Luận văn thạc sỹ khoa học toán học ánh xạ co điểm tiệm cận (chuyên ngành toán giải tích)

Luận văn thạc sỹ khoa học toán học ánh sạ co điểm tiệm cận (chuyên ngành toán giải tích)ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCNGUYỄN THỊ NGAÁNH XẠ CO ĐIỂM TIỆM CẬNChuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Thanh HàTHANH HÓA, NĂM 2014MỤC LỤCLời cam đoan......................................................iLời cảm ơn........................................................iiMở đầu............................................................1Chương 1. Ánh xạ co điểm tiệm cận .............................. 31.1 Ánh xạ co điểm ................................................ 31.2 Định lý điểm bất động ......................................... 5Chương 2. Ánh xạ co điểm trong không gian metric ...........112.1. Kiến thức bổ trợ ..............................................112.2. Ánh xạ co điểm tiệm cận ..................................... 132.3. Ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn ..........................17Chương 3.Ánh xạ co điểm tiệm cận kiểu Meir–Keeler .........243.1. Định nghĩa ánh xạ co điểm tiệm cận kiểu Meir–Keeler ........ 243.2. Kết quả chính ................................................ 25Kết luận ........................................................27Tài liệu tham khảo ................................................28iLỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóaluận, luận văn, luận án và các công trình khoa học đã công bố.Người cam đoanNguyễn Thị NgaiiLỜI CẢM ƠNTác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS.Nguyễn Thị Thanh Hà đã nhiệt tình hướng dẫn và động viên cổ vũ tácgiả trong suốt quá trình làm luận văn.Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trựctiếp giảng dạy lớp thạc sĩ Toán khóa 4 của trường Đại học Hồng Đức,cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường và Ban chủ nhiệm khoa Khoa học TựNhiên, Trường Đại học Hồng Đức đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợicho tác giả hoàn thành luận văn này.Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tổ Toántrường THPT Đào Duy Từ đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trongsuốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.Cuối cùng, tác giả xin dành tặng luận văn này cho gia đình, bạnbè, những người luôn ở bên cạnh động viên, khích lệ tác giả và là chỗdựa tinh thần vững chắc cho tác giả trong cuộc sống, trong học tập, vàtrong nghiên cứu.1MỞ ĐẦULý thuyết điểm bất động là một nhánh của toán học nói chungvà giải tích hiện đại nói riêng, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu,lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân, lí thuyết phương trình viphân, đạo hàm riêng, giải tích phi tuyến và nhiều ứng dụng khác trongvật lí. Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiệntừ đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến điểm bất động Brouwer (1912),nguyên lí ánh xạ co Banach (1922). Chúng được xem như là những kếtquả kinh điển đánh dấu sự ra đời của một hướng toán học mới thu hútsự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng thế giới. Các kết quả nàyđã và đang được mở rộng ra nhiều lớp ánh xạ và không gian khác nhautrong đó không gian mêtric được lấy làm nền tảng.Trong các kết quả mở rộng ấy chúng ta không thể không nhắc đếncác vấn đề về điểm bất động của ánh xạ co. Mục đích của luận văn nàylà trình bày một cách chi tiết hơn về ánh xạ co điểm tiệm cận.Bố cục của luận văn bao gồm ba chương với những nội dung chínhsau:Chương 1: Nhắc lại một số lý thuyết về ánh xạ co điểm tiệm cận.Chương 2: Nghiên cứu về ánh xạ co điểm tiệm cận và ánh xạ cođiểm tiệm cận không giãn trong không gian metric.Chương 3: Nghiên cứu về ánh xạ co điểm tiệm cận kiểu Meir–Keeler.Nội dung chính của luận văn chủ yếu dựa