LUẬN VĂN THẠC SỸ VỀ XẤP XỈ TCHEBYCHEFF BẰNG CÁC ĐA THỨC giáo viên hướng dẫn tiến sĩ Mai Xuân Thảo. Chương 1: Trình bày về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức, một số vấn đề về nội suy (công thức Lagrange, công thức sai số, đa thức Tchebyshew, nội suy Hermite), định lý Weierstrass, đa thức Bernstein, định lý Fejér . Chương 2: Trình bày kiến thức về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức tổng quát, điều kiện Haar, hệ Markoff, định lý de La Vallée Poussin, định lý Freud, các định lý hội tụ. Chương 3: Trình bày về sai số, xét sai số trên không gian metric compact tùy ý và trên một không gian metric compact cụ thể, bất đẳng thức Markoff và bất đẳng thức Bernstein. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn khó tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và những người quan tâm đến vấn đề này.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ DUNG XẤP XỈ TCHEBYCHEFF BẰNG CÁC ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS. Mai Xuân Thảo THANH HÓA, NĂM 2014 Mở đầu 1 Như chúng ta đều biết: chuẩn xác định trên không gian các hàm liên tục bị chặn trên một tập S theo công thức sup ( ) x S f f x ∞ ∈ = được gọi là chuẩn đều ( chuẩn Tchebycheff). Bài toán tìm đa thức gần một tập hợp cho trước theo nghĩa chuẩn đều được gọi là xấp xỉ Tchebyshew. Khi xét xấp xỉ hàm liên tục f xác định trên đoạn [ ] ,a b bằng đa thức 1 1 0 ( ) n n n n P x c x c x c − − = + + + ta quan tâm vào đánha giá sai số xấp xỉ nhỏ nhất ax ( ) ( ) a x b m f x P x ≤ ≤ − (1) hoặc 1 ax ( ) ( ) i i i m m f x P x ≤ ≤ − (2) Tổng quát hơn, ta thay các đơn thức 2 1, , , , n x x x bằng các hàm xác định 0 1 , , , n g g g với đa thức tổng quát có dạng 1 n i i i c g = ∑ Như vậy, bài toán xấp xỉ có dạng 1 1 2 3 4 ( ) log cos ( 2) x f x c x c x c e c x − ≈ + + + − Trường hợp đặc biệt xét biểu diễn (2) trên ( 1)n + điểm thì bài toán xấp xỉ luôn có nghiệm. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương Luận văn tìm hiểu về sự tồn tại, tính duy nhất và đánh giá sai số xấp xỉ của xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức. Chương 1: Trình bày về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức, một số 2 vấn đề về nội suy (công thức Lagrange, công thức sai số, đa thức Tchebyshew, nội suy Hermite), định lý Weierstrass, đa thức Bernstein, định lý Fejér . Chương 2: Trình bày kiến thức về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức tổng quát, điều kiện Haar, hệ Markoff, định lý de La Vallée Poussin, định lý Freud, các định lý hội tụ. Chương 3: Trình bày về sai số, xét sai số trên không gian metric compact tùy ý và trên một không gian metric compact cụ thể, bất đẳng thức Markoff và bất đẳng thức Bernstein. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn khó tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và những người quan tâm đến vấn đề này. 3 Chương 1. Xấp xỉ Tchebycheff bằng đa thức 1.1. Nội suy Định lý 1.1. ( Định lý nội suy ) Tồn tại duy nhất đa thức có bậc ≤ n nhận giá trị cho trước tại n + 1 điểm phân biệt. Định lí 1.2. Nếu f có đạo hàm liên tục đến cấp n trên đoạn [ ] ;a b , giả sử P là đa thức của f tại n nút i x có bậc n< nội suy trong đoạn [ ] ;a b và giả sử W( ) ( ) i x x x= − ∏ thì ta có: ( ) 1 W ! n f P f n − ≤ Từ định lý 1.2 một câu hỏi hết sức tự nhiên là chúng ta có thể tìm các nút để cận sai số là nhỏ nhất. Do các nút được đưa vào trong công thức của hàm W , nên chúng ta sẽ cố gắng làm W nhỏ nhất. Định lí 1.3. 1 W( ) ( ) n i i x x x = = − ∏ là nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] khi (2i-1) os[ ] 2 i x c n π = Định lí 1.4.( Nội suy Hermite) Tồn tại duy nhất đa thức P có bậc ≤ 2n -1 sao cho P và đạo hàm của nó 'P nhận các giá trị cho trước tại n điểm. 1.2. Định lý Weierstrass 1.2.1 Đa thức Bernstein Với mỗi [ ] 0,1f C∈ , một dãy các đa thức gọi là đa thức Bernstein n B f được xác định bởi công thức 4 0 ( )( ) ( ) (1 ) n k n k n k n k B f x f x x k n − = = − ÷ ∑ (1) ở đây n k ÷ là hệ số tổ hợp, ! ( )! ! n n k n k k = ÷ − . Công thức (1) cũng xác định với mỗi n, một toán tử n B . Như vậy với mỗi phần tử [ ] 0;1f C∈ , có tương ứng một phần tử khác n B f của [ ] 0;1C được xác định như ở trên sao cho điều kiện tuyến tính được thỏa mãn, đó là ( ) ( ) n n n B af bg aB f bB g+ = + (2) Các toán tử n B có thêm tính chất quan trọng, đó là với mọi [ ] ; 0;1f g C∈ mà f g≥ thì n n B f B g≥ (3) Chúng ta thấy rằng f g≥ kéo theo ( ) ( )f x g x≥ với mọi [ ] ;x a b∈ , Khi đó các toán tử n B được gọi là các toán tử đơn điệu. Một sự kiểm tra của chứng minh của Bernstein tiết lộ rằng mấu chốt của vấn đề là sự xác minh của toán tử này có tính chất hội tụ n B f f→ với 2 ( ) 1; ;f x x x= (4) Dĩ nhiên kết luận của chứng minh này là n B f f→ với mọi [ ] 0;1f C∈ ; sự hội tụ ở đây là hội tụ theo chuẩn đều. [ ] 0;1 ax ( ) x f m f x ∈ = Sự mở rộng nổi bật về định lí của Benstein hiện tại đã được đưa ra bởi Bohman và Korovkin, ở đó các tính chất (2),(3),(4) là đủ 5 cho bất kỳ dãy toán tử n L nào có tính chất n L f f→ với mọi [ ] 0;1f C∈ Định lí 1.5 Với mỗi dãy các toán tử tuyến tính đơn điệu { } n L trên [ ] ;C a b , các điều kiện sau là tương đương (i) n L f f→ ( hội tụ đều) với mọi [ ] ;a b f C∈ (ii) n L f f→ với ba hàm 2 ( ) 1; ;f x x x= (iii) 1 1 n L → và ( )( ) 0 n t L t φ → đều theo t, ở đây 2 ( ) ( ) t x t x φ ≡ − 1.2.2. Định lý Weierstrass Định lí 1.6. ( Định lí xấp xỉ Weierstrass) Cho f là một hàm liên tục xác định trên đoạn [ ] ;a b , với mỗi 0 ε > có tương ứng một đa thức P sao cho f P ε − < và do đó ( ) ( )f x P x ε − < với mọi [ ] ;x a b∈ . Trong công thức Hermite, chúng ta thấy ( ) i i y f x= và ' 0 i y = , các toán tử kết quả sẽ được gọi là toán tử Fejér-Hermite, nó có dạng 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i Lf x f x A x = = ∑ ' 2 1 ( )[1 2( ) ( )]l ( ) n i i i i i i f x x x l x x = = − − ∑ (5) Với mục đích của định lí Fejér, nó là tiện lợi để biểu diễn toán tử ở (5) theo các số hạng của hàm W( ) ( ) i x x x= Π − , như các mục trước đó chúng ta vẫn có 6 ( ) ( ) ( ) '( ) i i i W x l x x x W x = − Nếu chúng ta tính đạo hàm và sử dụng quy tắc L’Hospital để ước lượng dạng không xác định thì ta nhận được ' W"(x ) 1 ( ) 2 W'(x ) i i i i l x = Như vậy từ (5) ta có dạng thay thế 2 ( ) "( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 '( ) ( ) '( ) i i i i i i x x W x W x Lf x f x W x x x W x − = − − ∑ Định lí 1.7. (Định lí Fejér) Cho n L là toán tử Fejér-Hermite với các nút tại các không điểm của đa thức Tchebycheff n T bậc n. Khi đó n L f f→ với mọi [ ] 1,1f C∈ − . 7 Chương 2. Xấp xỉ Tchebycheff bằng đa thức tổng quát 2.1. Sự tồn tại của xấp xỉ tốt nhất Ở các phần trước chúng ta đã xem xét việc xấp xỉ của các hàm số bởi các đa thức thường có bậc n≤ , dĩ nhiên những đa thức này là đơn giản chúng là các tổ hợp tuyến tính đơn giản của các hàm 2 1; ; ; ; n x x x . Điều hết sức tự nhiên là cần mở rộng khái niệm về đa thức để bao gồm tổ hợp tuyến tính của các hàm cho trước, đó là 1 2 , , , n g g g Chúng ta luôn giả sử những hàm như thế là liên tục trên một không gian metric compact X cho trước. Tổ hợp tuyến tính của chúng 1 ( ) n i i i c g x = ∑ được dùng với thuật ngữ là đa thức tổng quát . Định lí 2.1. Điều kiện cần và đủ để 1 n i i i r c g f = ≡ − ∑ nhỏ nhất ( theo chuẩn đều ) là gốc của n không gian phải nằm trong bao lồi của tập điểm { } ˆ ( ) : ( )r x x r x r= ở đây , 1, i c i n= là các hệ số, x ˆ là ký hiệu của bộ [ ] 1 ( ), , ( ) n g x g x . Chú ý định lí trên có thể mở rộng trong trường hợp phức, tập điểm { } ˆ ( ) : ( )r x x r x r= được viết lại là { } ˆ ( ) : ( )r x x r x r= Ở đây ( )r x là liên hợp phức của ( )r x . Với những loại cụ thể của các đa thức tổng quát, đặc trưng của xấp xỉ tốt nhất có thể đưa ra theo một dạng tiện lợi hơn rất nhiều 8 đó là điều kiện Haar. Điều kiện Haar. Hệ các hàm { } n gg , , 1 là thỏa mãn điều kiện Haar nếu mỗi g i là liên tục và nếu mỗi tập gồm n véc tơ dạng [ ] 1 ˆ ( ), , ( ) n x g x g x= là độc lập tuyến tính. Nói cách khác, mỗi định thức [ ] 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , , 0 ( ) ( ) n n n n n g x g x D x x g x g x = ≠ trong đó 1 2 , , , n x x x là các điểm phân biệt. Hệ Tchebycheff : Một hệ hàm thỏa mãn điều kiện Haar được gọi là hệ Tchebycheff nếu có ít nhất n nghiệm trên [a;b]. Chú ý rằng hệ { } 1 2 ; ; ; n g g g thỏa mãn điều kiện Haar nếu và chỉ nếu 0 là hàm duy nhất có dạng 1 0 n i i i c g = = ∑ , Bổ đề 2.1. Cho { } 1 2 ; ; ; n g g g là các phần tử của [ ] ,C a b thỏa mãn điều kiện Haar . Giả sử 0 1 n a x x x b≤ < < < ≤ và 0 , , n λ λ là các hằng số 0 ≠ . Khi đó để 0 nằm trong bao lồi của bộ : 0 0 ˆ ˆ ; ; n n x x λ λ thì điều kiện cần và đủ là i λ đan dấu, tức là 1 