bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị

iv Nếu trong đồ thị GV, E, hai đỉnh bất kỳ đều được nối với nhaubằng không quá một cạnh có hướng hay vô hướng thì G gọi là đồ thịđơn.. v Nếu trong đồ thị GV, E có ít nhất một cặp đỉnh đư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ QUANG HÀM

BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ QUANG HÀM

BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ

Chuyên ngành: Bảo đảm toán học cho máy tính và hệ thống tính toán Mã số : 60 46 35

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn: TS Lê Anh Vinh

HÀ NỘI – 2012

MỤC LỤC

Lời nói đầu 2

1 Cơ bản về E-đồ thị 4 1.1 Lý thuyết đồ thị 4

1.2 Thuật ngữ và khái niệm đại số 9

1.3 E-Đồ thị 13

1.4 Họ E-Đồ thị 27

2 Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị 29 2.1 Xích Markov 29

2.2 Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị 34

2.3 Bước nhảy ngẫu nhiên trên E-đồ thị d-đều 52

3 Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị Paley và đồ thị Margulis 57 3.1 Đồ thị Paley 57

3.2 Đồ thị Margulis 60

Kết luận 66

Tài liệu tham khảo 67

LỜI NÓI ĐẦU

Trong lý thuyết đồ thị, bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị dành được rấtnhiều sự quan tâm trong nhiều thập niên qua Các kết quả của nó ứngdụng trong rất nhiều các lĩnh vực khác nhau Việc nghiên cứu trên từnglớp đồ thị cụ thể cho ta những ứng dụng khác nhau như: thiết kế mạng,thiết kế thuật toán mã hóa, mật mã, giả ngẫu nhiên Khi nghiên cứucác E- đồ thị cho ta thấy những tính chất rất đặc biệt như: tốc độ hội

tụ tới phân phối dừng, phân phối dừng, thời gian va chạm, thời gianphủ Luận văn này tập trung nghiên cứu các E- đồ thị và các tham sốcủa bước nhảy ngẫu nhiên trên E- đồ thị Dựa vào đó tôi đưa ra cấu trúcluận văn như sau:

Chương 1: Cơ bản về E - đồ thị

Chương này gồm hai phần Phần thứ nhất đưa ra những khái niệm

và định nghĩa cơ bản về đồ thị Phần thứ hai đưa ra những khái niệm,định nghĩa và tính chất liên quan đến đồ thị

Chương 2: Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị

Chương này gồm hai phần Phần thứ nhất gồm những khái niệm, địnhnghĩa và những kết quả cơ bản của bước nhảy ngẫu nhiên Phần thứ hainghiên cứu bước nhảy ngẫu nhiên trên E- đồ thị và các tính chất củabước nhảy ngẫu nhiên trên E- đồ thị

Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị Paley và đồ thịMargulis

Chương này áp dụng bước nhảy ngẫu nhiên trên hai đồ thị là đồ thịPaley và đồ thị Magulis

Để hoàn thành luận văn này trước hết tôi xin chân thành cảm ơn TS

Lê Anh Vinh người cố vấn với những thảo luận hiệu quả và hướng dẫnnhiệt tình Đồng thời tôi cũng xin chân thành cảm ơn TS Lê Trọng Vĩnh

đã động viên, khuyến khích và giúp đỡ trong suốt quá trình hoàn thiện

Vì lý do thời gian, nên trong luận văn không tránh khỏi những thiếusót, bất hợp lý về nội dung cũng như cách trình bày Kính mong nhậnđược những góp ý của thầy cô

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Lê Quang Hàm

V là tập đỉnh và E là tập cạnh của đồ thị G.

+ Nếu a = (x, y) trong đó x, y ∈ V không sắp thứ tự thì a được gọi làcạnh (vô hướng) của đồ thị; x, y được gọi là hai đầu của cạnh a (hay

là hai điểm đầu của cạnh a)

+ Nếu b = (u, v) trong đó u, v ∈ V được sắp thứ tự thì b được gọi làcạnh có hướng (cung) của đồ thị; u là đỉnh đầu, v là đỉnh cuối.+ Nếu c = (z, z) trong đó z ∈ V là cặp đỉnh trùng nhau thì c được gọi

là một khuyên Nếu trong hai đỉnh này vẫn quy định thứ tự thì c đượcgọi là khuyên có hướng

