bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị

ĐẠ I HỌ C QUỐ C GIA HÀ NỘ I TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUANG HÀM BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ LUẬ N VĂN THẠ C SĨ KHOA HỌC H NI – 2012 ĐẠ I HỌ C QUỐ C GIA HÀ NỘ I TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUANG HÀM BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngà nh: Bảo đảm toán học cho máy tính và hệ thống tính toán M s : 60 46 35 LUẬ N VĂN THẠ C SĨ KHOA HỌC Cán bộ hướ ng dẫ n: TS. Lê Anh Vinh H NI – 2012 1 MỤC LỤC Mục lục 1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Cơ bản về E-đồ thị 4 1.1. Lý thuyết đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Thuật ngữ và khái niệm đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. E-Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Họ E-Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị. 29 2.1. Xích Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. Bước nhảy ngẫu nhiên trên E-đồ thị d-đều . . . . . . . . . . 52 3 Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị Paley và đồ thị Marg ulis57 3.1. Đồ thị Paley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2. Đồ thị Margulis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài liệu t ham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết đồ thị, bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị dành được rất nhiều sự quan tâm trong nhiều thập niên qua. Các kết quả của nó ứng dụng trong rất nhiều các lĩnh vực khác nhau. Việc nghiên cứu trên từng lớp đồ thị cụ thể cho ta những ứng dụng khác nhau như: thiết kế mạng, thiết kế thuật toán mã hóa, mật mã, giả ngẫu nhiên Khi nghiên cứu các E- đồ thị cho ta thấy những tính chất rất đặc biệt như: tốc độ hội tụ tới phân phối dừng, phân phối dừng, thời gian va chạm, thời gian phủ Luận văn này tập trung nghiên cứu các E- đồ thị và các tham số của bước nhảy ngẫu nhiên trên E- đồ thị. Dựa vào đó tôi đưa ra cấu trúc luận văn như sau: Chương 1: C ơ bản về E - đồ thị. Chương này gồm hai phần. Phần thứ nhất đưa ra những khái niệm và định nghĩa cơ bản về đồ thị. Phần thứ hai đưa ra những khái niệm, định nghĩa và tính chất liên quan đến đồ thị. Chương 2: Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị. Chương này gồm hai phần. Phần thứ nhất gồm những khái niệm, định nghĩa và những kết quả cơ bản của bước nhảy ngẫu nhiên. Phần thứ hai nghiên cứu bước nhảy ngẫu nhiên trên E- đồ thị và các tính chất của bước nhảy ngẫu nhiên trên E- đồ thị. Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị Paley và đồ thị Margulis. Chương này áp dụng bước nhảy ngẫu nhiên trên hai đồ thị là đồ thị Paley và đồ thị Magulis. Để hoàn thành luận văn này trước hết tôi xin chân thành cảm ơn TS 3 Lê Anh Vinh người cố vấn với những thảo luận hiệu quả và hướng dẫn nhiệt tình. Đồng thời tôi cũng xin chân thành cảm ơn TS Lê Trọng Vĩnh đã động viên, khuyến khích và giúp đỡ trong suốt quá trình hoàn thiện. Vì lý do thời gian, nên trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, bất hợp lý về nội dung cũng như cách trình bày. Kính mong nhận được những góp ý của thầy cô. Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Lê Quang Hàm 4 CHƯƠNG 1 CƠ BẢN VỀ E-ĐỒ THỊ Kiến thức chủ yếu được đưa ra trong chương này, chúng ta dễ dà ng tham khảo trong các tài liệu viết về lý thuyết đồ thị, E- đồ thị [2], [3], [5], [7]. 1.1. Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1.1. 