Bài toán tìm đường ngắn nhất trên đồ thị cho hai đối tượng có ràng buộc khoảng cách

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TRẦN NHẬT HỒNG ANH BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ CHO HAI ĐỐI TƯỢNG CÓ RÀNG BUỘC KHOẢNG CÁCH CHUYÊN NGÀNH: KHOA HỌC MÁY TÍNH MÃ NGÀNH: 60 48 01 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2018 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG-HCM Cán hướng dẫn khoa học : PGS.TS Trần Văn Hoài Cán chấm nhận xét : TS Lê Hồng Trang Cán chấm nhận xét : PGS.TS Nguyễn Thanh Hiên Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 17 tháng 07 năm 2018 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: TS Nguyễn An Khương TS Nguyễn Trần Hữu Nguyên TS Lê Hồng Trang PGS.TS Nguyễn Thanh Hiên TS Lê Trọng Nhân Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS NGUYỄN AN KHƯƠNG TRƯỞNG KHOA KH&KTMT ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Trần Nhật Hoàng Anh .MSHV: 7140218 Ngày, tháng, năm sinh: 25/12/1986 Nơi sinh: Hậu Giang Ngành: Khoa Học Máy Tính Mã số: 60.48.01.01 I TÊN ĐỀ TÀI: Bài tốn tìm đường ngắn đồ thị cho hai đối tượng có ràng buộc khoảng cách II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Nghiên cứu hướng tiếp cận phương pháp toán tìm đường ngắn cho nhiều đối tượng di chuyển môi trường hoạt động tĩnh, hai chiều có chứa vật cản - Đề xuất giải thuật tìm đường ngắn đồ thị cho hai đối tượng có ràng buộc khoảng cách - Mơ hình hóa tốn tối ưu tìm đường hai đối tượng thành mơ hình tuyến tính nhị ngun - Xây dựng hệ thống chương trình trực quan bước đường hai robot điểm hoạt động môi trường tĩnh, hai chiều có vật cản - So sánh, đánh giá thực nghiệm giải thuật đề xuất mơ hình tuyến tính ngun xây dựng thực nghiệm đánh giá hệ thống III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 10/07/2017 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 17/06/2018 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS Trần Văn Hoài Tp HCM, ngày 19 tháng 08 năm 2018 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) PGS.TS TRẦN VĂN HOÀI TRƯỞNG KHOA KH & KTMT (Họ tên chữ ký) Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy – PGS.TS Trần Văn Hoài (khoa Khoa học Kỹ thuật Máy tính – trường Đại học Bách Khoa – Đại học Quốc gia TpHCM) Những định hướng ban đầu, nhận xét sắc sảo, khích lệ hướng dẫn nêu bật vấn đề thầy truyền cảm hứng cho em suốt thời gian thực luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy mơn Khoa học Máy tính, thầy cô khoa Khoa học Kỹ thuật Máy tính – trường Đại học Bách Khoa – Đại học Quốc gia TpHCM nhiệt tình giảng dạy, cung cấp cho chúng em kiến thức, kinh nghiệm không học tập mà sống hàng ngày Đồng thời xin cảm ơn đến tứ thân phụ mẫu, người thân gia đình giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện tốt cho động lực lớn với suốt khóa học Trường Đại học Bách Khoa để hồn thành tốt luận văn thạc sĩ TpHCM, tháng 06 năm 2018 Trần Nhật Hoàng Anh i Tóm tắt Luận văn đặc tả tốn tìm đường đa đối tượng theo hướng tiếp cận mới, hai robot di chuyển tránh vật cản mơi trường tĩnh hai chiều có ràng buộc với khoảng cách đồng thời cho phép robot tạm dừng robot di chuyển Giải pháp xây dựng theo hai phần Phần thứ nhất, xây dựng đồ chứa tập hợp đường cho hai robot Phần thứ hai, giải tốn tìm đường ngắn đồ thị cho hai đối tượng cách cạnh hai đối tượng tạm dừng cần Kết lời giải phương pháp trình bày gần đầy đủ, tìm lời giải nhanh Trong đó, lời giải toán phần thứ hai chứng minh tối ưu, đầy đủ thời gian thực thi đa thức Mơ hình hóa tốn thành mơ hình tuyến tính nhị