BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ HỌC (DÀNH CHO SINH VIÊN HỆ ĐẠI HỌC TIỂU HỌC)

Ta có thể viết CardA = CardB ⇔ A ʧ B Như vậy ta có thể hiểu bản số như là một tính chất đặc trưng phản ánh mặt số lượng của tập hợp đối với các tập hợp hữu hạn, khái niệm về bản số chính

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN SỐ HỌC (DÀNH CHO SINH VIÊN HỆ ĐẠI HỌC TIỂU HỌC)

Chương 1 Tập hợp Số Tự Nhiên

Đ.1 Phép toán hai ngôi trên một tập hợp

1.1.Phép toán hai ngôi :

Cho tập hợp X ≠ φ Mỗi ánh xạ : t:XìX →X ;

(x,y) ֏t(x,y)

được gọi là một phép toán hai ngôi Ta gọi t(x,y) là kết quả của phép toán t thực hiện trên hai phần tử x và y

Quy ước nếu t là phép toán trong X và x,y ∈X , viết x * y hoặc x y ,

thay cho t(x,y)

1.2 Những tính chất thường gặp của phép toán :

Giả sử * là phép toán xác định trong X

a) Phép toán * có tính chất giao hoán nếu x* y = y* x , với mọi x,y ∈X

b) Phép toán * có tính chất kết hợp nếu (x* y) z = x*(y*z) , với mọi x,y z ∈X Cho * là phép toán xác định trong X , A là một bộ phận của X Ta nói A ổn

định đối với phép toán * nếu x* y ∈A, với mọi x,y ∈A ( ta gọi * là phép toán cảm sinh trong A hay thu hẹp trong A )

1.3 Những phần tử đặc biệt : Giả sử * là phép toán xác định trong X

a) Phần tử trung lập :

- e ∈X gọi là phần tử trung lập trái của * : e*x = x

- e ∈X gọi là phần tử trung lập phải của * : x*e = x

- e ∈X gọi là phần tử trung lập của * , nếu e*x = x*e = x , với mọi x∈X

Mỗi phép toán có không quá một phần tử trung lập

b) Phần tử đối xứng : Cho X , phép toán * , phần tử trung lập e

- x’ ∈X gọi là phần tử đối xứng trái của x nếu : x’ *x = e

- x’ ∈X gọi là phần tử đối xứng phải của x nếu : x*x’ = e

- x’ ∈X gọi là phần tử đối xứng ( phần tử nghịch đảo , phần tử đối ) của x nếu

x * x’ = x’ *x , với mọi x∈X

Đối với phép cộng ( + ) ký hiệu phần tử đối xứng của a là -a

Đối với phép nhân (.) ký hiệu phần tử đối xứng của a là a-1 (phần tử nghịch đảo )

c) Phần tử chính qui :

Cho X , phép toán * ,

- x ∈X gọi là chính qui bên trái nếu : x*y = x* z thì y = z

- x ∈X gọi là chính qui bên phải nếu : y*x = z* x thì y = z

- x ∈X gọi là chính qui nếu x là chính qui bên trái và chính qui bên phải

1.4 Bộ phận ổn định phép toán cảm sinh

-A ⊂ X , A là ổn định đối với phép toán * trong X ,

nếu với mọi x , y∈A thì x*y ∈A và * là phép toán cảm sinh trong A

Đ.2 Một số cấu trúc cơ bản

2.1 Nửa nhóm :

Giả sử * là phép toán xác định trong X Ta nói X cùng với * là một nửa nhóm , nếu phép toán * có tính chất kết hợp

Nửa nhóm X có phần tử trung lập gọi là vị nhóm

Cho X là một nửa nhóm Nếu A ổn định đối với phép toán * trong X thì ta gọi (A,* ) là một nửa nhóm con của X

2.2 Nhóm , nhóm con

Tập G cùng với phép toán * là một nhóm , nếu thoả mãn :

(i) (x*y)*z = x*(y*z) , với mọi x,y z ∈G

(ii) Tồn tại phần tử trung lập e ∈ G

(iii) Với mọi x ∈G , tồn tại phần tử đối xứng x’ ∈G ,

sao cho x*x’ = x’*x =e

Hơn nữa nếu G có tính chất giao hoán thì G là nhóm giao hoán aben

Nếu G là một tập hợp hữu hạn , có n phần tử , ta nói G là nhóm hữu hạn cấp n Ngược lại G là nhóm cấp vô hạn

Bộ phận ổn định A của nhóm G là nhóm con ( của nhóm G ), nếu A với phép toán cảm sinh là một nhóm

Định lý : A là một bộ phận khác rỗng của nhóm G Khi đó các phát biểu sau là tương đương :

(i) A là một nhóm con của G

(ii) A ổn định đối phép toán trong G và mỗi phần tử a ∈ A đều có phần tử nghịch đảo a’ trong A