Định nghĩa 1.1.2 x, y được gọi là hai đỉnh kề nhau nếu chúng đượcnối với nhau bằng một cạnh hay một cung

+ Hai cạnh có chung ít nhất một đỉnh gọi là hai cạnh kề nhau Haicung a và b, nếu điểm cuối a trùng với điểm đầu của b thì a và b gọi làhai cung kề nhau Dùng D(x) để ký hiệu tập gồm tất cả các đỉnh màmỗi đỉnh này có cạnh nối với x

D+(x) là tập tất cả các đỉnh mà từ x có cung đi tới

D−(x) là tập tất cả các đỉnh có cung đi tới x.

Định nghĩa 1.1.3 (i) Nếu tập E gồm toàn cạnh thì G(V, E) là đồ thị

vô hướng

(ii) Nếu tập E gồm toàn cung thì G(V, E) là đồ thị có hướng.(iii) Nếu tập E gồm cả cạnh và cung thì G(V, E) được gọi là đồ thịhỗn hợp

(iv) Nếu trong đồ thị G(V, E), hai đỉnh bất kỳ đều được nối với nhaubằng không quá một cạnh (có hướng hay vô hướng) thì G gọi là đồ thịđơn

(v) Nếu trong đồ thị G(V, E) có ít nhất một cặp đỉnh được nối vớinhau không ít hơn hai cạnh có hướng hoặc vô hướng thì G(V, E) đượcgọi là đa đồ thị

Định nghĩa 1.1.4 (i) Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là đồ thịđầy đủ nếu mỗi cặp đỉnh của nó được nối với nhau bởi đúng một cạnh.(ii) Một đa đồ thị vô hướng mà mỗi cặp đỉnh của nó được nối vớinhau bằng đúng k cạnh được gọi là đồ thị k-đầy đủ

(iii) Một (đa) đồ thị được gọi là (đa) đồ thị phẳng nếu nó có ítnhất một dạng biểu diễn hình học trên mặt phẳng mà các cạnh chỉ cắtnhau ở đỉnh

(iv) Một (đa) đồ thị với số cạnh của mỗi đỉnh đều hữu hạn được gọi

là (đa) đồ thị hữu hạn địa phương

Định nghĩa 1.1.5 (i) Giả sử x là đỉnh tùy ý của đồ thị G = (V, E).Người ta gọi số cạnh và cung của đỉnh x là bậc của đỉnh x, kí hiệu làd(x)

(ii) Đồ thị mà bậc của tất cả các đỉnh đều bằng nhau và bằng d thìđược gọi là đồ thị d-đều

Định nghĩa 1.1.6 Dãy đỉnh α = (x1, x2, , xm) được gọi là một xíchnếu với mọi 0 6 t 6 m − 1 thì cặp xt, xt+1 kề nhau Ta cũng nói xích

nối giữa đỉnh x1 và đỉnh xm hoặc xích α đi từ đỉnh x1 đến đỉnh xm.

Hình 1.1:

(i) Một xích mà có hai đầu trùng nhau thì được gọi là chu trình.(ii) Một xích được gọi là xích sơ cấp nếu nó đi qua mỗi cạnh của đồthị không quá một lần

(iii) Một chu trình được gọi là chu trình sơ cấp nếu nó đi qua mỗiđỉnh của đồ thị không quá một lần

(iv) Một xích được gọi là xích đơn nếu nó đi qua mỗi đỉnh của đồthị không quá một lần

(v) Một chu trình được gọi là chu trình đơn nếu nó đi qua mỗi cạnhcủa đồ thị không quá một lần

Định nghĩa 1.1.7 (i) Tổng số cạnh xuất hiện trong chu trình α đượcgọi là độ dài của chu trình

(ii) Tổng số cạnh xuất hiện trong xích α được gọi là độ dài của xích

và ký hiệu bởi |α|

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử G = (X, E) là đồ thị có hướng Dãy đỉnh

β = (y1, y2, , yt, yt+1, , ym) được gọi là một đường trong G nếu với mọi

0 6 t 6 m − 1, có một cung từ yt sang yt+1 Ta còn nói rằng đường βxuất phát từ đỉnh y1 đi tới đỉnh ym Trong đó y1 là đỉnh đầu của đường

β và ym là đỉnh cuối của đường β

Định nghĩa 1.1.9 (i) Một đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối thìgọi là một vòng.