ngun để kiểm chứng tính tối ưu Thực nghiệm cho thấy kết chất lượng lời giải thời gian thực thi lý thuyết nêu ii Abstract We present a new approach to the path planning problem for two moving objects paired by distance constraints in known static environments, in which one may pause while another moves The solution is built in two parts The first part, a set of possible paths for two objects is built as a roadmap The second part is to solve the graph-based shortest path problem for two objects paired by one edge constraint in which one of them may pause if necessary As a result we can show that the method is probabilistically complete, that is, any solvable instance will be solved within a nite amount of time In addition, the solution of the subproblem in the second part is proved to be optimal, complete and polynomial time Modeling the problem into a binary linear programming is used to verify the optimization Experimental results show the quality of the solution and the complexity time as stated iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng, ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, luận văn tốt nghiệp “Bài tốn tìm đường ngắn đồ thị cho hai robot tự hành có ràng buộc khoảng cách” cơng trình nghiên cứu tơi thực hướng dẫn khoa học PGS.TS Trần Văn Hoài chưa có phần nội dung luận văn nộp để lấy cấp trường trường khác TpHCM, tháng 06 năm 2018 Trần Nhật Hoàng Anh iv Mục Lục Lời cảm ơn i Tóm tắt ii Tóm tắt iii Lời cam đoan iv Mục Lục v Danh Mục Hình viii Danh Mục Bảng x Tổng quan 1.1 Giới thiệu động 1.2 Mục tiêu, nhiệm vụ phạm vi đề tài 1.3 Tổ chức luận văn Các nghiên cứu liên quan 2.1 Các toán liên quan 2.2 Các phương pháp tìm đường (path – planning) cho robot nghiên cứu 2.3 2.2.1 Đồ thị tầm nhìn 10 2.2.2 Sơ đồ Voronoi 13 2.2.3 Phân hoạch môi trường (Cell decomposition) 13 2.2.4 Trường (Potential Field) 15 Các kỹ thuật tìm đường cho nhiều robot 20 v Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính Định nghĩa tốn giả định 24 3.1 Preliminaries 24 3.2 Đặc tả toán 24 3.3 Tính chất tốn 27 Cơ sở lý thuyết 29 4.1 Đồ thị đường (Line graph) 29 4.2 Các giải thuật tìm đường ngắn cổ điển 30 4.2.1 A-sao 31 4.3 Cây tứ phân 34 4.4 Quy hoạch tuyến tính 35 Phương pháp biến đổi đồ thị kết hợp tứ phân 39 5.1 Phương pháp biến đổi đồ thị 41 5.2 Áp dụng giải thuật A* đồ thị H 47 5.3 Biểu diễn môi trường hoạt động robot dạng đồ thị 49 5.3.1 Biểu diễn môi trường tứ phân 49 5.3.2 Giải thuật tìm cell lân cận 54 5.3.3 Bản đồ đường (Path Connectivity Graph) 58 5.4 Xây dựng mơ hình tuyến tính nhị ngun cho tốn tối ưu tìm đường hai đối tượng Thực nghiệm 60 61 6.1 Tập liệu 61 6.2 Các tham số cài đặt ban đầu 63 6.3 Kết thực nghiệm 63 6.4 Kết luận 70 Kết luận 72 7.1 Tổng kết 73 7.2 Những đóng góp đề tài 73 7.3 Hướng phát triển đề tài 74 vi Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính Tài liệu tham khảo 75 vii Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính n_obs d_obs 32 6000 33 Đồ thị G Đồ thị H Thời gian thực thi path_l n_v n_e V_H E_H q_tree H A* Tổng 0.0586 25758 47686 95372 367738 0.388 3.015 0.305 3.708 69 7000 0.0684 27092 49287 98574 374250 0.445 3.176 1.239 4.86 121 34 8000 0.0781 27953 49947 99894 372318 0.495 3.14 2.422 6.057 165 35 9000 0.0879 28773 50432 100864 367642 0.508 3.111 0.409 4.028 76 36 10000 0.0977 29827 51310 102620 367004 0.553 3.158 1.273 4.984 127 37 11000 0.1074 30211 51070 102140 359582 0.591 3.197 8.339 12.127 236 38 12000 0.1172 31167 51659 103318 355302 0.632 3.207 0.369 4.208 84 39 13000 0.127 31635 51398 102796 346246 