0 i i λ λ − < với mọi 1, ,i n= Định lí 2.2. ( Định lí đan dấu ) Cho { } 1 , , n g g là các phần tử của [ ] ,C a b thỏa mãn điều kiện Haar, giả sử X là tập con đóng bất kỳ của [ a,b ] . Điều kiện cần và đủ để đa 9 thức 1 n i i i P c g = = ∑ là xấp xỉ tốt nhất của f trên X là r f P= − xác định trên X và 1 ( ) ( ) i i r x r x r − = − = ± với 0 n x x< < ; i x X∈ ; ax ( ) x X r m r x ∈ = Định lý trên là rất quan trọng cho sự xác định bằng số cho xấp xỉ tốt nhất , ví dụ nếu chúng ta hi vọng xấp xỉ sin 2 x π bởi đa thức 0 1 ( )P x c c x= + trên [0,1] thì hàm sai số f P− cần phải đổi dấu ít nhất 3 lần. Từ phác thảo dưới đây, ta giả sử 3 điểm đổi dấu là 0, ξ ,1 , ở đây ξ là điểm chưa biết. Cho f P ε = − Khi đó : (0) (0)f P ε − = − ( ) ( )f P ξ ξ ε − = + (1) (1)f P ε − = − Vì ( ) sin 2 x f x π = và 0 1 ( )P x c c x= + , lúc đó ta có các phương trình 0 c ε = 0 1 sin 2 c c πξ ξ ε + = − 0 1 1c c ε + = + Nếu chúng ta biết ξ , chúng ta có thể tính được 0 1 ; ;c c ε . Tại ξ , sai số giữa f và P là lớn nhất. Do vậy '( ) '( ) 0f P ξ ξ − = 10 [...]... đó đa thức Pn với bậc ≤ n là xấp xỉ tốt nhất của f ∈ C [ −1;1] trên Yn hội tụ đều tới f khi n → ∞ 25 Kết luận Trong luận văn này đã trình bày những nghiên cứu về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức Kết quả chính được trình bày là : 1 Xấp xỉ Tchebycheff bằng đa thức, công thức Lagrange, công thức sai số, đa thức Tchebycheff, nội suy Hermite, định lý Weierstrass, đa thức Bernstein, định lý Fejér 2 Xấp xỉ. .. duy nhất của xấp xỉ tốt nhất Định lý 2.5 ( Định lý duy nhất ) Nếu các hàm g1 , g 2 , g n là liên tục trên đoạn [a,b] và thỏa mãn điều kiện Haar thì khi đó xấp xỉ tốt nhất của mỗi hàm liên tục bởi một đa thức tổng quát ∑c g i i là duy nhất Chứng minh Ta giả sử P và Q là hai đa thức tổng quát phân biệt của xấp xỉ tốt nhất cho f cho trước Nhờ bất đẳng thức tam 1 ( P + Q ) cũng là đa thức xấp xỉ tốt nhất... Haar 15 Nếu đa thức của xấp xỉ tốt nhất cho f là duy nhất cho ∀ f thì tập các hàm { g1; g 2 ; ; g n } là thỏa mãn điều kiện Haar Trong hướng thứ hai chúng ta có thể nhận được một vài thông tin chi tiết về f − P tăng nhanh như thế nào khi P dần xa xấp xỉ tốt nhất Ở đây ta có thể làm nhẹ X là một khoảng bằng một không gian metric compact bất kỳ Định lí 2.6 ( Định lý duy nhất mạnh ) Cho tập các hàm { g1... Fejér 2 Xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức tổng quát, điều kiện Haar, hệ Markoff , chứng minh các định lý về tồn tại và duy nhất của xấp xỉ tốt nhất : định lý tồn tại, định lý duy nhất, định lý duy nhất mạnh, định lý Haar, định lý de La Vallée Poussin, định lý Freud 3 Xét sai số xấp xỉ trên không gian metric compact X = [ −1,1] với metric thông thường bất đẳng thức Markoff , bất đẳng thức Bernstein 26 Tài... max S (θ ) −π ≤θ ≤π sin θ − π ≤θ ≤π Bất đẳng thức Bernstein 22 Với bất kì đa thức lượng giác S có bậc ≤ n, ta có max S ' ( θ ) ≤ n max S ( θ ) −π ≤θ ≤π Bất đẳng thức Markoff Với đa thức P −π ≤θ ≤π bất kì có bậc ≤ n , ta có max P ' ( x ) ≤ n 2 max P ( x ) −1≤ x ≤1 −1≤ x ≤1 Bổ đề 3.5 Cho P là đa thức đại số, bậc ≤ n xác định trên X = [ −1;1] Khi đó các biểu thức bị chặn dưới cho i) ii ) 1 − n 2 Y khi... 2.7 ( Định lí duy nhất Haar) Xấp xỉ tốt nhất của hàm liên tục f bởi một đa thức ∑c g i i là duy nhất nếu và chỉ nếu { g1; g 2 ; ; g n } thoả mãn 17 điều kiện Haar Một trong những ứng dụng thú vị của định lí liên tục mạnh là nếu f thay đổi không đáng kể thì đa thức xấp xỉ tổng quát của nó cũng thay đổi không đáng kể Để diễn đạt điều này một cách chính xác, giả xử rằng hệ các hàm thỏa mãn điều kiện Haar... [ X ] , cho Jf là đa thức tổng quát của xấp xỉ tốt nhất cho f Khi đó J là toán tử liên tục, hơn thế nữa nó còn thỏa mãn điều kiện Lipschitz, đó là Định lí 2.8 ( Định lí Freud) Với mỗi f 0 có tương ứng một số λ >0 sao cho với mọi f ta có: Jf 0 − Jf ≤ λ f 0 − f 18 Chương 3 Sai số Bài toán tính xấp xỉ tốt nhất trên một đoạn thường được thay bằng một tập hữu hạn các điểm và tìm xấp xỉ tốt nhất trên tập... ( xi ) = (−1)i λ Khi đó theo định lí luân phiên P − λQ là xấp xỉ tốt nhất cho f Trong định lí tiếp theo ta sử dụng các hệ các hàm liên tục { g1 , g 2 , g n } thoả mãn điều kiện Haar Ta kí hiệu E ( f ) = inf P − f , ở đây P thuộc tập hợp các đa thức tổng quát có dạng P = ∑ ci g i 13 Định lí 2.4 (Định lí de La Vallée Poussin) Nếu P là một đa thức sao cho giá trị f − P đổi dấu luân phiên tại n+1 điểm... chúng ta giả sử hệ các hàm liên tục, độc lập tuyến tính { g1 , g 2 , , g n } trên một đoạn [a,b] chúng ta đã trình bày một số định lý đặc trưng về xấp xỉ của f bởi một đa thức tổng quát , ∑c g i i với mục đích làm nhỏ nhất chuẩn f − ∑ ci g i = max f ( x ) − ∑ ci g i ( x) a ≤ x ≤b Một câu hỏi được đặt ra là khi nào xấp xỉ tốt nhất như thế là duy nhất chúng ta cùng trình bày tiếp cùng với các định lý quan... , , g n là các phần tử của C [ X ] ,với mỗi Υ ⊂ X , cho PΥ là kí hiệu của một đa thức PY = ∑ ci gi là xấp xỉ tốt nhất cho f trên Y Khi đó : f − PY → f − PΧ khi Υ → 0 Để diễn đạt các kết quả tiếp theo, chúng ta cần đến khái niệm của một tập cơ bản Một tập G trong C [ X ] được gọi là một tập cơ bản nếu với mỗi phần tử của C [ X ] có thể được xấp xỉ tốt tùy ý bởi một tổ hợp tuyến tính của các phần tử . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC LÊ THỊ DUNG XẤP XỈ TCHEBYCHEFF BẰNG CÁC ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên nghành: Toán giải tích Mã. − Trường hợp đặc biệt xét biểu diễn (2) trên ( 1)n + điểm thì bài toán xấp xỉ luôn có nghiệm. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương Luận văn tìm hiểu về sự tồn tại, tính duy nhất. điểm liên tiếp i x của [a;b] thì 1 ( ) min ( ) ( ) i i i n E f f x P x ≤ ≤ ≥ − Như trong nội dung của những phần trước, chúng ta giả sử hệ các hàm liên tục, độc lập tuyến tính { } 1 2 , ,