1. Giả sử có tập V = ∅ các đối tượng tùy ý. E là tập một số cặp đối tượng thuộc V được sắp thứ tự hoặc không. Cặp (V, E) được gọi là một đồ thị. Ký hiệu là G = (V, E) hoặc G(V, E). Trong đó V là tập đỉnh và E là tập cạnh của đồ thị G. + Nếu a = (x, y) trong đó x, y ∈ V không sắp thứ tự thì a được gọi là cạnh (vô hướng) của đồ thị; x, y được gọi là hai đầu của cạnh a (hay là hai điểm đầu của cạnh a) + Nếu b = (u, v) trong đó u, v ∈ V được sắp thứ tự thì b được gọi là cạnh có hướng (cung) của đồ thị; u là đỉnh đầu, v là đỉnh cuối. + Nếu c = (z, z) trong đó z ∈ V là cặp đỉnh trùng nhau thì c được gọi là một khuyên. Nếu trong hai đỉnh này vẫn quy định thứ tự thì c được gọi là khuyên có hướng. Định nghĩa 1.1.2. x, y được gọi là hai đỉnh kề nhau nếu chúng được nối với nhau bằng một cạnh hay một cung. + Hai cạnh có chung ít nhất một đỉnh gọ i là hai cạnh kề nhau. Hai cung a và b, nếu điểm cuối a trùng với điểm đầu của b thì a và b gọi là hai cung kề nhau. Dùng D(x) để ký hiệu tập gồm tất cả các đỉnh mà mỗi đỉnh này có cạnh nối với x. D + (x) là tập tất cả các đỉnh mà từ x có cung đi tới. 5 D − (x) là tập tất cả các đỉnh có cung đi tới x. Định nghĩa 1.1.3. (i) Nếu tập E gồm toàn cạnh thì G(V, E) là đồ thị vô hướng. (ii) Nếu tập E gồm toàn cung thì G(V, E) là đồ thị có hướng. (iii) Nếu tập E gồm cả cạnh và cung thì G(V, E) được gọi là đồ thị hỗn hợp. (iv) Nếu trong đồ thị G(V, E), hai đỉnh bất kỳ đều được nối với nhau bằng không quá một cạnh (có hướng hay vô hướng) thì G gọi là đồ thị đơn. (v) Nếu trong đồ thị G(V, E) có ít nhất một cặp đỉnh được nối với nhau không ít hơn hai cạ nh có hướng hoặc vô hướng thì G(V, E) được gọi là đa đồ thị. Định nghĩa 1.1.4. (i) Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mỗi cặp đỉnh của nó được nối với nhau bởi đúng một cạnh. (ii) Một đa đồ thị vô hướng mà mỗi cặp đỉnh của nó được nối với nhau bằng đúng k cạnh được gọi là đồ thị k-đầy đủ. (iii) Một (đa) đồ thị được gọi là (đa) đồ thị phẳng nếu nó có ít nhất một dạng biểu diễn hình học trên mặt phẳng mà các cạnh chỉ cắt nhau ở đỉnh. (iv) Một (đa) đồ thị với số cạnh của mỗi đỉnh đều hữu hạn được gọi là (đa) đồ thị hữu hạn địa phương. Định nghĩa 1.1.5. (i) Giả sử x là đỉnh tùy ý của đồ thị G = (V, E). Người ta gọi số cạnh và cung của đỉnh x là bậc của đỉnh x, kí hiệu là d(x). (ii) Đồ thị mà bậc của tất cả các đỉnh đều bằng nhau và bằng d thì được gọi là đồ thị d-đều. Định nghĩa 1.1.6. Dãy đỉnh α = (x 1 , x 2 , . . . , x m ) được gọi là một xích nếu với mọi 0  t  m − 1 thì cặp x t , x t+1 kề nhau. Ta cũng nói xích 6 nối giữa đỉnh x 1 và đỉnh x m hoặc xích α đi từ đỉnh x 1 đến đỉnh x m . Hình 1.1: (i) Một xích mà có hai đầu trùng nhau thì được gọi là chu trình. (ii) Một xích được gọ i là xích sơ cấp nếu nó đi qua mỗi cạnh của đồ thị không quá một lần. (iii) Một chu trình được gọi là chu trình sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh của đồ thị không quá một lần. (iv) Một xích được gọi là xích đơn nếu nó đi qua mỗi đỉnh của đồ thị không quá một lần. (v) Một chu trình được gọi là chu trình đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh của đồ thị không quá một lần. Định nghĩa 1.1.7. (i) Tổng số cạnh xuất hiện trong chu trình α được gọi là độ dài của chu trình. (ii) Tổng số cạnh xuất hiện trong xích α đượ c gọi là độ dài của xích và ký hiệu bởi |α|. Định nghĩa 1.1.8. Giả sử G = (X, E) là đồ thị có hướng. Dãy đỉnh β = (y 1 , y 2 , , y t , y t+1 , , y m ) được gọi là một đường trong G nếu với