skkn CÁCH KHAI THÁC bài tập từ một ĐỊNH lý TRONG SÁCH GIÁO KHOA

Họ và Tên:  Chức vụ  Đơn vị công tác:  CHUYÊN ĐỀ CÁCH KHAI THÁC BÀI TẬP TỪ MỘT ĐỊNH LÝ TRONG SÁCH GIÁO KHOA Đối tượng bồi dưỡng: !"#$%&'( Số tiết: A.Lý do chọn chuyên đề: Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi thấy rằng học sinh thường mất nhiều điểm khi không giải được các bài tập hình học. Nhiều học sinh cho rằng đó là bài tập mà các em thường không giải được ,do tính chất đặc thù của loại toán mang tính tư duy và trừu tượng cao. Nên học sinh thường bỏ bài tập hình học. Qua nhiều năm dạy đội tuyển tôi rất trăn trở và suy nghĩ mình phải làm thế nào để học sinh yêu thích giải các bài tập hình học hơn. Vì nếu các em có phương pháp giải các bài tập hình một cách thành thạo thì việc tư duy và thuật toán để giải các loại bài tập khác sẽ nhanh nhẹn hơn, giúp các em có thể đạt được kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Vì những lý do trên đây tôi mạnh dạn viết chuyên đề “ Cách khai thác bài tập từ một định lý trong sách giáo khoa”. Nhằm giúp các em có cách nhìn tổng quát và những suy nghĩ để mở rộng các kiến thức đã học trong sách giáo khoa. Từ đó các em tự vận dụng phát triển tư duy với các bài tập tương tự, tổng quát và liên hệ một cách lô gich với các dạng toán đã học. Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm trên tôi thấy rằng học sinh của tôi đã bắt đầu yêu thích các bài tập hình học, các chuyên đề hình học lôi cuốn học sinh học tập say mê hơn. Từ đó tôi thấy rằng trong các kỳ thi học sinh giỏi nếu làm được bài tập hình học là chúng ta sẽ tự tin rằng chất lượng đội tuyển nâng lên rõ rệt và sẽ đạt thành tích cao. Vì các lý do trên đây mà tôi thấy rằng hướng dẫn học sinh biết cách tìm tòi khám phá những điều mới lạ, xuất phát điểm từ những điều giản đơn, từ sách giáo khoa, từ những kiến thức chuẩn kỹ năng. Học sinh sẽ làm được những điều phi thường từ những điều giản đơn đó. Thực tế cho tôi thấy rằng mình đã phần nào có được kết quả mong đợi. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2010-2011, đội tuyển tôi phụ trách đã có rất nhiều em làm được bài hình, nhờ đó mà chất lượng đội tuyển nâng lên rõ rệt. Do vậy tôi đã mạnh dạn trình bày chuyên đề: “Cách khai thác bài tập từ một định lý trong sách giáo khoa”. Để bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, với kỳ vọng các em sẽ yêu thích các bài tập hình khô khan, trừu tượng, nhưng vô cùng hấp dẫn và lý thú. Với mục tiêu phát hiện và bồi dưỡng nhân tài cho huyện,cho tỉnh nhà , cho đất nước của chúng ta. Thực hiện lời dạy của Bác trước lúc người đi xa: “ Vì lợi ích mười năm trồng cây, vì lợi ích trăm năm trồng người” B. Nội dung của chuyên đề: I.Định lý( SGK 88) Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 . O D C B A )*+ Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). F O E J I H K d D C B A 1. Ta có · · ADC CBK= . 2. Ta có · · DAC DBC= . Khi · 0 90DAC = thì DC là đường kính của (O). 3. Nếu · · 0 90DAB DCB= = thì BD là đường kính. 4. Nếu AB//CD thì ABCD là hình thang cân. 5. Gọi F AC BD = ∩ thì FA.FC=FB.FD 6. Nếu AB không song song với CD,gọi K AB CD = ∩ thì KA.KB=KC.KD. 7. Từ D kẻ ; ;DH AC DI BC DJ AB⊥ ⊥ ⊥ . Khi đó ba điểm J,H,I thẳng hàng.