(iii) Giữa phép cộng và phép nhân có tính chất phân phối :

a (b + c ) = ab + ac và ( b+ c ) a = ba + ca ; với mọi a,b,c ∈R

Hơn nữa nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì R là vành giao hoán

Phép nhân có phần tử đơn vị thì R là vành có đơn vị

2.4 Trường :

Định nghĩa : Cho ( T , + , ) là một vành

Ta nói T là một trường , nếu (T \{ }0 , ) là một nhóm aben

Định lý 3.1 Giả sử ( R , + , ) là một vành , khi đó với mọi a,b,c ∈R , luôn có :

(i) a (b - c ) = ab - ac và ( b- c ) a = ba - ca

(ii) a.0 = 0

(iii) a(-b) = (-a ).b = - ab ; (- a ).( - b ) = ab

Định lý 3.2 Cho R là một vành và a,b ,c ∈R Khi đó các phát biểu sau là tương

(i) (A) là vành con của vành R

(ii) Với mọi a, b ∈ A , a+b ∈ A , ab ∈ A và - a ∈A

(iii) Với mọi a,b ∈ A , a-b ∈ A và ab ∈ A

Cho T là một trường Bộ phận A của T là trường con của trường T , nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trong A cũng là một trường

Đ3 tập hợp Số Tự Nhiên

3.1 Tập hợp hợp tương đương, bản số

3.1.1 Tập tương đương

Định nghĩa: Cho X,Y là hai tập hợp

Ta nói tập hợp X tương đương với tập hợp Y , ký hiệu là X ʧ Y khi và chỉ khi có một song ánh từ X lên Y

Hai tập hợp tương đương còn được gọi là hai tập hợp có cùng lực lượng

Ví dụ1 h : Z → 2Z , với f( z) = 2z , 2Z là tập số nguyên chẵn Ta chứng minh

được h là song ánh.Theo định nghĩa Z tương đương với tập 2Z

Ví dụ 2: Tập A có 4 đĩa , tập B gồm 4 chén ⇨ B ʧ A vì có song ánh f : B →A

Ví dụ 3: X = {1, 2, 3, 4} , Y = { a, b, c, d} f là song ánh khi có f: 1 2 3 4

- Nếu A ʧB thì có song ánh f : A → B , nếu B ʧ C thì có song ánh

g : B → C Tích g.f của hai song ánh f, g cũng là một song ánh từ A lên C Song ánh này chứng tỏ A ʧ C

Ta nhận thấy quan hệ có cùng lực lượng giữa các tập hợp có cả ba tính chất của một quan hệ tương đương Như vậy ta có thể phân lớp các tập hợp : các tập hợp có cùng lực lượng có cùng một lớp Vì thế ta có thể dùng mỗi lớp để xác

định thuộc tính đặc trưng về lực lượng của một tập hợp

Thuộc tính đặc trưng xác định mỗi lớp gọi là bản số của tập hợp Các tập

hợp có cùng bản số khi và chỉ khi chúng có cùng lực lượng(bản số còn được gọi

là lực lượng) Bản số của tập hợp A ký hiệu là Card(A) Ta có thể viết

Card(A) = Card(B) ⇔ A ʧ B Như vậy ta có thể hiểu bản số như là một tính chất đặc trưng phản ánh mặt

số lượng của tập hợp (đối với các tập hợp hữu hạn, khái niệm về bản số chính là khái niệm về số lượng thông thường)

3.2 Khái niệm tập hữu hạn, tập vô hạn

- Định nghĩa: Một đơn ánh từ tập X đến tập X , với X khác trống được gọi là đơn

ánh thực sự nếu nó không là toàn ánh.( Đơn ánh thực sự)

Ví dụ : g : Z → Z

z ֏ 2z +1 ( Mọi số nguyên chẵn đều không có tạo ảnh)

- Định nghĩa: một đơn ánh từ X vào Y gọi là đơn ánh thực sự nếu nó không là

toàn ánh

- Định nghĩa: Một tập gọi là vô hạn nếu nó tương đương ( có cùng lực lượng )

với một bộ phận thực sự của nó

Tập hợp không phải là vô hạn thì gọi là tập hữu hạn

Từ định nghĩa suy ra:

Tập X được gọi là tập hữu hạn nếu không có một đơn ánh thực sự nào từ X đến

X Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu nó không phải là tập hữu hạn

Ví dụ: Φlà tập hữu hạn, {a} tập hữu hạn

3.3 Định nghĩa số tự nhiên

- Định nghĩa: Bản số của một tập hữu hạn được gọi là một số tự nhiên

- Cho X = {1, 2, 3, 4}; U = {m, n, p}.Tập U ʧ X1 ⊂ X nếu tồn tại đơn ánh thực

sự f từ U đến X Hay f(U) ⊂ X và U ʧ f(U)

- Định lý Căng to: Nếu X và Y là hai tập hợp bất kỳ thì:

1- Hoặc X ʧ Y1 ⊂ Y , hoặc Y ʧ X1 ⊂ X

2- Nếu X ʧ Y1 ⊂Y và Y ʧ X1 ⊂ X thì X ʧ Y

-Phát biểu dạng tương đương:

Nếu X,Y là hai tập hợp bất kỳ thì :

1- Trong các ánh xạ từ X đến Y và từ Y đến X bao giờ cũng có một đơn

Khi x ≤ y ta còn viết y ≥ x và đọc là y lớn hơn hoặc bằng x

- Định lý : Quan hệ " ≤" vừa định nghĩa là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N

Chứng minh:

1) Quan hệ "≤ " là quan hệ thứ tự bộ phận, thỏa mãn:

-Tính chất phản xạ : Giả sử x= card(x) , ∀x ∈X , luôn có X⊂ X ⇒ x ≤ x -Tính chất phản xứng: Giả sửb x= card(x), y = card(Y) , nếu có đồng thời x ≤ y

và y ≤ x , tức có X ʧ Y1 ⊂ Y và Y ʧ X1 ⊂X , tức X ʧ Y Do đó x = y

-Tính bắc cầu: Nếu có x= card(X), y = card(Y), z = card(Z) , mà x ≤ y, y≤ z Vì x≤ y nên tồn tại đơn ánh f : X → Y Vì y ≤ z nên tồn tại đơn ánh g : Y → T

⇒ gf: X → T cũng là đơn ánh Vậy X ʧ T1 ⊂ T hay x ≤ z

- Ta chứng minh quan hệ thứ tự trong N là quan hệ thứ tự toàn phần:

Giả sử x, y ∈ N , x= cardX, y = cardY

Theo Căngto hoặc X ʧ Y1 ⊂ Y ⇒ x ≤ y, hoặc Y ʧ X1 ⊂ X ⇒y ≤ x

3.5 Số liền sau: x, y ∈ N sao cho x= card(X) , y = card(Y) và X ⊂ Y

Định nghĩa: Gọi y là số liền sau của số x ⇔Card ( Y\ X) = 1 Ta cũng nói x là

số liền trước của y ( hai sốliền nhau)

Số liền sau của số tự nhiên x thường ký hiệu là x'

Rõ ràng tập hợp X \Y là tập đơn tử Do đó bản số của nó là 1

Ta có x < x' hay x' = x + 1 Số 1 là liền sau của số 0 Hay 0' = 1, , n' = n + 1, ∀n ∈ N

- Tính chất của số liền sau :

+ Mọi số tự nhiên x có một số liền sau Giả sử x = card(X) Xét tập {X} là tập

đơn tử mà phần tử là tập X Rõ ràng {X} không phải là phần tử của X

Lúc đó Y = X ∪ {X} cũng là một tập hợp hữu hạn và ta có Card(Y-X) =

1 Vậy số tự nhiên y = Card(Y) là số liền sau của x

+Người ta còn chứng minh được tính duy nhất của số liền sau: Mỗi số tự nhiên

có và chỉ có một số liền sau

+ Số 0 không là số liền sau Nói khác đi số 0 không có số liền trước

+ Mọi số tự nhiên x ≠ 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên (nói khác đi mọi

số tự nhiên x ≠ 0 đều có số liền trước)

Giả sử x là số tự hiên khác 0 và card(X) = x Thế thì X ≠ φ và do đó tồn tại a ∈

X Khi đó Y = X - {a} ⊂ X và card(X-Y) = card({a}) = 1 Vậy x là số tự nhiên

liền sau của y = Card(Y) + Giữa hai số tự nhiên x và x' không có số tự nhiên nà khác Thật vậy giả sử có

số tự nhiên y sao cho x < y < x' Khi đó tồn tại các tập hợp hữu hạn X, Y, X' sao

cho x = Card(X) , y = Card(Y) , x' = Card(X') trong đó X ⊂ Y ⊂ X' Theo định

nghĩa số liền sau Card(X- X' ) = 1 hay X- X' là một tập hợp đơn tử Nh−ng do

Y-X ⊂ Y-X'-Y-X nên ta phải có hoặc Y-Y-X = φ hoặc Y-Y-X = Y-X'-Y-X Điều đó có nghĩa ta

có hoặc Y=X hoặc Y = X' Điều này mâu thuẫn với giả sử của số tự nhiên y

Vậy không thể có số tự nhiên y ở giữa hai số x và x'

Tính chất trên còn có thể phát biểu dạng khác: x và y là hai số tự nhiên nếu x < y

thì x' ≤ y (x' là số liền sau của x)

Với khái niệm số liền sau và các tính chất nêu trên, ta có dãy các số tự nhiên

quen thuộc: 0, 0' = 1, 1' = 2 , 2' = 3, , n' = n + 1,

- Một số tính chất cơ bản khác

Định lý1: ( Tiên đề qui nạp) Nếu M là bộ phận của tập hợp các số tự nhiên thỏa

mãn hai điều kiện:

1) 0 ∈ M

2) Nếu x ∈ M thì x' ∈ M (x' là số liền sau của x) Khi đó M = N

Định lý 2: Mọi bộ phận khác rỗng các số tự nhiên đều có số nhỏ nhất

Chứng minh: Giả sử M ⊂ N , M ≠ Φ Ta chứng minh M có số nhỏ nhất Nghĩa

là tồn tại số m ∈M , mà m ≤ x với ∀x ∈ M

Xét M' = { n ∈N\ n ≤ x , ∀x ∈ M } Hiển nhiên 0 ∈ M' và nếu x ∈ M thì x'

∉M , do x< x' Chứng tỏ M' ≠N.Do M' ≠N nên có m ∈ M' mà m' ∉ M' vì nếu

không nh− vậy thi M' = N ( Định lý 1) Điều nay trái giả thiết M' ≠N

Ta chứng minh m ∈ M Thật vậy , nếu m ∉ thì từ m ≤ x, ∀x ∈ M ( Do m ∈

M') ta phải có m <x, ∀x ∈ M Từ m < x , ∀x ∈ M ta lại có m' ≤ x ,∀x ∈ M

(Theo tính hất 4 của số liền sau) điều này chứng tỏ m' ∈ M', mâu thuẫn với giả

thiết về m Vậy m ∈ M , nghĩa m là số nhỏ nhất của tập M

3.6 Hệ tiên đề về số tự nhiên ( Hệ tiên đề Pêanô - Nhà toán học ý 1858- 1932)

Tập N mà các phần tử gọi là số tự nhiên với quan hệ liền sau sẽ đ−ợc gọi là tập hợp số tự nhiên nếu nó thỏa mãn 4 tien đề sau:

1) Có số tự nhiên đ−ợc ký hiệu bằng 0

2) Mỗi số tự nhiên đều có và chỉ có một số liền sau

3) Số 0 không đứng liền sau bất kỳ số nào

4) Nếu một bộ phận A của tập hợp số tự nhiên N có tính chất:

Bài1 : Chứng minh rằng tập hợp các số Tự nhiên là tập vô hạn

Thật vậy nếu tập N vô hạn thì tồn tại song ánh

- Tính chất giao hoán của phép nhân : ∀ ,a b∈N, ab = ba

Thật vậy , Gỉa sử a,b∈N, khi dó tồn tại hai tập hợp hữu hạn A,B sao cho a = card(A) , b = card(B) Ta có : a.b = card(AìB) , b.a = card(BìA)

Ta chứng minh (AìB) ~ (BìA)

Thật vậy : xét ánh xạ f: (AìB) (BìA)

(a,b) ֏ (b,a)

Rõ ràng f là song ánh Giả sử ( a1, b1) , (a2,b2) ∈ (AìB) và ( a1, b1) ≠ (a2,b2)

Khi đó f((a1, b1)) = ( b1, a1), f((a2, b2)) = ( b2, a2), vì  ⇒

2 1

b b

a a

f((a1, b1))

≠f((a2, b2))

f là toàn ánh , vì mỗi (b,a) ∈ (BìA)luôn có cặp (a,b) ∈ (AìB)để f((a,b)) = (b,a).Vậy flà song ánh ⇒ AìB~ BìA

Do đó card(AìB) = card(BìA), hay a.b = b.a

Định nghĩa phép cộng và phép nhân: Cho a,b là hai số tự nhiên và A, B là hai tập

hữu hạn sao cho a = card ( A) , b = card ( B)

- Phép cộng: Giả sử A ∩ B = Φ , khi đó c = card ( A ∪ B ) gọi là tổng của a và

b ký hiệu là : a+b = c Qui tắc cho phép xác định tổng của hai số tự nhiên a,b gọi là phép cộng gọi là phép cộng các số tự nhiên

Từ định nghĩa suy ra muốn cộng nhiều số tự nhiên với nhau ta cộng hai số với nhau, cứ nh− vậy cho đến hết

- phép nhân: Số tự nhiên d = card ( A ì B) gọi là tích của hai số tự nhiên a và

b Ký hiệu là: a.b = d ( hoặc a ì b ) Qui tắc cho phép xác định tích hai số tự nhiên gọi là phép nhân các số tự nhiên

Từ định nghĩa : Nhân nhiều số tự nhiên với nhau ta nhân hai số với nhau, cứ nh− vậy cho đến hết Khi đó a, b còn gọi là các thừa số và gọi là các −ớc của c

Tính chất: ∀ a, b, c ∈ N ta có

- Tính chất giao hoán:

(a,b) ֏ (b,a) Ta chứng minh f là song ánh ⇒AìB ʧ B ì

A Do đó Card( AìB) = Card ( AìB) Vậy ab = ba Đ−ợc chứng minh

((a,b),c) ֏ (a, (b,c)) là song ánh , từ đó suy ra điều chứng minh

Phần tử trung lập ( Phần tử trung hòa)

