đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng

Để phần nào khắc phục được hạn chế đó chúng tôi nêu lên đề tài: “ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ” mà trong quá trìnhgiảng dạy đã đúc kết được.. Đề tài thể hiện được h

và chọn lời giải Để phần nào khắc phục được hạn chế đó chúng tôi nêu lên đề tài: “ĐI TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ” mà trong quá trình

giảng dạy đã đúc kết được Đề tài thể hiện được hướng tiếp cận và khai thác hiệu quả đốivới các dạng toán tích phân trong chương trình lớp 12 THPT góp phần nâng cao hiệu quảgiảng dạy và ôn thi Đại học, Cao đẳng Rất mong sự đồng cảm và chia sẽ của các thầy cô

và các bạn quan tâm đến vấn đề này

2 Mục đích nghiên cứu

Góp phần tìm tòi lời giải gọn gàng, hiệu quả cho một lớp các bài toán về tích phân

và ứng dụng, giúp học sinh tư duy hiệu quả và tự tin hơn khi gặp các bài tập dạng này

Nắm vững nội dung đề tài, lời giải của học sinh củng tự nhiên và trong sáng hơn

Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân, cũng như việc trao đổi kinhnghiệm với đồng nghiệp

3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài

Đối tượng nghiên cứu là phương pháp tiếp cận để giải quyết lớp các bài toán vềtích phân thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng cũng như tốt nghiệp THPT

4 Phạm vi nghiên cứu của đề tài

Đề tài được áp dụng cho các học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp, luyện thi Đại học vàCao đẳng

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đi tìm lời giải của bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân tính diện tích hìnhphẳng

Kỹ năng phân tích, nhận dạng và tính tích phân

6 Phương pháp nghiên cứu

a) Nghiên cứu tài liệu:

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:

- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12

- Tài liệu tham khảo

b) Điều tra:

- Thực dạy và kết quả kiểm tra:

Trong quá trình nghiên cứu đề tài năm học 2012-2013 đã tiến hành đối chứng 12B

và thực nghiệm các lớp 12G, 12I thực nghiệm

- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giảitoán tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó để đánh giáchính xác kết quả phương pháp của mình

- Đàm thoại:

+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp vớiphân môn

+ Trao đổi với các em học sinh về các bài toán tích phân mới để biết được cách tìm

ra hướng giải bài toán của các em, từ đó có cách dạy tốt hơn

c) Giả thuyết khoa học:

Nếu học sinh nắm vững các bước giải và dạng toán thì các em cảm thấy hăng say,tích cực, tự tin và kết quả kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm vẫn cao hơn

7 Bố cục đề tài

Bố cục đề tài gồm: Đặt vấn đề, Giải quyết vấn đề gồm 2 chương: Chương 1 vàchương 2, Kết luận, kiến nghị và tài liệu tham khảo

1.2 Cơ sở thực tiễn:

1.2.1 Thực trạng việc dạy của giáo viên:

Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng thườngdừng lại ở mức độ đơn lẻ, chưa đưa ra được các cách giải và cách phân tích cho một bàitoán để chọn được lời giải hay Đối với dạng toán tích phân đặc biệt và ứng dụng của tíchphân tính diện tích hình phẳng giáo viên ít quan tâm hơn

1.2.2 Thực trạng việc học của học sinh:

Đa số học sinh biết giải các bài tập tích phân cơ bản, biến đổi đơn giản và bế tắckhi gặp dạng biến đổi phức tạp Nhiều học sinh còn lúng túng khi chọn phương pháp giải

và lời giải chưa thật sự rõ ràng Đối với dạng toán tích phân đặc biệt và ứng dụng của tíchphân tính diện tích hình phẳng học sinh còn sợ khó

Chất lượng thực tế qua khảo sát năm 2012-2013:

1.2.3 Sự cần thiết của đề tài:

Qua phân tích thực trạng việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh, tôi nhậnthấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 12 Đề tài giới thiệu nhữngkinh nghiệm, phương pháp phù hợp nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy tích phân cho họcsinh khối 12 và giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi tốt nghiệp, Đai học và caođẳng

Vấn đề được đặt ra:

Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động và sángtạo của học sinh trong học tập và rèn luyện Để phát huy điều đó, chúng ta cần phải đưa rađược những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập,

để đem lại kết quả trong học tập tốt hơn và hiệu quả giảng dạy cao hơn

Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thựctrạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch; Tiến hành nghiên cứu;Thống kê so sánh; Viết đề tài

Nội dung của chương 2:

2.1 Dạng bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1

b u t a u t b x a x

) (

)()

(')]

([

b u

a u

b

a

dt t f dx

x u x u

- Đứng trước bài toán này ta có các hướng giải:

1 Khai triển hằng đẳng thức (1x4 3) và đưa tích phân về dạng cơ bản

2 Sử dụng định nghĩa tích phân

3 Sử dụng phương pháp đổi biến số loại 1…

- Trình bày lời giải theo phương pháp đổi biến số như sau:

Giải

Nhận xét: Đối với dạng toán tương tự như bài 1 sử dụng phương pháp đổi biến số

cho ta một lời giải rõ ràng và hiệu quả Với hướng 1 nếu số mũ lớn thì việc khai triển khókhăn hơn và đó đương nhiên không thực tế

2 1

Phân tích

- Với bài toán này ta có thể nghỉ đến hướng giải:

1 Sử dụng phương pháp đổi biến số, thực hiện theo hai cách:

+ Tách thành 1 tích phân cơ bản và một tích phân đổi biến số

+ Sử dụng ngay phép đổi biến số

Bài 4: (ĐH Khối B - 2010) 2

1

ln(2 ln )

- Bài toán này có hướng giải:

1 Sử dụng phương pháp đổi biến số có thể đặt t 2 lnx hoặc tlnx

- Đây là bài toán phức tạp hơn các bài toán vừa nêu, đứng trước bài toán này ta:+ Nhận thấy tử có thể phân tích nhân tử chung từ đó biến đổi hàm số lấy tích vềdạng quen thuộc

1 10

x

I x dx 

1

2

01 2

x x

- Đứng trước bài toán này ta có các hướng giải:

1 Dùng công thức hạ bậc để biến đổi tích phân về dạng đơn giản nhất

2 Biến đổi tích phân thành tổng tích phân quen thuộc và tích phân đổi biến số

- Lời giải theo phương pháp đổi biến số:

2 2

Nhận xét: Trên đây là các dạng toán rất hay và quen thuộc đối với chúng ta Đứng

trước các bài toán này ta có nhiều cách giải, tuy nhiên việc chọn lời giải đẹp, gọn gàng vàhiệu quả là rất quan trọng Để làm được điều đó chúng ta phải thường xuyên tiếp cận, thựchành giải các bài toán về tích phân từ đó hình thành được kỉ năng nhận dạng và chọn lờigiải Dưới đây là các bài tập dùng để rèn luyện phần này:

  

2

sin2

 

2

4

2sin1

cossin

sin 2

1 cos

x dx x







dx x x

cos1



dx x

x

x x



dx x x

2sin

2 0

f( )

Cách thực hiện:

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được:

I = 

b

a

dx x

2 0

11

6 2

- Đây là bài toán dạng đổi biến số loại hai, để khử căn thức ta thường đặt xsint.

- Áp dụng phương pháp đổi biến số trên ta có lời giải:

0 0

2 1

9 3x dxI

- Biến đổi tích phân về dạng quen thuộc

- Áp dụng phương pháp đổi biến số ta có lời giải:

Nhận xét : Trên đây là bài toán không quá khó, tuy nhiên để giải một lớp các bài

toán tương tự, ta phải nhận được dạng và nắm được các bước giải bài toán tổng quát:

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản của đổi biến số dạng 2, việc tìm tòi lời giải dựa

trên phương pháp đổi biến số

1

dx x

x

 

3

1 2

2

39

dx x

x

1

2 0

21

x dx

x  x

 ;

 ;  

2011 2 1

2012

0

11

Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Biến đổi tích phân về dạng:

b

a

b

I uv vdu a

b

x a

I P x e dx



  đặt u P x ( ) Dạng 4: ln , ( 1)

Bài 1: (ĐHHH TPHCM -2000)

2

2 1

11

x dx

dv

v x

Nhận xét: T rên đây là một trong những bài toán khó của dạng tích phân từng

phần, thoạt đầu nhìn cảm thấy khó chịu và có liên tưởng đến phương pháp đổi biến số, tuynhiên đây chính là dạng 4 của tích phân từng phần

Đặt:

sin 2os2

3 ln( 1)

e

x

 

2.4 Dạng bài toán tích phân đặc biệt

2.4.1 Bài toán dựa vào tính liên tục và tính lẻ của hàm số lấy tích phân

Bài 1: Cho ( )f x là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn a a a; ( 0) tính:

( )

(

a

a a

a

dx x f dx x f dx x f

Đặt vấn đề: Đây là bài toán đại diện cho một lớp rất nhiều các bài toán, cụ thể là

trường hợp riêng của bài toán này Ví dụ: Tính các tích phân sau:

- Do đó ta có kết quả

1

2 1

sin

01

x dx x

- Với bài toán trên chúng ta thường suy nghỉ đến ba hướng:

1 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần và thực hiện 2014 lần tích phân từngphần điều đó không thự tế

2 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho công thức tổng quát:

x dx x





2.4.2 Bài toán dựa vào tính liên tục của hàm số trên đoạn [0;1]

Bài 1: Cho f(t) là một hàm số liên tục trên đoạn [0;1] Chứng minh:

(sin

dx x f dx x f

2 0

t x

t x



 khi đó:

Đặt vấn đề: Trên đây là bài toán hay và có vai trò quan trọng trong việc đi tìm lời

giải của 1 lớp các bài toán tích phân có chứa hàm số lượng giác Cụ thể:

0

sincos sin

Đứng trước bài toán này ta thường nghỉ đến hai hướng:

1 Biến đổi lượng giác đưa tích phân về dạng quen thuộc, tuy nhiên do bậc củahàm số lượng giác khá cao nên chưa chắc đã là hiệu quả

2 Áp dụng bài toán đại diện:

- Ta thấy

6

cos( )

x dx

0

sincos sin

x dx

2 0

t x

t x



,

Khi đó:

6 0

6 2

x n n

4

sincos

cos



dx x x

6

sincos

cos



dx x x

) (sinx dx f x dx xf

t x



Khi đó:

) (sinx dx f x dx xf

Đứng trước bài toán này ta thường nghỉ đến hai hướng:

1 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tuy nhiên việc tính v rất phức tạp

t x

2.4.3 Bài toán dựa vào tính liên tục và chẵn của hàm số trên

Bài 1: Cho f(x) là hàm số liên tục và chẵn trên ,thì:

) ( dx f x dx

a

x f

) ( 1

) (

dx a

x f dx a

x f dx a

x f

x x

x

a

x f



a

x f a dt a

a t f dt a

t f

x

x t

) ( 1

) (

Đối với bài toán này ta áp dụng bài toán gốc:

+ Ta thấy f x( )x4 là một hàm số liên tục trên đoạn [-1;1]

x dx

e x

dx e







 (với a 0)

2.5 Dạng toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

Bài toán: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên a; b Gọi D là hìnhphẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f1(x) và y = f2(x) và các đường thẳng x = a, x = bthì diện tích của hình phẳng được tính theo công thức:

S 1( ) 2( )

Đặt vấn đề: Việc tính diện tích hình phẳng của bài toán trên ta thấy có phần đơn

giản Song trong thực tế ta gặp rất nhiều bài toán không phải như thế, sau đây là các bài

- Tính: ( 2) 2 4 3 ( 3)

b H a

5 2 ( )

+ Xét dấu: 3 1

1

x x

( )( ) :

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C) và (C’) tìm cận a, b.