( Đường thẳng qua ba điểm J,H,I gọi là đường thẳng Simson) 8. Ta có AB.CD+BC.AD=AC.BD ( Định lý Ptô-Lê-Mê). II. Định lý đảo( SGK 88) Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 0 180 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. )*+: Các dấu hiệu chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp là: 1. Tứ giác ABCD có µ µ 0 180A C+ = hoặc µ µ 0 180B D+ = 2. Tứ giác ABCD là hình thang cân. 3.Tứ giác ABCD có · · DAC DBC= hoặc · · ADC CBK= 4. Tứ giác ABCD tồn tại điểm O sao cho OA=OB=OC=OD. 5.Gọi F AC BD = ∩ của tứ giác ABCD mà FA.FC=FB.FD. 6. Tứ giác ABCD có AB không song song với CD,gọi K AB CD = ∩ mà KA.KB=KC.KD. 7. Từ D của tứ giác ABCD kẻ ; ;DH AC DI BC DJ AB⊥ ⊥ ⊥ mà J,H,I thẳng hàng. III. Các dạng bài tập: 1. Chứng minh các yếu tố hình học. 2. Dựng hình 3. Bất đẳng thức và cực trị hình học. 4. Tìm điểm cố định và hình cố định 5. Tìm tập hợp điểm 6. Vận dụnh định lý Ptô-lê-mê 7. Vận dụng đường thẳng Sim-son 8. Bài tập tổng hợp. IV. Phương pháp giải và các ví dụ minh họa 1.Các phương pháp đặc trưng để giải các bài toán chứng minh các yếu tố hình học: Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Hai đường cao của tam giác ABC là BD và CE. Chứng minh rằng OA vuông góc với DE. , x O D E C B A -Kẻ tiếp tuyến Ax của (O;R). -Ta có · · 0 90BEC BDC= = suy ra tứ giác BEDC nội tiếp · · ( ) 1EBC EDA⇒ = -Mà · · ABC xAC= ( cùng chắn cung AC) (2). -Từ (1) và (2) suy ra OA DE ⊥ . - I O E D F C B A -Vẽ đường kính AF ; Gọi AFI ED= ∩ -Ta có · · 0 90BEC BDC= = suy ra tứ giác BEDC nội tiếp · · ADE EBC⇒ = . - Mà · · AFEBC C= ( cùng chắn cung AC); · 0 90FCA = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · · · · · 0 0 AF 90 90IDA IAD FAC C AID OA ED⇒ + = + = ⇒ = ⇒ ⊥ . D E O M N C B A - Gọi giao điểm của DE với (O;R) là M và N ( E nằm giữa M và D) - Ta có · · 0 90BEC BDC= = suy ra tứ giác BEDC nội tiếp · · AED BCD⇒ = - Hay (sđ » AD +sđ ¼ BM ): 2=(sđ ¼ AM +sđ ¼ BM ): 2 ¼ » AM AN OA MN OA DE⇒ = ⇒ ⊥ ⇔ ⊥ Nhận xét: -Với bài toán trên ta có thể chứng minh được bài toán ngược sau: Bài tập 1.1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho DE vuông góc với OA. Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp. - Khi điểm A di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định . Ta có bài toán về tìm điểm cố định sau: Bài tập 1.2: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) và BC không phải là đường kính của (O;R). Điểm M chuyển động trên (O;R) sao cho tam giác MBC nhọn. BD và CE là hai đường cao của tam giác MBC. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định. - Ta tiếp tục kẻ AF vuông góc với BC nên BD,CE và AF cắt nhau tại H. từ đó chứng minh được EF;BO CO DF⊥ ⊥ . Các tứ giác AEOD,BEOF,ODCF đều có hai đường chéo vuông góc và có liên quan đến ba cạnh của tam giác EDF.Ta có bài tập hay và khó sau : H F D E O C B A Bài tập1.3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BD,CE và AF cắt nhau tại H. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EDF. Tính tỉ số diện tích tam giác DEF và diện tích tam giác ABC theo R và r. Ví dụ 2: /-00(1-0,02 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ). , ,AD BE CF là ba đường cao ( ) , ,D BC E CA F AB∈ ∈ ∈ . Đường thẳng EF cắt BC tại ,G đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( )O tại điểm M . a, Chứng minh rằng bốn điểm , , ,A M E F cùng nằm trên một đường tròn. b, Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng GH AN⊥ Giải: N D K M G F E H O B C A a,3 45678$4 , , ,A M E F 954#4"#8#: Tứ giác AMBC nội tiếp, ta được GM.GA=GB.GC. Tứ giác BFEC nội tiếp, ta được GB GC GF GE× = × .Suy ra GF GE GM GA× = × Do đó, tứ giác AMFE nội tiếp. b. 345 GH AN⊥ -Theo kết quả phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra M nằm trên đường tròn đường kính AH , do đó HM MA⊥ . -Tia MH cắt lại đường tròn ( )O tại K , khi đó do · 90AMK = o nên AK là đường kính của ( )O . -Từ đó suy ra ,KC CA KB BA⊥ ⊥ . Suy ra / / , / /KC BH KB CH , do đó BHCK là hình bình hành. Suy ra KH đi qua N Nhận xét về phương pháp giải: - Ở phần a, Để chứng minh tứ giác AMFE nội tiếp đường tròn , nếu không biết sử dụng nhận xét : “Tứ giác ABCD có AB không song song với CD,gọi K AB CD= ∩ mà KA.KB=KC.KD thì tứ giác ABCD nội tiếp” thì việc chứng minh bài toán sẽ gặp nhiều khó khăn và không có lời giải đúng. - Để chứng minh được phần b, chúng ta vẫn cần phải sử dụng tứ giác nội tiếp AEHF . Suy ra được M nằm trên đường tròn đường kính AH. Từ đó chỉ ra được HM vuông góc với MA. 2. Các bài toán dựng hình ;<=: Cho tam giác nhọn ABC ( AB<AC), điểm D di động trên cạnh BC . Vẽ DE và DF vuông góc với AB và AC. Xác định vị trí của điểm D để : a, EF có độ dài nhỏ nhất. b, EF có độ dài lớn nhất. Giải: O M F E D C B A Tứ giác AFDE có µ µ 0 0 0 90 90 180E F+ = + = . Nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. - Gọi O là tâm của đường tròn này . Vẽ OM vuông góc với EF thì ME=MF. -Đặt · · BAC MOE α α = ⇒ = . Xét tam giác vuông MOE có: ( ) .sin 2. .sin .sin *EM EO FE EO AD α α α = ⇒ = = a, Do α không đổi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất khi và chỉ khi AD nhỏ nhất AD BC D⇔ ⊥ ⇔ là hình chiếu của A trên BC. b, Mặt khác DA AC≤ . Từ (*) suy ra EF lớn nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất khi D trùng với C ( vì AC>AB) Nhận xét: * Về phương pháp giải: Điều quan trọng nhất là trong cách giải trên là chứng minh được tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn và EF là một dây của đường tròn đó. Ta biến đổi điều kiện EF đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là AD đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi của đề bài. * Về kết quả: -Kết quả của bài toán trên vẫn đúng khi góc A là góc vuông hoặc góc tù. - Bài toán trên có thể đưa về dạng toán tìm cực trị hình học. 3.Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học: Ví dụ : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M chuyển động trên đường tròn (O). Gọi D,E theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng AB,AC. Tìm vị trí của điểm M sao cho DE có độ dài lớn nhất. Giải K M O E D C B A Từ các tứ giác nội tiếp ADME và ABCM, ta có · · · · · · ;MDE MAE MBC MED MAD MCB= = = = ( ) DE ME MDE MBC g g BC MC ⇒ ∆ ∆ − ⇒ =: . - Ta lại có ME MC DE BC ≤ ⇒ ≤ . Do đó max DE=BC ME MC MC AC M K ⇔ = ⇔ ⊥ ⇔ ≡ ( K đối xứng với A qua O) Chú ý: DE AM AK≤ ≤ nhưng không thể kết luận max DE=AK vì dấu bằng không thể xảy ra. Thật vậy: DE AM DE AK AM AK =  = ⇔ ⇔  =  DE đi qua trung điểm của AM và AM đi qua O. Điều này không xáy ra vì khi AM đi qua O thì DE=BC, mà BC không đi qua O, tức là DE không đi qua trung điểm của AM. 4.Dạng toán: Tìm điểm cố định và hình cố định Ví dụ1: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O)ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Lấy điểm D nằm giữa B và C. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E và F, cắt đường tròn tại M và N. a, Chứng minh rằng ME=NF b, Khi điểm D di động Trên BC, chứng minh rằng đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A. Giải. B E O F C A N D M a, -Tứ giác OBED có · · 0 180EBO ODF+ = nên tứ giác OBED nội tiếp đường tròn. · · DEO DBO⇒ = - Tương tự · · DCO DFO= , mà · · · · OEF OFCBO OCB E= ⇒ = suy ra tam giác OEF cân. - Vì EF ;OD DE DF DM DN ME NF⊥ ⇒ = = ⇒ = b, -Tứ giác OBED nội tiếp · · BEO BDO⇒ = -Tứ giác ODCF nội tiếp · · · · OFOFC BDO BEO C⇒ = ⇒ = , nên tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn, suy ra đường tròn (AEF) đi qua điểm cố định O. Bài tập 4. 1 : Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Tia Ax tiếp xúc với (O) tại D ( D không trùng với C). Trên tia Ax lấy điểm M. Dựng thẳng qua O vuông góc với BM cắt CD tại E. AE cắt BM tại F. Chứng minh rằng F nằm trên một tia cố định khi M ( M khác A) di động trên tia Ax. HD: y x O F M D G E I C H B A Vẽ vài vị trí của M nhận ra rằng FI là đường trung bình của tam giác MAB. Như vậy F nằm trên tia Iy cố định song song với Ax, I là trung điểm của AB. Từ E vẽ đường thẳng song song với MB cắt AB , AM lần lượt tại H và G . Chỉ cần chứng minh được GE=EH là đạt được điều phải chứng minh. Bài tập 4.2: Cho tam giác ABC, M là điểm di động trên cạnh AC, N là điểm di động trên trên tia đối của tia BA sao cho BN=CM. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua một điểm cố định khác A. HD; O M N D C B A Gọi D là trung điểm của cung BC. Suy ra D cố định và DB=DC. Xét hai tam giác BDN và CDM có: · · ( ) ; ;BN CM DBN DCM DB DC BDN CDM c g c= = = ⇒ ∆ = ∆ − − · · BND CMD⇒ = ⇒ Tứ giác AMDN nội tiếp. Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua điểm cố định D. Bài tập 4.3: Cho đường tròn (O) đường kính BC , trên đường tròn (O) có điểm A di động . Gọi D là chân đường cao AD của tam giác ABC và M,N lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABD,ACD. Chứng minh rằng đường vuông góc với MN kẻ từ A luôn đi qua một điểm cố định. [...]... đây là một số dạng bài tập được khai thác từ một định lý có nhiều ứng dụng trong sách giáo khoa Trong tất cả các kỳ thi học sinh giỏi hầu hết đều có sử dụng đến định lí trên Nếu biết khai thác triệt để các ứng dụng của định lý trên , giúp cho học sinh giải quyết các bài tập về tứ giác nội tiếp dễ dàng hơn Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi chúng ta có thể hướng đẫn các em cách khai thác bài tập cũng... Từ đó suy ra MNB = 900 Chú ý: - Để giải bài toán trên ta liên tiếp sử dụng các tứ giác nội tiếp và vận dụng đường thẳng Sim-son để giải bài tập trên - Tuy nhiên ta cũng không cần dùng đến đường thẳng Sim-son Từ các tam giác đồng dạng ABD và HBI, có BM và BN là các đường trung tuyến tương ứng nên BM BA · · · = ; ABM = HBN ⇒ · ABH = MBN ⇒ ∆ABH : ∆MBN BN BH · Do đó MNB = 900 8 Bài tập tổng hợp: Bài tập. .. nằm trong hình vuông Nhận xét về phương pháp giải: Trong phần thuận