Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm trên tôi thấy rằng học sinh của tôi đã bắt đầu yêu thích các bài tập hình học, các chuyên đề hình học lôi cuốn học s
Trang 1Họ và Tên: Tạ Minh Hiếu
Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi thấy rằng học sinh thường mất nhiều
điểm khi không giải được các bài tập hình học Nhiều học sinh cho rằng đó là bài tập
mà các em thường không giải được ,do tính chất đặc thù của loại toán mang tính tư duy và trừu tượng cao Nên học sinh thường bỏ bài tập hình học Qua nhiều năm dạy đội tuyển tôi rất trăn trở và suy nghĩ mình phải làm thế nào để học sinh yêu thích giải các bài tập hình học hơn Vì nếu các em có phương pháp giải các bài tập hình một cách thành thạo thì việc tư duy và thuật toán để giải các loại bài tập khác sẽ nhanh nhẹn hơn, giúp các em có thể đạt được kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp
Vì những lý do trên đây tôi mạnh dạn viết chuyên đề “ Cách khai thác bài tập từ một định lý trong sách giáo khoa” Nhằm giúp các em có cách nhìn tổng quát và những suy nghĩ để mở rộng các kiến thức đã học trong sách giáo khoa Từ đó các em
tự vận dụng phát triển tư duy với các bài tập tương tự, tổng quát và liên hệ một cách
lô gich với các dạng toán đã học
Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm trên tôi thấy rằng học sinh của tôi đã bắt đầu yêu thích các bài tập hình học, các chuyên đề hình học lôi cuốn học sinh học tập say mê hơn Từ đó tôi thấy rằng trong các kỳ thi học sinh giỏi nếu làm được bài tập hình học là chúng ta sẽ tự tin rằng chất lượng đội tuyển nâng lên rõ rệt và sẽ đạt thành tích cao
Vì các lý do trên đây mà tôi thấy rằng hướng dẫn học sinh biết cách tìm tòi khám phá những điều mới lạ, xuất phát điểm từ những điều giản đơn, từ sách giáo khoa, từ những kiến thức chuẩn kỹ năng Học sinh sẽ làm được những điều phi thường từ những điều giản đơn đó Thực tế cho tôi thấy rằng mình đã phần nào có được kết quả mong đợi Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2010-2011, đội tuyển tôi phụ trách đã có rất nhiều em làm được bài hình, nhờ đó mà chất lượng đội tuyển nâng lên
rõ rệt Do vậy tôi đã mạnh dạn trình bày chuyên đề: “Cách khai thác bài tập từ một định lý trong sách giáo khoa” Để bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, với
kỳ vọng các em sẽ yêu thích các bài tập hình khô khan, trừu tượng, nhưng vô cùng hấp dẫn và lý thú Với mục tiêu phát hiện và bồi dưỡng nhân tài cho huyện,cho tỉnh
Trang 2nhà , cho đất nước của chúng ta Thực hiện lời dạy của Bác trước lúc người đi xa: “
Vì lợi ích mười năm trồng cây, vì lợi ích trăm năm trồng người”
B Nội dung của chuyên đề:
A
Các hệ quả: Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
F O
E J
1 Ta có ·ADC CBK=·
2 Ta có ·DAC DBC=· Khi DAC· = 90 0 thì DC là đường kính của (O)
3 Nếu DAB DCB· =· = 90 0 thì BD là đường kính
4 Nếu AB//CD thì ABCD là hình thang cân
5 Gọi F =AC∩BD thì FA.FC=FB.FD
6 Nếu AB không song song với CD,gọi K =AB CD∩ thì KA.KB=KC.KD
7 Từ D kẻ DH ⊥ AC DI; ⊥BC DJ; ⊥AB Khi đó ba điểm J,H,I thẳng hàng.( Đường
thẳng qua ba điểm J,H,I gọi là đường thẳng Simson)
8 Ta có AB.CD+BC.AD=AC.BD ( Định lý Ptô-Lê-Mê)
Trang 3
2 Tứ giác ABCD là hình thang cân.
3.Tứ giác ABCD có DAC DBC· = · hoặc ·ADC CBK=·
4 Tứ giác ABCD tồn tại điểm O sao cho OA=OB=OC=OD
5.GọiF = AC∩BDcủa tứ giác ABCD mà FA.FC=FB.FD
6 Tứ giác ABCD có AB không song song với CD,gọi K =AB CD∩ mà
IV Phương pháp giải và các ví dụ minh họa
1.Các phương pháp đặc trưng để giải các bài toán chứng minh các yếu tố hình học:
A
-Kẻ tiếp tuyến Ax của (O;R)
-Ta có BEC BDC· = · = 90 0 suy ra tứ giác BEDC nội tiếp ⇒·EBC EDA=· ( )1
-Mà ·ABC=·xAC ( cùng chắn cung AC) (2)
Trang 4-Từ (1) và (2) suy ra OA⊥DE.
