Tài liệu bồi dưỡng toán 10

Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 khi và chỉ khi : = k Điểm I là trung điểm AM khi và chỉ khi : + = . Khi đó với mọi điểm O ta có : + = 2 Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi : + + = Khi đó với mọi điểm O ta có : 3 = + + Tich vô hướng của 2 vectơ :

D A B C O Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 I - LÝ THUYẾT ÔN TẬP TOÁN 10 I. HÌNH HỌC : 1. Vectơ : Quy tắc 3 điểm : → AB + → BC = → AC Quy tắc hình bình hành : Cho hình bình hành ABCD, ta có : → AB + → AD = → AC Quy tắc phép trừ : → AB = → CB – → CA Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ 1 khi và chỉ khi : → MA = k → MB Điểm I là trung điểm AM khi và chỉ khi : → IA + → IB = → 0 . Khi đó với mọi điểm O ta có : → OA + → OB = 2 → OI Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi : → GA + → GB + → GC = → 0 Khi đó với mọi điểm O ta có : 3 → OG = → OA + → OB + → OC Tich vô hướng của 2 vectơ : + → a . → b = | → a |.| → b |.cos( → a . → b ) Công thức tính tích vô hướng 2 vectơ. + cos( → a . → b ) = |||| . →→ →→ ba ba . Ghi nhớ : cos( → a . → b ) = tích vô hướng chia tích độ dài. 2. Hệ trục toạ độ Đecác vuông góc : Ta giả sử : A (x A ; y A ), B (x B ; y B ),C (x C ; y C ), → a = (a 1 ; a 2 ), → b = (b 1 ; b 2 ) + M(x ; y) ⇔ → OM = x → i - y → j Ghi nhớ : Hoành độ x luôn đi với vectơ đơn vị → i + → a = (a 1 ; a 2 ) ⇔ → a = a 1 → i - a 2 → j Tung độ y luôn đi với vectơ đơn vị → j + → AB =( x B –x A ; y B –y A ). G hi nhớ : Lấy ngọn trừ gốc. + AB = 22 )()( BABB yyxx −+− công thức tính độ dài đoạn thẳng + → a + → b = (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) + → a – → b = (a 1 – b 1 ; a 2 – b 2 ) + k → a = (ka 1 ; ka 2 ) 1 c a b h m M H A B C Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 + | → a | = 2 2 2 1 aa + công thức tính độ dài vectơ + → a . → b = a 1 .b 1 + a 2 .b 2 biểu thưc toạ độ của tích vô hướng + → a ⊥ → b ⇔ → a . → b = 0 Điều kiện 2 vectơ vuông góc + Tam giác ABC vuông tại O ⇔ → AB . → AC = 0 Điều kiện ∆ ABC vuông Điểm chia đoạn thẳng : M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ 1 thì : M ( k kxx BA − − 1 ; k kyy BA − − 1 ) Điểm I là trung điểm AB khi và chỉ khi : A ( 2 BA xx + ; 2 BA yy + ) Ghi nhớ : trung bình cộng. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi : G ( 3 CBA xxx ++ ; 3 CBA yyy ++ ) 3. Tỉ số lượng giác : sinx 2 + cosx 2 = 1 1+tg 2 x = x 2 cos 1 , (cosx ≠ 0) 1+cotg 2 x = x 2 sin 1 , (sinx ≠ 0) tgx = x x cos sin , (cosx ≠ 0) cotgx = x x sin cos , (sinx ≠ 0) tgx.cotgx = 1, (sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0) Liên hệ giữa 2 góc phụ, bù nhau : sin(180 0 -x) = sinx cos(180 0 -x) = – cosx sin(90 0 -x) = cosx cos(90 0 -x) = sinx Dấu các tỉ số lượng giác : + sinx ≥ 0, với mọi x. + cosx, tgx, cotgx luông cùng dấu. Nó dương nếu góc x nhọn và âm nếu góc x tù. 4. Hệ thức lượng trong tam giác : Định lý hàm số cosin : + a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cosA cosA = bc acb 2 222 −+ + b 2 = a 2 + c 2 – 2ac.cosB cosB = ac bca 2 222 −+ + c 2 = a 2 + b 2 – 2ab.cosC cosC = ab cba 2 222 −+ Định lý hàm số sin : R C c B b A a 2 sinsinsin === Công thức tính diện tích tam giác : 2 Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 S ABC∆ = 2 1 ah h = 2 1 bh b = 2 1 ch c S ABC∆ = 2 1 ab.sinC = 2 1 ac.sinB = 2 1 bc.sinA S ABC∆ = R abc 4 S ABC∆ = pr S ABC∆ = ))()(( cpbpapp −−− Công thức đường trung tuyến : m 2 a = 4 22 222 acb −+ m 2 b = 4 22 222 bca −+ m 2 c = 4 22 222 cba −+ II. ĐẠI SỐ : 1. Hàm số : y = f(x) - Tập xác định : là tập các gí trị x làm cho biểu thức f(x) có nghĩa. + Nếu f(x) có mẫu thì mẫu khác 0. + Nếu f(x) có căn bậc hai (tổng quát bậc chẵn) thì biểu thức trong căn không âm. - Tính đơn điệu : Cho f(x) xác định trên D. (a;b) ⊂ D, hàm số f(x) được gọi là : + đồng biến trên (a;b) nếu : ∀ x 1 ,x 2 ∈ (a;b) ta có : x 1 > x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) hay 12 12 )()( xx xfxf − − > 0 + đồng biến trên (a;b) nếu : ∀ x 1 ,x 2 ∈ (a;b) ta có : x 1 > x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) hay 12 12 )()( xx xfxf − − < 0 - Tính chẵn, lẻ : Cho f(x) xác định trên D : + f(x) chẵn trên D nếu :    =− ∈−⇒∈∀ )()( xfxf DxDx + f(x) lẻ trên D nếu :    −=− ∈−⇒∈∀ )()( xfxf DxDx + Chú ý : Hàm đa thức chỉ có bậc chẵn là hàm số chẵn : VD : các hàm số sau đây là chẵn : y = x 2 + 1 y = ax 2 + b y = x 4 + x 2 + 1 y = x 4 – x 2 y = –3x 8 + x 4 – 5 Hàm đa thức chỉ có bậc lẻ và không có hệ số tự do là hàm số lẻ : VD : các hàm số sau đây là hàm số lẻ : y = x 3 + x y = –2x 7 –2 x 5 +x Hàm đa thức bậc lẻ và có hệ số tự do, hàm đa thức có cả bậc chẵn và lẻ là hàm số không chẵn, không lẻ : VD : Các hàm số sau không chẵn, không lẻ : y = x 3 + x + 1 y = –2x 7 –2 x 5 +x – 2 y = –2x 7 –2 x 5 + x 2 y = x 2 + x + 1 - Hàm số bậc nhất : y = ax + b, (a ≠ 0) + a > 0 : hàm số đồng biến trên R 3 4 2 5 - ∞ + ∞ Ñoàng bieán Nghòch bieán - b 2a a < 0 O -2 -4 5 - ∞ + ∞ Ñoàng bieán Nghòch bieán - b 2a a > 0 O Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 + a < 0 : hàm số nghịch biến trên R + Đồ thị là đường thẳng. + Cho d 1 : y = ax + b d 2 : y = a’x + b’ * Nếu a ≠ a’ thì d 1 cắt d 2 * Nếu    ≠ = ' ' bb aa thì d 1 // d 2 * Nếu    = = ' ' bb aa thì d 1 ≡ d 2 - Hàm số bậc hai : y = ax 2 + bx + c, (a ≠ 0) + a > 0 : hàm số đồng biến trên (– ∞ ; a b 2 − ), nghịch biến trên ( a b 2 − ;+ ∞ ). + a < 0 : hàm số đồng biến trên ( a b 2 − ;+ ∞ ), nghịch biến trên (– ∞ ; a b 2 − ). + Đồ thị là parabol có trục đối xứng x = a b 2 − . Đỉnh I( a b 2 − ; a4 ∆ − ). a > 0 đồ thị lõm. a < 0 đồ thị lồi + Điều kiện để đường thẳng (d) : y = a’x + b’ tiếp xúc parabol (P) : y = ax 2 + bx + c là phương trình hoành độ giao điểm : a’x + b’= ax 2 + bx + c có nghiệm số kép. (tức biệt thức ∆ = 0). 2. Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất phươnh trình : - Phương trình : ax + b = 0 + TXD : D = R + a ≠ 0, pt có nghiệm duy nhất x = a b − + a = 0 và b = 0, pt có nghiệm với mọi x thuộc R + a = 0 và b ≠ 0, pt vô nghiệm. Chú ý : Khi giải và biện luận, trong trường hợp a = 0 ta phải thế giá trị tham số m tìm được vào để biết b = 0 hay b ≠ 0. - Hệ phương trình :    =+ =+ ''' cybxa cbyax 4 Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 + tính : D = '' ba ba = ab’ – a’b D x = '' bc bc = cb’ – c’b D y = '' ca ca = ac’ – a’c + D ≠ 0, hệ có nghiệm duy nhất : (x 0 ; y 0 ), với x 0 = D D x , y 0 = D D y + D = D x = D y = 0, hệ có vô số nghiệm. Khi đó 2 pt trong hệ tỉ lệ nhau. + D = 0 mà D x hoặc D y khác 0 thì hệ vô nghiệm. Chú ý : Khi giải và biện luận theo tham số m, trong trường hợp D = 0 ta phải thế giá trị m tìm được vào D x , D y để xem nó bằng 0 hay khác không. - Bất phương trình ax + b = 0 + TXD : D = R + a > 0, bpt có nghiệm : x > a b − hay tập nghiệm T = ( a b − ; + ∞ ). + a < 0, bpt có nghiệm : x < a b − hay tập nghiệm T = (– ∞ ; a b − ). + a = 0 và b > 0 : bpt có nghiệm với mọi x thuộc R hay tập nghiệm T = R + a = 0 và b ≤ 0 : bpt vô nghiệm. Chú ý : trong trường hợp a = 0, ta phải thế giá trị m tìm được vào bất phương trình. - Hệ bất phương trình : Nghiệm của hệ bpt là nghiệm chung của các phương trình trong hệ. + Hệ bpt 1 ẩn : là hệ gồm 2 hay nhiều bất pt 1 ẩn. Ta giải từng bpt trong hệ được các tập nghiệm tương ứng T 1 ,T 2 , . . Nghiệm của hệ là giao của các tập nghiệm : T 1 ,T 2 , . . + Hệ bpt bậc nhất 2 ẩn :    >+ >+ ''' cybxa cbyax . Biểu diễn miền nghiệm của từng bpt trong hệ, miền nghiệm chung của các bpt đó là (miền không bị gạch) là miền nghiệm của hệ bpt. II - PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG y A. ĐƯỜNG THẲNG n → ∆ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT : M 1. Phương trình đường thẳng : M 0 (x 0 , y 0 ) 0Ax By C + + = (1), 2 2 0A B+ ≠ o x Đường thẳng cho bởi (1) có vectơ pháp tuyến ( , )n A B= r ; vectơ chỉ phương ( , )u B A= − r ( hoặc ( , )u B A= − r ). 5 Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 • Phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có vectơ pháp tuyến ( , )n A B= r : ( ) ( ) 0 0 0A x x B y y − + − = • Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có vectơ chỉ phương ( , )u a b= r : 0 0 , x x at t R y y bt = +  ∈  = +  • Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có vectơ chỉ phương ( , )u a b= r : 0 0 x x y y a b − − = • Phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có hệ số góc k cho trước : ( ) 0 0 y k x x y = − + • Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ( , ) A A A x y và ( , ) B B B x y : A B A A B A x x x x y y y y − − = − − • Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn : phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ( ,0)A a và (0, )B b : 1 x y a b + = • Cho chùm đường thẳng xác định bởi hai đường thẳng 1 1 1 1 ( ) : 0d A x B y C+ + = và 2 2 2 2 ( ) : 0d A x B y C+ + = . Khi đó mọi đường thẳng của chùm có phương trình : ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 0A x B y C A x B y C α β + + + + + = với 2 2 0 α β + ≠ 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng : 1 1 1 1 : 0A x B y C∆ + + = 2 2 2 2 : 0A x B y C∆ + + = • Ta có :  ∆ 1 cắt ∆ 2 1 1 2 2 0 A B D A B ⇔ = ≠ hay : 1 2 2 1 0A B A B− ≠  ∆ 1 // ∆ 2 0D ⇔ = , 1 1 2 2 0 x B C D B C = ≠ hoặc 1 1 2 2 0 y C A D C A = ≠  ∆ 1 ≡ ∆ 2 0 x y D D D⇔ = = = • Nếu 2 2 2 0A B C ≠ thì :  ∆ 1 cắt ∆ 2 1 1 2 2 A B A B ⇔ ≠  ∆ 1 // ∆ 2 1 1 1 2 2 2 A B C A B C ⇔ = ≠ 6 Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10  ∆ 1 ≡ ∆ 2 1 1 1 2 2 2 A B C A B C ⇔ = = 3. Khoảng cách từ một đểm đến một đường thẳng : • Cho đường thẳng : 0Ax By C∆ + + = và điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Khoảng cách từ M 0 đến ∆ là : ( ) 0 0 0 2 2 , Ax By C d M A B + + ∆ = + • Góc giữa hai đường thẳng : Góc ϕ giữa hai đường thẳng 1 1 1 1 : 0A x B y C∆ + + = và 2 2 2 2 : 0A x B y C∆ + + = được tính bởi : 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos . A A B B A B A B ϕ + = + + II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài1: Tìm PTTQ, PTTS, PTCT của đường thẳng (d): 1) (d) đi qua A(2;1) và nhận v  = (-5;2) làm véc tơ chỉ phương. 2) (d) đi qua A(-2;3) và nhận n  = (3;-2) làm pvt. 3) (d) đi qua A(1;4) và song song với đường thẳng (d 1 ): 2x – 3y + 5 = 0 4) (d) đi qua A(-3;1) và vuông góc với đường thẳng (d 1 ): 4x – 2y –1 = 0 5) (d) đi qua A(2;1) và B(-3;2). 6) (d) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x = 3, trục Oy tạiđiểm có tung độ y = –2. 7) (d) đi qua A(5;2) và có hệsố góc k = –3. Bài 2: Cho tam giác ABC với A(1; 4); B(3; – 1); C(6; 2) a) Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC. b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC. Bài 3: Cho hai điểm P(4; 0); Q(0; –2) a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(3; 2) và song song với đường thẳng PQ. b) Viết phương trình đường trung trực của đoạn PQ. 7 Phương Pháp: + Sử dụng các cách viết phương trình đường thẳng đã nêu trong lý thuyết. + Khi đường thẳng cần tìm đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã biết, nên sử dụng phương trình của chùn đường thẳng. + + Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 Bài 4: Cho phương trình d: x – y = 0 và điểm M(2; 1). a) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M. b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d. Bài 5: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB, BC, CA là: AB : 2x – 3y – 1 = 0; BC : x + 3y + 7 = 0; CA : 5x – 2y + 1 = 0. viết phương trình của đường cao kẻ từ B, và đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC. Bài 6: Cho tam giác ABC. Biết cạnh AB : 2x – 3y + 5 = 0 ; cạnh AC : 2x + 7y – 5 = 0; cạnh BC có trung điểm là M(4; 1). a. Xác định tọa độ các điểm A, B, C. b. Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB. Bài 7: Tam giác ABC có phương trình cạnh AB : 3x – y + 4 = 0, đường cao qua đỉnh A và B lần lượt có phương trình : 5x + 2y – 8 = 0 ; 4x – y + 5 = 0. Viết phương trình các cạnh AC, BC và đường cao qua đỉnh C. Bài 8: a) Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 9 = 0. Tìm PTTS và PTCT của đường thẳng d. b) Cho đường thẳng 1 3 : 2 2 x t d y t = − +   = −  . Tìm PTCT và PTTQ của đường thẳng d. VẤN ĐỀ 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng : a) x + 3y – 1 = 0 và 5x – y + 7 = 0 b) 2x – y + 17 = 0 và –3x + 6y – 12 = 0 c) 1 2 3 5 x t y t = −   = +  và 1 2 2 x t y t = − +   = − +  d) 4x – 10y + 1 = 0và 1 2 3 2 x t y t = −   = − −  Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 5) và cách đều hai điểm P(1;–2) và Q(3; 2). 8 Ph ng Pháp:ươ + V n d ng các công th c đã nêu trong lý thuy t.ậ ụ ứ ế + Góc ϕ gi a hai đ ng th ng ữ ườ ẳ và đ c tính b i : ượ ở Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 Bài 3: Trên đường thẳng ∆: x – y + 2 = 0, tìm điểm M cách đều hai điểm A(0; 4) và B(4; –9) Bài 4: B. ĐƯỜNG TRÒN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Phương Trình Đường Tròn: a. Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R. (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 (1) b. Nếu a 2 + b 2 – c > 0 thì phương trình: x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 (2) là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính 2 2 R a b c= + − 2. Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn: a. Cho đường tròn (C) và điểm M(x o ; y o )∈(C), với I(a; b) là tâm của (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M : Dạng 1: (x o – a)(x – a) + (y o – b)(y – b) = R 2 Dạng 2: x o x + y o y – a(x o + x) – b(y o + y) + c = 0 Dạng 3:(TQ) (x o – a)(x – x o ) + (y o – b)(y – y o ) = 0 b. Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R và đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0. Đường thẳng ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I; ∆) = R. hay 2 2 Aa Bb C R A B + + = + . III - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Giải các phương trình sau: a. 0128 2 =++ xx b. 016,25,1 2 =+−− xx c. 0212)21( 2 =−−+− xx ∗ Cách giải và biện luận phương trình : a 0 2 =++ cbxx • a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình : bx + c = 0 • a ≠ 0 : Tính ∆ = acb 4 2 − ♦Khi ∆ < 0 : phương trình vô nghiệm ♦Khi ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép −== 21 xx a b 2 ♦Khi ∆ > 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt a b x a b x 2 ; 2 21 ∆+− = ∆−− = Áp dụng : Giải và biện các phương trình sau: 1. 