, quy luật, công thức tổng quát của lớp đối tượng đó có liên quan đến việc giải quyết vấn đề

GV có thể đặt câu hỏi sau cho HS:

- Nếu limu n =+∞,limv n =1 thì lim(u n v n) sẽ như thế nào?

Dự kiến HS trả lời: lim(u n v n)=+∞ (Ở đây, HS đã đặt tình huống cụ thể trên vào tình huống tổng quát, đó là: Nếu limu n =+∞,limv n =L>0, v n >0, thì

- Hãy trình bày lại lời giải!

Với cách biến đổi thứ hai, khái quát hóa tham gia với trật tự tương tự như

trên, tức là HS đã đặt tình huống cụ thể limu n =3,limv n =0,v n >0 để tìm

n

n v

u

limvào tình huống tổng quát, đó là: Nếu limu n = L(L>0),limv n =0,v n >0 kể từ số

hạng nào đó thì =+∞

n

n v

u

Khái quát hóa đến cái tổng quát chưa biết

Dạng khái quát này đi đến kiến thức mới, có thể là một khái niệm, một định

lý hay một bài tập nào đó mà ta muốn hình thành hoặc mở rộng

Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát;

Bước 2: Xác định các đặc điểm của các đối tượng riêng lẻ;

Bước 3: So sánh các đặc điểm đó để tìm ra đặc điểm giống nhau và khác nhau;

Bước 4: Trong các đặc điểm giống nhau đó giữ lại cái bản chất và trừu xuất chúng ra khỏi đối tượng;

Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu một tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó;

Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong tập lớn hơn ở bước 5;

Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được

Dạng khái quát hóa này đi đến kiến thức mới, chẳng hạn như hình thành khái niệm theo con đường quy nạp, mở rộng một khái niệm, mở rộng một định lý, mở rộng một bài toán,

Ví dụ 1.10: Tính các tích phân sau và tìm bài toán tổng quát cùng với phương

)12)(

1(

1

GV hướng dẫn HS giải các bài tập trên, chẳng hạn câu a) với các gợi ý như sau:

- Hãy quan sát cận của tích phân! Với cận như thế thì có thể chọn phép đổi biến như thế nào?

t

t t

1

12012

20121

12012

1

1 2

1

21

Tích phân cuối cùng được tính một cách dễ dàng

- Tương tự, hãy tính các tích phân I2, I3,I4!

Sau khi hướng dẫn HS tính các tích phân trên, các bước trong quy trình khái quát hóa được tiến hành nhằm mục đích tìm được tích phân tổng quát và phương pháp tính

Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát

- Hãy tìm tích phân tổng quát cùng với phương pháp tính!

Bước 2: Xác định các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ của các đối tượng riêng lẻ

- Hãy tìm các đặc điểm của các tích phân vừa tính!

Tích phân I1 lấy trên đoạn [ ]−1;1 , hàm lấy tích phân

12012

;2

π

π , hàm lấy

tích phân là thương của hàm lượng giác cosx và 2x +1

; tích phân I3 lấy trên đoạn

[−2;2], hàm lấy tích phân là thương của hàm trị tuyệt đối x và 3x +1

4x +

Bước 3: So sánh các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ

đó để tìm ra dấu hiệu giống nhau và khác nhau

So sánh các đặc điểm trên chúng ta thấy rằng:

Khác nhau: Cận khác nhau, hàm lấy tích phân khác nhau

Giống nhau: Cận đối xứng, hàm lấy tích phân là thương của một hàm chẵn

Bước 5: Chuyển từ việc tính các tích phân cụ thể trên về việc tính tích phân

chỉ chứa đặc điểm vừa tách ra ở bước 4: Tính dx

m

x f I

a

a x

( )1 , trong đó f(x) là hàm chẵn, liên tục trên [−a; a], m là số thực dương khác 1

Bước 6: Chứng minh các thuộc tính, dấu hiệu, đặc điểm, mối liên hệ vừa

tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong tập lớn hơn ở bước 5

Đặt x=−t , tích phân đã cho được viết dưới dạng:

m

x f m dt m

t f m I

a

a x

x a

)(

a

a x

(1), trong đó f (x) là hàm chẵn, liên tục trên [−a; a], m là số thực dương khác 1

Phương pháp giải: Đặt x=−t, tích phân đã cho được viết dưới dạng:

m

x f m dt m

t f m I

a

a x

x a

a t

1

Ví dụ 1.11: Sau khi học công thức nhị thức Newton, có thể cho HS làm các

bài toán sau:

1) Tìm hệ số của x và 5 x trong các khai triển 3 ( ) (5 )5

1

1+x x+ và ( )10

1+x 2) Chứng minh rằng: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5

10 2 5 5 2 4 5 2 3 5 2 2 5 2 1 5 2 0

b) C50.C53 +C51.C52 +C52.C51 +C53.C50 =C103 3) Chứng minh rằng: a) ( ) ( ) ( ) 100

200 2

100 100 2

1 100 2

0

b) C1000 C10030 +C1001 C10029 + +C10029.C1001 +C10030.C1000 =C20030 4) Hãy nêu bài toán tổng quát của 2) và 3)

HS dễ dàng đưa ra kết quả của câu 1) là hệ số của x trong khai triển của 5

2 3 5

2 2 5

2 1 5

2 0

x trong khai triển của ( )10

2 4 5

2 3 5

2 2 5

2 1 5

5

0

Đối với câu 3), HS thực hiện thao tác tương tự hóa và các em cũng sẽ chứng minh được:

200 2

100 100 2

1 100 2

0

30 200 0

100 30 100 1

100 29 100 29

100 1 100 30

100 0

Tiếp theo, GV hướng dẫn HS khái quát hóa để đưa ra được bài toán tổng

quát theo các bước sau:

Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát hóa

- Hãy tìm bài toán tổng quát cùng với phương pháp giải!

Bước 2: Xác định các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ của các đối tượng riêng lẻ

- Hãy tìm các đặc điểm của các đẳng thức:

10 2 5 5 2 4 5 2 3 5 2 2 5 2 1 5 2

2 1 100

100 30 100 1

100 29 100 29

100 1 100 30

100 0

C + + + + = ( )4 + Vế trái của ( )1 là một tổng mà mỗi số hạng có dạng ( )C5i 2,i =0,5

; Vế trái của ( )2 là một tổng mà mỗi số hạng có dạng ( )C100i 2,i =0,100

; + Vế phải của ( )1 là 5

10

C , 10 = 5 2; vế phải của ( )2 là C100200, 200 = 100 2; + Vế trái của ( )3 là một tổng mà mỗi số hạng có dạng 5 55−, =0,3

i C

; + Vế phải của ( )3 là 3

10

C ; vế phải của ( )4 là 30

100

C

Bước 3: So sánh các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ

đó để tìm ra dấu hiệu giống nhau và khác nhau

So sánh các đặc điểm trên, HS thấy rằng:

+ Vế trái của ( )1 và ( )2 đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng ( )C i i n

n 2, =0, , ( )1 ứng với n= 5, ( )2 ứng với n=100; vế phải của ( )1 và ( )2 đều

có dạng C2n n, ( )1 ứng với n=5, ( )2 ứng với n=100