Tốc độ trộn của bước đi ngẫu nhiên trên đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỒNG NGUN BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN SĨNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS Đào Văn Dương Bình Định - 2019 Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii Mở đầu iv Một số kiến thức sở 1.1 Không gian Lp ♣Rq, ↕ p ↕ ✽ 1.2 Phép biến đổi Fourier 1.2.1 Phép biến đổi Fourier không gian L1 ♣Rq 1.2.2 Phép biến đổi Fourier tích chập không gian Lebesgue 1.3 Không gian hàm suy rộng 1.4 Biến đổi Fourier hàm suy rộng 11 1.5 Biến đổi tích phân sóng nhỏ 11 Biến đổi tích phân sóng nhỏ số khơng gian hàm 18 2.1 Biến đổi tích phân sóng nhỏ không gian Lp Sobolev 19 2.1.1 Biến đổi tích phân sóng nhỏ khơng gian Lp 19 2.1.2 Biến đổi tích phân sóng nhỏ khơng gian Sobolev 25 i ii 2.2 Biến đổi tích phân sóng nhỏ khơng gian loại S 34 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N : Tập số tự nhiên, nghĩa là, N ✏ t1, 2, 3, ✉ Z : Tập số tự nguyên, nghĩa là, Z ✏ t , ✁2, ✁1, 0, 1, 2, , ✉ Q : Tập số hữu tỷ R : Tập số thực Rn : Không gian véctơ n chiều trường R ✏ ♣a, b q : Ω ⑨ Rn : I Khoảng mở (có thể khơng bị chặn) R Tập mở (có thể khơng bị chặn) R suppϕ : Giá hàm ϕ : Ω Ñ R, nghĩa suppϕ ✏ tx Ω : ϕ♣xq ✘ 0✉ X✝ : Không gian liên hợp không gian định chuẩn X Lp ♣Ωq : Không gian hàm lũy thừa p khả tích Ω, với ↕ p ↕ ✽ L✽ ♣Ωq : Không gian hàm bị chặn (h.k.n) Ω D ♣Rn q : Không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact C0✽ ♣Rn q D ✶ ♣Rn q : Không gian hàm suy rộng S ♣Rn q : Không gian vector tất hàm C ✽ -φ Rn S ✶ ♣Rn q : Không gian hàm suy rộng tăng chậm Rn iv Mở đầu Trong khoảng vài thập kỷ trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ nghiên cứu phát triển mạnh mẽ Lý thuyết sóng nhỏ trở thành công cụ hữu hiệu để giải tốn quan trọng khơng lĩnh vực Giải tích điều hịa, Giải tích Fourier, Phương trình đạo hàm riêng mà cịn ngành khoa học ứng dụng xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, nén liệu, khoa học nhận biết (xem [2], [6]) Với lợi thu nhỏ hay phóng to cửa sổ thời gian - tần số cách linh hoạt, phù hợp với tín hiệu cần nghiên cứu làm cho biến đổi sóng nhỏ có khả xử lý âm thanh, hình ảnh nén liệu tốt (xem [1], [2], [6]) Với mong muốn tìm hiểu tính chất biến đổi sóng nhỏ (biến đổi tích phân sóng nhỏ) khơng gian hàm, qua tìm hiểu đồng ý hướng dẫn TS Đào Văn Dương, chọn nghiên cứu đề tài: "Biến đổi tích phân sóng nhỏ số không gian hàm", để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chun