mọi 0  t  m − 1, có một cung từ y t sang y t+1 . Ta còn nói rằng đường β xuất phát từ đỉnh y 1 đi tới đỉnh y m . Trong đó y 1 là đỉnh đầu của đường β và y m là đỉnh cuối của đường β. 7 Định nghĩa 1.1.9. (i) Một đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối thì gọi là một vòng. (ii) Một đường đi qua mỗi đỉnh không quá một lần thì gọi là đường sơ cấp. (iii) Một vòng đi qua mỗi đỉnh không quá một lần thì gọ i là vòng sơ cấp. (iv) Một đường đi qua mỗi đỉnh cung không quá một lần thì gọi là đường đơn. (v) Một vòng đi qua mỗi cung không quá một lần thì gọi là vòng đơn. Định nghĩa 1.1.10. Tổng số các cung xuất hiện trên đường β (vòng β) được gọi là độ dài của đường β (vòng β). Định nghĩa 1.1. 11 . Giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng . (i) Hai đỉnh a, b thuộc V được gọi là hai đỉnh liên thông (hay cặp đỉnh liên thông) nếu chúng được nối với nhau ít nhất một xích. (ii) Đồ thị vô hướng G(V, E) được gọi là đồ thị liên thông nếu mỗi cặp đỉnh của nó đều liên thông với nhau. Định nghĩa 1.1. 12 . Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng. (i) Cặp đỉnh c, d thuộc X được gọi là hai đỉnh liên thông (hay cặp đỉnh liên thông) nếu có ít nhất một đường đi từ c đến d hoặc ngược lại. (ii) Đồ thị có hướng G(V, E) được gọi là đồ thị liên thông mạnh nếu mỗi cặp đỉnh của nó đều liên thông với nhau. Định nghĩa 1.1.13. Giả sử G = (V, E) là một đồ thị tuỳ ý. Mỗi đồ thị con của G mà liên thông hay liên thông mạnh đều được gọi là một thành phần liên thông của G. Định nghĩ a 1.1.14 . Đỉnh x trong đồ thị liên thông được gọi là đỉnh cắt nếu đồ thị nhận được bằng cách bỏ điểm x sẽ là đồ thị không liên thông. 8 Ví dụ 1.1.15. Cho đồ thị (Hình 1.2) Hình 1.2: + Các thành phần G 1 , G 2 , G 3 , G 4 liên thông, G không là đồ thị liên thông. + G 1 , G 2 , G 3 , G 4 là thành phần liên thông của G. Định nghĩa 1.1. 16 . Đồ thị tự bù: Cho G=(V,E) là một đồ thị hữu hạn. Đồ thị bù của G là G với V (G) = V (G), và E(G) được xác định như sau: (x, y) ∈ E(G) ⇔ (x, y) /∈ E(G). Đồ thị G gọi là tự bù nếu nó đẳng cấu với phần bù của nó. [...]... cạnh của đồ thị G(hoặc là hằng số Cheeger trong hình học Riemann) (ii) Đại lượng g(G) = min n |S| 2 |Γ(S) \ S| |S| được gọi là tham số nở đỉnh của đồ thị G Định nghĩa 1.3.3 Một (n, d, c)-nở cạnh là một đồ thị d-đều, có bậc n, và có h(G) c Một (n, d, c)-nở đỉnh là một đồ thị d-đều, có bậc n, và có g(G) c 14 Hằng số c thường được gọi là tốc độ nở (expansion rate) của đồ thị Định nghĩa 1.3.4 Cho đồ thị d-đều,... phát v0 Chúng ta chọn một đỉnh trong các đỉnh kề với nó một cách ngẫu nhiên và di chuyển đến đỉnh này, sau đó, từ điểm này chúng ta lại di chuyển một cách ngẫu nhiên đến một trong các đỉnh kề của nó, cứ lặp lại việc này nhiều lần chúng ta sẽ tạo ra một chuỗi các đỉnh được chọn, chuỗi này được gọi là một bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị G ... ∈ V \X và X không liên thông với V \X Bổ đề 1.3.10 Đồ thị liên thông G là đồ thị hai phần nếu và chỉ nếu ma trận kề chuẩn hóa của nó có một giá trị riêng -1 Chứng minh Nếu đồ thị G là hai phần thì đồ thị bình phương của nó là không liên thông Nên G2 có giá trị riêng 1 với bội 2 mỗi giá trị riêng của G2 là bình phương giá trị riêng của G Vì G là đồ thị liên thông nên nó có giá trị riêng bằng 1 với bội... / / / xích Markov X không chạm A trong n bước sau khi xuất phát từ i Theo giả thiết yi là không âm, do đó yi 1 + q1 + q2 + · · · + qn Vì i đúng với n là bất kỳ, bằng việc lấy giới