5. Cấu trúc luận văn
2.2.3.4. Sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số mũ,
giải phương trình mũ và lôgarit
Xét một số bài toán tìm nghiệm của phương trình thông qua tính đơn điệu của hàm số mũ và lôgarit (tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức của biểu thức mũ và lôgarit). Thực chất đó chính là việc đánh giá biểu thức mũ và lôgarit có mặt trong phương trình để thấy được tính đồng đồng biến nghịch biến của hàm tương ứng, từ đó áp dụng các tính chất đó để chứng minh phương trình có nghiệm. Các phương trình ở đây thường có nghiệm duy nhất và để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất ta chia thành các trường hợp và dùng các tính chất của hai hàm trên để chỉ ra không tìm được nghiệm trong trường hợp đó. Vì vậy GV cần xác định những công việc sau để rèn kỹ năng sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số trong dạy học giải phương trình mũ, lôgarit:
a) Chủ động để HS tiến hành được các hoạt động sau: 1a) Nhận dạng loại biểu thức có mặt trong phương trình.
2a) Áp dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giải phương trình mũ và lôgarit. Từ đó tìm các kiến thức liên quan để phục vụ phương pháp giải (Khái niệm, tính chất, phép toán…)
- Để giải được các bài tập về phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số HS thường thực hiện những công việc sau:
+ Đánh giá biểu thức có mặt trong phương trình, biến đổi đưa phương trình về dạng có chứa hai hàm số riêng biệt tương ứng với hai biểu thức nằm ở hai vế.
+ Nhẩm nghiệm: có nghiệm duy nhất x x0
+ Chia các trường hợp trên TXĐ x x0 và x x0, xét vô nghiệm để loại trừ bằng việc sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số hay tính chất biểu thị qua bất đẳng thức của hai loại biểu thức trên.
+ Kết luận nghiệm.
- Một số đặc điểm về nhận dạng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và lôgarit:
Xét hàm số x, ( 0, 1)
y a a a ; y loga x a, ( 0,a 1), Nếu: + a > 1 thì hàm số đồng biến.
+ 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến.
- Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức của biểu thức mũ và lôgarit được suy ra từ tính đơn điệu của hai hàm x
y a ,y loga x, (a 0,a 1) tương ứng: + Nếu a 1 thì ( ) ( )
( ) ( )
u x v x
a a u x v x
+ Nếu a 1 thì logau x( ) logav x( ) u x( ) v x( ) 0 + Nếu 0 a 1 thì ( ) ( )
( ) ( )
u x v x
a a u x v x
3a) Thể hiện phương pháp giải, vận dụng các kiến thức đã tư duy được để tìm nghiệm.
4a) Tính toán, sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu. 5a) Kiểm tra nghiệm của phương trình. 6a) Tìm lỗi sai và sửa sai.
b) GV tổ chức các hoạt động bằng các biện pháp như: chuẩn bị hệ thống câu hỏi bài tập, GV hỏi HS tìm phương án trả lời, tổ chức thảo luận nhóm, giao bài về nhà v.v…
c) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 2x 5x 7x (1a)
b) 5x 1 3x (1b)
HS cần nhận dạng được phương pháp giải phương trình mũ và bằng sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số thông qua ví dụ này. Sử dụng phương pháp đánh giá các biểu thức ở các vế dưới dạng một hàm số để sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số hoặc trực tiếp sử dụng tính chất bất đẳng thức của biểu thức mũ và lôgarit. Qua phương pháp đó khắc sâu những tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức của mũ và lôgarit.
Dưới đây là một số gợi ý hướng dẫn HS giải ví dụ 1:
- Xét (1a): Đánh giá việc sử dụng các biện pháp giải khác không thích
hợp. Đưa phương trình (1a) về dạng: 2 5 1
7 7
x x
, (1a’), xuất hiện hàm số mũ ở vế trái và hàm hằng ở vế phải. Sau đó nhẩm nghiệm để tìm ra 1 nghiệm là x = 1. Chứng minh nghiệm đó duy nhất, có nghĩa với x > 1 và x < 1 phương trình vô nghiệm.
+ GV: Với x > 1. Hãy so sánh dấu của hai biểu thức: 2 7 x và 1 2 7 ? Tương tự với cặp 5 7 x và 1 5 7 ?
Cộng vế và so sánh? HS thực hiện hoạt động: + 1 2 2 7 7 5 5 7 7 x x 2 5 7 7 x x < 2 5 1 7 7
Chứng tỏ (1a’) hay (1a) vô nghiệm khi x > 1.Tương tự xét với x < 1, ta cũng kết luận được phương trình (1a) vô nghiệm.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Lưu ý: Hướng dẫn đặt vế trái của (1a’) dưới dạng một hàm số:
f(x) = 2 5
7 7
x x
và tiến hành đánh giá tương tự như trên. Với cách đặt này thì việc HS tư duy dưới góc độ hàm số rõ hơn, rèn được năng lực tư duy hàm trong việc giải một số loại phương trình. Xét ví dụ (1b) để thấy rõ hơn điều đó.
+ Xét (1b): Dễ thấy x 0 là nghiệm của (1b). Chứng minh nghiệm đó là duy nhất. Xét hàm số: f x( ) 5x và g x( ) 1 3x. Hàm f(x) đồng biến trên và hàm g(x) nghịch biến trên . Do đó: Với x > 0 thì: ( ) (0) 1 ( ) (0) 1 f x f g x g f x( ) g x( ) hay 5x 1 3x.
Chứng minh tương tự với x < 0. Vì vậy phương trình (1b) có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2. Sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số để giải phương trình sau:
2
HS cần áp dụng được phương pháp giải phương trình qua xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm có trong phương trình (Hàm bậc nhất và hàm số lôgarit) hay tính chất của biểu thức lôgarit tương ứng với hàm số lôgarit đó.
+ Xét (2): Tương tự như cách giải phương trình (1b).
Nhẩm nghiệm x 2. Xét hàm số: f x( ) 3 xlà hàm số nghịch biến.cơ số
a = 2 > 1 nên hàm g x( ) log2xlà hàm số đồng biến. Tương tự xét các trường hợp x 2 và x 2 không thỏa mãn. Phương trình có nghiệm duy nhất x 2.
d) Bài tập tự luyện:
Bài 1. Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương trình sau:
a) 4x 9x 25x b) 32 1 2
x
x
(Bài tập 5, trang 121 - SGK Giải tích 12 NC)
Hướng dẫn:
a) Chia hai vế cho 25x, sau đó sử dụng tính biến thiên của hàm số mũ.
Đáp số: 1
2
x
b) Đáp số x 2 (Chia 2 vế cho 2x)
Bài 2. Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương trình sau:
2 3
log 1 x log x
Đáp số: x = 9. ( Đặt: y=log3x x 3y)