I. Nguyên hàm và tính chất.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi 2. Định lí : 1) Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của f(x) trên K.2) Ngược lại, nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng sốKí hiệu họ nguyên hàm của là Khi đó:
Trang 1NGUYÊN HÀM
A Kiến thức cần nhớ:
I Nguyên hàm và tính chất.
1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x K∈
2 Định lí :
1) Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của f(x) trên K
2) Ngược lại, nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số
Kí hiệu họ nguyên hàm của f x( ) là ∫ f x dx( )
Khi đó: ∫ f x dx F x( ) = ( ) +C C, ∈ ¡
3 Tính chất của nguyên hàm:
Tính chất 1: ∫ f x dx'( ) = f x( ) +C.
kf x dx k f x dx= k∈
Tính chất 3: ∫ [ f x( ) ±g x dx( )] =∫ f x dx( ) ±∫g x dx( )
*) Sự tồn tại nguyên hàm:
Định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đếu có nguyên hàm trên K.
3 Bảng nguyên hàm:
1
1
dx x C
x
α
α
+
= +
+
∫
∫
o
1
1 1
1 1
ln 1
1
sin
cos os
sin
a
e dx e C
a
dx ax b C
ax b a
c ax b dx ax b C
a
ax b dx c ax b C
a x
x
c x
x
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
o o o o o o o
2
2
2 2
2
2
2
2
cos sin
sin cos
1
cos 1
sin
xdx x C a b
xdx x C
x
x
= − +
∫
∫
o
o
o
o
Tuầ
n
: 20
Tiết : 39; 40
Trang 2ln
ln
x x
dx x C
x
e dx e C
a
a dx C
a
= +
∫
∫
∫
o
o
o
B Bài tập
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
( ) 3 2
x
c) ( ) 3sinf x = x− 2cos 2 ;x d) ( ) sin5 cos3f x = x x ;
e)
2
1
x
= − ÷
2 2 2 ( )
1
f x
x
− +
=
g) ( ) 2 1 2 ;
sin cos
f x
= h) ( )f x = −(1 cos sin ;x) x
2
1 cos 2
cos
x
f x
x
−
l f x
=
− +
Trang 3PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH NGUYÊN HÀM
A Kiến thức cần nhớ:
I Phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm.
Nếu ∫ f u du F u( ) = ( ) +C và hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục thì:
( ( ( )) ( ) ′ = ( ( ))+
∫ f u u x u x dx F u x C
Hệ quả: Với u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có:
1 ( + ) = ( + + )
∫ f ax b dx F ax b C
a
B Bài tập
Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:
+ +
∫ 2
2 1
; 1
x dx
dx
2 1 ;
x
xe +dx
∫
1
x dx x
−
3
cos sin
x dx x
3
2 2
(1 )
x dx x
−
g) 1 tan2
cos
x dx x
+
e −e−
(1 )
dx
−
Tuầ
n
: 21 Tiết : 41; 42
Trang 4HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A Kiến thức cần nhớ:
1) Định nghĩa:
M x y z( ; ; ) ⇔OMuuuur= +xi y j zkr r+ r
ar= ( ; ; )a a a1 2 3 ⇔ =a a i a j a kr 1r+ 2r+ 3r
Các véctơ đơn vị: + ri= (1;0;0) trên trục
Ox
+ rj= (0;1;0) trên trục Oy
+ kr = (0;0;1) trên trục Oz
2) Các phép toán:
Trong không gian Oxyz, cho ar= ( ; ; )a a a1 2 3
, br= ( ; ; )b b b1 2 3 , Ta có:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
( ; ; ) ( ; ; )
a b a b a b a b
a b a b a b a b
ka k a a a ka ka ka
r r
o
r r
o
r
o
3) Hệ quả:
Trong không gian Oxyz, cho ar= ( ; ; )a a a1 2 3
, br= ( ; ; )b b b1 2 3 ,A x y z( ;A A; )A , B x y z( ;B B; )B Ta
có:
1 1
2 2
3 3
).
a b
a a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
r r
b) ar
cùng phương với br
k
⇔ ∃ ∈ ¡ sao cho:
4) Tích vô hướng:
Trong không gian Oxyz, cho ar= ( ; ; )a a a1 2 3 ,
1 2 3
( ; ; )
br= b b b ,A x y z( ;A A; )A , B x y z( ;B B; )B Ta có:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
2 2 2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
.