ngành Tốn Giải tích Nội dung Luận văn trình bày thành hai chương Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức sở lý thuyết không gian Lebesgue, biến đổi Fourier, không gian hàm suy rộng số tích chất biến đổi tích phân sóng nhỏ Chương Biến đổi tích phân sóng nhỏ số khơng gian hàm Trong chương này, luận văn trình bày cách hệ thống, chi tiết kết biến đổi tích phân sóng nhỏ số khơng gian hàm Trước v tiên, chúng tơi trình bày số khái niệm, kết biến đổi tích phân sóng nhỏ khơng gian Lp Tiếp đến, chúng tơi trình bày biến đổi tích phân sóng nhỏ khơng gian Sobolev Cuối cùng, luận văn trình bày biến đổi tích phân sóng nhỏ khơng gian hàm loại S Quy Nhơn, ngày 18 tháng 07 năm 2019 Tác giả Nguyễn Hoàng Nguyên Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết ban đầu lý thuyết không gian Lebesgue, biến đổi Fourier, không gian hàm suy rộng, biến đổi tích phân sóng nhỏ Kết kiến thức sở sử dụng Chương luận văn Nội dung trình bày chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] [10] 1.1 ♣ q ↕p↕✽ Không gian Lp R , Cho p R, ↕ p ➔ ✽ Ta định nghĩa không gian Lebesgue Lp ♣Rq sau Lp ♣Rq :✏ ✩ ✫ f : R Ñ C⑤ f đo ✪ ✽ ➺ ✱ ✳ ⑤f ♣xq⑤pdx ➔ ✽✲ ✁✽ Tương tự, ta có định nghĩa không gian L✽ ♣Rq tập hợp tất làm f : R Ñ C đo thỏa mãn tồn số C → cho ⑤f ♣xq⑤ ↕ C, với hầu khắp nơi (h.k.n) x R ✥ ✽ ➩ ✥ ✞ ✭ p1 ⑤f ♣xq⑤pdx ⑥f ⑥✽ :✏ inf C ✞⑤f ♣xq⑤ ↕ C ✁✽ Khi Lp ♣Rq♣1 ↕ p ↕ ✽q không gian Banach với chuẩn ⑥f ⑥p Ký hiệu ⑥f ⑥p :✏ ✭ h.k.n nh lý 1.1 (Bt ng thc Hăolder) p ↕ ✽ Giả sử f Lp♣Rq, g Lp✶ ♣Rq với p1 p1✶ ✏ Khi đó, ta có f.g L1 ♣Rq Cho ⑥f.g⑥1 ↕ ⑥f ⑥p.⑥g⑥p✶ Đặc biệt, p ✏ p✶ (1.1.1) ✏ ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sau ⑥f.g⑥1 ↕ ⑥f ⑥2.⑥g⑥2 (1.1.2) Ngoài ra, với ↕ p ↕ ✽ ta có bất đẳng thức Minkowski sau ⑥f g⑥p ↕ ⑥f ⑥p ⑥g⑥p (1.1.3) Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Minkowski cho tích phân) ↕ p ➔ ✽ F ♣x, yq hàm đo Lebesgue không gian tích R ✂ R Khi đó, Cho ☎ ☎ ☞p ☞ p1 ➺ ➺ ✆ ✆ F x, y dx✌ dy ✌ ⑤ ♣ q⑤ R ↕ ➺ ☎ ➺ ✆ F x, y R R ☞ p1 ⑤ ♣ q⑤pdy✌ dx (1.1.4) R Định lý 1.3 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) Cho tfn ✉ dãy hàm giá trị phức đo Lebesgue khả tích R Giả sử phát biểu sau đúng: • fn ♣xq Đ f ♣xq h.k.n R ; • Tồn hàm g khả tích R cho với n, ⑤fn ♣xq⑤ ↕ g ♣xq h.k.n R Khi f khả tích Lebesgue R ➺ f ♣xqdx ✏ lim R ➩ Định lý 1.4 (Tonelli) Giả sử ➺ ➺ dx Ω2 ➺ nÑ✽ R fn ♣xqdx ⑤F ♣x, yq⑤dy ➔ ✽ (1.1.5) h.k.n x Ω1 ⑤F ♣x, yq⑤dy ➔ ✽ Ω2 Ω1 Khi F khả tích Ω1 ✂ Ω2 Định lý 1.5 (Định lý