hạn khi n → ∞ chúng ta có yi lim (1 + q1 + q2 + · · · + qn ) n→∞ A ki nếu yi A ki ∀i ∈ I, và do đó A {ki | i ∈ A} là nghiệm nhỏ nhất 2.2 Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị Cho một đồ thị G = (V, E) gồm n đỉnh, m cạnh và một... nguyên tố và n ∈ N Định lý 1.2.11 Với mọi số nguyên tố p và n ∈ N có một trường với pn phần tử 1.3 E -Đồ thị Trong phần này chúng ta sẽ giới thiêụ về E -đồ thị Xét một cách trực quan một E -đồ thị là một đồ thị mà với bất kì một tập nhỏ các đỉnh nào cũng có tập đỉnh kề với nó lớn Định nghĩa 1.3.1 Cho đồ thị G = (V, E) với n đỉnh Với mỗi tập S ⊆ V ta định nghĩa tập S = V \S (i) Tập cạnh biên của S, ký hiệu... Ví dụ 1.1.17 Hình 1.3: C5 là tự bù vì C5 ∼ C 5 (Hình 1.3) = Đồ thì đều mạnh: Cho đồ thị κ- đều G với |G| = n Nếu có hai số nguyên λ, µ thỏa mãn Mọi cặp đỉnh kề đều có λ đỉnh kề chung và mọi cặp đỉnh không kề đều có µ đỉnh kề chung Thì G gọi là một đồ thị đều mạnh với các tham số (n, κ, λ, µ) và ký hiệu srg(n, κ, λ, µ) Đồ thị đối xứng: Đồ thị G được gọi là đối xứng nếu cho trước các cặp đỉnh kề (u1... Đồ thi Gi là một đồ thi d-đều bậc ni (d là như nhau với mọi đồ thị) Dãy {ni } là đơn điệụ tăng nhưng không tăng quá nhanh, nghĩa là ni+1 n2 với mọi i i 1 (ii) Với mọi i, h(Gi ) ε>0 Định nghĩa 1.4.2 (i) Một họ E -đồ thị được gọi là được xây dựng tương đối rõ nếu có tồn tại mọt thuật toán trong thời gian đa thức sao cho dữ liệu vào là i thì kết quả cho ra đồ thị Gi (ii) Một họ E -đồ thị được gọi là được... như trên, ta có ij∈E Z (zi −zj )2 = 2n ij Z (zi −zj )2 = 2n 2 2 (zi2 +zj )−2 ij zi |xi |, Z i i và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz lần nữa ta có (|zi | + |zj |)2 ij∈E 2 2(zi2 + zj ) = 2d zi2 = 2d |xi | i ij∈E i Dẫn đến |xi − xj | |xi | 2d Z i ij∈E |xi | = i √ |xi | 2dZ i 1.4 Họ E -Đồ thị Định nghĩa 1.4.1 Một họ các E -đồ thị {Gi } trong đó i ∈ N là tập hợp các đồ thị có những tính chất sau: (i) Đồ. .. thị G(V, E) và n đỉnh Mỗi đồ thị G(V, E) được đặc trưng bởi một ma trận kề A = (aij )n×n Trong đó: aij là số cạnh (cung) nối đỉnh i và j của đồ thị G vô hướng (có hướng) Ví dụ 1.2.2 Cho đồ thị G(V, E) vô hướng (Hình 1.4), trong đó V = {0, 1, 2, 3}, E = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2)} Hình 1.4: 11 Khi đó ta có  0 1 A = 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0  1 0 0 0 Ví dụ 1.2.3 Cho đồ thị G(V, E) có hướng (Hình... ma trận ngẫu nhiên kép nếu j akj = i 0 được gọi là aik = 1 với mọi 1 k n - Tích của các vec tơ là x, y = x1 y1 + · · · + xn yn Chuẩn L1 của một vec tơ x được biểu thị bởi |x|1 và bằng tổng được biểu thị bởi ||x||2 và bằng n i=1 |xi | Chuẩn L2 của x x, x - Hai véc tơ x và y được gọi là trực giao nếu x, y = 0 Nếu x và y trực giao, chúng ta viết x⊥y + Biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề Cho đồ thị G(V, . bản của bước nhảy ngẫu nhiên. Phần thứ hai nghiên cứu bước nhảy ngẫu nhiên trên E- đồ thị và các tính chất của bước nhảy ngẫu nhiên trên E- đồ thị. Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị Paley. ngẫu nhiên trên đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. Bước nhảy ngẫu nhiên trên E -đồ thị d-đều . . . . . . . . . . 52 3 Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị Paley và đồ thị Marg ulis57 3.1. Đồ. thị. Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị Paley và đồ thị Margulis. Chương này áp dụng bước nhảy ngẫu nhiên trên hai đồ thị là đồ thị Paley và đồ thị Magulis. Để hoàn thành luận văn này trước hết