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

- a.(b+c) = a.b + a.c

- (b + c) a = ba + ca

- Luật giản ứớc

- Từ đẳng thức a + b = b + c suy ra a = c

- Với c ≠0 từ đảng thức ac = bc suy ra a = b

- Với mọi số tự nhiên a, ta luôn có :

- a + 1 = a' , a + 1 là số liền sau của a

- a.0 = 0

Chứng minh:

Giả sử a = Card (A) và x∉A nên có a + 1 = Card(A∪ B), nh−ng A ⊂ A ∪{x}

và

A ∪{x} \ A = {x} là tập đơn tử nên theo định nghĩa có a + 1 = a'

Lại có A ì Φ = Φ Suy ra a.0 = 0.a = 0

Theo định nghĩa phép trừ có: c+ ( b- c ) = b Do đó a[c + (b - c )] = ab

Theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta có :

ac + a( b - c ) = ab nh−ng đẳng thức này chứng tỏ a(b - c) là hiệu của ab

và ac ⇒ a( b - c) = ab - ac

Ví dụ : Biết ab−cd= 18 Vậy :

- 1ab− 1cdbằng bao nhiêu ?

4.3.1 Định nghĩa phép chia hết: Cho số tự nhiên a, b và b ≠ 0 Nếu có một số

tự nhiên q sao cho a = bq thì ta nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b ký hiệu

là a ⋮ b, khi đó a gọi là bội của b, b là −ớc của a

Khi a ⋮ b ta còn nói b chia hết a Ký hiệu b\ a

- Từ định nghĩa suy ra:

Số 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0

Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1

Quan hệ "\" là quan hệ thứ tự bộ phận trong N*

Tính chất bắc cầu : ∀a,b,c ∈ N* nếu có a ⋮b và b ⋮c thì a ⋮c

i x a

Dễ thấy M ≠ Φ vì 0 ∈N và M bị chặn trên bởi a, suy ra M có số lớn nhất, gọi số lớn nhất là x0 = bq

Vì b ≠0 nên bq < bq+ b = b( q + 1) và b( q + 1) là bội của b lớn hơn bq nên b(q + 1) ∉M và a < b(q + 1) = bq + b Vậy có bq ≤ a < bq + b

Nếu lấy r = a - bq thì a = bq + r, với 0 ≤ r <b Vậy tồn tại q, r ∈N

- Tính duy nhất

Giả sử có q1, r1 cũng thỏa đẳng thức a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b

Vậy a = bq + r = bq1 + r1 ; 0 ≤ r, r1< b

Giả sử r1≤ r , ta có ( r - r1) = b(q1 - q ) ⇒( r - r1) ⋮ b Nhưng 0 ≤ r - r1< b ⇒ r - r1 = 0, tức r = r1 và q = q1

Từ định lý có định nghĩa sau:

Định nghĩa: Số q, r tồn tại trong định lý trên được gọi lần lượt là thương ( thương

hụt) và dư trong phép chia a cho b

Nếu r = 0 thì a = bq.Ta có phép chia hết

315 10

5 , 31

5 , 31 6

- Trường hợp 1: Nếu a : n dư 0 thì a⋮n ⇒ có điều phải chứng minh

- Trường hợp 2: Nếu a : n dư 1 thì số a + (n - 1)⋮n ⇒ có điều phải chứng minh

- Trường hợp 3: Nếu a : n dư 2 thì a + (n -2) ⋮n ⇒ có điều phải chứng minh

- Trường hợp thứ n : Nếu a : n dư n - 1 thì (a + 1)⋮ ⇒ có điều phải chứng minh

Vậy trong mọi trường hợp đều có 1 số chia hết cho n

Vậy trong m số tự nhiên liê tiếp có 1 số tự nhiên là bội của m

Ví dụ 4: Tìm x sao cho 113 + x hia cho 7 dư 5

Ta có 113 + x = 7q+ 5 ⇔113 + x + 5 = 7q ⇒108+ x = 7q⇒(7.15+ 3) + x + 7q Hay 7.15 + ( x + 3) = 7q ⇔x = 4

Thử lại 113 + 4 = 117 chia cho 7 dư 5 đúng.Vậy x= 4

2.4 mối liên hệ giữa các phép toán và quan hệ thứ tự trong N

2 Chứng minh nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c Thật vậy :

Giả sử a= cardA, b = cardB, c= cardC, A ∩ C = Φ , B ∩ C = Φ Vì a<b nên

A⊂ B, A ≠B , Khi đó cũng có A∪C ⊂ B ∪C và A∪C ≠ B ∪C Vậy a + c ≤

b + c

Ngược lại nếu a + c ≤ b + c , ta chứng minh a ≤ b Thật vậy giả sử mệnh đề sai, nghĩa là có a + c ≤ b + c nhưng a ≥b Theo chứng minh trên từ b ≤ a suy ra ngay b + c ≤ a + c mâu thuẫn