Fubini) Cho F khả tích Ω1 ✂ Ω2 Khi với ➩ Ω1, y Ñ F ♣x, yq khả tích Ω2 x Ñ F ♣x, yqdy khả tích Ω Ω1 với h.k.n y Ω2 Hơn nữa, ta có h.k.n x ➺ ➺ dx Ω1 1.2 1.2.1 F ♣x, y qdy ✏ ➺ ➺ dy Ω1 Ω2 Ω2 F ♣x, y qdx ✏ ➺ Ω1 ✂Ω2 F ♣x, y qdxdy (1.1.6) Phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier không gian L1 ♣Rq Định nghĩa 1.6 ([7]) Phép biến đổi Fourier hàm f L1♣Rq định nghĩa fˆ♣ω q ✏ ♣F f q♣ω q :✏ ✽ ➺ ✁✽ e✁iωx f ♣xqdx Một số tính chất fˆ♣ω q với f (1.2.1) L1♣Rq mà sử dùng thường xuyên trình bày hai định lý sau Định lý 1.7 ([7]) Cho f L1♣Rq Khi phép biến đổi Fourier f thỏa mãn tính chất sau: Ta cófˆ L✽ ♣Rq; ⑥fˆ⑥✽ ↕ ⑥f ⑥1 ; Ta có fˆ liên tục R; Nếu đạo hàm f ✶ tồn thuộc L1 ♣Rq fˆ✶ ♣ω q ✏ iω fˆ♣ω q; Ta có fˆ♣ω q Đ ω Đ ✟✽ Định lý 1.8 ([7]) Nếu f ♣tq, g ♣tq L1 ♣Rq α, β số ta có ♣iqF tαf ♣tq βg♣tq✉ ✏ αF tf ♣tq✉ β F tg♣tq✉; (1.2.2) ♣iiqF tTaf ♣tq✉ ✏ M✁afˆ♣ωq; (1.2.3) ♣iiiqF tD f ♣tq✉ ✏ Dafˆ♣ωq; (1.2.4) ♣ivqF tD✁1f ♣tq✉ ✏ fˆ♣ωq; (1.2.5) ♣vqF tMaf ♣tq✉ ✏ Tafˆ♣ωq; (1.2.6) a Ở Tα phép tịnh tiến theo α, tức Tα f ♣tq ✏ f ♣t ✁ αq, Db t phép giãn cho công thức Db f ♣tq ✏ ❛ f ♣ q, Mc phép biến ⑤b⑤ b điệu cho Mc f ♣tq ✏ eict f ♣tq với a, b, c R, b → Định nghĩa 1.9 ([7]) Giả hàm f L1 ♣Rq có phép biến đổi Fourier fˆ L1 ♣Rq Khi phép biến đổi Fourier ngược fˆ định nghĩa tF ✁1fˆ✉♣xq :✏ Định lý 1.10 ([7]) Cho f 2π ✽ ➺ ✁✽ eixω fˆ♣ω qdω (1.2.7) L1♣Rq có phép biến đổi Fourier fˆ L1♣Rq Khi f ♣xq ✏ ♣F ✁1 fˆq♣xq, (1.2.8) 42 ☎ ✂ ♣wq⑤ w2 Dws✁m✁n φ♣ ✒➺ ✂ ⑤ 1 y ✟ ☎ ☞ ☞ l✁p ✍ m➳ l ✁p m m ➳ ✝ ✝m✍ m ✆ ✆ ✌p!2 p✏0 q ✏0 p k ✌q!2 q ✚ dy y m k✁p✁q Dym l✁p✁q ψ ♣y q dw y2 R Sử dụng bất đẳng thức n! ↕ nn (2.2.3) ☎ ⑤I ⑤ ↕ ☞ ☎ s s✁m ➳ ✝ s ✍➳✝s ✆ ✌ ✆ m✏0 ✂B ✂ n✏0 m s✁m✁n m➳ l ✁p q ✏0 ☞ ✁m ✍ n t k✁l n R ☎ ☞ ✝m ✆ ♣Ct k✁l✁m✁n Ct k✁l✁m✁n 2q ✌n ♣s ✁ m ✁ nq♣s✁m✁nqα ☎ ➺ l✁p ✍ w p✏ ✌q R ✂ B ♣m l✁p✁qq♣m l ✁ p ✁ qq♣m l✁p✁qqα ☎ ↕ ☞ ☎ s s✁ m ➳ ✝ s ✍➳✝s ✆ ✌ ✆ m✏0 ✂ n✏0 m ➺ ☎ R 1 w2 ☎ ☞ dy dw ♣ ✁ m ✁ nq♣s✁m✁nqα n t k✁l ✶ Ct,k,l,m,n B s✁m✁n s ✌n n ☞ p ☎ ↕π s y2 ☎ m l✁p m ✝➳ ✝ m ✍ p m ➳ ✝ m ✆ ✆ ✌p ✆ p✏0 ✚ ✁m ✍ ✂ ♣m l ✁ p ✁ qq♣m l✁p✁qqα s t k✁l p ♣Dm k✁p✁q Dm k✁p✁q 2q q k q m ➳ ✝m✍ p m ✆ ✌p ✒➺ ☞ ☞ m n✏0 l✁p ✍ ➺ R 1 y ☎ m l✁p✁q q k ✶ ✌q Dm,k,p,q B1 q ✏0 s✁ m ✝ s ✍➳✝s ✌ ✆ t,k,l,s ✆ C✸ ☞ q dy qdw ☞ ✁m ✍ ☎ ☞ m ➳ ✝m✍ ✌B s m ✆ ✌ s sα m m n ✷ B ♣m lq ♣m lq♣m lqα ✂ ♣m l ✁ pq♣m l✁pq2k Dm,k,p p✏ p 43 ✂ m➳ l ✁p q ✏0 ☎ ☞ l✁p ✍ ✝m ✆ ✌ q ✸ D✸ B s B ♣s lq ss♣2 αq ♣s lq♣s lq ♣s lq♣s lqα 5s ↕ π22t 2k sCt,k,l.s s,k,l Sử dụng tính chất (2.2.7), ta có ✸ D✸ B s B ♣s lq ss ll es el ssα lα esα elα 5s ⑤I ⑤ ↕ π22t 2k sCk,t,l,s k,l,s ✏π 2 t 2k s C✸ k,t,l,s ✁ D✸ k,l,s BB1 e♣1 αq ✠s B1 e1 α ✟I ss♣2α 3q ll♣1 αq ↕ Ck,tAl1As2llα ssα , ✞ ✞ ✞π 2t 2k s C ✸ D✸ ✞ , A1 ✏ B1 e1 α , A2 ✏ Ck,t :✏ sup k,t,l,s k,l,s ↕ 5BB1 e1 α , α1 ✏ α, α2 ✏ 2α ✆ Định lý 2.21 ([7]) Giả sử ψ Sαβ ♣Rq Khi biến đổi tích phân sóng nhỏ W ánh xạ tuyến tính liên tục từ Sβα ♣Rq vào Srβα˜ ♣H q, α ✏ ♣2α, αq, β ✏ ♣β 1, β α 1q s,l s l k t Chứng minh Giả sử l, s, k, t N0 , cho l s ↕ k t Ta có ⑤I ⑤ ✏ ↕ ✞ ✞ ✂ ✡k ✂ ✡t ✞ ✞ ✞ l s ✞ 2π ✞a b W φ b, a ✞ ✞ ✞ a b ☎ ☞ ☎ ☞ ➺ s s✁m ➳ ✝ s ✍➳✝s m✍ t k✁l ✆ ✌ ✆ ✌n!2 ❇ ❇ ❇ ♣ ❇ q♣ q ✁ m✏0 ✂ ✂ m n✏0 n R ✞ ✞ ✞ ✞ w2 ✟ wt k✁l✁m✁n ✞ ☎ ☞ ☎ ✞ m➳ l✁p m m ✞ ➳ ✞ ✝m✍ ✝ s✁m✁n ♣ m φw ✞ p!2 Dw ✆ ✌ ✆ ✞ w2 p✏0 q ✏ p ✞ ✒➺ ✚ ✟ dy m k✁p✁q m l✁p✁q ♣ q ⑤ 1 y R y Dy ψ ♣y q⑤ y2 ☞ l✁p ✍ dw k ✌q!2 q 44 Sử dụng tính chất n! ↕ nn (2.2.4) ta có ☎ ⑤I ⑤ ↕ ☞ ☎ s s✁ m ➳ ✝ s ✍➳✝s ✆ ✌ ✆ m✏0 ✁m ✍ 0✏0 m ☞ n t k✁l ✌n ➺ ✁ ♣t k✁l✁m✁nq B s✁m✁n C A1 n R ✂ ♣t k ✁ l ✁ m ✁ nq♣t k✁l✁m✁nqα♣s ✁ m ✁ nq♣s✁m✁nqβ C1A♣1t k✁l✁m✁n 2qB1♣s✁m✁nq♣t k ✁ l ✁ m ✁ n 2q♣t k✁l✁m✁n 2qα ☎ ✂ ♣s ✁ m ✁ nq♣s✁m✁nqβ q ✂ ✒➺ ✦ 1 w2 ☞ ☎ m l✁p m ➳ ✝m✍ p m ➳ ✝m ✆ ✆ ✌p p✏ l✁p ✍ q k ✌q q ✏0 p ☞ q C2 A2m k✁p✁q B2m l✁p✁q ♣m k ✁ p ✁ q q♣m k✁p✁qqα R ✂ ♣m l ✁ p ✁ qq♣m l✁p✁qqβ C2A♣2m k✁p✁q 2qB2♣m l✁p✁qq ✂ ♣m k ✁ p ✁ q 2q♣m k✁p✁q 2qα ✂ ♣m l ✁ p ✁ qq♣m l✁p✁qqβ ☎ ↕ ☞ ☎ s s✁m ➳ ✝ s ✍➳✝s π ✆ ✌ ✆ m✏0 n✏0 m ✯ ✚ 1 y2 dy dw ☞ ✁m ✍ ♣t k✁l✁m✁nq B ♣s✁m✁nq n t k✁l ✶ C A1 ✌n n ✂ ♣t k ✁ l ✁ m ✁ n 2q♣t k✁l✁m✁n 2qα♣s ✁ m ✁ nq♣s✁m✁nqβ ☎ ✂ ☞ ☎ m l✁p m ➳ ✝m✍ p m ➳ ✝m ✆ ✌p ✆ p ✏0 q ✏0 p ☞ l✁p ✍ ♣m k✁p✁qq B m l✁p✁q q k ✶ ✌q C2 A2 q ✂ ♣m k ✁ p ✁ q 2q♣m k✁p✁q 2qα♣m l ✁ p ✁ qq♣m l✁p✁qqβ ☎ ↕ ☞ S ➳ ✝ s ✍ π ✆ ✌s ♣ m✏0 m ✁ mq♣s✁mq2t k✁l C ✶ s➳ ✁m n✏0 ☎ ✝s ✆ ☞ ✁m ✍ t k s ✌A1 B1 n 45 ☎ ✂ ♣t k 2q♣t k 2qαssβ ☎ ☞ m l✁p m ➳ ✝m✍ p m ➳ ✝m ✆ ✆ ✌p p✏0 l✁p ✍ q ✏0 p ☞ q k ✶ m k ✌q C2 A2 q ✂ B2m l ♣m k 2q♣m k 2qα♣m lq♣m lqβ ↕ C ✷2t 2k sss♣1 βqA1t k B1s♣t k 2q♣t k 2qα♣s lq♣s lqA♣2s kqB2♣s lq ✂ ♣s k 2q♣s k 2qα♣s lq♣s lqβ 5s Sử dụng tính chất (2.2.7) ta có ước lượng ⑤I ⑤ ↕ C ✷ 2A1 e2α ✟t 4A1 A2 e4α ✟k B2 e1 β ✟l 10B1 A2 B2 e2α ✟s ✂ k2kαttαll♣1 βqss♣1 α βq ↕ C ✷D1k D2t D3l D4sk2kαttαll♣β 1qss♣β αq ✏ C ✷D1k D2t D3l D4skkα ttα llβ ssβ , 2 đó, C ✷ , D1 , D2 , D3 D4 số dương ✆ Phần lại mục này, luận văn trình bày biến đổi tích phân sóng nhỏ không gian hàm suy rộng Chú ý Định lý 2.19, Định lý 2.20 Định lý 2.21, ta có biến đổi ✁ ✠✶ ✶ tích phân sóng nhỏ W ♣T q hàm suy rộng T thuộc không gian Srα ✁ ✠✶ ✶ r , ♣Sα q Srα , không gian đối ngẫu (tôpô) Srα˜ ♣H q , Srα ♣H q β Srβα ♣H q tương ứng, định nghĩa sau: ①W ✶♣T q, φ② :✏ ①T, W φ②, φ thuộc khơng gian hàm thử tương ứng Bởi lập luận đối ngẫu thơng thường, ta có kết sau (2.2.12) 46 Định lý 2.22 ([7]) biến đổi tích phân sóng nhỏ W ✶ ánh xạ tuyến ✁ tính liên tục từ S ♣H q ✁ ♣ q Srβα˜ H ✠✶ rα˜ ✠✶ ✟✶ ✁ ✠✶ ✶ ✶ vào ♣S ♣Rqq , từ Srα˜ ♣H q vào ♣Sα ♣Rqq , từ α vào Sβα ♣Rq Tiếp theo ta xét biến đổi tích phân sóng nhỏ khơng gian siêu phân bố Giả sử dãy tMp ✉pN0 (tương tự cho dãy tNp ✉) gồm số thực dương có tính chất sau: ↕ Mp✁1Mp 1, p N0 (1a) Mp Mq ↕ M0 Mp q , p, q N0 (2) Mp ↕ RH p min0↕q↕p Mq Mp✁q , p, q N0 , R → 0, H → (2a) Mp 1 ↕ RH p Mp , p N0 , R → 0, H → ➦✽ (3) j ✏0 Mj ④Mj 1 ➔ ✽ Ta kiểm chứng dãy Mp ✏ ppα , α → 1, thỏa mãn yêu cầu bên Ứng với dãy tMp ✉, ta định nghĩa hàm liên kết M ♣ρq ♣0, ✽q công thức (1) Mp2 M ♣ρq ✏ sup log ♣ρp M0 ④Mp q (2.2.13) p Định nghĩa 2.23 ([7]) Không gian tất hàm C ✽ -φ R cho tập compact K ⑨ R, x K, ⑤Dq φ♣xq⑤ ↕ CAq Mq , cho số C (2.2.14) → A → 0, ký hiệu E ♣Mp; Rq Định nghĩa 2.24 ([7]) Không gian tất hàm C ✽ Ω với giá compact K ⑨ R thỏa (2.2.14) ký hiệu D ♣Mp; Rq 47 Định nghĩa 2.25 ([7]) Giả sử tMk ✉kN0 tNq ✉qN0 hai dãy số dương định nghĩa bên Một hàm khả vi vô hạn giá trị phức φ thuộc không gian StMk ✉ ♣Rq ✞ ✞ ✞ k ♣qq ✞ ✞x φ x ✞ ♣ q ↕ C q Ak Mk , k, q ✏ 0, 1, 2, (2.2.15) ✏ 0, 1, 2, (2.2.16) với số dương A Cq phụ thuộc φ Hàm φ thuộc không gian S tNq ✉ ♣Rq ✞ ✞ ✞ k ♣qq ✞ ✞x φ x ✞ ♣ q ↕ Ck B q Nq , k, q với số dương B Ck phụ thuộc φ tN ✉ Hàm φ thuộc không gian StMqp ✉ ♣Rq ✞ ✞ ✞ k ♣q q ✞ ✞x φ x ✞ ♣ q ↕ CAk B q Mk Nq , k, q ✏ 0, 1, 2, (2.2.17) C, A B số biết phụ thuộc vào φ Từ điều kiện cho tMk ✉ tNq ✉, ta có hệ thức sau ✏ ✑ ✘ ✏ ✘ tN ✉ F StMk ✉ ✏ S tMk ✉ , F StNq ✉ ✏ S tNq ✉ , F StMqk ✉ ✙ ✏ SttNM ✉✉ k q Định nghĩa 2.26 ([7]) Không gian SrtMpl qs ✉ định nghĩa không gian tất hàm φ C ✽ ♣H q cho cho l, s, k, t, p, q ηl,s,k,t ♣φq :✏ ✞ ✂ ✡k ✂ ✡t ✞ ✞ l s sup ✞a b φ b, a a b ♣b,aqR✂R ✞ ↕ l s k t ❇ ❇ ❇ ❇ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ N0, ♣ q ↕ Ck,tAl1As2Mpl qs, A1 , A2 Ck,t phụ thuộc hàm thử φ Định nghĩa 2.27 ([7]) Không gian SrtNmk nt ✉ ♣H q định nghĩa không gian tất hàm φ C ✽ ♣H q cho cho l, s, k, t, m, n N0 , ηl,s,k,t ♣φq :✏ ✞ ✂ ✡k ✂ ✡t ✞ ✞ l s sup ✞a b φ b, a a b ♣b,aqR✂R ✞ ↕ l s k t ❇ ❇ ❇ ❇ B1 , B2 Cl,s phụ thuộc vào φ ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ♣ q ↕ Cl,sB1k B2t Nmk nt, 48 tN ✉ nt Định nghĩa 2.28 ([7]) Không gian SrtMmk ♣H q định nghĩa pl qs ✉,tNgs hl ✉ không gian tất hàm φ C ✽ ♣H