0)1( 2 =+−+ mxmx ( a =1 , b = 1− m , c = − m) 9 Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 Ta có : ∆ = acb 4 2 − = (1 − m) 2 − 4(− m) = 1+ m 2 − 2m + 4m = (m+1) 2 • ∆ = 0 ⇔ (m+1) 2 = 0 ⇔ m = −1 : pt có nghiệm kép 1 2 1 21 −= − == m xx • ∆ > 0 ⇔ (m+1) 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 : pt có 2 nghiệm phân biệt mxx =−= 21 ;1 2. (m-3) 062 2 =−+− mmxx ( a = m − 3 , b = − 2m , c = m − 6 ) • m −3 = 0 ⇔ m = 3 : pt trở thành : −6x − 3 = 0 ⇔ x = − 2 1 • m −3 ≠0 ⇔ m ≠ 3 : Ta có ∆ ' = (b ' ) 2 − ac = (− m) 2 − (m − 3)( m − 6) = m 2 − (m 2 − 6m −3m − 18) = 9m − 18 ♦ ∆ ' < 0 ⇔ 9m − 18 < 0 ⇔ m < 2 : phương trình vô nghiệm ♦ ∆ ' = 0 ⇔ 9m − 18 = 0 ⇔ m = 2 : phương trình có nghiệm kép 2 3 21 −= − == m m xx ♦∆ ' > 0 ⇔ 9m − 18 > 0 ⇔ m > 2 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt 3 189 ; 3 18- 9m 21 − −+ = − − = m mm x m m x Bài tập. Giải và biện các phương trình sau: a 0)32( 22 =++− mxmx b. 0)1(2 22 =+−− mxmx c. (m − 2) 05)1(2 2 =−++− mxmx d. (m − 1) 01)2( 2 =−−− xmx e. (4m + 1) 034 2 =−+− mmxx *Tim một nghiệm biết nghiệm kia: Ta dùng công thức 12 x a b x −−= hay 1 2 ax c x = Áp dụng : Cho phương trình : 01)3(2 2 =−++− mxmx Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia Giải Do phương trình có một nghiệm bằng 3 ta có : 10 [...]... phương trình bậc hai một ẩn 2 x 2 + 10 xy + 11 y 2 − 146 = 0  Ví dụ :  2 x + 5 y = 20  (1) (2) 5 2 Từ (2) ⇒ x = − y + 10 thay vào (1) ta được 5 2 3 2 ⇔ − y + 54 = 0 2 5 2 2 2 2(− y + 10) + 10( − y + 10) y + 11y − 146 = 0  y = 6 ⇒ x = −5  ⇔  y = −6 ⇒ x = 25  x = −5 y = 6 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  và  x = 25   y = −6 14 Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10 2 x 2 − xy + 3 y 2 − 7 x − 12 y +... 40cm , hãy khoanh lại một hcn có diện tích bằng 100 cm 2 Ứng dụng :1 Hãy xác định các hệ số a , b , c , − b a , c của các phương trình sau a : a b c d − 1,5 x 2 − 2,6 x + 1 = 0 (1 − 2 ) x 2 + 2 x − 1 − 2 = 0 x 2 − (2m + 3) x + m 2 = 0 x 2 − 2(m − 1) x + m 2 = 0 e (m − 2) x 2 − 2(m + 1) x + m − 5 = 0 f (m − 1) x 2 − (2 − m) x − 1 = 0 11 Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10 g.(4m + 1) x 2 − 4mx + m − 3 = 0 h x 2 −... − 10 = 0  2  2 3 x + 3 y 2 − 4 xy − 28 = 0  IV - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1 : Xét dấu tam thức bậc hai : f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Phương pháp : • Tính ∆ = b 2 − 4ac • Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai Áp dụng : Xét dấu các tam thức bậc hai : 1 f(x) = 2 x 2 − 5 x + 2 Ta có : ∆ = 25 – 16 = 9 x1 = 1 2 x2 = 2 và Bảng xét dấu :a = 2 >0 x −∞ 1 2 2 +∞ 19 Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10. .. = 9  ( x + y ) 2 xy + 5 = 4 xy − 3 y + 1  c)  HD coi 2 xy + 5 là tham so ( x + 2 y ) 2 xy + 5 = 6 xy + x − 7 y − 6  VI - LƯỢNG GIÁC 27 Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10 TĨM TẮTGIÁO KHOA A KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Đơn vị đo góc và cung: 1 Độ: 2 Radian: (rad) 180 o Góc 10 = 1 góc bẹt 180 O y x 1800 = π rad 3 Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thơng dụng: 00 0 Độ Radian 300 π 6 450 π 4.. .Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10 2(3) 2 − (m + 3)3 + m − 1 = 0 ⇔m=4 c m −1 1 = = Ta có x 2 = ax 1 2.3 2 2 Bài tập : Cho phương trình : x − 2(m − 1) x + m 2 − 3m = 0 Định m để phương trình có một nghiệm bằng 0 , tính nghiệm... 2 −6u + 4 = 0 x+ y=6  x = 3 − 5 x = 3 + 5   và giải ra được :   y = 3 + 5 y = 3 − 5   • Với • Với  x.y = 4  thì x ,y là nghiệm của phương trình : u 2 +6u + 4 = 0 x + y=-6  15 Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10  x = −3 − 5   y = −3 + 5  giải ra được :  và  x = −3 + 5    y = −3 − 5  Bài tập: Giải các hệ phương trình sau x + y = 1 1. 3 3  x + y = 61 8( x 3 − y 3 ) + 9( x − y ) = 0 ... dạng : ax 2 + bxy + cy 2 = d   2 a ' x + b'3xy + c ' y 2 = d '  Cách giải : Cho y = 0 thay vào hệ phương trình để giải theo x Với y ≠ 0 , đặt x = ky ta được phương trình bậc hai theo k 16 Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10 Thí dụ : Giải hệ phương trình : 2 x 2 + 3 xy + y 2 = 15 (1)    x 2 + xy + 2 y 2 = 8 (2)  2 x 2 = 15  • Khi y = 0 hệ trở thành  2 x = 8  Do đó hệ vơ nghiệm • Khi y ≠ 0 ,đặt x =... : x = 2  y = 1 và  x = −2   y = −1 ∗ Với k = -11 thay vào (4) ta được : [(−11) ⇔ y2 = 2 ] − 11 + 2 y 2 = 8 1 14 1   y = 14 ⇔ 1   y = − 14  Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 17 Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10 11   x = − 14   y = 1  14  11   x = 14   y = − 1  14  và Vậy nghiệm của hệ phương trình có 4 nghiệm Bài tập : Giải hệ phương trình : 2  2 3 x + 2 xy + y = 11  2  x + 2... 2 = 0 S = 2 ⇔ S = 1  2 trình •Khi S = 2 thì P = −3 Lúc đó x và t là nghiệm của phươnh X 2 − 2X − 3 = 0  X = −1 ⇔ X = 3  x = −1 x = 3 Hệ (∗) có 2 nghiệm : t = 3 và t = −1   18 Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10  x = −1 và  y = −3 Do đó hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm :  x = 3  y = 1 1  x + t = 2   x.t = 0  1  x = 2  và t = 0  1 • Khi S = thì P = 0 , ta có : 2 Hệ (∗) có 2 nghiệm... *Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: a x 2 + bx + c = 0 Giả sử x1 < x2 ∆ > 0 1  a.c < 0 2 P < 0 ⇔ pt có 2 nghiệm pb x1 , x 2 x1 < 0 < x 2 (phương trình có hai nghiệm trái dấu) 12 Tài liệu Bồi dưỡng Tốn 10 ∆ > 0 a.c > 0 a ≠ 0 ∆ > 0  4  P > 0 S > 0  3  a ≠ 0 ∆ > 0  5  P > 0 S < 0  ⇔ pt có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ 0 < x1 < x2 ( phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ) ⇔ x1 . D A B C O Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 I - LÝ THUYẾT ÔN TẬP TOÁN 10 I. HÌNH HỌC : 1. Vectơ : Quy tắc 3 điểm : → AB + → BC = → AC Quy. nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia Giải Do phương trình có một nghiệm bằng 3 ta có : 10 Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 4 013)3()3(2 2 =⇔ =−++− m mm Ta có 2 1 3.2 1 1 2 = − == m ax c x Bài tập :. hàm số sin : R C c B b A a 2 sinsinsin === Công thức tính diện tích tam giác : 2 Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10 S ABC∆ = 2 1 ah h = 2 1 bh b = 2 1 ch c S ABC∆ = 2 1 ab.sinC = 2 1 ac.sinB =