vào các bài báo 1, 2,3 ở mục tài liệu tham khảo.Do thời gian và kinh nghiệm cũng như năng lực còn nhiều hạn chếnên luận văn chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót ngoài ý muốn, vì vậy2tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến và phê bình của thầycô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn cả về mặt nộidung và hình thức. Tác giả xin chân thành cảm ơn3Chương 1ÁNH XẠ CO ĐIỂM TIỆM CẬN1.1. Ánh xạ co điểmĐịnh nghĩa 1.1.1. Cho (M,d) là không gian metric. Ánh xạ T : M → M được gọi là ánh xạ co điểm tiệm cận nếu tồn tại ánh xạ α : M → 0,1) sao cho d(Tx,Ty) ≤ α(x)d(x,y) với mỗi y ∈ M.Định lí 1.1.2. Cho K là tập con lồi compact yếu của không gian Banach và giả sử T : K → K là ánh xạ co điểm. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động ¯ x và {Tn(x)} hội tụ đến ¯ x với mỗi x ∈ M.Chú ý rằng nếu T là ánh xạ co điểm, thì nó liên tục. Hơn nữa, nếu α(x) = 0 với một số x ∈ M, thì T là ánh xạ hằng. Ánh xạ co tiệm cận được định nghĩa như sau. Cho Φ là họ tất cả các ánh xạ φ : R+ → R+ thỏa mãn(i) φ liên tục,1. 0 ≤ φ(t) < t với mọi t ∈R+{0}, φ(0) = 0. Định nghĩa 1.1.3. Cho (M,d) là không gian metric. Ánh xạ T : M → M là ánh xạ co tiệm cận nếud(Tnx,Tny) ≤ φn(d(x,y)) với mọi x,y ∈ M, (1.1) ở đây, φn → φ ∈ Φ đều trong phạm vi của d.4Kết quả điểm bất động của ánh xạ co tiệm cận được thể hiện ở định lísau.Định lí 1.1.4. Giả sử (X,d) là không gian metric đóng và giả sử rằng T : M → M là ánh xạ co tiệm cận liên tục mà ánh xạ φn trong (1.1) liên tục. Ta cũng giả sử thêm rằng một số quỹ đạo của T bị chặn. Khi đó, T có một điểm bất động z ∈ M, và hơn nữa, dãy lặp Picard {Tn(x)} hội tụ tới z với mỗi x ∈ M.Trước khi chuyển sang kết quả chính, chúng tôi đưa ra cái nhìn sâuhơn về ánh xạ co điểm, bắt đầu với việc chứng minh Định lý 1.1.2.Định lý 1.1.2. Giả sử K là tập Tbất biến lồi, compact yếu, rất nhỏ,khác rỗng; giả sử d := diam(K) > 0. Kết quả của 4 đủ để chứng minh rằng K chứa một điểm không xuyên tâm. Chọn m ∈ K. Khi đó, nếu u ∈ K,kTm−Tuk≤ α(m)km−uk. Do vậy T(K) ⊆ B(Tm;α(m)d). Vì thế conv(T(K)) ⊆ B(Tm;α(m)d). Nhưng K = covn(T(K)). Do vậy, với mỗi z ∈ K, kz−T(m) ≤ α(m)dk, chứng minh rằng Tm là điểm không xuyên tâm của K. Vì vậy T có một điểm bất động z ∈ K. Rõ ràng các điểm bất động là duy nhất, và từ kz−Tnxk≤ α(z)nkz−Txk hội tụ của dãy lặp Picard.Đối với phần tồn tại của Định lý 1.1.2, giả thiết rằng α(x) < 1 với mỗi x ∈ K mạnh hơn cần thiết. Nó cũng đủ, ví dụ, giả sử với mỗi tập con Tbất biến, lồi, đóng, khác rỗng H của K, α(x) ≡ 1 với x ∈ H ⇒ H compact. Ngoài ra, nó cũng làm suy giảm các giả thiết theo cách khác. Nó đủ để giả thiết rằng T : K → K( K lồi, đóng, bị chặn) thỏa mãn,5với mỗi x ∈ K và d > 0, supnkTx−Tyk kx−yk: y ∈ K,kx−yk≥ do:= αd(x) < 1. Để chỉ ra giả sử này là đủ, ta giả sử diam(K) = d > 0 và chọn 0 < d0 < d. Cố định m ∈ K. Khi đó, nếu u ∈ K có hai thay thế. Hoặc kTm−Tuk ≤ d0, hoặc kTm−Tuk ≤ αd0(m)km−uk ≤ αd0(m)d. Cho ρ = max{d0,αd0(m)d}, ρ < d và T(K) ⊆ B(Tm;ρ). Điều này một lần nữa đi đến kết luận rằng Tm là điểm không xuyên tâm của K với K bấtbiến tối thiểu.1.2. Định lý điểm bất độngCho X là không gian Banach, C là một tập con của X, và {xn} là dãy bị chặn trong X. Tiệm cận chính của {xn} tương đối trong C, định nghĩa AC(xn) là tập các cực tiểu trong C (nếu mỗi) của hàm f cho bởif(x) = lim sup n→∞kxn −xk.Tức làAC(xn) = {x ∈ C : f(x) = inf Cf}. Điều đó dễ dàng suy ra rằng nếu X lồi đều và nếu C là đóng và lồi, thìAC(xn) gồm chính xác một điểm.1.2.1. Ánh xạ co điểm tiệm cậnKết quả chính của ta là mở rộng của Định lý 1.1.2.