0.644 3.167 9.485 13.296 313 40 14000 0.1367 32194 51373 102746 337802 0.696 3.147 2.235 6.078 217 41 15000 0.1465 32651 51010 102020 327730 0.731 3.16 6.494 10.385 234 42 16000 0.1563 32879 50566 101132 318008 0.78 3.346 5.753 9.879 302 43 17000 0.166 33018 49694 99388 304368 0.858 3.023 5.355 9.236 285 44 18000 0.1758 33594 49513 99026 294658 0.9 3.067 1.958 5.925 170 45 19000 0.1856 33673 48883 97766 285846 0.878 2.932 8.507 12.317 302 46 20000 0.1953 33645 47823 95646 271516 0.901 3.185 1.084 5.17 144 47 21000 0.2051 33710 47022 94044 260772 0.922 2.799 4.029 7.75 254 48 22000 0.2148 33782 46209 92418 250310 0.999 2.946 11.162 15.107 392 49 23000 0.2246 33854 45484 90968 240502 0.997 2.814 0.999 4.81 204 50 24000 0.2344 33707 44441 88882 229240 1.021 2.765 3.283 7.069 265 51 25000 0.2441 33762 43658 87316 219394 1.08 2.864 4.608 8.552 291 52 26000 0.2539 33503 42478 84956 208774 1.075 2.532 1.905 5.512 257 53 27000 0.2637 33539 41726 83452 198966 1.131 2.625 0.964 4.72 245 54 28000 0.2734 33250 40843 81686 191908 1.139 2.441 3.316 6.896 273 55 29000 0.2832 32976 39749 79498 180810 1.148 2.349 2.738 6.235 378 56 30000 0.293 32806 38699 77398 171640 1.197 2.36 2.107 5.664 276 57 31000 0.3027 32340 37290 74580 160918 1.232 2.414 5.333 8.979 498 58 31000 0.3027 32435 37327 74654 160526 1.238 2.403 12.094 15.735 726 Bảng 6.2 trình bày kết đánh giá phương pháp biến đổi đồ thị (được ghi tắt H ) so với phương pháp ILP cho toán số - toán tối ưu dựa tập liệu dạng đồ thị hình học - dày Về chất lượng lời giải, phương 66 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính pháp biến đổi đồ thị cho lời giải tốt theo tiêu chuẩn ngắn mặt khoảng cách phương pháp ILP Solver GLPK phiên 4.45 cho kết phương pháp đề xuất Hình 6.3 cho thấy thời gian thực thi phương pháp biến đổi đồ thị tốt hẳn phương pháp ILP Với đồ thị dày phương pháp biến đổi đồ thị có thời gian thực thi gần đường thẳng đến số đỉnh - số cạnh đồ thị G 150 - 5600, sau tăng nhanh, phương pháp ILP "intractable" số đỉnh - số cạnh đồ thị G 60 - 815 Bảng 6.2: Kết thực nghiệm tốn tìm đường ngắn cho hai đối tượng đồ thị (kiểu đồ thị hình học - dày) Input số đỉnh số cạnh Độ dài lời giải Thời gian (giây) ILP ILP H H 10 28 3.14407 3.14407 0.18198 0.00233 20 128 5.30732 5.30732 28.4161 0.09249 25 173 3.94001 3.94001 50.97932 0.13005 30 235 7.01531 7.01531 127.97876 0.26874 35 282 7.80753 7.80753 188.43487 0.29364 40 352 8.82438 8.82438 390.57242 0.41732 45 497 4.99345 4.99345 1093.43696 1.11519 50 577 3.35442 3.35442 1673.30441 1.27326 55 714 2.77349 2.77349 3371.95796 1.88843 10 60 815 _ 2.39161 11 65 1038 _ 4.1862 12 70 1174 _ 4.82752 13 75 1375 _ 7.54983 14 80 1686 _ 13.86313 15 85 1854 _ 16.35888 16 90 2091 _ 20.56221 17 95 2202 _ 21.89081 18 100 2452 _ 27.06132 67 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính Input số đỉnh số cạnh Độ dài lời giải Thời gian (giây) ILP ILP H H 19 105 2981 _ 48.84608 20 110 2862 _ 41.43584 21 115 3096 _ 47.27401 22 120 3503 _ 63.47985 23 125 3942 _ 89.63575 24 130 3989 _ 83.95756 25 135 4321 _ 101.58111 26 140 5239 _ 187.71772 27 145 5205 _ 274.67459 28 150 5680 _ 494.74872 29 155 5994 _ 1138.19277 30 160 6157 _ 1460.35594 Bảng 6.3 trình bày kết đánh giá cho toán phương pháp biến đổi đồ thị (được ghi tắt H ) so với phương pháp ILP Về chất lượng lời giải, phương pháp biến đổi đồ thị cho lời giải tốt phương pháp ILP theo tiêu chuẩn ngắn mặt khoảng cách.(Ghi chú: Solver GLPK phiên 4.45 cho kết phương pháp đề xuất) Hình 6.4 cho thấy thời gian thực thi phương pháp biến đổi đồ thị tốt hẳn phương pháp ILP Khi số cạnh đồ thị G tăng từ đến khoảng 2000, thời gian thực thi phương pháp biến đổi đồ thị có dạng đường thẳng, thời gian thực thi phương pháp ILP có dạng đường cong parabol hướng lên 68 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính Hình 6.3: Biểu đồ đánh giá thời gian thực thi phương pháp H phương pháp ILP dựa dạng đồ thị hình học - dày Bảng 6.3: Kết thực nghiệm tốn tìm đường ngắn cho hai đối tượng đồ thị (kiểu đồ thị hình học - thưa) Input số đỉnh số cạnh Độ dài lời giải ILP H Thời gian (giây) ILP H 1.11957 1.11957 0.02603 1.11957 18 29 1.02658 1.02658 0.0988 1.02658 28 46 7.3239 7.3239 0.1069 7.3239 38 117 3.34104 3.34104 3.92525 3.34104 49 169 2.87842 2.87842 13.58707 2.87842 58 214 2.54887 2.54887 19.86267 2.54887 70 277 0.97491 0.97491 33.59154 0.97491 80 368 5.38953 5.38953 81.20403 5.38953 90 443 6.83319 6.83319 109.22123 6.83319 69 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính Input số đỉnh số cạnh 6.4 Độ dài lời giải ILP H Thời gian (giây) ILP H 10 100 559 1.34741 1.34741 237.91708 1.34741 11 110 538 3.05121 3.05121 182.52396 3.05121 12 120 679 5.60216 5.60216 380.50654 5.60216 13 130 731 2.54826 2.54826 440.15559 2.54826 14 140 861 6.80318 6.80318 718.21266 6.80318 15 149 1064 5.16457 5.16457 1877.84044 5.16457 16 160 1222 2.06073 2.06073 2906.29997 2.06073 17 170 1147 7.00258 7.00258 2140.10916 7.00258 18 180 1380 4.2822 19 190 1530 1.40298 1.40298 8216.76617 1.40298 20 200 1606 2.2926 21 210 1785 7.18273 7.18273 9501.43378 7.18273 4.2822 2.2926 5646.06705 6459.13934 4.2822 2.2926 Kết luận Bài tốn 1: Tìm đường tránh vật cản cho hai đối tượng có ràng buộc khoảng cách môi trường tĩnh hai chiều — Với không gian môi trường hoạt động lớn, số vật cản nhiều, mật độ vật cản nhỏ đến trung bình, phương pháp quadtree có thời gian thực thi nhanh, ổn định không chịu ảnh hưởng số lượng vật cản — Về phương diện chất lượng lời giải, phương pháp chấp nhận đánh đổi tính tối ưu tính đầy đủ để đạt tính hiệu (tìm thấy lời giải thời gian chấp nhận được) Đồng thời cho thấy tính phù hợp với toán đặt giải ràng buộc cứng khoảng cách hai robot cách khởi tạo tham số threshold quadtree hợp lý 70 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính Hình 6.4: Biểu đồ đánh giá thời gian thực thi phương pháp H phương pháp ILP dựa dạng đồ thị hình học - thưa Bài tốn 2: tìm đường ngắn đồ thị cho hai đối tượng có ràng buộc khoảng cách — Dựa vào tiêu chí đường ngắn nhất, lời giải tìm giải thuật H tối ưu Đề tài xây dựng mơ hình ILP tìm đường cho hai đối tượng ln cách cạnh để kiểm chứng tính tối ưu — Thời gian thực thi phương pháp ILP tăng lũy thừa theo tổ hợp số cạnh đồ thị G, giải thuật biến đổi đồ thị có thời gian ổn định, không phụ thuộc nhiều vào độ lớn đồ thị G 71 Chương Kết luận Bài toán tìm đường ngắn tốn lớn ứng dụng đời sống ngày, công nghiệp khoa học Hình 7.1: Tổng quan tốn tìm đường 72 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính 7.1 Tổng kết Trong q trình xây dựng hồn thiện luận văn chúng tơi giải tốn tìm đường ngắn đồ thị cho hai đối tượng có ràng buộc khoảng cách với mục tiêu tìm lời giải tối ưu thời gian đa thức Phương pháp luận văn cho phép đối tượng dừng lại đối tượng khác di chuyển đảm bảo khoảng cách chúng Đồng thời luận văn trình bày phương pháp xây dựng đồ thị từ khơng gian cấu hình hoạt động chứa vật cản, tĩnh, hai chiều hai đối tượng Thứ nhất, luận văn nghiên cứu số phương pháp giải thuật giải toán tương tự cơng bố, tìm hiểu cách tổng quan giải pháp cho tốn tìm đường (hình 7.1) Trên sở tổng quan đề tài