- Xét dấu x  2 x2 trên đoạn [a;b] để mở dấu giá trị tuyệt đối

3 0

y x H

0 (Ox)( ) :

1

x

x y

H

x e x

e H

e H

dx

du x

2 2

0

(Ox) ( ) :

- Qua thực tế giảng dạy đề tài “ Đi tìm tòi lời giải của bài tập tích phân và ứng

dụng” được học sinh tiếp thu khá tốt, các em đã vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng tạo đểgiải quyết một lớp các bài toán về tích phân trong kì thi tốt nghiệp, Đại học và Cao đẳng

- Giữa 2 lớp 12G, 12I có học chuyên đề của đề tài và lớp 12B không học chuyên đềnày thì các học sinh lớp 12G, 12I có hướng giải quyết bài tập nhanh và nhiều em có lời giảitốt hơn lớp 12B khi cho bài tập cùng loại

2 Những bài học kinh nghiệm

Qua thời gian nghiên cứu và vận dụng đề tài vào giảng dạy chúng tôi rút ra được một

số ý kiến sau:

a Giáo viên:

- Thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp

- Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em khôngcảm thấy áp lực trong học tập

- Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh.Qua đề tài chúng tôi thấy rằng từ việc nắm được phương pháp đến việc vận dụng nómột cách thành thạo là cả một quá trình Điều cần nhất là chúng ta cần thực hiện vấn đề tớinơi tới chốn chứ đừng bỏ dở giữa chừng dù phải đối mặt với những tính toán phức tạp

b Học sinh:

Sau khi học sinh tiếp thu một chuyên đề mới, có hiệu quả thì các em sẽ tự tin hơntrong giải quyết được các bài toán dạng này và các dạng tương tự

3 Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm cho ta một hướng tiếp cận, khai thác hiệu quả đối với cácdạng toán tích phân trong chương trình lớp 12 THPT Đề tài góp phần giúp học sinh giảiquyết vấn đề nhanh chóng nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi Đại học, cao đẳng

4 Khả năng ứng dụng, triển khai.

Áp dụng cho học sinh khối 12 ôn thi tốt nghiệp và luyện thi cao đẳng đại học

5 Những kiến nghị và đề xuất.

- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy, góp ý hoàn

thiện đề tài và mở rộng phạm vi ứng dụng Tổ chuyên tiếp thu đề tài để triển khai ôn tập,luyện thi cho học sinh

- Học sinh cần tăng cường học tập, tiếp thu đề tài nhằm nâng cao chất lượng học tập.

Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài củatôi không tránh khỏi hạn chế Rất mong được sự giúp đỡ của các thầy, các cô để tôi có thểhoàn thiện hơn đề tài của mình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1996), Các bài giảng luyện thi môn toán - tập 3, Nxb Giáo dục

2 Lê Hồng Đức - Nhóm cự môn (2008), Giải toán giải tích 12(tập 2), Nxb Hà Nội

3 Th.s Lê Hồng Đức- Nhóm cự môn (2011), Bài giải và lời giải chi tiết giải tích

12, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội.

4 Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc (2012), Phương pháp giải toán tích phân, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội

5 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2008), Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 cơ bản, Nxb Giáo Dục

6 Nguyễn Phụ Hy (2001), Giảng dạy tích phân trong chương trình toán 12, Nxb Giáo dục.

7 Trần Phương (2010), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, Nxb Đại

học Sư phạm Hà Nội

8 Tạp chí toán học tuổi trẻ(2011- 2012), Nxb Giáo dục.