Định lí 1.2.1. Cho K là tập con lồi compact yếu của không gian Banach X và cho T : K → K là ánh xạ co điểm tiệm cận. Khi đó, T có duy nhất6một điểm bất động z ∈ K, và với mỗi x ∈ K, dãy lặp Picard {Tnx}, hội tụ theo chuẩn đến z.Chứng minh. Cố định x ∈ K và định nghĩa hàm f bởif(u) = lim sup n→∞kTnx−uk, u ∈ K. (1.2) Do K là tập lồi, compact yếu nên tiệm cận trung tâm của dãy {Tnx} tương ứng với KAK(Tnx) ≤ αm(u)f(u),u ∈ K.Thật vậy, ta cóf(Tmu) = lim sup n→∞kTnx−Tmuk = lim sup n→∞kTm+nx−Tmuk ≤ lim sup n→∞ αm(u)kTnx−uk = αm(u)f(u).Bây giờ, lấy u ∈ AK(Tnx) và từ Tmu ∈ K, ta được, với mọi m ≥ 1, f(u) ≤ f(Tmu) ≤ αm(u)f(u). (1.3) Từ αm(u) → α(u) < 1, giới hạn trong (1.3) khi m →∞, ta được f(u) ≤ α(u)f(u). Do đó f(u) = 0. Điều này cùng với (1.3) suy ra rằng f(Tmu) = 0 với mọi m ≥ 1. Trong trường hợp riêng, f(Tu) = 0. Do vậy, ta có Tnx → u và Tnx → Tu, cả hai theo chuẩn. Vì thế, Tu = u; có nghĩa là, u là điểm bất động của T. Khi đó, với mọi n ≥ 1, ku−vk = kTnu−Tnvk≤ αn(u)ku−vk.7Cho n →∞, ta đượcku−vk≤ α(u)ku−vk.Nhưng α(u) < 1, ngay lập tức ta nhận được u = v.1.2.2. Ánh xạ co điểm tiệm cận không mở rộngKết hợp với các khái niệm về ánh xạ co điểm tiệm cận, ta đưa ra cáckhái niệm sau.Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ T : K → K được gọi là ánh xạ co điểm tiệm cận không mở rộng nếu, với mỗi sô nguyên n ≥ 1, kTnx−Tnyk≤ αn(x)kx−yk với mỗi x,y ∈ K, (1.4) khi αn → 1 co điểm trên K.Chú ý 1.2.3. (i) Không khó để chỉ ra rằng nếu K bị chặn thì ánh xạco điểm tiệm cận không mở rộng T là loại tiệm cận không mở rộngkiểu 6, tức là, T thỏa mãn điều kiệnlim sup n→∞sup y∈K (kTnx−Tnyk−kx−yk) ≤ 0 (1.5)với mọi x ∈ K. (ii) Gọi ánh xạ T : K → K là tiệm cận không mở rộng nếu có dãy {kn} các số dương với kn → 1 khi n →∞ và sao cho kTnx−Tnyk≤ knkx−yk với mọi n và x,y ∈ K. Điều này ngay lập tức suy ra rằng một ánh xạ tiệm cận không mở rộng là co điểm tiệm cận không mở rộng.8Mệnh đề 1.2.4 (9). Một không gian Banach X được gọi là lồi đềunếu và chỉ nếu với mỗi số cố định r > 0, tồn tại một hàm liên tục ϕ : 0,∞) → 0,∞),ϕ(t) = 0 ⇒ t = 0, sao cho kλx + (1−λ)yk2 ≤ λkxk2 + (1−λ)kyk2 −λ(1−λ)ϕ(kx−yk) với mọi λ ∈ 0,1 và mọi x,y ∈ X sao cho kxk≤ r và kyk≤ r. Định lí 1.2.5. Giả sử X là không gian Banach lồi đều và K là tậpcon lồi đóng, bị chặn của X. Khi đó, mọi ánh xạ co điểm tiệm cận T : K → K có một điểm bất động. Hơn nữa, tập các điểm bất động của T là lồi đóng.Chứng minh. Cố định một x ∈ K và định nghĩa hàm f(y) bởif(y) = lim sup n→∞kTnx−yk2, y ∈ K. (1.6) Do X lồi đều và K là compact yếu nên f có duy nhất cực tiểu trên K; tức là, ta có duy nhất điểm bất động z ∈ K thỏa mãnf(z) = min y∈Kf(y).Bây giờ, ta chứng minh rằng {Tnz} hội tụ theo chuẩn. Thật vậy, từ Mệnh đề 1.2.4 (chọn r = diam(K)), ta có, với mọi số nguyên l,m ≥ 1 Tl+m+nx− 1 2 (Tlz + Tmz) 2≤ 1 2kTl+m+nx−Tlzk2 + 1 2kTl+m+nx−Tmzk2 − 1 4 ϕ(kTlz−Tmzk) ≤ 1 2 αl(z)2kTm+nx−zk2 + 1 2 αm(z)2kTl+nx−zk2 − 1 4 ϕ(kTlz−Tmzk). Cho n →∞, ta được f Tlz + Tmz 2 ≤ 1 2 (αl(z)2 + αm(z)2)f(z)− 1 4 ϕ(kTlz−Tmzk). (1.7)9Tuy nhiên,f(z) ≤ f Tlz + Tmz 2 với mọi l,m. Vì vậy, ta có từ (1.7) (với αn(z) → 1 khi n →∞) ϕ(kTlz−Tmzk) ≤ 4 1 2 (αl(z)2 + αm(z)2)f(z)−f(z) → 0 khi l,m →∞. Do vậy, {Tlz} là chuẩnCauchy. Chov = lim n→∞Tnz.Ta sẽ chứng minh rằng v là điểm bất động của T. Thật vậy, do T là ánhxạ co điểm tiệm cận không mở rộng., ta có, với mọi n,kTv−Tn+1zk≤ αl(v)kv−Tnzk. Cho n →∞ suy ra kTv −vk≤ 0; tức là, Tv = v. Tiếp theo, cho F là tập các điểm bất động của T. Để chứng minh rằng F là đóng, giả sử {vn}⊂ F và vn → v∞ theo chuẩn. Khi đó, ta có, với mọi m,n ≥ 1, kTv∞−v∞k≤kvn −v∞k+kTv∞−vnk = kvn −v∞k+kTv∞−Tm+1vnk ≤kvn −v∞k+ α1(v∞)kv∞−Tmvnk = 1 + α1(v∞)kvn −v∞k→ 0. Do vậy, v∞ ∈ F và F đóng. Để chứng minh tính lồi của F, ta cần chứng minh rằng (u + v)2 ∈ F bất kể khi nào u,v ∈ F. Đặt w = (u + v)2. Khi đó kTnw−uk = kTnw−Tnuk≤ αn(w)kw−uk = 1 2 αn(w)ku−vk. kTnw−vk = kTnw−Tnvk≤ αn(w)kw−vk = 1 2 αn(w)ku−vk.10Nhắc lại rằng modul của tính lồi của X định nghĩa bởi δX(ε) = inf 1− 1 2kx + yk : kxk = kyk = 1,kx−yk = ε, với ε ∈ (0,2. Ta cũng nhắc lại rằng X là lồi đều nếu δX(ε) > 0 với ε ∈ (0,2. Có nghĩa là δX(2) = 1 với một không gian Banach X lồi nghiêm ngặt. Sau đó ta có kTnw−wk≤ 1 2 αn(w)ku−vk 1−δX 2 αn(w) . (1.8) Do αn(w) → 1, từ (1.8), cho n → ∞, ta được Tnw → w theo chuẩn. Điểu này đủ để suy ra Tw = w, và vì thế, F lồi.11Chương 2ÁNH XẠ CO ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN METRIC2.1. Kiến thức bổ trợCho M là không gian metric và F là họ các tập con của M. Khi đó, ta có thể nói rằng F định nghĩa một cấu trúc lồi trên M nếu nó chứa hình cầu đóng và ổn định bởi sự giao nhau. Ví dụ A(M), lớp các tập con của M, định nghĩa một cấu trúc lồi trên không gian metric bất kỳ.Nhắc lại rằng tập con của M là thừa nhận nếu nó là giao khác rỗng củacác hình cầu đóng.Bây giờ, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức dùng trong luận văn này.Với A là tập con của không gian metric M, đặtrx(A) = sup{d(x,y) : y ∈ A},x ∈ M; R(A) = inf{rx(A) : x ∈ A}; diam(A) = sup{d(x,y) : x,y ∈ A}; CA(A) = {x ∈ A : rx(A) = R(A)}; cov(A) = ∩{B : B là hình cầu và B ⊇ A} diam(A) là diameter của A, R(A) là bán kính Chebyshev của A, CA(A)là tâm Chebyshev của A, và cov(A) là bao của A.Định nghĩa 2.1.1. Cho F là tập lồi trong M. (i) Ta nói rằng F là compact nếu với mọi họ (Aα)α∈Γ các phần tử của F có giao khác rỗng thuộc∪α∈FAα 6= với mỗi tập con hữu hạn F∩Γ.12(ii) Ta nói rằng F là tập thông thường nếu với mỗi A ∈F, không giảm đến một điểm ta có R(A) < diam(A).(iii) Ta nói rằng F là tập thông thường không đổi nếu tồn tại c ∈ (0,1) sao cho với mỗi A ∈F, không giảm đến một điểm, ta có R(A) ≤ cdiam(A). Ta dễ dàng kiểm tra được c ≥ 12.Ví dụ 2.1.1. Một không gian metric M được gọi là siêu lồi nếu thỏa mãn với mọi họ {xα} các điểm của M và với mỗi họ {rα} của các số thực không âm thỏa mãnd(xα,xβ) ≤ rα + rβ đó là trường hợp mà ∩αB(xα;rα) 6= 0. Nếu M là siêu lồi thì A(M) compact và là tập thông thường không đổi vớiR(A) =1 2diam(A) với mỗi A ∈A(M).Kết quả chính của 7, 5 được thể hiện trong không gian metric nhưsauĐịnh lí 2.1.2. Cho M là không gian metric bị chặn. Giả sử cấu trúc lồi A(M) compact. Cho T : M → M là ánh xạ co điểm thì T có duy nhất điểm bất động x0. Hơn nữa, dãy {Tn(x)} hội tụ về x0 với mỗi x ∈ M. Chứng minh. DoA(M) compact nên tồn tại tập tối thiểu khác rỗng K ∈ A(M) sao cho T(K) ⊂ K. Ta dễ dàng kiểm tra được cov(T(K)) = K. Cho a ∈ K, thì K ⊂ B(a,ra(K)). Do T là ánh xạ co điểm nên tồn tại ánh xạ α : M → 0,1) sao cho d(T(x),T(y)) ≤ α(x)d(x,y) với mỗi y ∈ M.13Đặc biệt, ta có T(K) ⊂ B(T(a),α(a)ra(K)), điều đó có nghĩa cov(T(K)) ⊂ B(T(a),α(a)ra(K)). Vì thế rT(a)(K) ≤ α(a)ra(K). Điều này buộc diam(K) = 0. Thật vậy, cho a ∈ K và định nghĩa Ka = {x ∈ K : rx(K) ≤ ra(K)}. Rõ ràng Ka khác rỗng. Hơn nữa, ta có Ka = x∈K B(x,ra(K))∩K ∈A(M). Và từ rT(a)(K) ≤ α(a)ra(K), ta nhận được T(Ka) ⊂ Ka. Từ dáng điệu rất nhỏ của K suy ra Ka = K. Đặc biệt, ta có rx(K) = ra(K) với mọi x ∈ K. Do vậy diam(K) = ra(K), với mỗi a ∈ K, tức là K có giảm xuỗng một điểm bất động của T. Vì vậy, tập điểm bất động của T khácrỗng. Kết luận còn lại của định lý được suy ra từ tính chất chung củaánh xạ co điểm.Trong các kết quả ta có được 8, nếu M là siêu lồi thì A(M) compact, do vậy ta được kết quả sau:Hệ quả 2.1.3. Cho M là không gian metric siêu lồi bị chặn. Cho T : M → M là ánh xạ co điểm. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động x0. Hơn nữa, dãy {Tn(x)} hội tụ đến x0 với mỗi x ∈ M.2.2. Ánh xạ co điểm tiệm cậnCho M là không gian metric và F là một cấu trúc lồi. Ta nói rằng hàm Φ : M → 0,∞) là Flồi nếu {x;Φ(x) ≤ r} ∈ F với mỗi r > 0. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa một kiểu hàm Φ : M → 0,∞) cho bởiΦ(u) = limsup n→d(xn,u)14với (xn) là dãy bị chặn trong M. Ta có bổ đề sauBổ đề 2.2.1. Cho M là không gian metric và F là một cấu trúc lồi compact. trên M mà Tổn định. Khi đó, với mỗi kiểu Φ, tồn tại x0 ∈ M sao cho Φ(x0) = inf{Φ(x) : x ∈ M}.