Tốc độ trộn của bước đi ngẫu nhiên trên đồ thị

B…nh ành - 2019

ivMð ƒu

Trong kho£ng hìn v i th“p k trð l⁄i ¥y, lþ thuy‚t sâng nhä ¢ ÷æcnghi¶n cøu v ph¡t tri”n r§t m⁄nh m‡ Lþ thuy‚t sâng nhä ¢ trð th nh mºtcæng cö hœu hi»u ” gi£i quy‚t c¡c b i to¡n quan trång khæng ch¿ trongc¡c l¾nh vüc Gi£i t‰ch i•u hÆa, Gi£i t‰ch Fourier, Ph÷ìng tr…nh ⁄o

h m ri¶ng m cÆn c£ trong c¡c ng nh khoa håc øng döng nh÷ xß lþ £nh,xß lþ t‰n hi»u, n†n dœ li»u, khoa håc nh“n bi‚t (xem [2], [6]) Vîi læi th‚ thunhä hay phâng to cßa sŒ thíi gian - tƒn sŁ mºt c¡ch linh ho⁄t, phò hæp vîi t‰n hi»u cƒn nghi¶n cøu ¢ l m cho bi‚n Œi sâng nhä câ kh£ n«ng xß lþ ¥mthanh, h…nh £nh v n†n dœ li»u r§t tŁt (xem [1], [2], [6]).

Vîi mong muŁn t…m hi”u v• c¡c t‰nh ch§t cì b£n cıa bi‚n Œi sângnhä (bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä) tr¶n c¡c khæng gian h m, qua t…mhi”u v ÷æc sü çng þ h÷îng d¤n cıa TS o V«n D÷ìng, tæi ¢ chån nghi¶ncøu • t i: "Bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä tr¶n mºt sŁ khæng gian

h m", ” thüc hi»n lu“n v«n tŁt nghi»p trong ch÷ìng tr…nh o t⁄o th⁄c s¾chuy¶n ng nh To¡n Gi£i t‰ch Nºi dung cıa Lu“n v«n ÷æc tr…nh b y th nhhai ch÷ìng.

Ch÷ìng 1 Mºt sŁ ki‚n thøc cì sð

Trong ch÷ìng n y, lu“n v«n tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc cì sð nh÷ lþthuy‚t khæng gian Lebesgue, bi‚n Œi Fourier, khæng gian c¡c h m suyrºng v mºt sŁ t‰ch ch§t cì b£n cıa bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä.

Ch÷ìng 2 Bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä tr¶n mºt sŁ khæng gian h mTrong ch÷ìng n y, lu“n v«n tr…nh b y mºt c¡ch h» thŁng, chi ti‚t c¡c k‚t qu£cıa bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä tr¶n mºt sŁ khæng gian h m Tr÷îc

ti¶n, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m, k‚t qu£ v• bi‚n Œi t‰ch ph¥nsâng nhä tr¶n khæng gian Lp Ti‚p ‚n, chóng tæi tr…nh b y bi‚n Œi t‰chph¥n sâng nhä trong khæng gian Sobolev CuŁi còng, lu“n v«n tr…nh b ybi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä tr¶n c¡c khæng gian h m lo⁄i S.

Quy Nhìn, ng y 18 th¡ng 07 n«m 2019T¡c gi£

Nguy„n Ho ng Nguy¶n

Ch֓ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc cì sð

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ban ƒu v• lþ thuy‚t khæng gian Lebesgue, bi‚n Œi Fourier, c¡c khænggian h m suy rºng, bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä K‚t qu£ n y l nhœngki‚n thøc cì sð ÷æc sß döng trong Ch÷ìng 2 cıa lu“n v«n Nºi dung tr…nh b y trong ch÷ìng n y ÷æc tham kh£o ch‰nh tł c¡c t i li»u [1], [2], [3],[4], [5], [6], [7] v [10].

$

vîi hƒu kh›p nìi (h.k.8n) x PR.

Kþ hi»u }f}p :pv }f}8: infC|fpxq| ¤C h:k:n Khi â LppRqp1 ¤p ¤ 8ql khæng gian Banach vîi chu'n }f}p.

f:g}1 ¤ }f}2:}g}2: (1.1.2)Ngo i ra, vîi 1 ¤p ¤ 8}ta công câ b§t flng thøc Minkowski nh÷ sau

f g}p ¤ }f}p }g}p: (1.1.3)ành lþ 1.2 (B§t flng thøc Minkowski cho c¡c t‰ch ph¥n).

Cho 1 ¤p 8vF px; yql mºt h m o ÷æc Lebesgue tr¶n khæng gian

ành lþ 1.3 ( ành lþ hºi tö bà ch°n cıa Lebesgue).

Cho tfnul d¢y c¡c h m gi¡ trà phøc o ÷æc Lebesgue v kh£ t‰ch tr¶ncıa R Gi£ sß c¡c ph¡t bi”u sau l óng:

fnpxq—fpxq h.k.n tr¶n R ;

Tçn t⁄i mºt h m g kh£ t‰ch tr¶n R sao cho vîi mØi n, |fnpxq|¤gpxq h.k.n tr¶n R.

1.2.1 Ph†p bi‚n Œi Fourier trong 8» khæng gian L1pRq

ành ngh¾a 1.6 ([7]) Ph†p bi‚n Œi Fourier cıa mºt h m f PL1pRq ÷æcành ngh¾a bði

fpxqdx: (1.2.1)

fp!qpFfqp!q: 8e

Mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cıa f^p!qvîi f P L1pRqm ÷æc sß dòngth÷íng xuy¶n ÷æc tr…nh b y trong hai ành lþ sau ¥y.

ành lþ 1.7 ([7]) Cho f PL1pRq Khi â ph†p bi‚n Œi Fourier cıa f thäa m¢n c¡c t‰nh ch§t sau:

iqFt fptq gptqu Ftfptqu Ftgptqu; (1.2.2)iiqFtTafptqu Maf^ ! ; (1.2.3)iiiqFtD 1 fptqu Daf^p!q; (1.2.4)

pivqFt D1fptqu f^p!q; (1.2.5)vqFtMafptqu Taf^p!q; (1.2.6)— ¥y T l ph†p tành ti‚n theo , tøc l T fptq fpt q, v Db

ành lþ 1.10 ([7]) Cho f PL1pRqcâ ph†p bi‚n Œi Fourier f^ PL1pRq.Khi â

fqpxq;

5t⁄i måi i”m x m ð â h m f li¶n töc.

1.2.2 Ph†p bi‚n Œi Fourier v t‰ch ch“p trong khæng gian Lebesgue

ành lþ 1.11 ([1]) Cho f PL1pRq XL2pRq Khi â ph†p bi‚n Œi Fouriercıa f l f^ PL2pRqv thäa m¢n çng nh§t thøc Parseval }f^}2

22 }f}2

Tł ành lþ 1.11 ta th§y ph†p bi‚n Œi Fourier F : L1pRq XL2pRq —

L2pRqltrò m“t trong L2pRq, cho n¶n chóng ta câ th” th¡c tri”n F l¶nto n bº L2pRqm v¤n b£o to n chu'n Cö th” hìn, n‚u f PL2pRqth…b‹ng c¡ch °t

ành ngh¾a 1.12 ([1]) Ph†p bi‚n Œi Fourier f^ cıa h m f PL2pRq ÷æc ànhngh¾a l giîi h⁄n f^8cıa tf^N u.

Chó þ r‹ng ành ngh¾a f^ cıa h m f PL2pRql ºc l“p vîi sü lüa chån cıaf^N PL1pRqXL2pRq Nâi c¡ch kh¡c, b§t ký d¢y Cauchy n o kh¡c

trong L1pRq XL2pRqm x§p x¿ f trong L2pRq •u công câ th” sßdöng ” ành ngh¾a f^.

p T÷ìng tü nh÷ tr÷íng hæp tr¶n, ta câ hppxq 8hƒu kh›p x PRn Gåi

l sŁ thüc li¶n hæp cıa p Theo b§t flng thøc Holder

ành ngh¾a 1.18 ([7]) Khæng gian1gçm t§t c£ c¡c phi‚m h m tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n DpRnq, ÷æc kþ hi»u D pRnq, ÷æc gåi l khæng gian c¡c h m suy rºng, hay khæng gian Łi ng¤u cıa DpRnq.

pxq '%exp

; x 1;

x|21

D f; ¡p1q|| f; D ¡; vîi måi PDpRnq

:

⁄o h m suy rºng D f công l mºt h m suy rºng D1pRnq.V‰ dö 1.21 ([7]) H m ìn và Heaviside H ÷æc ành ngh¾a

Khi â 1 10

(1.3.4)Hpxq DHpxq pxq:

ành ngh¾a 1.22 ([7]) Kþ hi»u S l khæng gian vector cıa t§t c£ c¡ch m C 8- tr¶n Rn sao cho mØi ; PN0,

ành ngh¾a 1.24 ([7]) T“p t§t c£ PC8pRnqsao cho mØi PN0n, tçn

(1.3.8)

1.4 Bi‚n Œi Fourier cıa h m suy rºng

ành lþ 1.25 ([7]) Ph†p bi‚n Œi Fourier l mºt flng c§u cıa S pRnq

1.5 Bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä

ành ngh¾a 1.26 ([7]) Mºt sâng nhä cì sð l mºt h m PL2pRqthäa

»| ^|p!q|2

a;bptq} 2 |

a| 1 8 t b

dt 8| pxq| 2dx } }2: (1.5.2)a

ptqdt0; 8| ptq|2dt1:

Sâng nhä n y ÷æc giîi h⁄n trong mi•n thíi gian, nh÷ng khæng li¶n töc.

H…nh 1.1: Sâng nhä Har v bi‚nŒi Fourier cıa nâ.

Ti‚p theo, lu“n v«n tr…nh b y mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cıa bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä Cö th”, ta câ ành lþ sau.

ành lþ 1.29 ([3]) N‚u v l sâng nhä v f; g l c¡c h m thuºc L2pRq

W p f gqpa; bq pW fqpa; bq pW gqpa; bq: (1.5.9)

W pTcfqqpa; bq pW fqp a; b cq; (1.5.10)trong â Tc l to¡n tß tành ti‚n ÷æc ành ngh¾a Tcfptq fpt cq

(iii) p

W pDcfqqpa; bq?1 pW fq a ;b

; c ¡0; (1.5.11)c c

trong â Dc lto¡n tß gi¢n ÷æc ành ngh¾a Dc fptq 1f t ; c ¡0.

W f pa; bqpW fqpa; bq pW fqpa; bq; (1.5.14)cho b§t ký ;

WTcfqpa; bq pW fqpa; b caq: (1.5.15)

fqpa; bq cpW fqpac; bq:

1 ^ ^2 f; a;b

»W »fqpa; bqpW» gqp»a; bq a2

p1 dbda ^^^ibp!q

88|a|fp!qg^p q pa!q pa qe d!d2 q2 88 a 2

2 8a| 88 fp!qg^p q pa!q pa qd!d

ành lþ 1.31 ([3]) N‚u f PL2pRqth… f câ th” bi”u di„n bði cæng thøc

fptq C1 88pW fqpa; bq

a2 ; (1.5.21)

trong â flng thøc óng hƒu kh›p nìi trong R.

Chøng minh L§y b§t ký g PL2pRq Tł »ành lþ 1.30, ta câC hf; gi »hW8 »f;8Wp giq dbda

pW fqpa; bqpW gqpa; bqa2

»» »W8pfqpa; bq8gptqa;bptqdtdbdaa2

W fqpa; bq a;bptqdbda

a2 gptqdt

:hW fqpa; bq a;bptqdbda

a2 ; g

8 Khi â, bi”u thøc

Chøng minh Bði ành lþ 1.30 v ành lþ 1.31, n¶n ta ch¿ cƒn chøng minh

t‰nh b£o to n}chu'n cıa»to¡n tß L Th“t v“y, ta câ

b y bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä tr¶n c¡c khæng gian h m lo⁄i S Nºi dung cıa ch÷ìng n y ÷æc tham kh£o trong c¡c t i li»u [7], [8] v [9].

18

v Sobolev

2.1.1 Bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng» 8nhä tr¶n khæng gian Lp

Trong möc n y, lu“n v«n x†t bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä f~ cıa h m

ành lþ 2.1 ([8]) Cho 1» 8 8p | 8 Gi£ sß sâng nhä cì sð thäa^|

(2.1.3)d!8:

Ng÷æc l⁄i, l§y b§t ký f PLpRqXLpRq Vîi måi g PLpRq,

bði bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä l mºt flng cü tł L pRqv oL R ;1

f~pa; bq g~pa; bqdadb 8fpxqgpxqdx: (2.1.6)

8f~pa; bq

³ 8|p!q|2 c 0 8 atrong â c 0! d!.

22Chøng minh X†t d⁄ng song tuy‚n t‰nh

Ti‚p theo, ta tr…nh b y cæng thøc ng÷æc cho bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng

trong â flng thøc hi”u theo ngh¾a trong khæng gian Lp.

a2 Wpb; aq H»pq

a2 p2 q1 8eib! ppa!qpp!qd! 8 ppa!qpa|!|q1 ad!

2.1.2 Bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä trong khæng gian Sobolev

Sß döng}t‰nh ch§t cıa bi‚n Œi Fourier, ta câ

Łi vîi khæng gian Sobolev, ta chån bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhäd⁄ng bi‚n Œi Fourier (d⁄ng to¡n tß gi£ vi h¥n) ” ti‚p c“n Gi£ sß W1 v W2

(2.1.19)

!qp2p!q¤H p1 |!|qm2 ; (2.1.25)trong â C , H l nhœng h‹ng sŁ v m1, m2 l nhœng sŁ thüc.

»8»8 2 p30Ti‚p theo, ta thu ÷æc c¡c cæng thøc Parseval v cæng thøc ng÷æc øng

vîi hai sâng nhä cì sð Cho hai sâng nhä cì sð 1PL2 pRnq, 2 PL1 pRnq

sao cho tçn t⁄i mºt h‹ng sŁ d÷ìng C thäaC

32trong â b; a PR.

T÷ìng tü vîi M»nh • 2.9, ta công câ k‚t qu£ sau.

1 2 s |ppq|2d

ành lþ 2.11 ¢ ÷æc chøng minh.

Bði ành lþ 2.11, ta câ mºt sŁ tr÷íng hæp °c bi»t nh÷ sau.(i) Cho }p0; 1{2q,

W }HspR2q¤p2HsR L2 Rs ¡0

2 q}}

L0spRqps ¤0q:

34(ii) Cho }p0; 0q,

Chøng minh Chøng minh t÷ìng tü nh÷ ành lþ 2.11, trong â M»nh •2.10 ÷æc ¡p döng thay cho M»nh • 2.9.

2.2Bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng» nhä tr¶n khæng gian lo⁄i S

Trong phƒn n y ta x†t bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä câ d⁄ng sauW pqW pb; aq1

ppawqppwqdw:(2.2.1)2 R

ành ngh¾a 2.13 ([7]) Khæng gian S p ¥0qgçm câ t§t c£ c¡c h m kh£ vi væ h⁄n pxqp 8 x 8q, thäa c¡c b§t flng thøc

k;qpq: supxk qqp

xq¤CqAkkk p

k; q 0; 1; 2; : : :q; (2.2.2)

xPR

trong â c¡c h‹ng sŁ A v Cq phö thuºc v o h m Tr÷íng hæp k 0, th…bi”u thøc kk ÷æc quy ÷îc l 1.

Trong phƒn ti‚p theo, ta

gian H R R , ÷æc gåi l ành ngh¾a c¡c khæng gian tr¶n nßa khæng khæng gian lo⁄i Sr.

ành ngh¾a 2.16 ([7]) Khæng gian SrpRR q, p1;2q,1;2 ¥

0 ÷æc ành ngh¾a l khæng gian cıa t§t c£ c¡c h m PC 8pRR qsao

cho vîi måi l; s; k; t PN0,

b;aqPR Rl s¤k t

(2.2.8)trong â c¡c h‹ng sŁ A1; A2 v Ck;t phö thuºc h m

pRR q, p1; 2q, 1; 2 ¥0

ành ngh¾a 2.17 ([7]) Khæng gian S

÷æc ành ngh¾a l khæng gian cıa t§t c£ c¡c h m PC 8pRR qsao

cho vîi måi l; s; k; t PN0,

pành ngh¾a 2.18 ([7]) Khæng gian SrpRR q, p1; 2q,

h m PC8pRR qsao cho vîi måi l; s; k; t PN0,BB k BB t

trong â A1 , A2 , B1 , B2 v C phö thuºc

Trong phƒn n y ta cho th§y r‹ng khi h m sâng nhä cì sð thuºc v•mºt trong c¡c khæng gian lo⁄i S th‰ch hæp, th… bi‚n Œi sâng nhä l mºt

¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh li¶n töc tł khæng gian lo⁄i kh¡c cıa S v o khæng gian còng lo⁄i Sr

¢ ÷æc ành ngh¾a ð tr¶n Cö th” hìn, ta câ ành lþ sau.