q cho cho l, s, k, t, p, q, m, n N0 , ηl,s,k,t ♣φq :✏ ✞ ✂ ✡k ✂ ✡t ✞ ✞ φ b, a sup ✞al bs a b ♣b,aqR✂R ✞ ❇ ❇ ↕ l s k t ❇ ❇ ♣ q ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ↕ CAl1As2B1k B2t Mpl qsNgs hl Nmk nt, A1 , A2 , B2 , B2 C phụ thuộc hàm thử φ StM ✉♣Rq Khi biến đổi tích phân sóng ánh xạ tuyến tính liên tục từ S tM ✉ ♣Rq vào SrtM ✉ ♣H q Định lý 2.29 ([7]) Giả sử ψ nhỏ W n n 2k t Chứng minh Giả sử l, s, k, t N0 cho l s ↕ k t Bởi bất đẳng thức (2.2.11), ta có ✞ ✞ ✂ ✡k ✂ ✡t ✞ ✞ ✞ l s ✞ W φ b, a ✞ ✞a b ✞ ✞ a b ☎ ☞ ☎ ☞ ➺ s s✁m ➳ ✞ ✝ s ✍➳✝s m✍ t k✁l ✞ ✆ ✌ ✆ ✌n!2 ❇ ❇ ↕ ❇ ♣ ❇ q♣ q ✁ m✏ ✂ ✂ n✏0 m n w2 ✟ wt k✁l✁m✁n R ✞ ☎ ☞ ☎ ✞ m➳ l ✁p m m ✞ ✞ dw ➳ ✝ m ✍ ✝ s✁m✁n ♣ m Dw φw ✞ ✆ ✌p!2 ✆ ✞ w p✏0 q ✏0 p ✞ ✒➺ ✞ ✚ ✞ ✟ m k✁p✁q m l✁p✁q ✞ ✞ dy Dy ψ y ✞ ✞ y y ♣ q ♣ q 1 y R Sử dụng tính chất n! ↕ nn (2.2.15) ta có ✞ ✂ ✡k ✂ ✡t ✞ ✞ l s W φ b, a ✞a b ✞ a b ❇ ❇ ❇ ♣ ❇ q♣ q ✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ☞ l✁p ✍ k ✌q!2 q 49 ☎ ↕ ☞ ☎ s s✁ m ➳ ✝ s ✍➳✝s ✆ ✌ ✆ m✏0 ✁m ✍ n✏0 m ☞ n t k✁l ✌n ➺ n Cs✁m✁n At k✁l✁m✁n R ✂ Mt k✁l✁m✁n At k✁l✁m✁n 2Mt k✁l✁m✁n 2q dww2 ☎ ✂ ☞ ☎ m l ✁ p m ➳ ✝m✍ p m ➳ ✝m ✌p ✆ ✆ p✏ ☎ ☞ ☎ s s✁m ➳ ✝ s ✍➳✝s π ✆ ✌ ✆ ✂ m➳ l ✁p q ✏0 ↕π s n✏0 m ☎ ✝m ✆ s t k✁l q n t k✁l ✌n q dyy2 ✚ C✶ n s✁m✁n A ☎ t k 2 ☞ m ➳ ✝m✍ p m Mt k 2 ✆ ✌p p ✏0 p q k ✶ m k 2 Mm k 2 ✌q Dm l✁p✁q A1 ☞ ☎ ☎ s✁m s ➳ ✝ s ✍➳✝s ✆ ✌ ✆ t k 2 C ✸ At k M m✏0 ☎ ✂ Ds,l✸ Am1 k 2Mm k 2 k k✁p✁q Dm l✁p✁q Am R ☞ ✁m ✍ ☞ ✁ q k l✁p ✍ q s ✒➺ ✌q k ✁ p✁ q M Am m k ✁ p✁ q ✁ 2 m✏ l✁p ✍ q ✏0 p ✂ Mm k✁p✁2 ↕ ☞ m ☞ n✏0 ☎ m l✁p m ➳ ✝m✍ ➳ ✝m ✆ ✌ ✆ p✏ p ☞ ✁m ✍ ♣ lqm l m m ✌m m n ☞ l✁p ✍ q ✏0 ✌ q ↕ Es,l B1k B2t Mt 2k , Es,l , B1 B2 số dương Ở đây, bất đẳng thức cuối, ta sử dụng bất đẳng thức (1a) (2) bên Định lý 2.29 chứng minh ✆ Tiếp theo, ta có định lý Abel cho hàm suy rộng biến đổi tích phân sóng nhỏ 50 Giả sử ψ ♣xq S ♣Rq, cho eibω ψ♣♣aω q phần tử S ♣Rq theo biến ω Cho φ S ✶ ♣Rq cho φ♣♣ω q S ✶ ♣Rq Khi đó, ta định nghĩa biến đổi tích phân sóng nhỏ φ♣ S ✶ ♣Rq ❊ ❆♣ ibω ♣ φ♣ω q, e ψ ♣aω q 2π W ♣b, aq ✏ ♣W φq♣b, aq ✏ (2.2.18) Định lý 2.30 ([7]) Ta có hàm W ♣b, aq khả vi Hơn nữa, với i N0 , j N0, ta có ♣❇④❇aq ♣❇④❇bq W ♣b, aq ✏ i j ❊ ❆♣ j ibω i♣ φ♣ω q, ♣iω q e ♣❇④❇ aq ψ ♣aω q 2π (2.2.19) Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh tính khả vi W ♣b, aq với biến a → Cho h → 0, ta có h rW ♣b, a hq ✁ W ♣b, aqs ✁ ✏ ❇ 2π φ♣♣ω q, eibω ✧ 2π ❆ ♣ q ♣ q φ♣ ω , ❇❇a eibω ψ♣ aω ❊ ❇ ♣ ♣ ψ r♣a hqω s ✁ ψ♣♣aω qq ✁ ψ♣♣aω q h ❇a ✯❋ Ta cần chứng minh e ibω ✧ ✁ h ✯ ❇ ψ♣r♣a hqω s ✁ ψ♣♣aω q ✁ ψ♣♣aω q Ñ S ♣Rq h Ñ ❇a ✠ Bây giờ, ký hiệu ❇❇ω ✟r ψ♣♣aω q ψ♣r ♣aω q, ta có ✞ ✂ ✡m ✒ ✧ ✁ ✞ k ♣ ibω ✞ω e ψ a ✞ ω h ✯✚✞ ✞ ❇ r♣ hqωs ✁ ψ♣♣aωq ✁ ❇a ψ♣♣aωq ✞✞ ❇ ❇ ✏ ✏ ✞ ☎ ✞ m ✞ ➳ ✞ k ✝ ✞ω ✆ ✞ r ✏0 ✞ ✞ ☎ ✞ m ✞➳ ✞ ✝m ✞ ✆ ✞r✏0 r ✞ ☞ m✍ ♣ q ✌ ib m✁r ibω e ✧ ✁ h r ☞ ♣ q ✍ ✌ ib m✁r ibω e h ✓➺ ω k ✠ ψˆr r♣a hqω s ✁ ψ♣r ♣aω q a h ✂ a ❇ ❇t ✡ ψ♣r ♣tω qdt ✁ ✠ ✁ ❇❇ ♣ q ➺ a h a ✞ ✯✞✞ ✞ ψ♣r aω ✞ ✞ a ✞ ✞ ✛✞ ✞ ✞ ψ♣r aω dt ✞ ✞ a ✞ ❇ ♣ q ❇ 51 ✏ ↕ ↕ ✞ ✞ ☎ ☞ ✞ ✞ ✂ ✡ ➺ ➺ m ✞➳ ✞ t a h m ✝ ✍ ✞ ✞ m✁r ibω k ♣ e ω dt ψr uω du✞ ✞ ✆ ✌ ib ✞r✏0 ✞ h a u a r ✞ ✞ ✞ ✞ ☎ ☞ ✞ ✞ ✞ ✞✂ ✡ m ✞ ✞➳ ✞ ✞ m ✝ ✍ ✞ ✞ ✞ m✁r ibω k ✞ h ♣ e ω ✞ ψr uω ✞ sup ✞ ✞ ✆ ✌ ib ✞ a↕u↕a h ✞ u ✞r✏0 ✞ r ✞ ✞ ☎ ☞ ✞ ✞ ✂ ✡ ✂ ✡ r m ✞ ✞ ➳ m ✝ ✍ m✁r h ✞ ✞ k ♣ ψ uω ✞ sup ✞ω ✆ ✌b ✞ ✞ u ω r ✏0 r ♣ q ❇ ❇ ☞ ❇ ❇ ❇ ❇ ♣ q ♣ q ♣ q ✞ ✞ ✂ ✡r m ✞ ✞ ➳ m ✝ ✍ m✁r h ✞ k 2 ✞ ♣ sup ✞z ψ z ✞ sup u r✁2✁k ✆ ✌b ✞ a↕u↕a h z R ✞ z r ✏0 ⑤⑤ r ☎ ↕ ❇ ❇ ⑤⑤ ☎ ↕ ♣ q ❇ ❇ ♣q ⑤⑤ ☞ m h ➳ ✝ m ✍ m✁r sup ⑤u⑤r✁2✁k γk 2,r 2 ♣ψ♣q Ñ h Ñ ✆ ✌⑤b⑤ r ✏0 a↕u↕a h r Như W ♣b, a hq ✁ W ♣b, aq lim hÑ0 h ✏ 2π ❇ ❋ ❇ φ♣♣ω q, eibω ψ♣♣aω q ❇a Tương tự, ta chứng minh tính khả vi với biến b ✆ Tiếp theo, ta có dáng điệu tiệm cận W ♣b, aq ứng với tham biến a, b Định lý 2.31 ([7]) Giả sử W ♣b, aq biến đổi tích phân sóng nhỏ 52 φ♣ S ✶ ♣Rq định nghĩa (2.2.18) Khi với k lớn, ta có ✟ W ♣b, aq ✏ O a✁2k ⑤b⑤k , a Ñ ✏O ✟ ak , a Ñ ✽ ✁ ✠ ✟ ✏ O a✁k a2 k , ⑤b⑤ Ñ ✁ ✠ ✟ ✏ O a✁2k a2 k ⑤b⑤k , ⑤b⑤ Ñ ✽ Chứng minh Theo tính chất bị chặn hàm suy rộng, tồn số C → số nguyên không âm k phụ thuộc φ♣ cho ✞ ✞ ✂ ✡k ✦ ✞ ✞ ✮ ✟ ❇ ✞ k ibω ♣ ⑤W ♣b, aq⑤ ↕ C sup ✞✞ ω ❇ω e ψ♣aωq ✞✞✞ ω ✏ ✏ ↕ ✞ ✞ ☎ ☞ ✞ ✞ ✂ ✡s k ✞ ✞ ➳ ✟ ✝k ✍ ✞ ✞ k✁s ibω k ♣ e ψ aω ✞ C sup ✞ ω ✆ ✌ ib ✞ ω ω ✞ s✏0 s ✞ ✞ ✞ ✞ ☎ ☞☎ ☞ ✞ ✞ ✂ ✡s k ➳ k ✞➳ ✞ ✞ ✞ ✝ k ✍ ✝ k ✍ k✁s 2r d ♣ C sup ✞ ψ z ✞ as✁2r , ✆ ✌✆ ✌b z ✞ dz ω ✞s✏0 r✏0 s r ✞ ✞ ☎ ☞☎ ☞ k ➳ k ➳ ✝ k ✍ ✝ k ✍ k ✁s C γ2r,s ψ♣ z as✁2r ✆ ✌✆ ✌ b ❇ ❇ ♣ q ♣ q ♣q ⑤⑤ s✏0 r✏0 s ☎ ↕ C✶ ☞ z ✏ aω ♣ ♣ qq r k ➳ ✝ k ✍ ✁2r a ✆ ✌a r ✏0 ♣ ⑤b⑤qk r ✟ ✏ C ✶ a✁2 k ♣a ⑤b⑤qk Từ điều ta có kết cần chứng minh (2.2.20) ✆ 53 Ta có định lý loại Abel cho biến đổi tích phân sóng nhỏ hàm suy rộng S ✶ cho có khai triển φ♣ ✏ φ1 φ2, φ1 hàm thường φ2 E ✶ ♣R③0q có bậc k Cho số thực µ η cho k ➔ η ➔ µ Giả sử ⑤ω ⑤1✁η ψ♣♣ω q L1 ♣Rq φ1 ♣ω q L1 ♣δ, ✽q❅δ → Nếu W ♣b, aq biến đổi sóng nhỏ hàm suy rộng Định lý 2.32 ([7]) Giả sử φ♣ φ♣ cho công thức (2.2.18), lim a2✁η W ♣b, aq ✏ H ♣η q lim ♣ φ♣ω q⑤ω ⑤✁1 η ⑤ω⑤Ñ0 2π aÑ✽ (2.2.21) Chứng minh Theo Định lý 2.30 Định lý 2.31, ta có W2 ♣b, aq ✏ ❊ ❆ ibω ♣ φ2 ♣ω q, e ψ ♣aω q 2π ✟ hàm khả vi vô hạn R ✂ R W2 ♣b, aq ✏ O ak , a Đ ✽ Do tồn số A → cho ✞ 2✁η ✞ ✞a W2 b, a ✞ ♣ q ↕ Aa2✁η k Ñ a Ñ ✽ Mặt khác, từ giả thiết giá φ2 R③t0✉, nên ta có E ✶♣R③t0✉q tập compact lim eibω φ2 ♣ω qω ✁1 η ω Ñ0 ✏ Áp dụng Định lý 2.4 với hàm φ♣♣ω q thay φ1 ♣ω q, ta có kết luận định lý ✆ 54 Kết luận Nội dung luận văn trình bày có hệ thống, chi tiết chứng minh số kết biến đổi tích phân sóng nhỏ số không gian hàm Cụ thể, luận văn trình bày số kết sau: • Trình bày số kết biến đổi tích phân sóng nhỏ khơng gian Lp tính bị chặn, công thức Parseval, công thức ngược, dáng điệu tiệm cận ứng với tham biến • Trình bày số kết biến đổi tích phân sóng nhỏ khơng gian Sobolev tính bị chặn, tích hai biến đổi tích phân sóng nhỏ cơng thức Parseval cho biến đổi tích phân sóng nhỏ với hai hàm sóng nhỏ sở khác • Trình bày số kết tốn tử sóng nhỏ không gian hàm không gian hàm suy rộng loại S, định lý kiểu Abel cho biến đổi tích phân sóng nhỏ Tài liệu tham khảo [1] C K Chui, An introduction to wavelets, Academic Press, New York (1992) [2] I C Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM, Philadelphia (1992) [3] L Debnath, Wavelet transforms and their applications, Birkhauser (2002) [4] L Grafakos, Classical Fourier Analysis, Second Edition, Springer (2008) [5] E Hernandez, G Weiss, A first course on wavelets, CRC Press, Boca Raton (1996) [6] Y Meyer, Wavelets and Operators, Advanced Mathematics, Cambridge University Press (1992) [7] R S Pathak, The Wavelet Transform, World Scientific (2009) [8] V Perrier and C Basdevant, Besov Norms in Terms of the Continuous Wavelet Transform Application to Structure Functions, Math Models Methods Appl Sci (5), 649-664 (1996) [9] Andreas Rieder, The wavelet transform on Sobolev spaces and its approximation properties, Numer Math 58, 875-894, (1991) 55 56 [10] M W Wong, An introduction to pseudo-differential operators, World Scientific (2014) ... hàm suy rộng, hay không gian đối ngẫu D ♣Rn q 9 Hàm suy rộng f tác động lên ψ D ♣Rnq viết ➔ f, ψ → Hai hàm suy rộng f, g gọi ➔ f, ψ →✏➔ g, ψ →, với ψ D ♣Rnq Trên D ✶ ♣Rn q có cấu trúc không... ♣F ✁1 fˆq♣xq, (1.2.8) đi? ??m x mà hàm f liên tục 1.2.2 Phép biến đổi Fourier tích chập khơng gian Lebesgue L1♣Rq❳ L2♣Rq Khi phép biến đổi Fourier f fˆ L2 ♣Rq thỏa mãn đồng thức Parseval ⑥fˆ⑥22... ♣Rn q trang bị tôpô cảm sinh họ nửa chuẩn tγα,β ✉ Khi đó, đầy đủ Ký hiệu S ✶ khơng gian đối ngẫu (tơpơ )của S , cịn gọi khơng gian hàm suy rộng tăng chậm Ví dụ 1.23 ([7]) φ♣xq ✏ e✁⑤x⑤ S ♣Rnq