DẠNG 1.CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng. Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) a P d P d a ⊂ ⇔ Tính chất giao tuyến song song: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng phải song song với a và b. Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; a P b Q P Q a b a b ⊂ ⊂ ∩ = ∆ →∆
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng. Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) // // a P d P d a ⊂ ⇔ Tính chất giao tuyến song song: N ế u hai m ặ t ph ẳ ng (P) và (Q) ch ứ a hai đườ ng th ẳ ng a, b song song v ớ i nhau, thì giao tuy ế n n ế u có c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng ph ả i song song v ớ i a và b. Vi ế t d ạ ng m ệ nh đề : ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; // // // a P b Q P Q a b a b ⊂ ⊂ ∩ = ∆ →∆ Tính chất để dựng thiết diện song song: N ế u đườ ng th ẳ ng a song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P); m ộ t m ặ t ph ẳ ng (Q) ch ứ a a, c ắ t (P) theo giao tuy ế n ∆ thì ∆ ph ả i song song v ớ i a. Vi ế t d ạ ng m ệ nh đề : ( ) ( ) ( ) ( ) // // a P a Q a P Q ⊂ →∆ ∩ = ∆ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: + Định nghĩa: Đườ ng th ẳ ng a vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P) khi nó vuông góc v ớ i m ọ i đườ ng th ẳ ng a n ằ m trong (P). Vi ế t d ạ ng m ệ nh đề : ( ) ( ) a P d P d a ∀ ⊂ ⊥ ⇔ ⊥ + Hệ quả 1 : Để ch ứ ng minh đườ ng th ẳ ng d vuông góc v ớ i (P) ta ch ỉ c ầ n ch ứ ng minh d vuông góc v ớ i hai đườ ng th ẳ ng c ắ t nhau n ằ m trong (P). + Hệ quả 2 : N ế u hai đườ ng th ẳ ng phân bi ệ t d 1 ; d 2 cùng vuông góc v ớ i (P) thì d 1 // d 2 . + Hệ quả 3 : N ế u hai m ặ t ph ẳ ng (P 1 ); (P 2 ) cùng vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d thì (P 1 ) // (P 2 ). + Hệ quả 4 : N ế u đườ ng th ẳ ng d cùng vuông góc v ớ i m ộ t đườ ng th ẳ ng a và m ộ t m ặ t ph ẳ ng (P) thì khi đ ó đườ ng th ẳ ng a ho ặ c song song v ớ i (P) ho ặ c n ằ m trong (P). Vi ế t d ạ ng m ệ nh đề : ( ) ( ) ( ) // a P d a d P a P ⊥ → ⊥ ⊂ 03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1 Th ầy Đặng Việt H ùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! + Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN ⊥ (SAD) c) Cho 3. =SA a Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với 6 ; . 5 = = = a AB AC a BC G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a BC, k ẻ AH ⊥ MD, v ớ i H thu ộ c MD. a) Ch ứ ng minh r ằ ng AH ⊥ (BCD) b) Cho 4 . 5 = a AD Tính góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AC và DM. c ) G ọ i G 1 ; G 2 là tr ọ ng tâm các tam giác ABC và DBC. Ch ứ ng minh r ằ ng G 1 G 2 ⊥ (ABC). Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình vuông c ạ nh a, SA vuông góc v ớ i đ áy. G ọ i B 1 ; C 1 ; D 1 là hình chi ế u vuông góc c ủ a A lên các c ạ nh SB, SC, SD. a) Ch ứ ng minh r ằ ng B 1 D 1 // BD và SC ⊥ (AB 1 D 1 ) b) Ch ứ ng minh r ằ ng các đ i ể m A, B 1 , C 1 , D 1 đồ ng ph ẳ ng và t ứ giác AB 1 C 1 D 1 n ộ i ti ế p đườ ng tròn. c) Cho 2. =SA a Tính góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng SB và AC 1 . Ví dụ 4. Cho t ứ di ệ n OABC có OA, OB, OC đ ôi m ộ t vuông góc. K ẻ OH ⊥ (ABC) a) Ch ứ ng minh r ằ ng tam giác ABC có ba góc nh ọ n. b) Ch ứ ng minh OA ⊥ BC; OB ⊥ AC; OC ⊥ AB c) Ch ứ ng minh r ằ ng H là tr ự c tâm c ủ a tam giác ABC. d) Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + OH OA OB OC Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABC), tam giác ABC vuông t ạ i A. a) Ch ứ ng minh r ằ ng tam giác SAC vuông. b) Tính SA, SB, SC bi ế t α; β; . = = = ACB ACS BC a BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho t ứ di ệ n S.ABC có SA vuông góc v ớ i (ABC) và ∆ ABC vuông ở B. Ch ứ ng minh r ằ ng a) BC ⊥ (SAB). b) G ọ i AH là đườ ng cao c ủ a ∆ SAB. Ch ứ ng minh r ằ ng AH ⊥ (SBC). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình thoi tâm O. G ọ i I, J l ầ n l ượ t là trung đ i ể m AB, BC. Bi ế t SA = SC, SB = SD. Ch ứ ng minh r ằ ng a) SO ⊥ (ABCD). Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! b) IJ ⊥ (SBD). Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC). b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK). c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và 2 SC a = . G ọ i H, K l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a các c ạ nh AB, AD. a) Ch ứ ng minh r ằ ng SH ⊥ (ABCD). b) Ch ứ ng minh r ằ ng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD. Bài 5. Cho hình chóp SABCD, có đ áy là hình vuông c ạ nh a. M ặ t bên SAB là tam giác đề u; SAD là tam giác vuông cân đỉ nh S. G ọ i I, J l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a AB và CD. a) Tính các c ạ nh c ủ a ∆SIJ và ch ứ ng minh r ằ ng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB). b) G ọ i H là hình chi ế u vuông góc c ủ a S trên IJ. Ch ứ ng minh r ằ ng SH ⊥ AC. c) G ọ i M là m ộ t đ i ể m thu ộ c đườ ng th ẳ ng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a. Đ /s: a) 3 ; , . 2 2 a a a c) 5 . 2 a Bài 6. Cho ∆MAB vuông t ạ i M ở trong m ặ t ph ẳ ng (P). Trên đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i (P) t ạ i A ta l ấ y 2 đ i ể m C, D ở hai bên đ i ể m A. G ọ i C′ là hình chi ế u c ủ a C trên MD, H là giao đ i ể m c ủ a AM và CC′. a) Ch ứ ng minh r ằ ng CC′ ⊥ (MBD). b) G ọ i K là hình chi ế u c ủ a H trên AB. Ch ứ ng minh r ằ ng K là tr ự c tâm c ủ a ∆BCD. Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a, đ áy ABCD là hình thang vuông có đườ ng cao AB = a ; AD = 2a và M là trung đ i ể m AD. a) Ch ứ ng minh r ằ ng tam giác SCD vuông t ạ i C. b) K ẻ SN vuông CD t ạ i N. Ch ứ ng minh r ằ ng CD ⊥ (SAN). . đườ ng th ẳ ng phân bi ệ t d 1 ; d 2 cùng vuông góc v ớ i (P) thì d 1 // d 2 . + Hệ quả 3 : N ế u hai m ặ t ph ẳ ng (P 1 ); (P 2 ) cùng vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d thì (P 1 ) //. (P). Vi ế t d ạ ng m ệ nh đề : ( ) ( ) ( ) // a P d a d P a P ⊥ → ⊥ ⊂ 03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1 Th ầy Đặng Việt H ùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy. Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN ⊥ (SAD) c) Cho 3. =SA a Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác