chuyen de duong tron

c, phương trình đã cho không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau... Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào 2 ta được phương trình đường tròn C * Chú ý: Cần p

Đường tròn A.Tóm tắt lí thuyết

1, Định nghĩa

Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là quĩ tích của tất cả

những điểm trên một mặt phẳng , cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách cho trước Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn

khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.

2, Phương trình đường tròn

* Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) có tâm I(a,b) bán kính R có phương trình :

(C): (x –a)2 + (y – b)2 = R2

* Nếu a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 là

phương tình của đường tròn tâm I(a,b), bán kình R =

* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a,b) thoả mãn phương trình x2

+ y2 - 2ax – 2by + c =0

* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x,y) nào thoả mãn phương trình x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0

Chú ý: ta có

- Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình x2 + y2 = R2

- Đường tròn đơn vị có phươnh trình x2 + y2 =1

3, Phương trình tiếp tuyến đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x0; y0) của đường tròn (C): (x –a)2 + (y – b)2 = R2

có phương trình: (x –a)(x0 - a) + (y –b)(y0 - b) = R2 (6)

Chú ý:

a, Phương trình (6) được gọi là phương trình phân đôi toạ độ theo qui tắc (x –a)2 = (x –a).(x –a) thay bằng (x –a)(x0 - a)

(y –b)2 = (y –b).(y –b) thay bằng (y –b)(y0 - b)

b, Nếu ( C) có phương trình tổng quát

( C) : x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 , với a2 + b2 – c ≥ 0

thì tiếp tuyến (d) có phương trình:

(d) : x.x0 + y.y0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0

dựa theo qui tắc : x2 = x.x thay bằng x.x0

y2 = y.y thay bằng y.y0

2ax = a( x + x) thay bằng a( x + x0)

2by = b( y + y) thay bằng b(y + y0)

c, Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc ( là tiếp tuyến) với đường tròn ( C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi:

d(I;(d)) =R

B ,Vận dụng

1, Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn Tìm tâm

và bán kính đường tròn.

* Phương pháp

Cách 1: - đưa phương trình về dạng : x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 (1)

- xét dấu biểu thức m = a2 + b2 – c

- nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a,b), bán kính R=

Cách 2: - đưa phương trình về dạng : (x –a)2 + (y – b)2 = m (2)

- nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R =

* Các ví dụ :

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào niểu diễn

đường tròn? Xác định tâm và bán kính nếu có:

a)x2 + y2 - 6x +8y +100 = 0; (1)

b)x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0; (2)

c)x2 + 2y2 - 2x + 5y + 2 = 0; (3)

Giải

a, (1) có dạng x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0, với a = 3, b = 4, c = 100

Ta có a2 + b2 – c = 9 + 16 -100 < 0

Vậy (1) không phải là phương trình đường tròn

b, (2) có dạng x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0, với a = 1, b = 3, c = -6

Ta có a2 + b2 – c = 1 + 9 - 6 > 0

Vậy (2) là phương trình đường tròn có tâm là điểm (1;3), bán kính bằng

a  b  c = 4

m

c, phương trình đã cho không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x2

và y2 khác nhau

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + y2 - 2mx + 4my + 6m - = (1)

a, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?

b, Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính

đó theo m

Giải

a, (1) có dạng x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 với a = m, b = -2m,

c = 6m -

(1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0, mà

a2 + b2 – c > 0 m2 + 4m2 – 6m + > 0

5m2 - 6m + > 0

m >

b, khi m > thì (1) là phương trình đường tròn tâm I( m; -2m) và có bán kính R =

2, Lập phương trình đường tròn

*Phương pháp:

Cách 1: - Tìm toạ độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của (C)

- Viết phương trình (C) theo dạng (x –a)2 + (y – b)2 = R2

Cách 2: Gọi phương trình của đường tròn (C) x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 (2)

Từ điều kiện đề bài đ ưa đến hệ phương trình với ẩn số là a,b,c





5 9

5 9

5 9

5 9



5 3

5 3

5

9 6



m

Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn (C)