Cách 2:
I O
E
D
F
C B
A
-Vẽ đường kính AF ; Gọi I = AF ∩ED
-Ta có BEC BDC· = · = 90 0 suy ra tứ giác BEDC nội tiếp⇒·ADE EBC=·
- Mà EBC· = ·AFC ( cùng chắn cung AC); ·FCA= 90 0( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
N C B
A
- Gọi giao điểm của DE với (O;R) là M và N ( E nằm giữa M và D)
- Ta có BEC BDC· = · = 90 0 suy ra tứ giác BEDC nội tiếp⇒ ·AED BCD= ·
- Khi điểm A di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng vuông góc với DE
luôn đi qua một điểm cố định Ta có bài toán về tìm điểm cố định sau:
Trang 5- Ta tiếp tục kẻ AF vuông góc với BC nên BD,CE và AF cắt nhau tại H từ đó
chứng minh được BO⊥ EF;CO⊥DF Các tứ giác AEOD,BEOF,ODCF đều có
hai đường chéo vuông góc và có liên quan đến ba cạnh của tam giác EDF.Ta
có bài tập hay và khó sau :
H
F D
E
O
C B
A
Bài tập1.3:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BD,CE và
AF cắt nhau tại H Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EDF Tính tỉ số diệntích tam giác DEF và diện tích tam giác ABC theo R và r
Ví dụ 2: ( HSG Vĩnh Phúc 2009-2010)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) AD BE CF, , là ba đường cao
(D BC E CA F∈ , ∈ , ∈AB) Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt lạiđường tròn ( )O tại điểm M
a, Chứng minh rằng bốn điểm A M E F, , , cùng nằm trên một đường tròn
b, Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC
Chứng minh rằng GH ⊥AN
Giải:
Trang 6
N D
a,Chứng minh rằng bốn điểm A M E F, , , cùng nằm trên một đường tròn.
Tứ giác AMBC nội tiếp, ta được GM.GA=GB.GC
Tứ giác BFEC nội tiếp, ta được GB GC GF GE× = × Suy ra GF GE GM GA× = ×
Do đó, tứ giác AMFE nội tiếp
b Chứng minh rằng GH ⊥AN
-Theo kết quả phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra M nằm trên đường tròn đườngkính AH, do đó HM ⊥MA
-Tia MHcắt lại đường tròn ( )O tại K, khi đó do ·AMK =90o nên AK là đường kínhcủa ( )O
-Từ đó suy ra KC⊥CA KB, ⊥BA Suy ra KC/ /BH KB CH, / / , do đó BHCK là hìnhbình hành Suy ra KH đi qua N
2 Các bài toán dựng hình
Ví dụ : Cho tam giác nhọn ABC ( AB<AC), điểm D di động trên cạnh BC Vẽ DE và
DF vuông góc với AB và AC Xác định vị trí của điểm D để :
a, EF có độ dài nhỏ nhất
b, EF có độ dài lớn nhất
Giải:
Trang 7- Gọi O là tâm của đường tròn này Vẽ OM vuông góc với EF thì ME=MF.
-Đặt ·BAC= ⇒ α MOE· = α Xét tam giác vuông MOE có:
⇔ ⊥ ⇔ là hình chiếu của A trên BC
b, Mặt khác AD ≤AC Từ (*) suy ra EF lớn nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất khi Dtrùng với C ( vì AC>AB)
Nhận xét:
* Về phương pháp giải:
Điều quan trọng nhất là trong cách giải trên là chứng minh được tứ giác AFDE nộitiếp đường tròn và EF là một dây của đường tròn đó Ta biến đổi điều kiện EF đạt cựctrị bởi điều kiện tương đương là AD đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi của đềbài
* Về kết quả:
-Kết quả của bài toán trên vẫn đúng khi góc A là góc vuông hoặc góc tù
- Bài toán trên có thể đưa về dạng toán tìm cực trị hình học
3.Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học:
Ví dụ : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm M chuyển động trên
đường tròn (O) Gọi D,E theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳngAB,AC Tìm vị trí của điểm M sao cho DE có độ dài lớn nhất
Giải
Trang 8
K M
O E
D
C B
⇔ = ⇔ ⊥ ⇔ ≡ ( K đối xứng với A qua O)
Chú ý: DE≤AM ≤AK nhưng không thể kết luận max DE=AK vì dấu bằng không thểxảy ra Thật vậy:
DE đi qua trung điểm của AM và AM đi qua O.