0
os( ; )
.
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a a a a
a b a b a b
c a b
a a a b b b
=
r r o
r r o r o uuur o
r r o
5) Phương trình mặt cầu:
Phương trình:
(x a− ) + − (y b) + − (z c) =r
là phương trình mặt cầu tâm I a b c( ; ; ), bán kính r
Phương trình có dạng:
x +y + +z Ax+ By+ Cz D+ =
với A2 +B2 +C2 − >D 0 là phương trình mặt cầu tâm I( − − −A B C; ; ), bán kính:
r = A +B +C −D
Tuầ
n
: 22 Tiết : 43; 44
Trang 51 1
2 2
3 3
a kb
a kb a kb
a kb
=
= ⇔ =
=
r r
) ( B A; B A; B A)
c ABuuur= x −x y −y z −z
d) Tọa độ trung điểm M của đoạn AB là:
x x y y z z
d) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
là:
x x x y y y z z z
B Bài tập
MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1a:
Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu
(S):
(x a− ) + − (y b) + − (z c) =R
Phương pháp:
+ Tọa độ tâm của mặt cầu là: I a b c( ; ; )
và bk: R
Dạng 1b:
Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu
(S):
x +y + −z ax− by− cz d+ =
Phương pháp:
+ Tọa độ tâm : I a b c( ; ; ) và bán kính:
2 2 2
R= a + + −b c d
Bài tập 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính
của các mặt cầu sau:
a (x− 1) 2 + + (y 2) 2 +z2 = 16
b x2 +y2 + −z2 2x+ 6y− 4z− = 2 0
Giải:
a Tâm của mặt cầu: I(1; 2;0) − và bk: R=2
b Tâm của mặt cầu: I(1; 3; 2) − và bán kính:
1 ( 3) 2 ( 2) 4
R= + − + − − =
Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu có
tâm I a b c( ; ; )và đi qua điểm A x y z( ;A A; )A
Phương pháp:
+ Tâm mặt cầu: I a b c( ; ; )
+ Bán kính:
( A ) ( A ) ( A )
R= IAuur= x −a + y −b + z −c
Bài tập 2: Lập phương trình mặt cầu (S)
có tâm I(1;3; 4) − và đi qua điểm M(2; 4;1) − .
Giải:
Ta có: IMuuur= − (1; 7;5)
1 ( 7) 5 75
R IM
⇒ = uuur = + − + =
Vậy, phương trình mặt cầu (S) là:
(x− 1) + − (y 3) + + (z 4) = 75
Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu (S)
nhận A x y z( ;A A; ), ( ;A B x y z B B; )B làm đường
kính
Phương pháp:
+ Tọa độ tâm I là trung điểm của đoạn
AB:
Bài tập 3: Lập phương trình mặt cầu (S)
nhận A(3;1; 4), ( 1;3; 2) − B − − làm đường kính.
Giải:
+ Ta có tâm của mặt cầu là trung điểm I của đoạn AB, ⇒I(1; 2; 3) −
+ Mà uuurAB= − ( 4; 2; 2)
Trang 6; ;
x x y y z z
+ Bán kính:
AB AB
R= =
uuur
2 2 2
( 4) 2 2 2 6
6
AB
uuur
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:
(x− 1) + − (y 2) + + (z 3) = 6
Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu có
tâm I a b c( ; ; )và tiếp xúc với mặt phẳng
(P):
0
Ax By Cz D+ + + =
Phương pháp:
+ Tâm I a b c( ; ; ).
+ Bán kính:
( ;( )) A a B b C c D. 2 . 2 . 2
R d I P
A B C
+ +
Bài tập 4: Lập phương trình mặt cầu có
tâm I(2; 2; 1) − và tiếp xúc với mặt phẳng
(P):
2 6 0
x y+ − z+ =
Giải:
Ta có bán kính R là:
( ;( )) 2 2 2.( 1) 62 2 2 6 6
6
1 1 ( 2)
R d I P + − − +
+ + −
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:
(x− 2) + − (y 2) + + (z 1) = 6
Dạng khác:
+ Mặt cầu đi qua bốn điểm cho trước.
+ Có tâm I và đi qua một điểm M thỏa
mãn hệ thức véctơ cho trước….
Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho ba
điểm A(2;0;0), (0; 4;0), (0;0;6)B − C Hãy lập
phương trình mặt cầu:
a Có tâm B và nhận độ dài đoạn AB là
đường kính
b Có tâm là trọng tâm của tam giác ABC
và đi qua điểm M thỏa mãn: MAuuur= 2MBuuur
c Đi qua bốn điểm O, A, B, C
Trang 7PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
A Kiến thức cần nhớ:
I Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
u x v x dx u x v x= − v x u x dx
hay ∫udv uv= −∫vdu
B Bài tập
Bài 3: Tính các nguyên hàm sau:
a) (1 2 )∫ − x e dx x ; b) (2∫ x− 1)lnxdx; c) (∫ x+ 1)sinxdx ;
d) ∫x2 cos 2xdx; e) ∫xln2xdx; f) ∫xln 1( −x dx) .
g) ∫xln(1 +x dx) h) ∫(x2 + 2x− 1)e dx x i) ∫ln(x+ 1 +x dx2)
j) ∫xsin(2x+ 1)dx k) ∫(1 −x) cosxdx l) ∫ xln 2 xdx
Tuầ
n
: 23 Tiết : 45; 46
Trang 8TÍCH PHÂN
A Kiến thức cần nhớ:
I Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ]a b; Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [ ]a b;
Hiệu: F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) Kí hiệu:
( )
b
a
f x dx
∫
Công thức: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x= =F b −F a
∫
Trong đó: ∫b
a : dấu tích phân a: cận dưới, b: cận trên
Qui ước:
∫a ( ) = 0
a
f x dx ; ∫b ( ) = −∫a ( )
II Tính chất của tích phân:
1
kf x dx k f x dx( ) = ( )
2 ∫b ± =∫b ±∫b
f x g x dx f x dx g x dx
[ ( ) ( )] ( ) ( )
3
f x dx( ) = f x dx( ) + f x dx( )
B Bài tập
Bài tập : Tính tích phân sau:
a)
2
2
1
4x dx
1
1 3
e
dt t
∫ c) ∫4 x3+ x x dx−
1
(4 3 ) d) 2∫ x4+ x2+ dx
1
e) ∫x − dx
x
3 3
2
1
1
f) + + + ÷
∫e x x dx
x x2 2 1
1 3
2 3 g) ( )
−
+
∫ x x dx
1
2 1
3
h) 2∫π + xdx
0
2 2 cos2 i) ∫3 x2−x dx
0
j)
−
−
∫ x dx
2 2 3
1
Tuầ
n
: 24 Tiết : 47; 48
Trang 9VECTƠ PHÁP TUYẾN & PTTQ CỦA MẶT PHẲNG
A Kiến thức cần nhớ:
I Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
Cho mặt phẳng ( )α Vectơ nr r≠0và có giá vuông góc với mặt phẳng ( )α được gọi là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α .
II Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
1 Nếu mặt phẳng ( ) α song song hoặc chứa giá của hai véctơ ar = ( ; ; )a a a1 2 3 ,br= ( ; ; )b b b1 2 3
không cùng phương , thì ( )α có vectơ pháp tuyến (VTPT) là:
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
n a b
b b b b b b
r r r
Vectơ nr
được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ ar
và br , kí hiệu là:
a br r∧ hoặc a br r;
Nhận xét: véctơ ar = ( ; ; )a a a1 2 3 ,br= ( ; ; )b b b1 2 3
đgl cặp véctơ chỉ phương của mp( ) α .
2 Phương trình của mặt phẳng ( )α đi qua điểm M x y z0( 0 ; ; 0 0) và nhận vectơ
( ; ; )
nr = A B C khác 0r làm vectơ pháp tuyến là:
A x x− +B y y− +C z z− =
3 Nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax By Cz D+ + + = 0 thì nó có VTPT là
( ; ; )
nr = A B C .