ành lþ 2.19 ([7]) Gi£ sß PS pRq Khi â bi‚n Œi t‰ch ph¥n sângnhä W l mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh li¶n töc tł S pRqv o SrpHq, trong â

ibw mnt k ls m n

e w DwwDw ppwqq

R

1 ¸m m pm! m¸l p m l p pk!

|1 y2 ym k p qDym l p q dy

1 y2R

Ti‚p theo, sß döng t‰nh ch§t n! ¤nn v (2.2.2) ta câ

I| ¤

pt k l m nqpt k l m nqC At k l m n 2

sm n

t k l m n 2qpt k l m n 2qq

11 w2

pn t k lt k l m n 2

s;m;nAm 0mn 0n

m k p q 2qpm k p q 2qR1 y2 dw

2p¸s s

s m

1t k lm n 2

»s m n 1 ¸m mm m¸l p m l p kDw pwq| 1 w2 p 0 p p!2 q 0 q q!2

Bsss mm2mt;k;l;s

ành lþ 2.21 ([7]) Gi£ sß PS pRq Khi â bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng

trong â thuºc v• khæng gian h m thß t÷ìng øng.Bði l“p lu“n Łi ng¤u thæng th÷íng, ta câ k‚t qu£ sau.

ành lþ 2.22 ([7]) bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä W~ 1 46 1

(1) Mp2 ¤Mp1Mp1;p PN0.(1a) MpMq ¤M0Mp q;p; q PN0.

(2) Mp ¤RHp min0¤q¤p MqMp q; p; q PN0; R ¡0; H ¡0.

(2a)°M8p 1 ¤RHpMp;p PN0; R ¡0; H ¡0.(3) j 0Mj{M

compact trong K €R thäa (2.2.14)÷æc kþ hi»u D pMp; Rq.

ành ngh¾a 2.25 ([7]) Gi£ sß tMkukPN0 v tNquqPN0 l hai d¢y sŁ d÷ìng÷æc ành ngh¾a nh÷ b¶n tr¶n Mºt h m kh£ vi væ h⁄n gi¡ trà phøc thuºc khæng gian StMkupRqn‚u

xk pqqp

xq¤CqAkMk;k; q0; 1; 2; : : : (2.2.15)vîi h‹ng sŁ d÷ìng A v Cq phö thuºc

H m thuºc v• khæng gian S tNq

xk pqqp

trong â C, A v B l h‹ng sŁ ¢ bi‚t phö thuºc v o

Tł c¡c i•u ki»n cho tMkuv tNqu, a câ c¡c h» thøc sauF StMkuSMku; F StNqu SNqu ; v F SMkuSNqu.

ành ngh¾a 2.26 ([7]) Khæng8 gian SrtMpl qsu÷æc ành ngh¾a l khæng

gian cıa t§t c£ c¡c h m PCpH qsao cho cho l; s; k; t; p; q PN0,

trong â B1; B2 v Cl;s phö thuºc v o

CAl1As2B1kB2tMpl qsNgs hlNmk nt;trong â A1; A2; B2; B2 v C phö huºc h m thß

ành lþ 2.29 ([7]) Gi£ sß PStMnupRq Khi â bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä W l mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh li¶n töc tł St

MnupRqv o SrtM2ktupHq.

Chøng minh Gi£ sß l; s; k; t PN0 sao cho l s ¤k t Bði b§t flng thøc(2.2.11), ta câ k BBt p

albs W qpb; aqb

a

¤ 49»

trong â Es;l; B1 v B2 l h‹ng sŁ d÷ìng — ¥y, trong b§t flng thøc cuŁi, ta sß döng c¡c b§t flng thøc (1a) v (2) b¶n tr¶n.

ành lþ 2.29 ¢ ÷æc chøng minh.

Ti‚p theo, ta câ ành lþ Abel cho h m suy rºng cıa bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä.