nhờ chứng minh các tứ giác MHKD,NHKC nội tiếp đường tròn · mà ta tính được DHC = 900 , từ đó xác định được điểm H nằm trên đường tròn đường kính BC Trong phần đảo , cũng nhờ chứng minh các tứ giác nội tiếp HOCD,HKDM mà ta · tính được KHM = 900 , từ đó chứng minh H là hình chiếu của K trên MN 6.Dạng toán: Vận dụnh định lý Ptô-lê-mê * Định. .. điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định Bài tập 3: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD Điểm M di động trên đoạn AD Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC Vẽ NH vuông góc với PD tại H Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất Bài tập 4(HSG Thành Phố Hà Nội năm 2010-2011) Cho... KO OQ = ⇒ OC.OQ = KO.OH (2) ⇒ CO OH R2 2 Từ (1) và (2) ⇒ KO.OH = R ⇒ OK = OH Vì OH cố định và R không đổi ⇒ OK không đổi ⇒ K cố định Bài tập 3: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD Điểm M di động trên đoạn AD Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC Vẽ NH vuông góc với PD tại H Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có... = QAP + QBP = 1800 − · AQB , suy ra NAQB nội tiếp (1) Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B cùng nằm trên một đường tròn Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên một đường tròn · · · · Ta có OCN = 2OAN = 2OBN = ODN , suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn Bài tập 6( HSG Tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011) Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM Các... bốn điểm P,C,B,Q cùng thuộc một đường tròn N A P Q E D O B C I M Bài tập 9:(Vô địch Anh 2005) Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A, lấy điểm M khác A Từ M kẻ cát tuyến MCD ( C nằm giữa M và D) Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F Chứng minh rằng OE=OF Bài tập 10: Cho góc nhọn xBy Từ điểm A trên tia Bx kẻ AH vuông góc với By tại H và kẻ AD vuông... xúc với BC Bài tập 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) a, Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn (O) tại M Chứng minh rằng MC 2 = MI MA b,Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt AN tại P và Q Chứng minh rằng bốn điểm P,C,B,Q cùng thuộc một đường tròn Bài tập 9: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A, lấy điểm M khác A Từ M kẻ cát... phân biệt A và B Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng: a) MI.BE = BI.AE b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định Giải C M A... hai là E, cắt đường thẳng d tại F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng Bài tập 2: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011) Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' . quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Vì những lý do trên đây tôi mạnh dạn viết chuyên đề “ Cách khai thác bài tập từ một định lý trong sách giáo khoa . Nhằm giúp các em có cách nhìn.  CHUYÊN ĐỀ CÁCH KHAI THÁC BÀI TẬP TỪ MỘT ĐỊNH LÝ TRONG SÁCH GIÁO KHOA Đối tượng bồi dưỡng: !"#$%&'( Số tiết: A .Lý do chọn chuyên đề: Trong các kỳ thi học. trình bày chuyên đề: Cách khai thác bài tập từ một định lý trong sách giáo khoa . Để bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, với kỳ vọng các em sẽ yêu thích các bài tập hình khô khan, trừu