* Chú ý: Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kĩ để lựa chọn dạng

phương trình thích hợp

(C) đi qua A, B IA2 = IB2 = R2

(C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng tại A IA =d(I, ) (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng d1 và d2 d(I,(d1)) = d(I, (d2)) = R

* Các ví dụ

Ví dụ 1:Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :

a, (C) có tâm I(-2 ; 3) và đi qua M(2 ; -3)

b, (C) có tâm I(-2 ; 3) và tiếp xúc đường thẳng d : x – 2y + 7 = 0

c, (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ;5)

Giải.

a, (C) có tâm I và đi qua M => bán kính R = IM

=

=>(C) có phương trình : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52

b, (C) tiếp xúc đường thẳng Δ => : bán kính

=> (C) có phương trình : (x + 1)2 + (y – 3)2 = 4/5

c, (C) có đường kính AB => tâm I(x ;y) là trung điểm AB :

=> I(4;3)

(C) => bán kính R = IA =

Vậy (C) có phương trình : (x – 1)2 + (y – 1)2 = 13

Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm : A(1 ;2),

B(5 ;2) và C(1 ;-3)

Giải.

Phương trình đường tròn (C) dạng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

(C) đi qua điểm A(1 ;2), nên : 5 -2a -2b + c = 0 (1)





(C) đi qua điểm B(5 ;2) nên : 29 – 10a – 4b + c = 0 (2).

(C) đi qua điểm C(1 ;-3) nên : 10 – 2a + 6b + c = 0 (3)

Từ (1), (2) và (3) : a = 3 ; b = -1/2 ; c = -1

=> Đường tròn (C) dạng : x2 + y2 – 6x – y – 1 = 0

3, Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn

*Các dạng bài và phương pháp:

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M0(x0, y0) thuộc đường tròn

Ta dùng công thức tách đôi tọa độ

- Nếu phương trình đường tròn là: x2 + y2- 2ax - 2by + c = 0

thì phương trình tiếp tuyến là: xx0 + yy0- a(x + x0) - b(y + y0) + c = 0

- Nếu phương trình đường tròn là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 thì phương trình tiếp tuyến là: (x - a)(x0- a) + (y - b)(y0- b) = R2

Dạng 2: Tiếp tuyến xuất phát từ A(xA;yA) cho sẵn ở ngoài đường tròn

B1: Xác định tâm I và bán kính R

B2: Lập phương trình đường thẳng qua A có dạng:

a(x – xA) + b( y – yA) = 0 , a2 + b2 khác 0 (1)

B3: Để là tiếp tuyến của (C) d(I, )= R a, b

B4: Thế a,b vào (1) =>

 Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

· Dạng 3: Tiếp tuyến có phương cho trước.

– Viết phương trình của D có phương cho trước (phương trình chứa

tham số t)

– Dựa vào điều kiện: , ta tìm được t Từ đó suy ra phương trình của Δ

Dạng 4: tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

- Giả sử (d) : Ax + By + C = 0, A2 + B2 > 0 là tiếp tuyến chung của (C)

và (C’)

- Thiết lập điều kiện tiếp xúccủa (d) với (C) và (C’)

d(I1,(d)) = R1

d(I2,(d)) = R2

Kết luận

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3;4) thuộc đường tròn

(C):(x-1) 2 +(y-2) 2 =8

Giải

(C) có tâm I(a;b), vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(3;4) là:

Ví dụ 2 : Cho đường tròn (C) dạng : x2 + y2 + 4x – 8y – 5 = 0

a Tìm tâm và bán kính của đường tròn

b Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A(-1 ;0)

c Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc

d : 3x - 4y +5 = 0

Giải.

a, ta có : -2a = -4, -2b = 8 và c = -5

=> a = 2, b = -4 và c = -5

Tâm I(2, -4)

bán kính R = = 5

b, Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A :

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0 ) = 0

Hay (-1 – 2)(x + 1) + (4)(y) = 0

=> 3x – 4y + 3 = 0

c, tiếp tuyến vuông góc d : 3x -4y +5 = 0 => tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = 0 (C) tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = 0 => : bán kính R = d( M, Δ)