Gi£ sß pxq PS pRq, sao cho eib! ppa!qcông lmºt phƒn tß cıa S pRq

theo bi‚n ! Cho PS 1pRqsao cho pp!q PS11pRq Khi â, ta câ th” ành

ngh¾a bi‚n Œi t‰chh¥n sâng nhä cıa pPS pRqbði

1 A

pp!q; eib! E:

W pb; aq pW qpb; aq 2ppa!q (2.2.18)ành lþ 2.30 ([7]) Ta câ h mAWppb; aqkh£ vi Hìn nœa, vîiEmØi i PN0,j PpB{BN0, ta câ

bqjW pb; aqp!q; pi!qjeib!pB{B

aqi ppa!q

Ta cƒn chøng minh

—0 trong S pRqkhi h —0e rpa hq!s ppa!q B pa!q

B¥yhgií, kþ hi»u BB r ppa!q b‹ngaprpa!q, ta câ p

Ti‚p theo, ta câ d¡ng i»u ti»m c“n cıa W pb; aqøng vîi c¡c tham bi‚n a; b.ành lþ 2.31 ([7]) Gi£ sß W pb; aql bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä cıa

p 152

PSpRq ÷æc ành ngh¾a bði (2.2.1 ) Khi â vîi k lîn, ta câ

W pb; aq Oa2k|

b|k ; a — 0O a k ; a — 8O ak

1 a2 k ; b| —0

Oa2k1 a2 k|

b|k ; |b| — 8:

Chøng minh Theo t‰nh ch§t bà ch°n cıa h m suy rºng, tçn t⁄i mºt h‹ng

Ta câ ành lþ lo⁄i Abel cho bi‚n Œi t‰ch h¥n sâng nhä tr¶n c¡ch m

suy rºng.

ành lþ 2.32 ([7]) Gi£ sß p PS 1sao cho câ khai tri”n p 1 2,

trong â 1 l mºt h m th÷íng v 2 PE 1pRz0qcâ b“c k Cho c¡c sŁthüc v sao cho 2 k 2 Gi£ sß |!|1 pp!qPL1pRqv

1p!qPL1p; 8q@ ¡0 N‚u W pb; aql bi‚n Œi sâng nhä h m suy rºng

Do â çn t⁄i mºt h‹ng sŁ A ¡0 sao cho

K‚t lu“n

Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n tr…nh b y câ h» thŁng, chi ti‚t c¡c chøngminh v• mºt sŁ k‚t qu£ cıa bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä tr¶n mºt sŁ khænggian h m Cö th”, lu“n v«n ¢ tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ ch‰nh sau:

Tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ v• bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä tr¶n khæng gian Lp nh÷ t‰nh bà ch°n, cæng thøc Parseval, cæng thøc ng÷æc, d¡ng i»u ti»m c“n øng vîi c¡c tham bi‚n.

Tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ v• bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä tr¶n khænggian Sobolev nh÷ t‰nh bà ch°n, t‰ch cıa hai bi‚n Œi t‰ch ph¥n sângnhä v cæng thøc Parseval cho bi‚n Œi t‰ch ph¥n sâng nhä vîi haih m sâng nhä cì sð kh¡c nhau.

Tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ v• to¡n tß sâng nhä tr¶n khæng gian h mkhæng gian c¡c h m suy rºng lo⁄i S, v ành lþ ki”u Abel cho bi‚nŒi t‰ch ph¥n sâng nhä.

T i li»u tham kh£o

[1] C K Chui, An introduction to wavelets, Academic Press, New York (1992).

[2]I C Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM, Philadelphia (1992).[3] L Debnath, Wavelet transforms and their applications, Birkhauser (2002).

[4] L Grafakos, Classical Fourier Analysis, Second Edition, Springer (2008).

[5] E Hernandez, G Weiss, A first course on wavelets, CRC Press, Boca Raton (1996).

[6] Y Meyer, Wavelets and Operators, Advanced Mathematics, bridge University Press (1992).

Cam-[7] R S Pathak, The Wavelet Transform, World Scientific (2009).

[8] V Perrier and C Basdevant, Besov Norms in Terms of theContinuous Wavelet Transform Application to Structure Functions, Math.Models Methods Appl Sci 6 (5), 649-664 (1996).

[9] Andreas Rieder, The wavelet transform on Sobolev spaces and itsap-proximation properties, Numer Math 58, 875-894, (1991).

55

[10] M W Wong, An introduction to pseudo-differential operators, World Scientific (2014).