tập trung vào giải tốn tìm đường theo cell decomposition, áp dụng quadtree để xây dựng đồ thị từ khơng gian cấu hình hoạt động hai chiều, tĩnh, có vật cản hai đối tượng Thứ hai, từ đồ thị đạt đề xuất phương pháp biến đổi đồ thị, quy dẫn từ đồ thị G ban đầu đồ thị H , sau áp dụng giải thuật tìm kiếm đồ thị H Phương pháp chứng minh mặt lý thuyết tìm lời giải tối ưu có độ phức tạp thời gian đa thức Thứ ba, sử dụng thêm vào thư viện graph_tool để sinh ngẫu nhiên khách quan tập testcase đồ thị kiểm thử kết cho thấy giải thuật đề xuất tối ưu lý thuyết nêu Bên cạnh đó, chúng tơi xây dựng chương trình trực quan để thấy tiến trình hoạt động giải thuật cách hình ảnh 7.2 Những đóng góp đề tài - Áp dụng phương pháp tứ phân xây dựng thành công đồ thị phù hợp để áp dụng giải pháp đề nghị - Giải pháp luận văn cho phép đối tượng tạm dừng chờ đối 73 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính tượng kia, đồng thời chúng ln ln có kết nối với khoảng cách - Xây dựng thành cơng mơ hình tuyến tính nhị ngun cho tốn tìm đường ngắn đồ thị cho hai đối tượng ln có ràng buộc khoảng cách - So sánh, đánh giá thực nghiệm giải thuật đề xuất mơ hình tuyến tính nhị nguyên xây dựng kiểm thử phương pháp tứ phân môi trường hoạt động có số lượng vật cản thay đổi 7.3 Hướng phát triển đề tài Các hướng phát triển để hoàn thiện đề tài: - Cải tiến giải pháp trình bày luận văn theo hướng xây dựng phần đồ thị G thay cho việc xây dựng toàn đồ thị G toàn môi trường hoạt động - Tối ưu bước xây dựng roadmap hay tốn tìm đường tránh vật cản mơi trường tĩnh/ động - Phát triển tốn tìm đường đồ thị cho hai đối tượng có ràng buộc khoảng cách cách k cạnh (k > 1) - Phát triển tốn tìm đường cho đa đối tượng (nhiều hai) - Phát triển tốn tìm đường khơng gian chiều - Tìm hiểu giải thuật trajectory planning, nhánh toán chi tiết với tốn tìm đường để robot thật di chuyển theo kết đường thực tế - Ứng dụng giải thuật đề xuất vào việc tìm đường cho robot thật 74 Tài liệu tham khảo [1] Jean-Claude Latombe "Robot Motion Planning", Kluwer Academic Publishers, Auflage, 1993 [2] S M LaValle "Planning Algorithms", Cambridge University Press (http://msl.cs.uiuc.edu/planning/), 2006 [3] Howie Choset, Kevin M Lynch, Seth Hutchinson, George Kantor, Wolfram Burgard, Lydia E Kavraki and Sebastian Thrun "Principles of Robot Motion", MIT Press, 2005 [4] Gregory Dudek and Michael Jenkin "Computational Principles of Mobile Robotics", Cambridge University Press, 2000 [5] Richard M Murray, Zexiang Li and S Shankar Sastry "A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation", CRC Press, 1994 [6] Robert J Schilling "Fundamentals of Robotics" Prentice Hall, 1990 [7] Abello, J and Egecioglu, 0., "Visibility Graphs of Staircase Polygons with Uniform Step Length" International Journal of Computational Geometry and Applications, Vol 3, No 1, pp 27-37, 1993 [8] Wezl, E., "Constructing the Visibility Graph for n-Line Segments in 0(n2 ) time", Information Processing Letters, Vol 20, pp 167-171, 1985 [9] E Masehian and M R Amin-Naseri, "A Voronoi diagram–visibility graph–potential field compound algorithm for robot path planning", J Robotic Syst 21, 275–300, 2004 75 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính [10] D Nieuwenhuisen, A Kamphuis, M Mooijekind and M H Overmars, "Automatic construction of high quality roadmaps for path planning", Technical Report UU-CS-2004-068, Institute of Information and Computing Sciences, Utrecht University, 2004 [11] R Wein, J P van den Berg and D Halperin, "The visibility-Voronoi complex and its applications", Proc Symp Computational Geometry, Pisa, 2005 [12] Choset, H et al., "Principles of Robot Motion: Theory, Algorithms, and Implementation", The MIT Press, ISBN 0-262-03327-5 [13] T Lozano-Perez and M A Wesley, "An algorithm for planning collisionfree paths among polyhedral obstacles", Communication of ACM, 560-570, 1979 [14] D T Lee, "Proximity and reachability in the plane", Ph.D.Thesis, University of Illinois, 1978 [15] E Welzl, "Constructing the Visibility Graph for n-Line Segments in 0(n2 ) time", Information Processing Letters, Vol 20, pp 167-171, 1985 [16] Subir Kumar Ghosh and David M Mount "An output sensitive algorithm for computing visibility graphs", Proceedings of the 28th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, SFCS ’87, pages 11-19, Washington, DC, USA, IEEE Computer Society, 1987 [17] K Kedem and M Sharir, "An efficient algorithm for planning collisionfree translational motion of a convex polygonal object in 2-dimensional space amidst polygonal obstacles", Proceedings of the First Annual Symposium on Computational geometry, ser SCG ’85 New York: ACM, pp 75-80, 1985 76 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính [18] F Avnaim, J Boissonnat, and B Faverjon, "A practical exact motion planning algorithm for polygonal objects amidst polygonal obstacles", Proceedings of the International Conference on Robotics and Automation, vol 3, pp 1656 -1663, April 1988 [19] J Schwartz and M Sharir, "On the ‘piano movers’ problem: Ii general techniques for computing topological properties of real algebraic manifolds", Advances in Applied Mathematics, vol 4, pp 298-351, 1983 [20] K Kedem and M Sharir, "An efficient motion planning algorithm for a convex polygonal object in 2-dimensional polygonal space", New York University, New York, Robotics Report 90, October 1986 [21] N I Katevas, S G Tzafestas, and C G Pnevmatikatos, "The approximate cell decomposition with local node refinement global path planning method: Path nodes refinement and curve parametric interpolation", J Intell Robotics Syst., vol 22, no 3-4, pp 289-314, 1998 [22] D Zhu and J C Latombe, "New heuristic algorithm for efficient hierarchical path planning", IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol 7, no 1, pp 9-19, 1991 [23] A Swingler and S Ferrari, "A cell decomposition approach to cooperative path planning and collision avoidance via disjunctive programming" Proc of IEEE Conference Decision and Control, Atlanta, GA, pp 6329-6336, 2010 [24] Yongbo Chen, Jianqiao Yu, Xiaolong Su, Guanchen Luo, "Path Planning for Multi-UAV Formation", Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2015 [25] Glenn Wagner, Howie Choset (2011), "M*: AComplete multirobot Path Planning Algorithm with Performance Bounds", 2011 IEEE/RSJ Inter77 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính national Conference on Intelligent Robots an Systems, pp 3260-3267, September 2011 [26] Mariusz Glabowski, Bartosz Musznicki, Przemyslaw Nowak, Piotr Zwierzykowski, "Shortest Path Problem Solving Based on Ant Colony Optimization Metaheuristic", Image Processing & Communication, vol 17, no 1-2, pp 7-18, November 2012 [27] Yogita Gigras, Kusum Gupta, "Metaheuristic Algorithm for Robotic Path Planning", International Journal of Computer Applications (0975 – 8887), Volume 85 – No 3, January 2014 [28] O Castillo and L Trujillo, "Multiple Objective Optimization Genetic Algorithm For Path Planning in Autonomous Mobile Robots", International Journal of Computers, Systems and Signals, Vol 6, No 1, 2005 [29] Hsu-Chih Huang, "FPGA-Based Parallel Metaheuristic PSO Algorithm and Its Application to Global Path Planning for Autonomous Robot Navigation", Journal of Intelligent & Robotic Systems, 2013 [30] Michael A Goodrich, "Potential Fields Tutorial" [31] Hiroshi Noborio, Tomohide Naniwa, Suguru Arimoto "A Quadtree-Based Path-Planning Algorithm for a Mobile Robot", Journal of Robotics System, August 1990 [32] Kambhampati and L S Davis, "Multiresolution path planning for mobile robots, IEEE J Robotics and Automation, vol RA-2, no 3, pp 135–45, September 1986 [33] H Samet, "The quadtree and related hierarchical data structures", Computing Surveys, vol 16, no 2, pp 187–260, June 1984 78 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính [34] H Noborio, T Naniwa, and S Arimoto, "A quadtree-based path planning algorithm for a mobile robot", Journal of Robotic Systems, vol 7, no 4, pp 55574, 1990 [35] Jozef Văorăos, "Simple Path-Planning Algorithm For Mobile Robots Using Quadtrees", IFAC Human-Oriented Design of Advanced Robotics Systems, September 1995 [36] Irene Gargantini, "An Effective Way to Represent Quadtrees", Graphics and Image Processing, December 1982 [37] Hanan Samet, "Neighbor Finding Techniques for Images Represented by Quadtrees", Computer Graphics And Image Processing 18, 37-57, 1982 [38] Peter Hart, Nils Nilsson, Bertram Raphael, "A Formal Basis for the Heuristic Determination of Minimum Cost Paths", IEEE Transactions of Systems Science and Cybernetics, VOL ssc-4, NO 2, July 1968 [39] Subhrajit Bhattacharya, Maxim Likhachev, Vijay Kumar, "Distributed Path Consensus Algorithm",2009 [40] Subhrajit Bhattacharya, Maxim Likhachev, Vijay Kumar, "Multi-agent Path Planning with Multiple Tasks and Distance Constraints",IEEE International Conference on Robotics and Automation, June 2010 [41] Andrew Makhorin, "Modeling Language GNU MathProg _ Language Reference for GLPK", Department for Applied Informatics, Moscow Aviation Institute, Moscow, Russia, December 2010 [42] J.T Schwartz M Sharir, "The ‘piano movers’ problem: III coordinating the motion of several independent bodies: The special case of circular bodies moving amidst polygonal obstacles." International Journal of Robotics Research, 2(3):46 - 75, 1983 79 Luận văn thạc sĩ - Khoa học máy tính [43] P Svestka M Overmars, "Coordinated path planning for multiple robots", Robotics and Autonomous Systems, 23:125–152, 1998 [44] M Peasgood, C Clark, and J McPhee, "A complete and scalable strategy for coordinating multiple robots within roadmaps", IEEE Transactions on Robotics, 2008 [45] M Erdmann T Lozano-Perez, "On multiple moving objects", Algorithmica, 2:477–521, 1987 [46] K Kant S W Zucker, "Toward efficient trajectory planning: the pathvelocity decomposition", The International Journal of Robotics Research, 5(3):72–89, 1986 [47] https://en.wikipedia.org/wiki/Line_graph 80 ... giải pháp cho tốn tìm đường đối tượng đa đối tượng • Tìm hiểu giải pháp cụ thể cho tốn tìm đường ngắn (theo khoảng cách) tránh vật cản cho hai đối tượng có ràng buộc với khoảng cách cách kết hợp... Kết thực nghiệm tốn tìm đường ngắn cho hai đối tượng đồ thị (kiểu đồ thị hình học - dày) 6.3 65 67 Kết thực nghiệm tốn tìm đường ngắn cho hai đối tượng đồ thị (kiểu đồ thị hình học - thưa)... TÊN ĐỀ TÀI: Bài tốn tìm đường ngắn đồ thị cho hai đối tượng có ràng buộc khoảng cách II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Nghiên cứu hướng tiếp cận phương pháp toán tìm đường ngắn cho nhiều đối tượng di chuyển