(ii) Một đường đi qua mỗi đỉnh không quá một lần thì gọi là đường

Định nghĩa 1.1.11 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng

(i) Hai đỉnh a, b thuộc V được gọi là hai đỉnh liên thông (hay cặpđỉnh liên thông) nếu chúng được nối với nhau ít nhất một xích

(ii) Đồ thị vô hướng G(V, E) được gọi là đồ thị liên thông nếu mỗicặp đỉnh của nó đều liên thông với nhau

Định nghĩa 1.1.12 Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng

(i) Cặp đỉnh c, d thuộc X được gọi là hai đỉnh liên thông (hay cặpđỉnh liên thông) nếu có ít nhất một đường đi từ c đến d hoặc ngược lại.(ii) Đồ thị có hướng G(V, E) được gọi là đồ thị liên thông mạnhnếu mỗi cặp đỉnh của nó đều liên thông với nhau

Định nghĩa 1.1.13 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị tuỳ ý Mỗi đồthị con của G mà liên thông hay liên thông mạnh đều được gọi là mộtthành phần liên thông của G

Định nghĩa 1.1.14 Đỉnh x trong đồ thị liên thông được gọi là đỉnhcắt nếu đồ thị nhận được bằng cách bỏ điểm x sẽ là đồ thị không liênthông

Thì G gọi là một đồ thị đều mạnh với các tham số (n, κ, λ, µ) và kýhiệu srg(n, κ, λ, µ).

1.2 Thuật ngữ và khái niệm đại số

Định nghĩa 1.2.1 Chúng ta sẽ làm việc với các thuật ngữ đại số sauđây

- Chúng ta sẽ làm việc chủ yếu trên trường số thực R

- Dùng Rn×m là không gian các ma trận thực n × m Dùng Mn(R) =

Rn×n chúng ta sẽ coi véc tơ cột v ∈ Rn như ma trận trong Rn×1

- Dùng In để biểu thị ma trận đường chéo n × n Chúng ta viết I khikhông có sự nhầm lẫn về kích cỡ của ma trận, Jn nếu là ma trận đơn vị.

- Dùng AT để biểu thị ma trận chuyển vị của A, A là đối xứng nếu

A = AT, A là trực giao nếu AAT = I

- Ma trận thực A thuộc Mn(R) với các phần tử ai,j > 0 được gọi là

ma trận ngẫu nhiên kép nếu P

Ví dụ 1.2.2 Cho đồ thị G(V, E) vô hướng (Hình 1.4), trong đó

V = {0, 1, 2, 3},

E = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2)}

Hình 1.4:

(1) F cùng với các phép toán ⊕ là một nhóm Abel (với phần tử trunghòa ký hiệu là 0).

(2) F∗ = F\{0} cùng với các phép toán ∗ là một nhóm Abel (với phần

tử đơn vị ký hiệu là 1)

(3) Luật phân phối: với mọi a, b, c ∈ F, chúng ta có (a ⊕ b) ∗ c =

a ∗ c ⊕ b ∗ c

Chú ý 1.2.5 Phần tử 0 là một phần tử ngoại lệ không có phần tử nghịchđảo.

Ví dụ 1.2.6 (1) Q, R, C cùng với các phép cộng + và phép nhân * tạothành các trường

(2) Tập con Q[i] = {a + bi ∈ C : a, b ∈ Q} của C là một trường Gọi

là trường hữu tỉ Gauss

(3) Vành các số nguyên modulo p, Zp là một trường nếu p là một sốnguyên tố

Định nghĩa 1.2.7 Số đặc trưng của trường F (ký hiệu là CharF) là

số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho n1=0 Trong đó n1 là ký hiệu hìnhthức của tổng n số 1: 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ · · · ⊕ 1 Nếu n1 không bằng 0 thì

ta nói F có số đặc trưng là 0

Lưu ý rằng số đặc trưng của một trường có thể không bao giờ là 1 vì

1 ∗ 1 6= 0 Nếu Char F 6= 0 thì Char F phải là một số nguyên tố Vì nếuChar F = n = rs trong đó r và s là các số nguyên dương lớn hơn 1 Khi