<=> = 5

<=> |c – 4| = 25

<=> c – 4 = 25 hoặc c – 4 = -25

<=> c = 29 hoặc c = -21

tiếp tuyến : 4x + 3y + 29 = 0 ; 4x + 3y -21 = 0

Ví dụ 3: cho (C) : x2 + y2 + 2x – 4x – 4= 0, A(3;5) Tìm phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đén đường tròn

Giải:

Gọi đường thẳn (d) qua A có dạng : a( x – 3) +b(y – 5) = 0 , a2 + b2 0 (C) có tâm I(-1; 2), R = 3

(d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi d(I,(d)) = R = 3

=> = 3

) 5 ( 4

2 2  2  

2

2 3

4

| 12

8

|







2 2

| 3

4

|

b

a

b a







| 4a + 3b| = 3

16a2 + 24ab + 9b2 = 9( a2 + b2)

7a2 + 24ab = 0

a = 0 và 7a = - 24b

+, với a = 0 => (d) : y – 5= 0

+, với 7a = - 24b

chọn a = 24, b = -7 => (d) : 24x – 7y -37 = 0

C, Bài tập tự luyện

Bài 1: Lập phương trinh đường tròn trong các trường hợp sau:

a, Đường kính AB với A(1;1) và B(3;5)

b, Đi qua (3;4) và tâm là gốc toạ độ

(Đ/s: a, (C) : x2 + y2 – 2x – 6y + 8=0 b, (C) : x2 + y2 = 25)

Bài 2: lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 cạnh trên 3

đường thẳng sau: x – 5y – 2 = 0; x – y +2 = 0; x + y – 8 = 0

(Đ/s: x2 + y2 – 4x – 22 = 0)

Bài 3: cho 2 đường thẳng : (d1): 2x + y – 1 = 0; (d2) : 2x - y – 2

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng (d1), (d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) : x – y -1 = 0

(Đ/s: (C1) : ( x - )2 + ( y - )2 = ; (C2) : (x + )2 + (y + )2 =

Bài 4: cho 2 điểm A(4;0) , B(0;3) lập phương trình đường tròn nội tiếp

(Đ/s: (x – 1)2 + ( y – 1)2 = 1

Bài 5: cho biết B(0;1), C(1;0) và trực tâm H(2;1) lập phương trình

đường tròn ngoại tiếp (Đ/s: x2 + y2 = 1)

b

a 







2

5

2

3

20

121

4

1

4

5

80 121

AOB



AOB



AOB



Bài 6: Cho điểm M(-4;-6) và đường tròn (C) có phương trình :

x2 + y2 – 2x - 8y – 8 = 0

Lập phương trình tiếp tuyến của (C) qua M (Đ/s: (d): x + 4 = 0

(d’): 3x – 4y -12 =0)

Bài 7: Cho 2 đường tròn (C) và (C’) có phương trình:

(C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1

(C): (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4

Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

(Đ/s: (d): x = 0 ; (d’) : 3x + 4y -12 = 0

Bài 8: cho đường tròn (C) c ó phương trình: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10

lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với : 2x + y – 4 = 0 một góc 45 (Đ/s: d1: : x + 3y – 8 = 0; d2: : 3x - y – 14 = 0; d3: x + 3y +12 =0

d4: 3x - y+ 6 = 0

Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) qua A(-4;2) và tiếp xúc với hai trục

tọa độ (Đ/s: C1: (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 ; C2: (x + 10)2 + (y – 10)2 = 100

Bài 10: Cho đường tròn (C) : x2 y2  2x 4y  2 0 Viết phương trình đường tròn (C’) tâm M(5,1) biết (C’) cắt (C) tại các điểm A,B sao cho AB= 3 (Đ/ s: (C’) : (x - 5)2 + (y - 1)2 = 0 )

Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 y2  4 3x 4 0  Tia Oy cắt (C) tại A Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A

(Đ/s: (C’): x 32y 32  4 )

D, Bài tập tự sáng tạo

Bài 1: Cho phương trình:





(C): x2 + y2 + 2(m – 1)x – 2(m – 3)y + 2 = 0 (1)

a) Tìm m để (1) là đường tròn tâm I(1; -3) Viết phương trình (C) tương ứng b) Tìm m để (1) là đường tròn có R=5 2 Viết phương trình (C) tương ứng