Điều này không xáy ra vì khi AM đi qua O thì DE=BC, mà BC không đi qua O, tức
là DE không đi qua trung điểm của AM
Trang 9
B E
O
F C
A
N D M
a,
-Tứ giác OBED có EBO ODF· +· = 180 0
nên tứ giác OBED nội tiếp đường tròn.⇒DEO DBO· =·
- Tương tự DCO DFO· = · , mà CBO OCB· =· ⇒ OEF OF· =· E suy ra tam giác OEF cân
- Vì OD⊥ EF ⇒DE DF DM= ; =DN⇒ME NF=
b,
-Tứ giác OBED nội tiếp ⇒ ·BEO BDO= ·
-Tứ giác ODCF nội tiếp ⇒OFC BDO· = · ⇒BEO· = ·OFC, nên tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn, suy ra đường tròn (AEF) đi qua điểm cố định O
Bài tập 4 1 : Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A
và B Tia Ax tiếp xúc với (O) tại D ( D không trùng với C) Trên tia Ax lấy điểm M Dựng thẳng qua O vuông góc với BM cắt CD tại E AE cắt BM tại F
Chứng minh rằng F nằm trên một tia cố định khi M ( M khác A) di động trên tia Ax.HD:
E
I
B A
Trang 10
Vẽ vài vị trí của M nhận ra rằng FI là đường trung bình của tam giác MAB.
Như vậy F nằm trên tia Iy cố định song song với Ax, I là trung điểm của AB
Từ E vẽ đường thẳng song song với MB cắt AB , AM lần lượt tại H và G
Chỉ cần chứng minh được GE=EH là đạt được điều phải chứng minh
Bài tập 4.2: Cho tam giác ABC, M là điểm di động trên cạnh AC, N là điểm di động
trên trên tia đối của tia BA sao cho BN=CM
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua một điểm cố định khác A
A
Gọi D là trung điểm của cung BC Suy ra D cố định và DB=DC
Xét hai tam giác BDN và CDM có:
⇒ = ⇒Tứ giác AMDN nội tiếp
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua điểm cố định D
Bài tập 4.3: Cho đường tròn (O) đường kính BC , trên đường tròn (O) có điểm A di
động Gọi D là chân đường cao AD của tam giác ABC và M,N lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABD,ACD
Chứng minh rằng đường vuông góc với MN kẻ từ A luôn đi qua một điểm cố định
Trang 11
Q
P
H M
N O
I
D
C B
A
HD: Gọi P và Q là giao điểm của MN với AB,AC
Ta có ∆DNA: ∆DMB g g( − )⇒ ∆DMN : ∆DBA
Tứ giác MDBP nội tiếp ⇒·APQ MDB=· = 45 0 Nên tam giác APQ vuông cân đỉnh A,
AH là đường cao nên cũng là đường phân giác
Suy ra BIº =ICº ⇒ I cố định
5.Dạng toán: Tìm tập hợp điểm
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD , tâm O Một đường thẳng xy quanh O cắt hai cạnh AD
và BC lần lượt tại M và N Trên CD lấy điểm K sao cho DK=DM Gọi H là hình chiếu của K trên xy Tìm quĩ tích của điểm H
Giải
N O
H M
B A
Trang 12
Vậy điểm H nằm trên đường tròn đường kính CD.