Định lí 2.2.2. Cho M là không gian metric bị chặn. Giả sử cấu trúc lồi A(M) compact. Cho T : M → M là ánh xạ co điểm tiệm cận mạnh. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động x0. Hơn nữa, dãy {Tn(n)} hội tụ đến x0 với mỗi x ∈ M.Chứng minh. Đầu tiên, giả sử rằng T có ít nhất một điểm bất động. Thật vậy, cho a,b ∈ M là hai điểm bất động của T. Khi đó ta có d(a,b) = d(Tn(a),Tn(b)) ≤ αn(a)d(a,b). Nếu ta cho n → ∞ thì d(a,b) ≤ kd(a,b) với mỗi k ∈ (0,1). Điều này dẫn đến d(a,b) = 0. Tiếp theo, cho x ∈ M và định nghĩaΦ(u) = lim sup n→∞d(Tn(x),u), với mỗi u ∈ M.Do A(M) compact nên Ω(x) = n≥1cov({Tk(x);k ≥ n}) 6= .Cho ω ∈ Ω(x), ta được d(Tm+n+h(x),Tm+h(x)) ≤ αh(Tm(x))d(Tn(x),Tm(x)). Cho n →∞, ta được Φ(Tm+h(x)) ≤ αh(Tm(x))Φ(Tm(x)).15Tiếp theo, cho h →∞ ta đượclim sup n→∞Φ(Tn(x))với một số k ∈ (0,1), điều này dễ dàng suy ra được limsupn→∞Φ(Tn(x)) = 0.Tiếp theo, ta chứng minhΦ(ω) ≤ lim sup n→∞Φ(Tn(x)) = 0.Thật vậy, cho u ∈ M, khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại n0 ≥ 1 sao cho với mỗi n ≥ n0 d(Tn(x),u) ≤ Φ(u) + ε. Trong trường hợp đặc biệt, ta có Tn(x) ∈ B(u,Φ(u)+ε) với mỗi n ≥ n0. Vì vậy Ω(x) ⊂ cov{Tn(x);n ≥ n0} ⊂ B(u,Φ(u) + ε).điều đó có nghĩa ω ∈ B(u,Φ(u) + ε). Điều này đúng với mỗi ε > 0. Do vậy, với mọi u ∈ M ta có d(ω,u) ≤ Φ(u). NênΦ(ω)lim sup n→∞d(Tn(x),ω) ≤ lim sup n→∞Φ(Tn(x)).Do vậy, ta có Φ(ω) = 0, có nghĩa là {Tn(x)} hội tụ về ω. Điều này sẽ buộc ω là điểm bất động của T. Do T có ít nhất một điểm bất động nênT có điểm bất động x0 và dãy hội tụ về x0.Nếu M là siêu lồi thì A(M) compact, do đó ta cóHệ quả 2.2.3. Cho M là không gian metric siêu lồi bị chặn. Cho T : M → M là ánh xạ co điểm tiệm cận mạnh. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động, x0. Hơn nữa, dãy {Tn(x)} hội tụ đến x0 với mỗi x ∈ M.16Tiếp theo, chúng ta mở rộng dáng điệu của T nhưng giả sử kiểu lồiđể được kết quả sauĐịnh lí 2.2.4. Cho M là không gian metric bị chặn. Giả sử tồn tại cấu trúc lồi F compact và Tổn định. Cho T : M → M là ánh xạ co điểm tiệm cận. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động, x0. hơn nữa, dãy {Tn(x)} hội tụ về x0 với mỗi x ∈ M.Chứng minh. Một cách tương tụ có thể dễ dàng suy ra T có ít nhất mộtđiểm bất động. Như ta đã làm trong chứng minh kết quả trước, cho x ∈ M và định nghĩa kiểuΦ(u) = lim sup n→∞d(Tn(x),u), với mỗi u ∈ M. Từ F compact và Tổn định, tồn tại x0 ∈ M sao cho Φ(x0) = inf{Φ(u);u ∈ M}.Ta sẽ chứng minh rằng Φ(x0) = 0. Thật vậy, ta có d(Tm+n(x),Tm(x0)) ≤ αm(x0)d(Tn(x),x0), với mỗi n,m ≥ 1. Nếu cho n →∞, ta được Φ(Tm(x0)) ≤ αm(x0)Φ(x0)có nghĩa làΦ(x0) = inf{Φ(u);u ∈ M}≤ Φ(Tm(x0)) ≤ αm(x0)Φ(x0). Nếu cho m →∞ ta sẽ được Φ(x0) ≤ α(x0)Φ(x0). Từ α(x0) < 1, ta được Φ(x0) = 0, có nghĩa là {Tn(x)} hội tụ đến x0. Điều này chứng tỏ x0 là điểm bất động của T. Do T có ít nhất một điểm bất động nên T có điểmbất động x0 và dãy hội tụ đến x0.172.3. Ánh xạ co điểm tiệm cận không giãnChúng ta lưu ý rằng với mỗi kết quả về ánh xạ co điểm tiệm cậnkhông giãn trong không gian metric nên mở rộng những gì được biếtđến về ánh xạ tiệm cận không giãn trong không gian metric. Mộtkhông gian metric (X,d) được gọi là không gian độ dài nếu hai điểmcủa X được nối bởi phần khắc phục (tức là một phần của chiều dài hữuhạn) và khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của X được lấy từ giá trị nhỏnhất của độ dài của tất cả phần khắc phục. Trong trường hợp này, dđược gọi là một metric độ dài. Trong trường hợp không có phần khắcphục nối lại của không gian khoảng cách giữa chúng là vô cùng. Một đường đo đạc nối x ∈ X với y ∈ X (hay, hơn một thời gian ngắn, đo đạc từ x đến y) là một ánh xạ c từ khoảng thời gian đóng 0,l ⊂ R đến X sao cho c(0) = x,c(l) = y và d(c(t),c(t0)) = |t−t0| với mọi t,t0 ∈ 0,l. Đặc biệt, c là một phép đẳng cự và d(x,y) = l. Hình ảnh α của c được gọi là một trắc