5. Cấu trúc luận văn
2.2.3.5. Sử dụng phép lấy lũy thừa, phép lấy lôgarit
Trong một số bài toán về giải phương trình mũ và lôgarit chúng ta sử dụng phương pháp mũ hóa (lấy lũy thừa hai vế theo cùng một cơ số), phương pháp lôgarit hóa (lấy lôgarit hai vế của một phương trình theo cùng một cơ số) sẽ dễ ràng tìm được nghiệm hơn các phương pháp khác.
a) Để thực hiện được cách giải phương trình bằng phương pháp lôgarit hóa. GV cần tổ chức các hoạt động sau:
- Nhận dạng biểu thức mũ có trong phương trình: thông thường trong phương trình có hai biểu thức chứa mũ không biểu thị được qua nhau ở cùng một vế, vế còn lại là hằng số.
- Lấy lôgarit hai vế của phương trình với cùng một cơ số.
- Rút gọn, đưa về phương trình lôgarit giải được: thông thường là phương trình lôgarit có thể đặt được ẩn phụ.
- Giải phương trình vừa tìm được tìm nghiệm.
* Một số công thức thường sử dụng khi giải phương trình mũ theo phương pháp lôgarit hóa:
Với M, N > 0 và a > 0, a 1, ta có: + M N logaM loga N + ( ) ( ) log f x a a M f x M
b) Để thực hiện được cách giải phương trình bằng phương pháp mũ hóa, GV nhấn mạnh phương pháp này chính là cách sử dụng định nghĩa lôgarit bằng cách nhìn khác qua công thức: log
, ( 0)
ab
a a b
- Công thức thường sử dụng khi giải phương trình lôgarit theo phương pháp mũ hóa:
+ log
log ab c c
ab c a a b a
c) Để thực hiện các cách giải trên, GV tổ chức các hoạt động bằng các biện pháp như: chuẩn bị hệ thống câu hỏi bài tập, GV hỏi HS tìm phương án trả lời, tổ chức thảo luận nhóm, giao bài về nhà v.v…
d) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau đây: a) 3 .2x x2 1 (1a)
b) 3 .8 2 6
x x x
(1b)
HS cần nhận dạng được sự có mặt của các biểu thức mũ trong phương trình để có thể sử dụng phương pháp lôgarit hóa.
GV tổ chức các hoạt động:
- HS Lấy lôgarit hai vế của các phương trình trên theo một cơ số có mặt trong phương trình
- GV lưu ý lấy theo cơ số nào dễ tính và không phải biến đổi nhiều, ví dụ ở trường hợp dưới nên lấy theo cơ số 3 vì cơ số 8 trong quá trình tính toán sẽ rút gọn về cơ số nhỏ hơn mà nó biểu thị qua là cơ số 2.
- HS thực hiện phép lấy lôgarit và sử dụng các phép biến đổi lôgarit để có các đẳng thức đồng nhất mới hay là một phương trình mới.
+ Lấy lôgarit hai vế của phương trình (9a) theo cơ số 2 ta có ?
HS: 2 2
2 2 2 2
log (3 .2 )x x log 1 xlog 3 x 0 x(log 3 x) 0
+ HS giải phương trình tích.
+ Tương tự như giải (1b), lấy lôgarit hai vế của (1b) theo cơ số 3, đưa được về phương trình tích: 2 log 23
( 1) 1 0
2
x
x .
Từ ví dụ trên tổ chúc cho HS rèn năng lực tổng quát hóa dạng toán ở ý (1b)
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) log3x x( 1) 1 (2a)
b) 2
5 5
2 x 3log 2 log (3x 5 x) (2b)
HS cần đánh giá các biểu thức xem có thỏa mãn việc lấy lũy thừa hai vế hay không. Lựa chọn cơ số và thể hiện phép toán lấy lũy thừa hai vế.
Định hướng giải: GV phân tích các trường hợp
- Cách lấy mũ hóa là một cách nhìn khác của định nghĩa lôgarit. Bởi vậy phương trình (2a) có thể dễ dàng giải quyết vì một vế của phương trình là một số thực, tương tự như cách giải phương trình lôgarit cơ bản ở trên.
- Nếu trong phương trình có thêm nhiều yếu tố khác thì việc lấy lũy thừa (mũ hóa) hai vế là khả thi khi đã có sẵn một vế có thể sử dụng phép lấy lũy thừa để rút ra được các biểu thức đơn giản hơn. Cụ thể xét ví dụ (2b):
2
5 5
Mặc dù trong phương trình ngoài các biểu thức lôgarit có cơ số 5 còn xuất hiện đa thức 2 - x. Nhưng phải dùng cách nào đó để đưa được biểu thức mũ ở vế phải ra ngoài phép lấy lôgarit. Cách dễ nhất là sử dụng công thức
logab
a a. Bởi vậy việc lựa chọn là phải lấy lũy thừa hai vế của phương trình với cơ số là 5. Có: 2 5 5 2 x 3log 2 log (3x 5 x) 2 5 log (3 5 ) 2 3 5 2 2 5 5 log 2 5 5 8 3 5 3 8 x x x x x x x
Sự linh hoạt khi làm việc với biểu thức lũy thừa, mũ và lôgarit giúp HS linh hoạt hơn khi giải toán. Việc sử dụng biểu thức và phép biến đổi đồng nhất đúng lúc, đúng vị trí của bước giải sẽ giúp HS tránh được những hạn chế trong quá trình học tập về nội dung chương 2: hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit nói chung và nội dung giải phương trình mũ và lôgarit nói riêng.
d) Bài tập tự luyện:
Bài 1. Giải các phương trình sau: (Sử dụng phương pháp mũ hóa)
a) log (93 x 8) x 2 b) 1
5
log (5x 20) 2
x
Hướng dẫn:
a) Mũ hóa hai vế theo cơ số 3. Đáp số: x 0;x log 83 b) Nâng lên lũy thừa cơ số 5 cả hai vế. Đáp số x = 1
Bài 2. Giải các phương trình sau: (Sử dụng phương pháp lôgarit hóa) a) 3 .8 1 36
x
x x b) 4 3
3 x 4 x
Đáp số:
a) Lấy lôgarit hai vế theo cơ số 3. Nghiệm: 3 3 2 log 4 1 1 log 4 x b) 4 3 3 3 4 3 3 4
3 4 4 3 .log 4 log 4 log log 4
3
x x
x
x x