Giải: I( 1 – m ; m – 3), R2 = 2(m – 2)2

m

m m





 

(C) : 2 2

5 2 2( 2) 50

3

m m

m







Vậy (C1): x2 + y2 + 12x – 8y +2 = 0

(C2): x2 + y2 -8x +12y + 2 = 0

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0) , đường cao từ

đỉnh B có phương trình x + y + 1 = 0 trung tuyến từ đỉnh (C) có phương trình 2x – y – 2 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :

x y  x y  Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x + y – 2 = 0 và cắt đường tròn theo 1 dây cung có độ dài bằng 6

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) :

x y  x y  và đường thẳng d: x + y + 1 = 0 Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 90 độ

Bài 5: Cho đường tròn (C): 2 2

x y  x y  và hai đường thẳng

d x y   d x y  Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và cắt d d1 , 2 lần lượt tại B và C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC

Do d1song song với d2 nên suy ra A d 3 Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ PT

x y







4, 2



   

 (4; 2)

A

 hoặc A(6; 2) 

 Với A(4;2) thì pt tiếp tuyến tại A là 3x + 4y – 20 = 0

 Với A(6;-2) thì pt tiếp tuyến tại A là x – 6 = 0

Bài 6: Cho đường tròn (A) có phương trình (x 1) 2  (y 2) 2  9 và điểm M(2;3) Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt (A) tại P và Q sao cho

MP2 + MQ2 = 18

Giải : Đường tròn (A) có tâm I(-1;2) và R=3 Dễ thấy M nằm ngoài đường

tròn nên MP.MQ = MI2 – R2 = 10 – 9 = 1

: ( 2) ( 3) 0

MP MQ







(a2 + b2 > 0 )

4

PQ

d I   R   , suy ra

2

3 2

2





PT hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2x – y – 1 = 0

và x + 2y – 8 = 0

Bài 7: Cho hai đường thẳng d1 : 4x 3y 14 0,  d2 : 3x 4y 8 0  và điểm

M(-2;2) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua M tiếp xúc d1 và cắt d2

theo dây cung AB = 8

Giải:

Vì Md1 nên M là tiếp điểm của (C) và d1 Do

6 8 13

9 16

2

4 3 5 2

AB

Đường thẳng IM đi qua M và vuông góc với d1 có PT

2 4

2 3

 





 



Ta có IM   5 16t2  9t2  5. Tìm được t = 1 hoặc t = -1 suy ra I(2;-1) hoặc I(-6;5)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn với phương trình là

(x 2)  (y 1)  25;(x 6)  (y 5)  25

Bài 8: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 y2  6x 2y  6 0 và điểm A(1;3)

a) Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) từ đỉnh A

Bài 9: Cho đường tròn có phương trình là 2 2

x y  x y  Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Điểm tiếp xúc là M(2;1)

b) d đi qua A(3;6)

c) d song song với đường thẳng 3x – 4y – 2008 = 0

Bài 10: Cho đường tròn x2 y2  2x 2y  6 0và điểm M(2;4)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1

Bài 11: Cho đường tròn (C): x2 y2  2x 4y 4 0  và điểm A(2;5) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn Giả sử tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm M, N Hãy tính độ dài MN

5 2

MN

Bài 12: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2mx - 3

2my + 25m – 100 = 0

a) Tìm tập hợp () tâm các đường tròn khi M thay đổi

b) Xét A(8;6) Lập phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại A c) Nhận xét gì về các đường tròn (C)

Giải:

a)

 2

3

4

Điều kiện m 8

Tập hợp tâm I là đường thẳng (): 3x – 4y = 0, loại điểm A(8;6)

b) nhận xét A(8;6) thuộc (C) với mọi M

phương trình tiếp tuyến với (C) tại A(8;6) là:

8x + 6y – m(x + 8) - 3

4

m

(y + 6) + 25m – 100 = 0

 4x + 3y – 50 = 0 (do m8)

c) ( ) à(d)  v cố định đều đi qua A(8;6) và      d nên suy ra các đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) cố định tại điểm A(8;6) cố định m 8