địa (hay metric) đoạn thẳng nối x vày. (X,d) được gọi là không gian trắc địa nếu mọi hai điểm của X đượcnối bằng trắc địa. X được gọi là trắc địa đều nếu có một trắc địa chính xác nối x và y với mỗi x,y ∈ X, ta sẽ biểu thị bằngx,y gọi là đoạn thẳng nối x và y.Một tam giác trắc địa ∆(x1,x2,x3) trong không gian metric trắcđịa (X,d) bao gồm ba điểm trong X (đỉnh của ∆) và một đoạn thẳnggiữa mỗi cặp đỉnh (cạnh của ∆). Một tam giác so sánh cho tam giác ∆(x1,x2,x3) trong (X,d) là tam giác ¯ ∆(x1,x2,x3) := ∆( ¯ x1, ¯ x2, ¯ x3) trong M2 K sao cho dR2(¯ xi, ¯ xj) = d(xi,xj) với i,j ∈{1,2,3}. Nếu K > 0 nó được giả định là chu vi của ∆(x1,x2,x3) ít hơn 2DK, với DK là đường kính18của M2 K. Một tam giác như vậy luôn tồn tại. Một không gian metric trắc địa được cho là một không gian CAT(K) nếu mọi tam giác trắc địa của kích thước thích hợp thỏa mãn tiên đề so sánh CATK sau đây. CATK: Cho ∆ là tam giác trắc địa trong X và cho ¯ ∆ ⊂ M2 K là tam giác so sánh cho ∆. Khi đó, ∆ được cho là thỏa mãn bất đẳng thức CATK nếu với mọi x,y ∈ ∆ và mọi điểm so sánh ¯ x, ¯ y ∈ ¯ ∆, d(x,y) ≤ d(¯ x, ¯ y).Các không gian CAT(0) đầy đủ thường được gọi là các không gianHadamard. Các không gian này là trường hợp đặc biệt liên quan đến vấnđề nghiên cứu. Cuối cùng, chúng tôi nhận thấy rằng nếu x,y1,y2 là cácđiểm của không gian CAT(0) và nếu y0 là trung điểm của đoạn thẳngy1,y2 mà ta sẽ ký hiệu lày1 ⊕y2 2, thì bất đẳng thức CAT(0) có nghĩalàdx, y1 ⊕y2 2 2 ≤ 1 2d(x,y1)2 + 1 2d(x,y2)2 − 1 4d(y1,y2)2 (2.1)vì phương trình thỏa mãn trong metric Euclidean. Thực ra, một khônggian metric trắc địa là một không gian CAT(0) nếu và chỉ nếu nó thỏamãn bất đẳng thức (2.1). Hơn nữa, nếu M là không gian metric CAT(0) và x,y ∈ M thì với mọi α ∈ 0,1, tồn tại duy nhất điểm αx⊕(1−α)y ∈ x,y sao cho dz,αx⊕(1−α)y ≤ αd(z,x) + (1−α)d(z,y) với mọi z ∈ M, (2.2) và x,y = {αx⊕(1−α)y,α ∈ 0,1}. Cho M là không gian CAT(0) đủ. Một tập con C ⊂ M là lồi nếu với mỗi x,y ∈ C ta có x,y ⊂ C. Ký hiệu C(M) là họ các tập con lồi đóng của M. Khi đó C(M) định nghĩa một cấu trúc lồi compact và thường19đều. Chú ý rằng với mỗi kiểu hàm lồi, tức là C(M) là Tlồi. Kiến thức sau dễ dàng suy ra từ bất đẳng thức (2.2). Một ý nghĩa trực tiếp củatính chất này là bất kỳ kiểu hàm nàođạt giá trị nhỏ nhất của nó, tức là với mọi dãy con bị chặn {xn} trong không gian CAT(0) M, đều tồn tại ω ∈ M sao cho Φ(ω) = inf{Φ(x);x ∈ M}, vớiΦ(x) = lim sup n→∞d(xn,x).Định lí 2.3.1. Cho M là không gian metric CAT(0) đủ. Cho C là tạp con lồi, khác rỗng, đóng và bị chặn của M. Khi đó, với mỗi T : C → C co điểm tiệm cận không mở rộng có một điểm bất động. Tạp hợp điểm bất động Fix(T) lồi và đóng, tức là Fix(T) ∈C(M). Chứng minh. Trước tiên, cho x ∈ C và định nghĩaΦ(u) = lim sup n→∞d(Tn(x),u), với mỗi u ∈ C. Lấy ω ∈ C sao cho Φ(ω) = inf{Φ(u);u ∈ C} = Φ0. Chúng ta đã thấy rằng Φ(Tn(ω)) ≤ αn(ω)Φ(ω) = αn(ω)Φ0, với mỗi n ≥ 1. Ta có dTn(x), Tm(ω)⊕Th(ω) 2 2 ≤ 1 2 d(Tn(x),Tm(ω))2 + 1 2 d(Tn(x),Th(ω))2 − 1 4 d(Tm(ω),Th(ω))2. Nếu ta cho n →∞, ta được Φ2 0 < Φ Tm(ω)⊕Th(ω) 2 < 1 2 Φ(Tm(ω))2+1 2 Φ(Th(ω))2−1 4 d(Tm(ω),Th(ω))2. Điều đó có nghĩa là d(Tm(ω),Th(ω))2 ≤ Φ2 0(2αm(ω)2 + 2α2 h(ω)−4).Từ T là ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn, ta đượclim sup m,h→∞ (Tm(ω),Th(ω))2 ≤ 0,20có nghĩa là {Tn(ω)} là dãy Cauchy. Cho v = limn→∞Tn(ω). Do T liên tục, nên T(v) = v, tức là, v là điểm bất động của T. Điều này chứngtỏ Fix(T) khác rỗng. Cũng từ T liên tục nên Fix(T) đóng. Để chứngminh Fix(T) lồi, ta chỉ cần chứng minhx⊕y 2 ∈ Fix(T), bất cứ khi nàox,y ∈ Fix(T). Thật vậy, đặt ω =x⊕y 2. Ta cód(Tn(ω),ω)2 ≤ 1 2d(x,Tn(ω))2 + 1 2d(y,Tn(ω))2 − 1 4d(x,y)2,với mọi n ≥ 1. Từ d(x,Tn(ω))2 = d(Tn(x),Tn(ω))2 ≤ α2 n(ω)d(ω,x)2 = α2 n(ω)d(x,y)2 4,vàd(y,Tn(ω))2 = d(Tn(y),Tn(ω))2 ≤ α2 n(ω)d(ω,y)2 = α2 n(ω)d(x,y)2 4,ta đượcd(Tn(ω),ω)2 ≤ (α2 n(ω)−1)d(x,y)2 4,với