4 Nếu mặt phẳng ( ) α cắt các trục tọa độ Ox Oy Oz; ; theo thứ tự tại các điểm
( ;0;0 ,) ( ;0;0 ,) ( ;0;0)
A a B b C c với abc≠ 0 thì ( ) α có phương trình theo đoạn chắn là:
1
x y z
a b+ + =c (hình bên)
III Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
+ mp Oxy( )có phương trình:z= 0
+ mp Oxz( )có phương trình:y= 0
+ mp Oyz( )có phương trình:x= 0
I Bài tập vận dụng:
C
A
B O
z
x
y
α
Tuầ
n
: 25 Tiết : 49; 50
Trang 10Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau:
1) Đi qua điểm M0(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4=0 2) Đi qua ba điểm A(-1; 2; 3), B(2; 4; -3), C(4; 5; 6)
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau:
1) Đi qua hai điểm D(1; 2 ;3), E(-1; 1; 2) và song song với trục Ox
2) Đi qua điểm M (2; -1; 2), song song với trục Oy đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x – y + 3z - 1 = 0
3) Đi qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng
2x – y + 3z -1 = 0
Hướng dẫn:
1) Ox có 1 véc tơ chỉ phương là: ri=(1;0;0), mp(P) qua D, E có một véc tơ pháp tuyến r uuur rn DE i= ∧ suy ra phương trình mp(P)
2) Mặt phẳng 2x – y + 3z - 1 = 0 có 1 VTPT urn1 =(2; 1;3 − ) , Oy có 1 VTCP
(0;1;0)
=
r
j , mp(P) qua M thỏa ycbt nhận VTPT là uur ur rn2= ∧n1 j
3) Mặt phẳng 2x – y + 3z - 1 = 0 có 1 VTPT urn1 =(2; 1;3 − ), uuurPQ= − −( 1; 2;5), mp(P) qua M thỏa ycbt nhận VTPT là n nr ur uuur= ∧1 PQ
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ đồng thời vuông góc với hai mặt
phẳng :
(P): x - y + z - 7 = 0; (Q): 3x +2y -12z +5 = 0
Hướng dẫn:
- mp(P) có 1 VTPT urn1 =(1;1; 1 − ), mp(Q) có 1 VTPT uurn2 =(3; 2;1 − ), mp( γ ) qua O thỏa ycbt nhận VTPT là r ur uurn n= ∧1 n2
Bài 4: Lập PTTQ của mặt phẳng đi qua ba điểm
(1; 1;0), ( 2;0;1), (0; 2;0)
Bài 5: Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi qua A(1; 2; 3) − và:
a) Song song với mp(Q): x y− + 3z= 0.
b) Đi qua 2 điểm A(0;1;1), ( 1;0; 2)B − và vuông góc với ( ) α : x y z− + − = 1 0.
Trang 11PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN
A Kiến thức cần nhớ:
I Phương pháp đổi biến số tính tích phần.
Định lí 1: Nếu hai hàm số x= ϕ ( )t có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]a b; sao cho
( ) a; ( ) b v aà ( ) b, t [ ; ]
ϕ α = ϕ β = ≤ ϕ β ≤ ∀ ∈ α β Khi đó:
( ) ( ( )) '( )
f x dx= f ϕ t ϕ t dt
Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x= ( )có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]a b; sao cho
u x x a b
α ≤ ≤ β ∀ ∈ Nếu f x( ) =g u x u x( ( )) '( ), ∀ ∈x [ ]a b; , trong đó g u( )liên tục trên đoạn [α β ; ] thì:
( )
( )
u b b
f x dx= g u du
B Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a)
7
2 3 0
1
x +x dx
1
5 0
( 1)
x x− dx
1
1 ln
dx x
+
d) 4 2
1
;
x
x
+
0
cos xdx
π
1
0 1
x x
e dx e
−
−
+
+
∫3
0
2 ; 1
x dx
x
2 2 0
h) 4
dx x
+
6 0
sin cos
x dx x
π
k) 3 2
0
5 6 ;
x − x+ dx
0
cos
xdx
π
1
0
m) ∫x 1 −x dx
n)
1
0
1
x −x dx
∫ o)
ln 2
0
1
x
e − dx
∫ p)
1 2 1
1
x
dx
−
+ + +
∫
Tuầ
n
: 26 Tiết : 51; 52
Trang 12PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A Kiến thức cần nhớ:
I Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên [ ]a b; thì:
[ ]
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b a
u x v x dx= u x v x − v x u x dx
hay ∫b = b a−∫b
udv uv vdu
B Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
a)
2
2
1
ln(1 x)
dx x
+
∫ ; b)
1
(2 1)ln ;
e
2 0
cos
x dx x
π
∫
1
2 0
d) ( 1)
x
xe dx
x+
∫
e)
1
0
ln(2 1)
1 2 0
(x − 2 )x e dx−x
0
sin
π
∫ ; h)
3 2 4
ln(sin ) cos
x dx x
π
π
2
π
π
−
2
π
Tuầ
n
: 27 Tiết : 53; 54
Trang 13ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC
A Kiến thức cần nhớ:
I Điều kiện dể hai mặt phẳng song song, vuông góc:
Cho hai mặt phẳng ( ) ( )α 1 à α 2 có phương trình tổng quát lần lượt là:
( ) ( )
A x B y C z D
A x B y C z D
α α
Gọi nur1 =(A B C v n1 ; ; 1 1) à uur2 =(A B C2 ; ; 2 2) lần lượt là vec tơ pháp tuyến của ( ) ( )α 1 à α 2 .