Giới hạn: Điểm H chỉ nằm trên một nửa đường tròn đường kính CD nằm trong hình vuông
* Phần đảo:
Lấy điểm H bất kỳ trên nửa đường tròn đường kính CD Vẽ đường thẳng HO cắt cạnh AB,BC lần lượt tại M và N Lấy K trên CD sao cho DK=DM, ta phải chứng minh H là hình chiếu của K trên MN
Thực vậy, Vì HDC· = 90 ; 0 DOC· = 90 0 nên tứ giác HOCD nội tiếp
Trong phần thuận nhờ chứng minh các tứ giác MHKD,NHKC nội tiếp đường tròn
mà ta tính được ·DHC= 90 0, từ đó xác định được điểm H nằm trên đường tròn đường kính BC
Trong phần đảo , cũng nhờ chứng minh các tứ giác nội tiếp HOCD,HKDM mà ta tính được KHM· = 90 0, từ đó chứng minh H là hình chiếu của K trên MN
C
B
D A
Trang 13Trên đoạn BD lấy điểm K sao cho
Chứng minh rằng BAM· =CAN·
7.Dạng toán: Vận dụng đường thẳng Sim-son
Ví dụ : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Gọi H,I theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC,CD Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AD,HI Chứng minh rằng
a, Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI
B
C I
D
M
A
K
a, ·ADB ACB= · ( do ABCD nội tiếp)
·ADB HIB= · (do BHIC nội tiếp) Tương tự ·ABD HBI=· ⇒ ∆ABD: ∆HBI g g( − )
b, Kẻ BK vuông góc với AD
Trang 14Ta thấy I,H,K thuộc đường thẳng ( Đường thẳng Sim-son)
( ) · ·
∆ : ∆ − ⇒ = ⇒BKMN là tứ giác nội tiếp
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O)
MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B) Các đườngthẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D
a) Chứng minh AM.AC AN.AD= .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích AC.AD
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng
cố định
d) Gọi I là giao điểm của CO và BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểmthứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
Bài tập 2: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Từmột điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròntâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O') Hai đường thẳng
AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A).Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng:
a) MI.BE BI.AE=
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định
Bài tập 3: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD Điểm M di động trên đoạn
AD Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC Vẽ NH vuông gócvới PD tại H Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
Bài tập 4(HSG Thành Phố Hà Nội năm 2010-2011)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.a) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa
Trang 15đường tròn (K) đường kính AC Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường trong (I), (K)lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C).
Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tíchtam giác AMB
b) Cho AB<AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD=AB Gọi điểm E là hìnhchiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trênđường thẳng DE
Bài tập 5: ( HSG Tỉnh Thanh Hóa Năm học 2010-2011)
Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O AB∉ ) P là điểm di động trên
đoạn thẳng AB (P≠ A B, và P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C đi quađiểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Đường tròn tâm D đi qua điểm Ptiếp xúc với đường tròn (O) tại B Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (
Bài tập 6 ( HSG Tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011)
Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM Các đường cao AH, BD, CF cắt nhautại I Gọi E là trung điểm của DH Đường thẳng qua C và song song với AH cắt
BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q
a) Chứng minh PI.AB = AC.CI
b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH Chứng minh MD là tiếp tuyếncủa đường tròn (O)
c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đườngtròn (O) tại K (K khác C) Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR
Bài tâp 7: ( HSG Vĩnh Phúc năm học 2011-2012).
Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắtđường thẳng BH ở D, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng CH tại E.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BE,CD
1, Chứng minh rằng M,H,N thẳng hàng
2, Đường thẳng NM cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại P Chứng minh rằngđường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)
a, Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn (O) tại M
Chứng minh rằng 2
.
MC =MI MA.b,Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt AN tại P và Q
Chứng minh rằng bốn điểm P,C,B,Q cùng thuộc một đường tròn
Bài tập 9:
Trang 16Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A, lấy
điểm M khác A Từ M kẻ cát tuyến MCD ( C nằm giữa M và D) Đường thẳng
BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F
Chứng minh rằng OE=OF
Bài tập 10:
Cho góc nhọn xBy Từ điểm A trên tia Bx kẻ AH vuông góc với By tại H và kẻ AD
vuông góc với đường phân giác của góc xBy tại D
a, Gọi O là trung điểm của AB, chứng minh OD vuông góc với AH
b, Tiếp tuyến tại A với đường tròn đường kính AB cắt By tại C; BD cắt AC tại E
Chứng minh rằng tứ giác HDEC nội tiếp
HƯỚNG DẪN
Bài tập 1: ( HSG Tỉnh Phú Thọ năm học 2010-2011)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O)
MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B) Các đườngthẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D
a) Chứng minh AM.AC AN.AD = .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích AC.AD
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng