Rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thứa, hàm số mũ và hàm số logarit ở lớp 12 trường THPT

Nhận dạng và thể hiện các kiến thức về biểu thức lũy thừa và phép biến đổi đồng nhất trong các bài toán liên quan khi dạy học nội dung chương 2 .... Qua thực tiễn dạy học ở trường THPT ở

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH THỊ THÁI HÀ

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG BIỂU THỨC

VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRONG DẠY HỌC CHƯƠNG HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Ở LỚP 12 TRƯỜNG THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH THỊ THÁI HÀ

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG BIỂU THỨC

VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRONG DẠY HỌC CHƯƠNG HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Ở LỚP 12 TRƯỜNG THPT

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp giảng dạy môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

THÁI NGUYÊN - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2013

Tác giả luận văn

Đinh Thị Thái Hà

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, HS khối 12 trường THPT Mường Bi - Tân Lạc - Hòa Bình đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập

Dù đã rất cố gắng, song Luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn

Tác giả

Đinh Thị Thái Hà

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv

DANH MỤC CÁC BẢNG v

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ v

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Cấu trúc luận văn 3

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Một số vấn đề về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong dạy học Toán 4

1.1.1 Biểu thức Toán học và biểu thức đại số 4

1.1.2 Phép biến đổi đồng nhất 6

1.1.2.1 Phép biến đổi đồng nhất 6

1.1.2.2 Phép biến đổi đồng nhất thường gặp 7

1.2 Kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán 7

1.2.1 Kỹ năng 8

1.2.2 Kỹ năng giải toán 8

1.2.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT 8

1.2.4 Con đường hình thành, rèn luyện kỹ năng cho HS THPT 9

1.2.5 Một số kỹ năng thường sử dụng khi rèn luyện cho HS trong dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12 10

1.3 Tình hình dạy học chương 2 Giải tích 12 ở trường THPT hiện nay 11

1.3.1 Nội dung dạy học chương 2 Giải tích lớp 12 11

1.3.2 Những khó khăn thuận lợi của GV và HS khi dạy và học

chương 2 111.3.3 Mạch kiến thức sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong

chương trình môn Toán THPT 121.3.3.1 Mạch kiến thức trong đại số giải tích 121.3.3.2 Mạch kiến thức trong hình học 121.3.3.3 Sự có mặt của biểu thức và phép biến đổi đồng nhất

trong dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12 131.3.4 Tình hình rèn luyện kỹ năng làm việc với biểu thức và biến đổi

đồng nhất ở THPT 131.4 Kết luận chương 1 14

Chương 2 TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG ĐỂ RÈN LUYỆN KỸ

NĂNG SỬ DỤNG BIỂU THỨC VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRONG DẠY HỌC CHƯƠNG 2 GIẢI TÍCH LỚP 12

Ở TRƯỜNG THPT 15

2.1 Định hướng 152.2 Tổ chức các hoạt động để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương 2 Giải tích (cơ bản) lớp 12 THPT 152.2.1 Kỹ năng nhận dạng và thể hiện 15

2.2.1.1 Nhận dạng và thể hiện các kiến thức về biểu thức lũy

thừa và phép biến đổi đồng nhất trong các bài toán liên quan khi dạy học nội dung chương 2 162.2.1.2 Nhận dạng và thể hiện biểu thức mũ và phép biến đổi

đồng nhất trong dạy học chương 2 292.2.1.3 Nhận dạng và thể hiện biểu thức lôgarit và phép biến

đổi đồng nhất trong dạy học nội dung chương 2 342.2.2 Kỹ năng rút gọn và biến đổi biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit 412.2.2.1 Một số kỹ năng biến đổi biểu thức đại số sơ cấp

thường gặp 412.2.2.2 Kỹ năng biến đổi, rút gọn biểu thức lũy thừa, mũ

và lôgarit 41

2.2.3 Kỹ năng vận dụng tính chất, phép toán và phép biến đổi của biểu

thức lũy thừa, mũ và lôgarit để giải phương trình mũ và Lôgarit 58

2.2.3.1 Đưa về phương trình mũ và lôgarit về dạng cơ bản 59

2.2.3.2 Đưa về phương trình mũ và lôgarit về cùng cơ số 65

2.2.3.3 Sử dụng tính chất của biểu thức, phép toán và phép biến đổi đồng nhất trong phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit bằng cách đặt ẩn phụ 71

2.2.3.4 Sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số mũ, hàm số lôgarit để giải phương trình mũ và lôgarit 77

2.2.3.5 Sử dụng phép lấy lũy thừa, phép lấy lôgarit 81

2.2.4 Kỹ năng sử dụng phép biến đổi đồng nhất và các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức của biểu thức mũ và lôgarit để giải BPT mũ và lôgarit 85

2.2.4.1 Phương pháp đưa về cùng một cơ số 85

2.2.4.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 92

2.3.Kết luận chương 2 98

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 99

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 99

3.1.1 Mục đích 99

3.1.2 Nhiệm vụ 99

3.1.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 99

3.2 Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm 100

3.3 Giáo án thực nghiệm 100

3.4 Kết quả thực nghiệm và đánh giá 101

3.4.1 Kết quả định tính 101

3.4.2 Kết quả định lượng 102

3.5 Kết luận chương 3 105

KẾT LUẬN 106

TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

PHỤ LỤC 1

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1: Bảng phân bố tần số và tần suất về điểm số của bài kiểm tra

15 phút 102 Bảng 3.2: Bảng phân bố tần số và tần suất về điểm số của bài kiểm tra

45 phút 103

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ so sánh chất lượng học tập của lớp thực nghiệm và

lớp đối chứng qua bài kiểm tra 15 phút 104 Biểu đồ 3.2 Biểu đồ so sánh chất lượng học tập của lớp thực nghiệm và

lớp đối chứng qua bài kiểm tra 45 phút 104

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là môn học học có vị trí quan trọng trong trường THPT, nó là công cụ để học các môn học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên kỹ thuật và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn hàng ngày

Việc dạy và học môn Toán ở trường phổ thông không chỉ nhằm truyền thụ tri thức mà điều quan trọng là phải rèn luyện những kỹ năng Toán học cần thiết cho HS Trong đó có kỹ năng sử dụng biểu thức và phép biến đổi đồng nhất mà HS thường xuyên cần đến trong quá trình học Toán

Trong nội dung chương trình lớp 12 THPT, nội dung về lũy thừa, mũ và lôgarit có vai trò quan trọng và chiếm một một lượng không nhỏ kiến thức và thời gian học của chương trình, nó thường xuyên có mặt trong đề thi tốt nghiệp

và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Để học nội dung này, đặc biệt là để biến đổi rút gọn, giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit, HS cần phải làm việc với những biểu thức và các phép biến đổi đồng nhất

Qua thực tiễn dạy học ở trường THPT ở vùng khó khăn Hòa Bình, chúng tôi thấy HS còn rất lúng túng khó khăn khi giải các bài toán về việc sử dụng biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong nội dung chương 2 Giải tích lớp 12 (Ban

có bản), chưa vận dụng được kiến thức về biểu thức và kỹ năng sử dụng phép biến đổi đồng nhất trong học tập nội dung chương 2 nên đã dẫn đến giải sai các bài toán như: thực hiện các phép toán lũy thừa, phép toán Lôgarit; rút gọn và biến đổi biểu thức; giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit v.v… Vì

vậy, chúng tôi lựa chọn nghiên cứu vấn đề “Rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu

thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ

và hàm số lôgarit ở lớp 12 trường THPT” để làm đề tài nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Xác định những kỹ năng cơ bản khi sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12 (ban cơ bản) và tổ chức các

hoạt động rèn kỹ năng này cho HS lớp 12 (ban cơ bản) ở trường THPT

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu những vấn đề lý luận về rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán

+ Hệ thống hóa một vấn đề về biểu thức và biến đổi đồng nhất trong môn Toán; từ đó xác định một số thành phần của kỹ năng sử dụng biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm

số lôgarit

+ Tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

ở trường THPT Mường Bi - Tân Lạc - Hòa Bình

+ Xác định và tổ chức các hoạt động rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương 2 Giải tích 12 cho HS THPT

+ Thiết kế một số bài giảng minh họa

+ Thử nghiệm sư phạm

3 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được những kỹ năng thành phần khi sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm

số lôgarit và tổ chức những hoạt động tương ứng cho HS như đề xuất trong luận văn thì có thể rèn luyện kỹ năng này cho HS

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Nghiên cứu các tài liệu về PPDH Toán, đọc một số tạp chí, báo cáo khoa học, luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ về những vấn đề có liên quan đến đề tài

+ Nghiên cứu nội dung, chương trình SGK môn Toán, mà trọng tâm là mạch về biểu thức và các phép biến đổi đồng nhất thể hiện trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

4.2 Phương pháp điều tra quan sát

Điều tra việc giảng dạy của GV và việc học tập của HS trong quá trình dạy và học chương 2 Giải tích lớp 12 (Ban cơ bản)

Trong đó đặc biệt quan tâm đến góc độ rèn luyện sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất thông qua phỏng vấn, trao đổi dự giờ đồng nghiệp và phiếu hỏi

4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực hành giảng dạy một số tiết thuộc phạm vi của đề tài để kiểm nghiệm tính hiệu quả và tính khả thi của giải pháp đã đề xuất

4.4 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng trong việc tổng hợp, xử lý và đánh giá các số liệu thu được trong điều tra và thực nghiệm sư phạm

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Tổ chức các hoạt động để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương hàm số lũy thừa, hàm số mũ

và hàm số Lôgarit ở lớp 12 THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong dạy học Toán

1.1.1 Biểu thức Toán học và biểu thức đại số

1.1.1.1 Biểu thức Toán học

Một biểu thức Toán học (hay biểu thức) là một cách kí hiệu chỉ rõ các phép toán và thứ tự thực hiện các phép toán đó trên các số và các chữ thay số thuộc một trường số K, trong đó K là trường số thực R, trường số phức C hoặc trường số hữu tỉ Q [32, tr.11]

1.1.1.2 Biểu thức chữ và biểu thức số

* Biểu thức chữ: là một hay nhiều số hoặc chữ, nối với nhau bằng dấu

của các phép toán (+, - x,:, , log, sin, v.v…) và những dấu ngoặc với những

dạng khác nhau, xác định dãy các phép toán đó [22, tr.260]

* Biểu thức số: là một biểu thức chỉ gồm những chữ số, nối với nhau bởi

dấu của các phép toán (Lưu ý các phép toán số học ở đây đều thực hiện được trong một giai đoạn nhất định)

1.1.1.3 Biểu thức đại số

* Biểu thức đại số: là một biểu thức Toán học trong đó các số và các chữ

được nối với nhau bởi phép toán cộng trừ, nhân, chia và phép lũy thừa với số

a b

1

x x

* Biểu thức hữu tỉ: là biểu thức chữ gồm một số hữu hạn số và chữ nối

với nhau bằng các dấu cộng trừ nhân chia Các biểu thức hữu tỉ gồm biểu thức nguyên và biểu thức phân [22, tr.263]

a) Biểu thức nguyên: là một biểu thức đại số, gồm một số đa thức nối với nhau bởi những dấu cộng, trừ và nhân [22, tr.264]

b) Biểu thức phân: là biểu thức đại số chứa biến ở mẫu Ngoài các phép toán cộng, trừ và nhân như biểu thức nguyên còn có cả phép chia của một đa thức

* Biểu thức đại số vô tỉ: là biểu thức đại số có chứa một chữ hoặc một

biến dưới dấu căn (Nói cách khác, nếu trong biểu thức có lũy thừa phân của

một chữ) [22, tr.262]

Ví dụ 2: a) 1 x b) 1

* Giá trị của một biểu thức đại số: Khi ta thay các biến số bằng những số

đã cho vào biểu thức ta được biểu thức số Sau đó thực hiện các phép toán trong biểu thức số, ta được kết quả và đó là giá trị của biểu thức đại số

* Giá trị thích hợp của một biểu thức đại số là giá trị của biến số làm cho biểu thức đại số có nghĩa Tập hợp các giá trị thích hợp trên gọi là TXĐ của một biểu thức

Trong chương trình đại số và giải tích THPT chúng ta còn thường xuyên gặp và phải làm việc gần như là thường xuyên với các biểu thức nguyên, biểu thức phân, biểu thức đại số vô tỉ Và chúng ta phải làm việc với các biểu thức siêu việt ở chương mà chúng ta nghiên cứu

1.1.1.4 Biểu thức siêu việt

Một biểu thức Toán học có các phép Toán siêu việt thực hiện trên các đối số được gọi là biểu thức siêu việt [19, tr 89]

Trong đó, các phép toán: phép nâng lên lũy thừa với số mũ vô tỉ, phép lấy lôgarit, phép lấy các hàm số lượng giác v.v… được gọi là các phép toán siêu việt

Ví dụ 3 Các biểu thức sau là biểu thức lôgarit:

a) loga x b)loga a x c ) loga 1

Nói cách khác, một dẳng thức giữa hai biểu thức đại số mà đẳng thức này luôn luôn đúng nếu thay những chữ trong đó bằng những giá trị tùy ý, thì đẳng thức đó gọi là đồng nhất thức

1.1.2 Phép biến đổi đồng nhất

1.1.2.1 Phép biến đổi đồng nhất

Là sự thay thế của một biểu thức chữ bằng một biểu thức đồng nhất bằng nó, tức là bằng nó với mọi giá trị số của tất cả các chữ có mặt trong biểu thức [22, tr.291]

Phép biến đổi này có thể thực hiện bằng nhiều cách khác nhau, tùy thuộc vào mục đích biến đổi nên cần chú ý vào mục đích đó, chẳng hạn làm cho biểu thức gọn hơn tiện cho việc thay các chữ bởi các giá trị bằng số của nó Hoặc tiện cho những phép biến đổi về sau: đưa biểu thức về dạng tiện cho việc giải phương trình, cho việc lôgarit hóa, lấy vi phân, tích phân v.v…

Ví dụ 5 Tính giá trị biểu thức: A = 1 1

1 2

3

a

Với bài toán này ta có thể thay trực tiếp a 312 vào biểu thức A để tính,

nhưng trong quá trình tính vẫn cần phải quy đồng mẫu số với các biểu thức liên quan đến căn số Bởi vậy chúng ta thường rút gọn biểu thức A rồi mới thay 1

1.1.2.2 Phép biến đổi đồng nhất thường gặp

Phép biến đổi đồng nhất gồm các phép rút gọn các hạng tử đồng dạng, phép mở ngoặc, phép phân tích thành nhân tử, phép quy đồng mẫu thức của phân thức đại số, phép phân tích chúng thành những phân thức sơ cấp, phép quy một tổng thành tích trong lượng giác v.v…

Việc nắm chắc lý thuyết về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất tương ứng sẽ giúp HS hạn chế được các sai lầm Để làm được như vậy người GV cần tăng cường rèn luyện kỹ năng vận dụng biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong quá trình dạy học một số nội dung dạy học trong trường phổ thông, trong đó có nội dung về hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit của lớp 12 THPT

1.2 Kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán

Mục này được viết dựa theo những tài liệu tham khảo sau: [8], [15], [24]

1.2.2 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho HS Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp HS hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho HS các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho HS

1.2.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT

* Giúp HS hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình phổ thông Trong môn toán có thể kể tới các kiến thức sau:

- Định nghĩa và chứng minh Toán học

* Giúp HS phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:

- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán

- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian

- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

* Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán, gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình,

HS kỹ năng bằng những con đường khác nhau như:

Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho HS vốn tri thức

cần thiết thì yêu cầu HS vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức độ tăng dần

Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định

hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó

Con đường thứ ba: Dạy HS các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc

vận dụng tri thức

Để rèn luyện kỹ năng toán cho HS, GV cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho HS cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:

+ Cần hướng cho HS biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu

tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho HS biết cách phân tích đặc điểm bài toán:

+ Hướng cho HS hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập các đối tượng cùng loại

+ Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng

Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho HS, khắc phục ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:

+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức

+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán

+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán HS không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và các bước làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương pháp sẵn Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo

1.2.5 Một số kỹ năng thường sử dụng khi rèn luyện cho HS trong dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12

Một số kỹ năng thường làm việc với biểu thức và phép biến đổi dồng nhất thường sử dụng trong quá trình dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12:

- Nhận dạng và thể hiện:

+ Nhận dạng và thể hiện các khái niệm ẩn tàng: Khái niệm biểu thức mũ, biểu thức lũy thừa và biểu thức lôgarit