mỗi n ≥ 1. Do T là ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn, nên limn→∞Tn(ω), có nghĩa là T(ω) = ω, tức là ω ∈ Fix(T).Nếu U,V là các tập con bị chặn của không gian metric X, cho H làmetric Hausdorff, được xác định bởiH(U,V ) = inf{ε > 0 : U ⊂ Nε(V ) và V ⊂ Nε(U)}, với Nε(V ) = {y ∈ X : d(y,V ) < ε}. Cho E là tập con của không gian metric X. Một ánh xạ T : E → 2X với giá trị giới hạn khác rỗng là H(T(x),T(y)) ≤ d(x,y) với mọi x,y ∈ E. Cho t : E → E và T : E → 2X với T(x)∩E 6= với x ∈ E. Khi đó, t và T được cho là ánh xạ giao hoán nếu t(y) ∈ T(t(x))∩E với mọi y ∈ T(x)∩E và với mọi x ∈ E. Một21điểm z ∈ X được gọi là tâm của ánh xạ t : E → X nếu với mỗi x ∈ E,d(z,t(x)) ≤ d(z,x). Tập Z(t) biểu thị tập tất cả tâm của ánh xạ t.Như một ứng dụng của Định lý 2.3.1, ta có Định lý sauĐịnh lí 2.3.2. Cho M là không gian CAT(0) đủ và C là tập con lồi,đóng, bị chặn của M. Giả sử t : C → C là ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn và T : C → 2C là ánh xạ không giãn với T(x) là tập con lồi compact của C với mỗi x ∈ C. Nếu ánh xạ t và T giao hoán và thỏa mãn T(x)∩Fix(t) ⊂ Z(t) với mỗi x ∈ Fix(t) thì có z ∈ C sao cho z = t(z) ∈ T(z).Chứng minh. Do Định lý 2.3.1, một ánh xạ co điểm tiệm cận t của tậpcon lồi, đóng, bị chặn có tập điểm bất động khác rỗng A là tập con lồi, đóng của M. Từ t và T giao hoán, t(y) ∈ T(t(x)) = T(x) với y ∈ T(x) và x ∈ A, và vì thế, T(y) bất biến dưới t với mỗi x ∈ A. Do T(x) là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian CAT(0), nên t có một điểm bất động trong T(x) và T(x)∩A 6= với x ∈ A. Bây giờ, ta xét ánh xạ T(•)∩A : A → tập con lồi, compact của A. Ta chứng minh rằng ánh xạ này không giãn. Thật vậy, nếu u ∈ T(x)∩A với mỗi x ∈ A, cho v là điểm bất động gần nhất duy nhất của T(y) đến u với mỗi y ∈ A. Khi đó, d(u,v) ≤ inf{d(u,w);w ∈ T(y)}. Tuy nhiên, từ u ∈ Z(t),d(u,t(v)) ≤ d(u,v), mâu thuẫn với tính duy nhất của v là điểm gần nhất đến u. Vì vậy, v = t(v), tức là v ∈ T(y)∩A. Suy raH(T(x)∩A,T(y)∩A) ≤ H(T(x),T(y)) ≤ d(x,y) với x,y ∈ A.22Suy ra ánh xạ không giãn T(•)∩A : A → tập con lồi compact của A có một điểm bất động z ∈ T(z)∩A. Vì vậy z = t(z) ∈ T(z).Hệ quả 2.3.3. Cho M là không gian CAT(0) và C là tập con lồi, đóng, bị chặn của M. Giả sử t : C → C là ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn và T : C → 2C là ánh xạ không giãn với T(x) là tập con lồi compact của C với mỗi x ∈ C. Nếu ánh xạ t và T thỏa mãn điều kiện 6= T(x)∩Fix(t) ⊂ Z(t) với mọi x ∈ Fix(t) Khi đó, có z ∈ C sao cho z = t(z) ∈ T(z).Mệnh đề 2.3.4. Cho M là không gian metric CAT(0). Cho C tập con khác không lồi, đóng và bị chặn của M. Cho T : C → C là ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn. và {xn}∈ C là dãy điểm bất động xấp xỉ, tức là limn→∞d(xn,T(xn)) = 0, và {xn} ω. Khi đó ta có T(ω) = ω. Chứng minh. Do {xn} là dãy điểm bất động xấp xỉ nên ta cóΦ(x) = lim sup n→∞d(Tm(xn),x)với mỗi m ≥ 1. Do vậy Φ(Tm(x)) ≤ αm(x)Φ(x), với mỗi x ∈ C. Trong trường hợp riêng, ta có limm→∞Φ(Tm(ω)) = Φ(ω). Ta có d xn, ω⊕Tm(ω) 2 2 ≤ 1 2 d(xn,ω)2 + 1 2 (xn,Tm(ω))2 − 1 4 d(ω,Tm(ω))2, với mỗii n,m ≥ 1. Nếu cho n →∞, ta được Φ ω⊕Tm(ω) 2 2 ≤ 1 2 Φ(ω)2 + 1 2 Φ(Tm(ω))2 − 1 4 d(ω,Tm(ω))2, với mọi m ≥ 1. Định nghĩa của ω có nghĩa Φ(ω)2 ≤ 1 2 Φ(ω)2 + 1 2 Φ(Tm(ω))2 − 1 4 d(ω,Tm(ω))2,23với mỗi m ≥ 1, hay d(ω,Tm(ω))2 ≤ 2Φ(Tm(ω))2 −2Φ(ω)2. Cho m →∞, ta được limm→∞d(ω,Tm(ω)) = 0. Do vậy, T(ω) = ω khi T liên tục.24Chương 3ÁNH XẠ CO ĐIỂM TIỆM CẬN KIỂU MEIRKEELERTrong chương này, trước tiên, ta định nghĩa ánh xạ ψco điểm tiệm cận kiểu MeirKeeler, ψ : X → R+, sau đó, chúng ta sẽ chứng minh định lí tồn tại điểm bất động đối với ánh xạ ψco điểm tiệm cận kiểuMeirKeeler.3.1. Định nghĩa ánh xạ điểm tiệm cận kiểu MeirKeelerTa nhắc lại khái niệm của hàm kiểu MeirKeeler. Một hàm ψ : R+ →R+ được gọi là hàm kiểu MeirKeeler nếu với mỗi η ∈R+, tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi t ∈R+ với η ≤ t < η + δ, ta có ψ(t) < η. Bây giờ ta đưa ra khái niệm mới của hàm MeirKeeler yếu.