Với k là số thực khác 0, ta có:
D kD
α α ⇔ = ≠
ur uur
2 ( ) ( )α 1 ⊥ α 2 ⇔ ⊥nur1 nuur2 ⇔n nur uur1 2 = ⇔ 0 A A1 2 +B B1 2 +C C1 2 = 0
Chú ý:
( )α 1 cắt ( )α ⇔ ≠ 2 nur1 knuur2 ∀ ∈k ¡
( ) ( ) 1 2
n kn
D kD
α ≡ α ⇔ = =
ur uur
B Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình tổng
quát sau đây:
a) ( )α 1 :x+ 2y+ + = 3z 4 0 và ( )β 1 :x+ 5y z− − = 9 0
b ( )α 2 :x y z+ + + = 5 0 và ( )β 2 :2x+ 2y+ 2z+ = 6 0
c ( )α 3 :x+ 2y+ + = 3z 1 0 và ( )β 3 :3x+ 6y+ 9z+ = 3 0
Bài tập 2: Xác định giá trị của m để cặp mặt phẳng sau đây vuông góc
( )α :2x my+ + 2mz− = 9 0 và ( )β :6x y z− − − = 10 0
Bài tập 3: Xác định giá trị của m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:
a) ( )α :2x my+ + − = 3z 5 0 và ( )β :nx− 8y− 6z+ = 2 0
b) ( )α :mx y− + + = 3z 2 0 và ( )β :2x ny+ + 6z+ = 7 0
Bài tập 4: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; 1; 5) − − đồng thời
vuông góc với hai mặt phẳng:
Tuầ
n
: 28 Tiết : 55
Trang 14( ) ( )
: 3 2 2 7 0 : 5 4 3 1 0
x y z
x y z
α β
− + + =
Bài tập 5: Lập phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(2; 1; 2) − song song với
trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ( )α : 2x y− + + = 3z 4 0
Bài tập 6: Lập phương trình của mặt phẳng ( )α đi qua hai điểm A(0;1;0); (2;3;1)B và vuông góc với mặt phẳng ( )β : x+ 2y z− = 0
Bài tập 7: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình tổng
quát sau đây:
a) ( )α 1 :3x− 2y− + = 3z 5 0 và ( )α ' :9 1 x− 6y− − = 9z 5 0
b ( )α 2 :x− 2y z+ + = 3 0 và ( )α ' : 2 x− 2y z− + = 3 0
c ( )α 3 :x y− + 2z− = 4 0 và ( )α ' :10 3 x− 10y+ 20z− 40 0 =
Trang 15KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
A Kiến thức cần nhớ:
I Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M x y z0( 0 ; ; 0 0) đến mặt phẳng
( )α :Ax By Cz D+ + + = 0 được xác định bởi công thức:
0 ,( ) Ax 2By 2Cz 2 D
d M
A B C
+ +
Chú ý:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( )α :A x B y C z D1 + 1 + 1 + 1 = 0 và
( )β :A x B y C z D2 + 2 + 2 + 2 = 0 được xác định như sau:
A B C
B Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trong không gian Oxyz; cho điểm A(3;1;0) và mặt phẳng ( )P có phương trình
2x+ 2y z− + = 1 0. a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cách điểm A một khoảng bằng 3
Bài 2: Cho hai điểm A(1; 1; 2 , − ) (B 3; 4;1) và mặt phẳng ( )α có PTTQ: x+ 2y+ 2z− = 10 0
Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( )α .
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với mp(Q): 2x+ 2y z− + = 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x− 1) 2 + + (y 2) 2 + + (z 1) 2 = 4
Bài 4: Tìm điểm M trên trục Oz sao cho M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng
( )α : 2x+ 3y z+ − = 17 0
Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( )α à ( )β cho bởi phương
Tuầ
n
: 28 Tiết : 56