+ Nhận dạng và thể hiện các định lí về các phép toán, quy tắc tính được

sử dụng trong các bài toán liên quan đến các dạng biểu thức trên

+ Nhận dạng và thể hiện quy tắc, phương pháp (biến đổi rút gọn biểu thức, giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit v.v…)

- Kỹ năng rút gọn và biến đổi biểu thức: Dùng các tính chất, định lí, phép

toán để biến đổi rút gọn các biểu thức trên TXĐ của các biểu thức đó

- Kỹ năng giải bài tập Toán: tìm hiểu bài Toán; tìm tòi đường lối giải Toán;

trình bày lời giải; kiểm tra đánh giá quá trình giải, mở rộng, khái quát hóa v.v…

- Kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm: phân tích tìm lỗi sai, sửa sai

- Kỹ năng vận dụng tính chất, phép toán, phép biến đổi để giải phương

trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1.3 Tình hình dạy học chương 2 Giải tích 12 ở trường THPT hiện nay

1.3.1 Nội dung dạy học chương 2 Giải tích lớp 12

Quy định của Bộ Giáo Dục về nội dung và số tiết (theo PPCT - do trường sở tại xây dựng)

Tổng số tiết: 19 Lý thuyết: 11 Bài tập: 6

1.3.2 Những khó khăn thuận lợi của GV và HS khi dạy và học chương 2

* Thuận lợi:

- Nội dung về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất không chỉ được trình bày trong một nội dung cụ thể, môi trường thường xuyên mà còn xuyên suốt lồng ghép trong nội dung môn Toán

- HS ham học và có ý thức tìm hiểu tri thức và rèn luyện giải bài tập Toán GV nhiệt tình giảng dạy, tổ chức giảng dạy theo mạch kiến thức chung trong Toán học

* Khó khăn:

Nội dung phân phối chương trình ít, tiết dành cho luyện tập ít HS chưa

tự chủ động liên kết với các kiến thức cũ và móc xích với kiến thức mới lũy thừa, mũ và lôgarit trong việc làm bài tập nên đã hiểu sai vấn đề trong nội dung dạy học chương 2 Giải Tích 12, dẫn đến làm bài tập một cách máy móc và biến đổi đồng nhất sai, dẫn đến sử dụng phép Toán sai và giải Toán sai Trong đó

HS thường thực hiện phép tính về lũy thừa, mũ và lôgarit sai; biến đổi không đồng nhất; sai bản chất khái niệm; sai trong vận dụng; sai trong việc sử dụng trong các bài Toán v.v…

1.3.3 Mạch kiến thức sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong chương trình môn Toán THPT

1.3.3.1 Mạch kiến thức trong đại số giải tích

Chương trình lớp 10: rút gọn và biến đổi biểu thức trong phần nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để xét dấu và giải bất phương trình, giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai và các phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Chương trình lớp 11: rút gọn và biến đổi biểu thức trong giải phương trình lượng giác, trong khai triển nhị thức New tơn, giải phương trình trong chỉnh hợp, tổ hợp Cuối lớp 11 có sử dụng rút gọn biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong phần tính đạo hàm và bài toán tiếp tuyến của hàm số

Chương trình lớp 12: Rút gọn biểu thức và biến đổi đồng nhất trong bài toán khảo sát hàm số, trong hàm số mũ, lôgarit với đặc trưng là trong rút gọn và biến đổi trong phương trình mũ và phương trình lôgarit cùng với bất phương trình tương ứng Rút gọn và biến đổi biểu thức trong nguyên hàm tích phân và phương trình phức đơn giản

1.3.3.3 Sự có mặt của biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12

Các biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit có mặt hầu hết trong các đơn vị kiến thức như: Lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit, hàm số lũy thừa, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit của nội dung chương 2

Biểu thức và phép biến đổi đồng nhất có mặt trong các bài toán rút gọn, đơn giản biểu thức, trong các bài toán tìm TXĐ của hàm số lũy thừa, hàm số

mũ và hàm số lôgarit, trong các phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1.3.4 Tình hình rèn luyện kỹ năng làm việc với biểu thức và biến đổi đồng nhất ở THPT

Ở cấp học THPT, nội dung kiến thức về biểu thức và biến đổi đồng nhất cho dưới dạng ẩn tàng HS thường xuyên làm việc với các biểu thức nguyên, biểu thức phân (biểu thức đại số), biểu thức vô tỉ nhưng do cách gọi gọn của một số GV nên HS thường gọi chung là biểu thức HS thường xuyên làm việc với biểu thức cùng các phép biến đổi đồng nhất như: Các phép rút gọn các hạng

tử đồng dạng, phép mở ngoặc, phép phân tích thành nhân tử, phép quy đồng mẫu thức của các phân thức đại số, phép phân tích chúng thành những phân thức sơ cấp, phép quy một tổng các hàm lượng giác về dạng thuận lợi cho phép lấy lôgarit (tức là biến đổi nó thành một tích) với mục đích có thể là làm cho biểu thức có dạng thuận lợi hơn cho sự tính toán bằng số hoặc cho những phép biến đổi về sau, cho phép lấy lôgarit, phép mũ hóa, phép lấy vi phân, phép lấy tích phân, giải phương trình v.v…

Do phần lớn các phép biến đổi đồng nhất được học từ cấp THCS nên việc thừa nhận kỹ năng sử dụng biểu thức và rèn kỹ năng biến đổi đồng nhất thường chỉ được GV chỉ ra lỗi sai trong quá trình HS mắc lỗi khi lên bảng giải bài tập hoặc chấm bài kiểm tra hoặc khi HS biến đổi rút gọn ở một vài vấn đề giải toán trong tiết dạy của GV

Do kỹ năng sử dụng biểu thức và phép biến đổi đồng nhất là các kỹ năng

cơ sở của Toán THPT nên cả GV và HS đều cho rằng chỉ cần kinh nghiệm giải toán là đủ, HS chủ quan nên dẫn đến sai lầm khi giải toán sau này

1.4 Kết luận chương 1

Chương 1 nêu lên một số vấn đề về biểu thức và phép biến đổi đồng nhất trong Toán học nói chung và biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit cùng các phép biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đó nói riêng

Nêu một số thực tiễn về dạy học nội dung chương 2 Giải tích 12 và tình hình rèn luyện kỹ năng năng làm việc với biểu thức và biến đổi đồng nhất ở trường THPT

Bên cạnh đó là các vấn đề lí thuyết về kỹ năng trong dạy học Toán và những kỹ năng thường sử dụng trong dạy học chương 2 Giải tích 12

Chương 2

TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG ĐỂ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

SỬ DỤNG BIỂU THỨC VÀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRONG DẠY HỌC CHƯƠNG 2 GIẢI TÍCH LỚP 12 Ở TRƯỜNG THPT

2.1 Định hướng

* Định hướng 1 Để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và phép biến

đổi đồng nhất đầu tiên cần chỉ ra các kỹ năng cần có và có thể thực hiện

* Định hướng 2 Đối với từng kỹ năng, chúng tôi phân tích làm rõ hoạt

động gắn liền với từng kỹ năng đó

* Định hướng 3 Minh họa thông qua các tình huống cho từng kỹ năng

trong đó có hoạt động tổ chức cho học sinh cho học sinh phát hiện và sửa chữa những sai lầm

2.2 Tổ chức các hoạt động để rèn luyện kỹ năng sử dụng biểu thức và biến đổi đồng nhất trong dạy học chương 2 Giải tích (cơ bản) lớp 12 THPT

2.2.1 Kỹ năng nhận dạng và thể hiện

Theo Nguyễn Bá Kim [15], có thể thấy nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều trái ngược nhau, nhưng lại gắn bó và liên hệ chặt chẽ với nhau Trong học Toán, HS thường xuyên phải tiến hành các hoạt động này đối với khái niệm, định lý, quy tắc, phương pháp và dạng toán

Khi giảng dạy một nội dung toán học, việc tổ chức hoạt động nhận dạng

và thể hiện giúp HS khắc sâu hơn về kiến thức đã học, làm nền tảng cho sự móc nối với các kiến thức liên quan và giúp HS hoàn hiện hơn về tư duy Toán học

Trong nội dung kiến thức chương 2 Giải tích lớp 12 gồm các kiến thức

về lũy thừa, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit có khá nhiều bài toán đa dạng và cũng dễ gây nhầm lẫn cho HS trong quá trình học, đặc biệt là các em gặp không ít khó khăn ngay

từ hoạt động nhận dạng và thể hiện các kiến thức có liên quan

HS đã được tiếp xúc với biểu thức siêu việt là biểu thức lượng giác, việc làm việc với phép toán siêu việt, hàm số siêu việt và phương trình siêu việt có khá nhiều khó khăn khi tiếp cận với nội dung của nó Để giúp HS khỏi bỡ ngỡ

và có những kỹ năng toán học cơ bản trong nội dung của chương 2 Giải tích 12, bước đầu chúng ta cần đưa hoạt động nhận dạng và thể hiện vào trong giảng dạy Sau đây là một số vấn đề trình bày về hoạt động nhận dạng và thể hiện các kiến thức về biểu thức lũy thừa, biểu thức mũ và biểu thức lôgarit cùng các phép biến đổi đồng nhất thực hiện với trên các biểu thức đó

Để tổ chức cho HS tập luyện nhận dạng các khái niệm, tính chất và các phép biến đổi nói trên, chúng ta có thể tiến hành:

- Chọn lọc và đưa ra cho HS thấy những đối tượng cần quan tâm là các loại biểu thức trên, phép biến đổi, phép biến đổi đồng nhất, phương pháp giải một số dạng toán về lũy thừa, mũ và lôgarit

- Yêu cầu HS quan sát, phân tích và nhận ra xem chúng thuộc vào khái niệm, tính chất, phương pháp giải toán nào trong các kiến thức về lũy thừa, mũ

và lôgarit bằng cách đối chiếu với định nghĩa, tính chất, định lí của chúng

- HS nhận dạng được đối tượng khi mà các em biết kiểm tra từng yếu tố (điều kiện nêu ra trong định nghĩa khái niệm, trong giả thiết của định lý, nội hàm của quy tắc v.v ) Ở đây GV cần giúp cho HS tiến hành nhận dạng theo một quy trình

2.2.1.1 Nhận dạng và thể hiện các kiến thức về biểu thức lũy thừa và phép biến đổi đồng nhất trong các bài toán liên quan khi dạy học nội dung chương 2

Trong chương trình lớp 12, lũy thừa đã được mở rộng với số mũ nguyên,

số mũ hữu tỉ, số mũ vô tỉ Lúc này các bài toán được mở rộng hơn với các tính chất của lũy thừa với số mũ thực và có những bài toán phức tạp hơn về biến đổi biểu thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ Bởi vậy việc nắm chắc định nghĩa, khái niệm và phân biệt được các tính chất của các dạng lũy thừa sẽ giúp HS chủ

động hơn khi xây dụng và củng cố các kiến thức đã học Để phục vụ cho những bài toán khó hơn, HS cần vận dụng đúng và đủ những tri thức cơ bản đã học Bên cạnh đó để nhìn nhận các kiến thức dưới nhiều góc độ và vận dụng vào giải toán, HS cần kết hợp chặt chẽ với các phép biến đổi, trong đó có phép biến đổi đồng nhất Các biểu thức liên hệ chặt chẽ và thể hiện dưới nhiều dạng thông qua các phép biến đổi đồng nhất đã học

Hoạt động nhận dạng và thể hiện các kiến thức về biểu thức lũy thừa và phép biến đổi đồng nhất trong nội dung dạy học về lũy thừa và hàm số lũy thừa:

(1) Các hoạt động tương ứng với kỹ năng nhận dạng và thể hiện kiến thức về biểu thức lũy thừa (Khái niệm, định lí, phương pháp) và phép biến đổi đồng nhất:

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm lũy thừa (nguyên, hữu tỉ,

vô tỉ) và các tính chất:

- Hoạt động phân tích đặc điểm của biểu thức lũy thừa

- Hoạt động so sánh các đặc điểm của biểu thức lũy thừa

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí, phép toán,các phép biến đổi lũy thừa trong nội dung dạy học chương 2

- Nhận diện và thể hiện quy tắc tính lũy thừa

- Nhận dạng và thể hiện quy tắc so sánh lũy thừa

- Hoạt động phân tích tìm lỗi sai và sửa sai

(2) Cách thức tổ chức hoạt động cho HS:

- GV tổ chức tiến hành các hoạt động thông qua hệ thống câu hỏi gợi

ý, định hướng HS dựa vào hệ thống câu hỏi để trả lời câu hỏi và thực hiện hoạt động

- Tổ chức cho HS hoạt động nhóm trong một số nội dung phức hợp cần

có sự kết hợp hoạt động của nhóm HS

- Tổ chức hoạt động tự học ở nhà và ở trên lớp

? n

a được tính như thế nào?

- GV nhắc lại khái niệm đẳng thức đúng, sai

- GV tiến hành cho HS nhận dạng các đẳng thức chữ, số trên

Thực chất các vế là các biểu thức số, biểu thức chữ có chứa các lũy thừa

đã học trong lý thuyết Vận dụng các kiến thức về lũy thừa nhận dạng xem các đẳng thức trên đúng hay sai

- GV có thể yêu cầu:

+ Nhắc lại định nghĩa, công thức tương ứng của lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ âm, số mũ không trong các định lý ? Các điều kiện kèm theo để tồn tại các biểu thức trong các công thức đó?

+ Dựa vào khái niệm, công thức để xét bài toán trên?

a , a n a a a . , cùng với những điều kiện đi kèm HS dễ dàng phân biệt được và chỉ ra chỗ sai của các đẳng thức

Việc nhận dạng và thể hiện các định lý về biểu thức lũy thừa với số mũ nguyên là nền tảng cơ bản cho biểu thức lũy thừa với số mũ thực Khi biến đổi các biểu thức với lũy thừa là số mũ hữu tỉ hay vô tỉ đều dựa trên các phép biến đổi đồng nhất tương ứng Xét ví dụ sau:

Ví dụ 2 Rút gọn biểu thức sau: 2.(2 1 2) (2 1 31 2)

ab ab a b A

a b a b

Để rút gọn một biểu thức trên, HS cần nhận dạng được biểu thức ở đầu bài thuộc loại biểu thức nào, có chứa những biểu thức thành phần gì, sử dụng tính chất, phép toán nào để rút gọn Nhận dạng được phép biến đổi đồng nhất được sử dụng trong quá trình biến đổi

Để nhận dạng được GV yêu cầu HS nhận dạng loại biểu thức của đầu bài, phân tích và chỉ ra dạng của biểu thức thành phần, các phép toán có thể sử dụng để rút gọn

GV chia nhỏ yêu cầu theo nhóm để thể hiện hoạt động nhận dạng và thể hiện thông qua hệ thống câu hỏi:

- Nhắc lại các công thức về lũy thừa với số mũ nguyên và các tính chất biểu thị bằng đẳng thức của lũy thừa?

- Để nhóm các số hạng có cùng cơ số với nhau trên cả tử và mẫu thức ta phải làm gì? Nhận dạng phép biến đổi đồng nhất trong bước biến đổi này?

Trong các định lý về lũy thừa với số mũ nguyên việc so sánh các lũy thừa sẽ làm nền tảng cho các bài toán về hàm số mũ và các bài toán về bất phương trình mũ Tuy nhiên HS thường thụ động trong việc so sánh này do quá trình nhận dạng của HS còn mang tính hình thức Xét ví dụ:

Ví dụ 3 So sánh các số a và b biết: 2

( 2 1)

3 2

( 2 1)

b

Ở ví dụ này yêu cầu HS cần tìm được mối liên hệ của cơ số (hai biểu thức vô tỉ) ở hai biểu thức lũy thừa Từ mối liên hệ biểu thị các cơ số đó, nhận dạng và thể hiện được định lí so sánh của lũy thừa

GV có thể yêu cầu HS:

+ Nhận dạng cơ số của các biểu thức số a và b?

+ Đã đủ yếu tố để sử dụng định lý so sánh lũy thừa chưa?

+ Nếu chưa hãy tìm mối liên hệ của hai biểu thức 2 1 và 2 1? Việc

trở nên đơn giản hơn Hai biểu thức của biểu thức vô tỉ HS đã học ở cấp THCS, kết hợp với việc học cụ thể hơn trong phần căn bậc n ở chương này được khắc sâu thêm Lúc đó việc thể hiện kiến thức của định lý với phép biến đổi lũy thừa trong bài tập này sẽ cụ thể hơn khi so sánh hai biểu thức: 2

Ví dụ 4 Các bất đẳng thức sau đúng hay sai, tại sao?

0,75 0,5

3 3

Tương tự như ví dụ trên, để giải quyết bài toán, HS cần nhận dạng được các biểu thức số viết dưới dạng lũy thừa loại nào, có định lí nào về lũy thừa liên quan đến so sánh hai biểu thức lũy thừa hay không Từ đó nhận dạng nội dung định lý về sự so sánh lũy thừa với số mũ thực, các tính chất của lũy thừa với số mũ thực Ví dụ là cơ sở để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số mũ sau này

Sử dụng định lý:

Cho m, n là những số nguyên Khi đó:

+ Với a > 1 thì a m > a n khi và chỉ khi m > n:

+ Với 0 < a < 1 thì a m > a n khi và chỉ khi m < n

GV tổ chức cho HS thực hiện một số hoạt động sau:

- HS xác định biểu thức chữ a m , a n ở các vế của BĐT trên thuộc loại lũy thừa dạng nguyên, hữu tỉ,…

3 với lũy thừa ở đây là số mũ hữu tỉ

- GV: Xác định cụ thể cơ số a bằng bao nhiêu? Số mũ m, n bằng bao nhiêu?

HS: Cơ số , m = 0,75 , n = 0,5

3

a

- Nhận dạng và thể hiện định lí biểu thị tính chất bằng bất đẳng thức: + GV: Sử dụng định lý để xét các trường hợp xem rơi vào trường hợp nào của cơ số a?

HS: Rơi vào trường hợp a 1

+ Từ đó giải quyết bài toán so sánh bằng quá trình nhận dạng tính chất

sau của định lý: Với a > 1 thì a m

GV tổ chức cho HS thực hiện các hoạt động:

+ HS nhận dạng số mũ trong các trường hợp ? Biểu thức lũy thừa trên tương ứng rơi vào trường hợp nào đã học trong định nghĩa?

2

y x x là hàm số lũy thừa với số

mũ vô tỉ

+ Xác định biểu thức chứa ẩn ở cơ số của hàm số?

Biểu thức chứa ẩn của hàm số 2

Ghi chú: GV cần lưu ý HS khi tìm TXĐ hàm số lũy thừa, có một số hàm lũy thừa có biểu thức chứa biến bằng nhau về mặt hình thức thông qua một số công thức biến đổi với một hàm số sơ cấp khác, nhưng TXĐ của hai hàm lại khác hẳn nhau (Ví dụ hàm số y x32 và 3

y x ) Bởi vậy sử dụng phép biến đổi đồng nhất của một biểu thức khi đưa vào các bài toán cụ thể cần nhìn nhận rõ TXĐ của các biểu thức

Trong các bài toán liên quan đến lũy thừa, HS thường lúng túng và khi làm việc với biểu thức với số mũ hữu tỉ, đặc biệt là nhìn nhận chưa rõ về định nghĩa của nó Xét ví dụ sau:

Ví dụ 6: Sử dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ, xét xem các đẳng

thức dưới biến đổi đúng hay sai, sai tại sao?

Ví dụ 6 yêu cầu HS nhận dạng và thể hiện được khái niệm lũy thừa với

số mũ hữu tỉ khi xét các đẳng thức lũy thừa trên đúng hay sai

+ GV chia lớp thành nhóm

+ Cho HS nhắc lại định nghĩa

+ GV đưa ra quy trình (các bước) nhận dạng bằng cách sử dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ

+ Yêu cầu nhận dạng các đẳng thức (6a), (6b) trên đúng hay sai, áp dụng định nghĩa tính chất nào được suy ra từ định nghĩa? Sau khi nhận dạng xong các đẳng thức trên, tiếp tục cho HS thể hiện ở các ý đó

Để tránh những sai lầm do đánh giá về mặt hình thức, GV cần rèn cho

HS kỹ năng nhận dạng và thể hiện các tri thức về khái niệm và tri thức phương pháp mà cụ thể ở đây là cách giải các các bài toán liên quan đến mảng tri thức

đó Đối với biểu thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ HS thường xuyên mắc sai lầm khi nhận dạng và thể hiện khái niệm của nó thông qua công thức m n n m

điều kiện xác định của biểu thức là: a 0

Ví dụ 7 Tìm lỗi sai trong biến đổi biểu thức sau:

2 ( )

Bài toán có hai hướng phân tích:

+ Theo cách xác định của biểu thức chứa căn: sử dụng công thức

Với mối cách tiếp cận, GV tổ chức các hoạt động tương ứng

của biểu thức đó Vì vậy thông qua việc tách riêng 1 2

a b và yêu cầu HS nhận dạng khái niệm lũy thừa hữu tỉ bằng việc sử dụng công thức trong định

Nên khi giải toán cần chú ý miền xác đinh của biểu thức, cụ thể hơn là các điều kiện xác định của biểu thức Trong trường hợp này n m m n

a a với điều kiện a 0

Trong quá trình thể hiện những kiến thức về lũy thừa thì những bài toán

về rút gọn biểu thức cho phép sử dụng khá nhiều các kiến thức liên quan đến lũy thừa Tuy nhiên ngoài vận dụng những kiến thức về biểu thức và các tính chất thì việc định hướng giải nhiều khi lại liên quan đến việc đánh giá biểu thức

và biết cách sử dụng phép biến đổi đồng nhất hợp lý sẽ làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn Xét ví dụ sau:

Ví dụ 8 Rút gọn biểu thức sau trên miền xác định của nó:

Để rút gọn biểu thức A, tách A thành hai biểu thức:x

C a b để dễ biến đổi GV định hướng

cách giải thông qua hệ thống câu hỏi sau:

- Đưa C về biểu thức với lũy thừa nguyên

- Để rút gọn B là hiệu của hai phân thức ta phải làm gì?

Quy đồng tìm mẫu thức chung

- Mẫu thức chung ở đây là gì? Biểu thức ở hai mẫu số có mối liên hệ gì không? Có những hạng tử nào giống nhau? Có làm được xuất hiện biểu thức chung giữa chúng không? (Gợi ý thêm nếu HS không tìm ra: Có nhóm được thừa số chung ở biểu thức a34 a b12 14?)

HS: Hạng tử chung là

1 4

a và

1 4

b Thực hiện nhóm thừa số chung và quy tắc tính lũy thừa: a34 a b12 14 a12 a14 b14 Ta có:

+ Phép biến đổi (1) rút gọn mẫu số bằng cách nào?

Dùng hẳng đẳng thức (Phép biến đổi đồng nhất thực hiện trên các biểu thức lũy thừa)

+ Phép biến đổi (2) biểu thị b a b12 12 qua

1 1

2 2

a b bằng cách nào?

Phân tích thành nhân tử bằng cách nhóm thừa số chung

- GV nhấn mạnh lại các phép biến đổi đồng nhất trên các biểu thức trên

mà HS đã thực hiện để rút gọn

Việc đánh giá hai biểu thức nằm ở hai mẫu số của hai phân thức trong B

và bằng phép phân tích thành nhân tử đặt thừa số chung đã khiến cho HS dễ ràng hơn khi định hướng giải bài tập Trong quá trình biến đổi, HS đã thực hiện các phép rút gọn các hạng tử đồng dạng, phân tích thành nhân tử và phép quy đồng mẫu thức đúng thời điểm giúp đưa bài toán về đơn giản hơn, tránh đi vào con đường bế tắc, tạo tính linh hoạt khi giải toán cho HS

D Đáp số:

a) D IR 2,1 b) D ; 4 1;

c) D 0; d) D ; 2 2;

Bài 8 Rút gọn các biểu thức sau:

2.2.1.2 Nhận dạng và thể hiện biểu thức mũ và phép biến đổi đồng nhất trong dạy học chương 2

Ngoài kiến thức lượng giác học ở lớp 11, sự xuất hiện của biểu thức mũ cùng các phép toán tương ứng cũng làm HS khá bỡ ngỡ Việc nhận dạng biểu thức mũ là không dễ Việc tìm TXĐ và xét chiều biến thiên của một hàm số mũ phụ thuộc vào việc nắm được dạng biểu thức mũ và các điều kiện xác định của biểu thức mũ đó Biểu thức mũ có dạng x

a , a 0,a 1 sẽ không quá khó khi nhận dạng với a là biểu thức số quen biết, khi a là biểu thức chữ, nhất là chứa

ẩn thì việc nhận dạng cơ số a chính xác sẽ giúp khai triển thuận lợi cho bước giải toán tiếp theo

Các phép toán giữa các biểu thức mũ x

a được sử dụng để biến đổi tương tự như lũy thừa với số mũ thực HS phân biệt được điều kiện của cơ số

0

a , số mũ của biểu thức lúc này chứa ẩn so với kiến thức chung về lũy thừa thì sẽ gặp ít khó khăn khi rèn các kỹ năng giải toán tương ứng Từ đó trong quá trình giải toán liên quan đến biểu thức mũ phụ thuộc chặt chẽ vào các đẳng thức đồng nhất của lũy thừa với sỗ mũ thực GV cần tổ chức cho

HS nhận dạng và thể hiện khái niệm, định lí về biểu thức mũ thông qua việc

sử dụng các phép toán biến đổi như:

Hoạt động nhận dạng và thể hiện biểu thức mũ và phép biến đổi đồng nhất trong nội dung dạy học về hàm số mũ và phương trình, bất phương trình mũ:

(1) Các hoạt động tương ứng với kỹ năng nhận dạng và thể hiện biểu thức mũ và phép biến đổi đồng nhất:

- Hoạt động phân tích đặc điểm của biểu thức mũ

- Hoạt động so sánh các đặc điểm của biểu thức mũ

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm của biểu thức mũ và các tính chất, định lí (về các phép toán, về sự so sánh), nhận dạng phép biến đổi đồng nhất trong các bài toán liên quan

- Hoạt động phân tích tìm lỗi sai và sửa sai

(2) Cách thức tổ chức hoạt động cho HS:

- GV tổ chức tiến hành các hoạt động thông qua hệ thống câu hỏi gợi

ý, định hướng HS dựa vào hệ thống câu hỏi để trả lời câu hỏi và thực hiện hoạt động

- Tổ chức cho HS hoạt động nhóm trong một số nội dung phức hợp cần

GV yêu cầu HS dựa vào kiến thức về hàm số mũ để giải bài toán

- Yêu cầu HS nêu điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ?

- Nhận dạng cơ số a của hàm số và so sánh với 1 để đưa ra kết luận?

GV đặt tình huống: Hãy sử dụng định nghĩa đồng biến, nghịch biến của hàm số, xác định tính đơn điệu của chúng?

+ Nêu cách xác định tính đồng biến, nghịch biến bằng định nghĩa hàm số

Ghi chú: Với biểu thức mũ x

a , a 0 và a 1, biểu thức có điều kiện xác định với x IR , bởi vậy trong quá trình dạy GV cần cho HS chỉ ra được tập giá trị của hàm số x

y a , ( a 0 và a 1) là *

IR Việc cho HS đánh giá biểu thức a x 0 với mọi x thông qua xét ví dụ khắc sâu hơn tính chất quan trọng này, giúp sau này HS tri thức tốt hơn trong các vấn đề khó hơn như giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình mũ

Ví dụ 2 Tìm lỗi sai trong bài toán rút gọn sau với điều kiện của x là số âm:

1

1 1 2 2

4 1

4

2 2 2 1