Định nghĩa 3.1.1. Hàm ψ : R+ → R+ được gọi là hàm MeirKeeler yếu nếu với mỗi η > 0, tồn tại δ > η sao cho với t ∈R+ với η ≤ t < δ, tồn tại n0 ∈N sao cho ψn0(t) < η. Định nghĩa 3.1.2. Cho X là không gian Banach và cho ψ : R+ →R+ là hàm MeirKeeler yếu. Khi đó, ánh xạ T : X → X được gọi là ánh xạ ψco điểm tiệm cận MeirKeeler yếu với mỗi n ∈N, kTnx−Tnyk≤ ψn(kxk)kx−yk, với mỗi x,y ∈ X.253.2. Kết quả chínhCho X là không gian Banach, A là tập con của X, và {xn} là dãy bị chặn trong X. Tiệm cận chính của {xn} liên quan đến A, định nghĩa là CA(xn), là tập hợp các cực tiểu của hàm f trong Af(x) = lim sup n→∞kxn −xk.Có nghĩa làCA(xn) = {x ∈ A : f(x) = infAf}. Định lí 3.2.1. Cho A là tập con compact lồi yếu của không gian Banach X, cho ψ : R+ →R+ là hàm yếu hơn kiểu MeirKeeler sao cho với mỗi t ∈R+, {ψn(t)}n∈N không tăng, và đặt T : A → A là ánh xạ ψco điểm tiệm cận yếu hơn kiểu MeirKeeler. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động¯ x ∈ A, và với mỗi x ∈ A, dãy con của dãy lặp Picard., {Tnx}, hội tụ đến ¯ x.Chứng minh. Cố định x ∈ A và định nghĩa hàm f như sau f(x) = lim sup n→∞kTnx−yk, y ∈ A. Do A là tập con compact lồi yếu của không gian Banach X, nên tiệm cận chính của dãy {Tnx} liên quan đến A CA(Tnx) = {y ∈ A : f(y) = minAf} là tập con đóng, lồi, khác rỗng của A. Ta sẽ chứng minh rằng f(Tmy) ≤ ψm(kyk)f(y), y ∈ A. Thật vậy, ta cóf(Tmy) = lim sup n→∞kTnx−Tmyk26= lim sup n→∞kTm+nx−Tmyk = lim sup n→∞kTm(Tnx−y)k ≤ lim sup n→∞ ψm(kyk)kTnx−yk = ψm(kyk)f(y). Lấy y ∈ CA(Tnx), từ Tmy ∈ A, với mọi m ≥ 1 ta có f(y) ≤ f(Tmy) ≤ ψm(kyk)f(y). (3.1) Từ {ψm(kyk)}m∈N không tăng, nó chỉ hội tụ về một số η ≥ 0. Nó đòi hỏi η = 0. Ngược lại, giả sử η > 0. Khi đó, từ định nghĩa của hàm yếu kiểu MeirKeeler, tồn tại δ > η sao cho với y ∈ A với η ≤kyk < δ, tồn tại n0 ∈N sao cho ψn0(kyk) < η. Từ limm→∞ψm(kyk) = η, tồn tại m0 ∈N sao cho ηψm(kyk) < δ với mọi m ≥≥ m0. Do vậy, ψm0+n0kyk) < η, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vì thế limm→∞ψm(kyk) = 0. Từ (3.1), cho m → ∞, ta được f(y) = 0. Nó cùng với (3.1) suy ra f(Tmy) = 0 với mọi m ≥ 1. Thật vậy, nếu z ∈ A cũng là điểm bất động của T thì với mọi n ∈N, ky−zk = kTny−Tnzk≤ ψn(kyk)ky−zk. Cho n →∞, ta được ky−zk = 0, và vì vậy y = z.27KẾT LUẬNLuận văn đã trình bày khá chi tiết về ánh xạ co điểm tiệm cận.Cụ thể, luận văn đã trình bày các nội dung sau1. Chương 1: Ánh xạ co điểm tiệm cận.2. Chương 2: Ánh xạ co điểm tiệm cận trong không gian metric.3. Chương 3: Ánh xạ co điểm tiệm cận kiểu Meir–Keeler.Tài liệu tham khảo1 W.A. Kirk, H.K. Xu, Asymptotic pointwise contractions, NonlinearAnalysic 69(2008) 470647122 N. Hussain, M.A. Khamsi, On asymptotic pointwise contractions inmetric spaces, Nonlinear Analysis 71 (2009) 442344293 ChiMing Chen, A note on asymptotic pointwise weakerMeir–Keelertype contractions, Applied Mathematics Letters 25(2012) 1267–12694 W.A. Kirk, A fixed point theorem for mappings which do not increase distances, Amer. Math. Monthly 72 (1965) 1004–1006.5 W.A. Kirk, Asymptotic pointwise contractions, in: Plenary Lecture,the 8th International Conference on Fixed Point Theory and ItsApplications, Chiang Mai University, Thailand, July 1622, 2007.6 W.A. Kirk, Fixed point theorems for nonLipschitzian mappingsof asymptotically nonexpansive type, Israel J. Math. 17 (1974)339–346.7 W.A. Kirk, Fixed points of asymptotic contractions, J. Math. Anal.Appl. 277 (2003) 645650.28298 J.B. Baillon, Nonexpansive mappings and hyperconvex spaces,Contemp. Math. 72 (1988) 1119.9 H.K. Xu, Inequalities in Banach spaces with applications, NonlinearAnal. 16 (1991) 1127–1138.

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	257,18 KB