1) Nếu a ≤ 9 thì a viết một trong 10 ký hiệu trên

2) Nếu a = 9’ ( Kề sau 9) áp dụng bổ đề 2 , đến bước thứ n ta có

vÞ trÝ tiÕp theo lµ hµng chôc , hµng tr¨m , hµng ngh×n,

6 6 6

31041 + 3452 = 23145( Sinh viªn tù lÊy VD kh¸c vµ thùc hiÖn)

+) PhÐp nh©n :

23145 + 32 = 1230004( Sinh viªn tù lÊy VD kh¸c vµ thùc hiÖn)

+) PhÐp chia :

1230004 : 326 6 = 231456

( Sinh viªn tù lÊy VD kh¸c vµ thùc hiÖn)

5.3.4 Đổi một số trong hệ cơ số tùy ý thành hệ thập phân

- Khai triển a = (anan-1 ao)g =

n 0

Đổi một số từ hệ thập phân thành hệ g - phân

Ví dụ: Viết số 427 trong hệ 8 - phân

- Ta chia 427 cho 8, dư 3 và thương 53 Sau đó chia 53 cho 8, dư 5 Quá trình cứ tiếp tục cho đến khi thương của phép chia bằng không

427

3

8 53

0

8 8 6

⇒ 427 = (653)8

8.3.3 Đổi một số viết trong hệ cơ số a sang hệ cơ số b: (a, b ≠ 10)

Ta đổi số đó từ hệ cơ số a thành hệ thập phân sau đó đổi sang hệ cơ số b

Ví dụ: Đổi số a = (1551)6 sang hệ bát phân

Ta có: a = (1551)6 = 427

Sau đó: 427 = (653)8 Do đó: (1551)6 = (653)8

Đ 6 Dấu hiệu chia hết

6.1.Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 :

Định lý: Một số chia hết cho 2 hoặc 5 ⇔chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho

2 hoặc 5

Chứng minh: Giả sử a = c n c n−1 c c1 0 = cn10n + cn-110n-1 + +10c1 + c0

= 10(cn10n-1+ cn-110n-2+ + c1) + c0

= 10q + c0

Vì 10 ⋮ 2 và 10 ⋮5 ⇒ nếu c0 ⋮2 hoặc c0 ⋮5 thì a ⋮2 hoặc a ⋮5

6.2.Dấu hiệu chia hết 4 và 25 :

Định lý: Một số chia hết cho 4 hoặc 25 ⇔số tạo bởi hai chữ số cuối cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25

Chứng minh: Ta có a = c n c n−1 c c1 0 = 102(cn10n-2 + cn-110n-3 + +c2) +10c1+ c0 Vì 102 ⋮ 4 và 102 ⋮ 25 ⇔ c1c0 ⋮4 hoặc 102 ⋮ 25 thì a ⋮ 4 hoặc a ⋮ 25

6.3.Dấu hiệu chia hết 3 và 9 :

Định lý: Một số chia hết cho 3 hoặc 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia

(cn+cn-1+ + c1+c0) chia hết cho 3 hoặc 9

6.4.Dấu hiệu chia hết 11 :

Định lý: Một số chia hết cho 11 ⇔tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ là bội của 11

Chứng minh: Ta biết lũy thừa của 10 có dạng 11q + 1 hoặc 11q - 1 Thật vậy :

10n = ( 11 - 1)n = 11n - c1

n11n-1+ + (-1)n-1(1+9-1))n

k n Khi q

k n khi q

2 1

11

1 2 1

HiÖu lµ 23 - 12 = 11 lµ béi cña 11 VËy sè 9873215 ⋮ 11

5.5 DÊu hiÖu chia hÕt cho 8 hoÆc 125

§Þnh lý: Mét sè chia hÕt cho 8 hoÆc 125 ⇔sè t¹o bëi ba ch÷ sè cuèi cïng cña

nã chia hÕt cho 8 hoÆc 125

Chøng minh:

Ta cã a = c n c n−1 c c1 0 = 103(cn10n-3 + cn-110n-4 + +c3) +102c2 +10c1+ c0

V× 103 ⋮ 8 vµ 103 ⋮ 125 ⇔ c2c1c0 ⋮8 hoÆc c2c1c0 ⋮ 25 th× a ⋮ 8 hoÆc a ⋮ 125

- Số âm : được nghiên cứu khoảng TK 16 - SCN

- Về mặt toán học : Phương trình a = x + b , khi nào có nghiệm do đó xây dựng tập hợp số nguyên ℤ

1) Theo §lý 1 : (ℤ , +) lµ mét nhãm céng giao ho¸n

2) Theo §lý 2 : (ℤ , ) lµ mét vÞ nhãm nh©n giao ho¸n

c) f bảo toàn phép cộng và phép nhân các số tự nhiên

4.2 Đồng nhất mỗi số tự nhiên n với ảnh f(n) = ( , 0)n , ta được ℕ ≡ℤ+ , do đó

Do ℤ là vị nhóm cộng , với mọi b ∈ℤ , tồn tại – b∈ ℤ, với a ∈ℤ đặt

x = (- b) + a , ta có b + x = b + (-b + a) = 0 + a = a vậy –b + a là nghiệm của phương trình