đó (r1)(s1) = n1 = 0, nên hoặc r1 hoặc s1 bằng 0, điều này nói lên rằngChar F < n

Định nghĩa 1.2.8 Nếu F và E là các trường và F ⊆ E, ta nói E là một

sự mở rộng của F và F là một trường con của E và ta viết F 6 E

Lưu ý rằng nếu F 6 E thì ta có thể xem E như một không gian vectơtrên F, vì nếu chúng ta xét các phần tử của E như các vectơ và các phần

tử của F như các vô hướng thì các tiêu đề của một không gian vectơ đượcthỏa mãn Số chiều của không gian vectơ này gọi là bậc của sự mở rộng

và được ký hiệu [E : F] Nếu [E : F] = n < ∞ ta nói E là một sự mở rộnghữu hạn của F

Định nghĩa 1.2.9 Một trường con nhỏ nhất Fp của một trường F vớiChar F = p được gọi là một trường nguyên tố

Định lý 1.2.10 Số các phần tử của một trường hữu hạn F bằng pn,trong đó p là một số nguyên tố và n ∈ N.

Định lý 1.2.11 Với mọi số nguyên tố p và n ∈ N có một trường với pnphần tử

1.3 E-Đồ thị

Trong phần này chúng ta sẽ giới thiêụ về E-đồ thị

Xét một cách trực quan một E-đồ thị là một đồ thị mà với bất kì mộttập nhỏ các đỉnh nào cũng có tập đỉnh kề với nó lớn

Định nghĩa 1.3.1 Cho đồ thị G = (V, E) với n đỉnh Với mỗi tập

Hằng số c thường được gọi là tốc độ nở (expansion rate) của đồ thị.

Định nghĩa 1.3.4 Cho đồ thị d-đều, bậc n, G(V,E) Gọi A(G) là matrận kề của đồ thị G, ta định nghĩa ma trận kề chuẩn hóa của đồ thị Glà

Chúng ta phát biểu mà không chứng minh định lí sau

Định lý 1.3.5 Gọi A là ma trận n × n đối xứng gồm các số thực Khi

đó tồn tại một hệ các véc tơ trực giao {v1, v2, , vn} tương ứng với ngiá trị riêng λ1, λ2, , λn

Định nghĩa 1.3.6 Gọi λ1, λ2, , λn là các giá trị riêng của đồ thị G,với thứ tự 1 = |λ1| > |λ2| > · · · > |λn| chúng ta nói rằng G là λ-nở phổnếu |λ2| 6 λ Hơn nữa, chúng ta định nghĩa λ2(G) = |λ2|

Chúng ta sẽ thêm cho định nghĩa này các tham số n và d rằng đồ thị

G là một (n, d, λ)-nở phổ nếu G có n đỉnh đều bậc d và λ2(G) = |λ|.Xét bất kì phân phối xác suất x ∈ Rn trên các đỉnh của đồ thị, trong

đó xi > 0, ∀i và Pni=1xi = 1 Vì bA là ma trận thực và đối xứng, nên cóthể biểu diễn x là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ riêng {v1, v2, , vn}với các giá trị riêng tương ứng λ1, λ2, , λn, trong đó v1 = u là phânphối đều và vi⊥u, ∀i 6= 1 Rõ ràng, hệ số của u trong phân tích này là 1

Dễ thấy rằng nếu |λ2| càng nhỏ thì tốc độ để hội tụ về u càng nhanh.

Bổ đề 1.3.7 Giá trị riêng của một ma trận kề chuẩn hóa của đồ thị Gbất kì luôn tối đa là bằng 1, tương ứng với véc tơ riêng u

Chứng minh Xét bất kì giá trị riêng λ của bA = bA(G) tương ứng với véc

tơ riêng v, sẽ có một vài i nào đó sao cho |vi| = maxj|vj| , trong đó

|vi| > 0 Khi đó áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có

Bổ đề 1.3.9 Đồ thị G là liên thông nếu và chỉ nếu giá trị riêng 1 của

ma trận bA xuất hiện với bội 1

Chứng minh Giả sử G là không liên thông Khi đó G phải có ít nhất haithành phần liên thông Gọi X ⊂ V là một thành phần liên thông của

đồ thị và đặt Y = V | X Với mỗi tập S ⊂ V , gọi χs là một véc tơ đặctrưng của nó, nghĩa là véc tơ có tọa độ i bằng 1 nếu i ∈ S và bằng 0 vớimọi trường hợp khác Ta phát biểu rằng χX và χY là hai véc tơ riêngứng với giá trị riêng 1

Giả sử giá trị riêng bằng 1 xuất hiện với bội lớn hơn 1 Khi đó cómột vài véc tơ x⊥u là véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 Gọi

X = {i | xi = maxjxj} Vì λ = 1, điều này nói lên rằng với bất kì i ∈ X,

và với bất kì aij 6= 0, phải có xj = xi Vậy nên aij = 0, ∀i ∈ X, j ∈ V \X

và X không liên thông với V \X

Bổ đề 1.3.10 Đồ thị liên thông G là đồ thị hai phần nếu và chỉ nếu matrận kề chuẩn hóa của nó có một giá trị riêng -1

Chứng minh Nếu đồ thị G là hai phần thì đồ thị bình phương của nó làkhông liên thông Nên G2 có giá trị riêng 1 với bội 2 mỗi giá trị riêngcủa G2 là bình phương giá trị riêng của G Vì G là đồ thị liên thông nên

nó có giá trị riêng bằng 1 với bội 1, nên tương ứng với một giá trị riêng

1 của Vì giá trị riêng bằng 1 khác của G2 cũng phải là bình phương củagiá trị riêng của G nên G phải có giá trị riêng bằng -1

Nếu G có một giá trị riêng bằng -1, khi đó có một véc tơ riêng x⊥usao cho bAx = −x Gọi X = {i | xi = maxjxj} Chúng ta có với bất kì

i ∈ X, và với bất kì aij 6= 0, phải có xi = −xj Vậy aij = 0 ∀i, j ∈ X.Hơn nữa, vì G là liên thông, điều này có nghĩa ∀i ∈ Y = V \Xchúng ta

có xi = − maxjxj, do đó không có cạnh nào giữa các đỉnh trong Y Điềunày dẫn đến G là đồ thị hai phần với một phần là X phần còn lại là

Y

Bổ đề 1.3.11 Cho A là một ma trận vuông đối xứng cấp n gồm các

số thực Gọi λ1 > λ2 >, , > λn là phổ của A với hệ các véc tơ trựcchuẩn tương ứng {v1, v2, , vn} Với k ∈ [n] bất kì, định nghĩa Wk ⊂ Rn

là không gian con được sinh bởi hệ {v1, v2, , vk} Khi đó chúng ta cóvới mọi k thì

hAx, xi

hx, xi > λk với mọi x ∈ Wk \ {0} (1.2)hAy, yi

hy, yi 6 λk+1 với mọi y ∈ Wk⊥\ {0} (1.3)

Chứng minh Vì {v1, v2, , vk} là một cơ sở của Wk, chúng ta có thể viết

Pk i=1λic2i

hx, xi

>

Pk i=1λkc2i

hx, xi =

λkPk i=1c2i

hx, xi

= λk

Tương tự, vì {v1, v2, , vn} là cơ sở của Rn nên

Wk⊥ = Span(vk+1, vk+2, , vn)

Lí luận tương tự sẽ đưa ra được giới hạn trên của hAy,yihy,yi

Bổ đề 1.3.12 Cho đồ thị G bất kỳ với ma trận kề chuẩn A thì

1 − 1D||x||2

X

(i,j)∈E

(xi− xj)2

Chúng ta thấy rằng

||Ax|| = p|hAx, Axi| = p|hA2x, xi|

Áp dụng đẳng thức vừa chúng minh suy ra

aijxixj

=

2dX(i,j)∈E

xixj

... class="text_page_counter">Trang 31

CHƯƠNG 2

BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ

Những vấn đề chương tham khảo tổng hợp từcác tài liệu Nguyễn Duy Tiến,... nghĩa 1.4.2 (i) Một họ E -đồ thị gọi xây dựngtương đối rõ có tồn mọt thuật toán thời gian đa thức saocho liệu vào i kết cho đồ thị Gi

(ii) Một họ E -đồ thị gọi xây dựng rõ tồn... khơng thiết ngẫu nhiên kép.Đặt λGi (H) = |λGi |

Hệ 1.3.15 Cho đồ thị G với giá trị riêng lớn thứ hai λ2(G).Gọi H đồ thị G Khi λG2