Phép trừ trong ℤ Nghiệm của phương trình : b + x = a gọi là hiệu của a và b ,

kí hiệu là a – b , đọc a trừ b Ta có a – b = a + (- b)

Đ.5.Thực hành các phép toán trong ℤ

5.1 Giá trị tuyệt đối :

Định nghĩa : Giá trị tuyệt đối của số nguyên x , ký hiệu là x đ−ợc xác định nh− sau :

- Nếu x ≥ y thì x + y = n – m = x - y 

- Nếu x < y thì x + y = - ( m – n ) = - ( y - x  )

1) §Þnh nghÜa : Gi¶ sö x , y ∈ℤ Ta nãi x nhá h¬n hoÆc b»ng y vµ viÕt x ≤ y nÕu y – x ∈ ℕ vµ ta còng viÕt lµ y ≥ x

1) TÝnh chÊt cña quan hÖ thø tù vµ phÐp céng :

NÕu x ≤ y th× x + z ≤ y + z , víi mäi x, y , z ∈ℤ

1) Gi¶ sö M ⊂ ℤlµ mét bé phËn cña tËp hîp c¸c sè nguyªn ℤ

+) M gäi lµ bÞ chÆn trªn , nÕu tån t¹i sè nguyªn m , sao cho :

x ≤ m , víi mäi x ∈M

+) M gọi là bị chặn dưới , nếu tồn tại số nguyên m’ , sao cho :

x ≥ m’ , với mọi x ∈M

+) M gọi là bị chặn , nếu nó vừa bị chặn trên và bị chặn dưới

2) Định lý : Mọi bộ phận khác rỗng các số nguyên bị chặn trên đều có số lớn

nhất Mọi bộ phận khác rỗng các số nguyên bị chặn dưới đều có số nhỏ nhất C/m :

a) Giả sử M ⊂ ℤvà M ≠ ∅ và bị chặn trên Có hai trường hợp :

+ Nếu M ∩ ℕ≠ ∅, A = M ∩ ℕ là bộ phận khác rỗng các số tự nhiên và bị chặn trên , nên có số lớn nhất Đó cũng là số lớn nhất của M

+ Nếu M ∩ ℕ= ∅, nghĩa là M chỉ gồm các số nguyên âm xét tập hợp

B ={ x , x ∈ M } là bộ phận khác rỗng các số tự nhiên nên có số nhỏ nhất , chẳng hạn m là số nhỏ nhất của B , đó cũng là số nhỏ nhất của M

b) Giả sử M ⊂ ℤvà M ≠ ∅ và bị chặn dưới bởi số a Đặt : - M ={ -x, x ∈ M }, khi đó –M là tập hợp con khác rỗng của ℤ và bị chặn trên bởi-a , do đó có số lớn nhất là - m ( m ∈M ) Khi đó ta có m là số nhỏ nhất của M

_

Chương 3

Lý thuyết chia hết trên Z

I- Mục tiêu:

1 Kiến thức:

- Nắm được phép chia có dư trong tập hợp số nguyên

- Nắm vững định nghĩa quan hệ “chia hết” với “chia hết cho” trong tập Z các số nguyên

- Nắm được các khái niệm quan trọng sau:

+ Ước, ước chung, ước chung lớn nhất

+ Bội, bội chung, bội chung nhỏ nhất

+ Số nguyên tố cùng nhau

+ Số nguyên tố và hợp số

- Nắm vững nội dung các tính chất và định lý sau:

+ Một số tính chất cơ bản của quan hệ “chia hết”

+ Định lý về phép chia có dư

+ Các tính chất của ước chung lớn nhất

+ Các tính chất của quan hệ nguyên tố cùng nhau

+ Các tính chất của bội chung nhỏ nhất

+ Các tính chất của số nguyên tố, đặc biệt là định lý cơ bản của số học

2 Kỹ năng:

- Chứng minh được các tính chất và định lý quan trọng trong chương

- Thực hành tìm ƯCLN, BCNN

- Vận dụng kiến thức bộ môn để giải một số bài tập và bài toán thực tiễn

- Suy luận toán học, diễn đạt và giải quyết một vấn đề đặt ra

3 Thái độ:

- Có tinh thần hợp tác trên cơ sở hoạt động độc lập, phát huy năng lực cá nhân

- Thể hiện tính sáng tạo trong việc giải quyết bài toán

- Hứng thú với vẻ đẹp toán học, từ đó chủ động tìm tòi kiến thức và vận dụng vào thực tiễn dạy học

II- Chuẩn bị:

Đồ dùng dạy học: Máy chiếu overhead, giấy trong, bút dạ, phiếu bài tập…

III- Phương pháp dạy học:

- Dạy học hợp tác theo nhóm

- Kết hợp đàm thoại, phát vấn với thuyết trình tích cực

- Phát hiện và giải quyết vấn đề

Đ1 Chia hết và chia có dư (1 tiết) 1.1 Khái niệm chia hết:

a) 0 là bội của mọi số nguyên a ≠ 0

Vì 0 = a.0 với mọi a

b) 1 và - 1 là ước của mọi số nguyên a

Vì ta có: a =1.a và a = (-1).(-a) với ∀a ∈Z

1.2 Các tính chất chia hết:

1) Tính chất 1

∀a, b ∈Z, nÕu b\ a ⇒ b\ (-a);

+ M bÞ chÆn trªn nªn cã sè lín nhÊt Gi¶ sö b.q lµ sè lín nhÊt ⇒ b.q + |b| lµ 1 béi cña b

1.4 Bµi tËp – H−íng dÉn nghiªn cøu :

Bµi 1: Cho a, b, c ∈ Z Chøng minh r»ng :

+ Ký hiÖu ¦(a) lµ tËp hîp c¸c −íc cña a th× víi mäi sè nguyªn a tËp hîp

¦(a) ≠ φ V× ta lu«n cã 1, -1∈ ¦(a)

+ NÕu a lµ 1 sè nguyªn ≠ 0 th× tËp hîp ¦(a) bÞ chÆn trªn v× nÕu b \ a th× b ≤ |a| + TËp hîp c¸c −íc chung cña a vµ b chÝnh lµ tËp ¦(a) ∩¦(b)

3) §Þnh nghÜa:

+ Số lớn nhất trong tập các −ớc chung của a và b đ−ợc gọi là −ớc chung lớn nhất của chúng và ký hiêụ là ƯCLN (a, b)

2) Bổ đề 2:

Nếu ra có a = b.q+c thì ƯCLN (a,b) = ƯCLN (b, c)

Chứng minh:

+ Nếu d\ a và d \ b ⇒ d là −ớc của c = a-bq ⇒ d là −ớc chung của b và c

+ Ng−ợc lại, nếu d là −ớc chung của b và c thì d cũng là −ớc của a = b.q + c và

do đó d là một −ớc chung của a và b ⇒ hai tập hợp −ớc chung a và b trùng với tập

−ớc chung a và c

⇒ số lớn nhất của 2 tập hợp đó bằng nhau Đpcm

3 Thuật toán Ơclit:

Giả sử |a| > |b|, thực hiện phép chia có d− a cho b

Thực hiện phép chia có d− của b cho r1

+ Nếu b ⋮ r1, khi đó ƯCLN (a, b) = ƯCLN (b, r1) = r1

Quá trình tìm ƯCLN (a, b) hoàn thành

+ Nếu b không chia hết cho r1, ta có:

d d

b d

a = ƯCLN (a, b) với mọi −ớc chung d của a và b

Chứng minh:

a) Trong thuật toán Ơclit giữa a và b, nếu nhân 2 vế của tất cả các đẳng thức với

|m| thì ta nhận được thuật toán Ơclit giữa |m| a và |m| b Số dư ≠ 0 cuối cùng của thuật toán đó |m|rn Vậy ƯCLN (ma, mb) =

ƯCLN (|m|a,|m|b)=m rn=|m| ƯCLN (a, b)

b) Ta có: a =

d

b d b d

a

d , ) = |d| ƯCLN , )

d

b d

a

(

Từ đó suy ra Đpcm

2.4 Bài tập – Hướng dẫn nghiên cứu :

1 Dùng thuật toán Ơclit để tìm ƯCLN (a, b):

1) Ước chung lớn nhất của nhiều số.

+ Giả sử a1, a2, …, an là n (n ≥ 2) số nguyên khác 0 Số nguyên d đồng thời là ước của các số này và được gọi là 1 ước chung của chúng

+ Tập hợp các ước chung của n số nguyên ≠ 0 là 1 tập khác rỗng và bị chặn trên, nên có số lớn nhất

+ Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a1, a2, a3, …, an được gọi là ước chung lớn nhất của các số này và ký hiệu là ƯCLN (a1, a2, …, an)

d d

b,da

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả: Nếu a và b nguyên tố cùng nhau, d là số nguyên dương

thì ƯCLN (ad, bd) = d

2) Tính chất 2:

Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì ƯCLN (ac, b) = ƯCLN (c, b)

Chứng minh:

Điều kiện a và b nguyên tố cùng nhau là thiết yếu để từ giả thiết ac chia hết cho

b suy ra c chia hết cho b

VD : 6.8 ⋮ 12 nhưng không suy ra

được 8 ⋮ 12 vì 12 và 6 không nguyên tố cùng nhau

3.3 Bài tập – Hướng dẫn nghiên cứu :

Bài 1: Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n, ta có:

a) 3n +1 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau

b) 24n +4 và 14n + 3 nguyên tố cùng nhau

Bài 2: Cho 3 số nguyên a, b, c Chứng minh rằng nếu a và b nguyên tố cùng

nhau và c chia hết cho cả a lẫn b thì c chia hết cho tích ab

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

b) Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24

c)Tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120

Bài 4: Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n, ta có: