ôn thi toán cao cấp c

Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C1 – K19 MTH 101 ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích BÀI TẬP ÔN TẬP THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP C1 1. Các nhà kinh tế đã nhận định rằng, GDP của quốc gia N đang tăng theo một tốc độ không đổi trong các năm gần đây. Biết rằng vào năm 2010 GDP là 120 tỷ USD và năm 2012 GDP là 1600 tỷ USD. a) Hãy biểu diễn GDP của quốc gia đó bằng một hàm theo thời gian ? b) Tính tốc độ tăng trưởng phần trăm GDP của quốc gia đó vào giữa năm 2015 ? 2. Rạp chiếu phim ở một địa phương nào đó quy định lệ phí vào rạp cho từng nhóm khách hàng như sau: Nếu nhóm dưới 5 người thì tính với lệ phí cố định là 120.000 đồng. Nếu nhóm có từ 5 đến 10 người thì lệ phí là 20.000 đồng/ người, và nhóm có nhiều hơn 10 người trở lên thì lệ phí là 15.000 đồng/ người. (a) Biểu diễn lệ phí vào cửa bằng một hàm theo số người trong nhóm. (b) Đối với nhóm có 4 người thì họ sẽ tiết kiệm được bao nhiêu tiền nếu nhóm đó có thêm một người nữa? 3. Vào đầu năm, giá của một mặt hàng S trên thị trường đang giảm với một tốc độ không đổi là 10cents/đơn vị/tháng. Biết rằng vào đầu tháng 6, giá của mặt hàng S là 90 đô la/ đơn vị. a) Hãy biểu diễn giá của mặt hàng S bằng một hàm theo thời gian và vẽ đồ thị. b) Xác định giá của mặt hàng S tại thời điểm đầu năm 4. Tại một nhà máy nào đó, tổng chi phí sản xuất q đơn vị sản phẩm trong 1 ngày sản xuất là C(q) = q 2 + q + 900 đô la.Vào một ngày làm việc nào đó có đơn vị sản phẩm được sản xuất trong t giờ sản xuất. ttq 25)( = (a) Biểu diễn tổng chi phí sản xuất bằng một hàm theo t. (b) Tính chi phí sản xuất sau 3 giờ sản xuất ? (c) Khi nào tổng chi phí sản xuất đạt 11 ngàn đô ? 5. Giả sử bạn đầu tư 5.000 $ với lãi suất hằng năm là 14%. Tính số dư sau 10 năm nếu lãi được thanh toán theo: (a) Hằng tháng. (b) Liên tục. 6. Hùng muốn mua một ngôi nhà trị giá 200 triệu đông sau 5 năm nữa. Vậy ngây từ bây giờ Hùng phải gửi tiết kiệm là bao nhiêu tiền để có đủ tiền mua nhà, biết rằng lãi suất hằng năm vẫn không đổi là 12% và lãi được tính theo (a) Hằng tháng. (b) Liên tục. 7. Khách hàng gửi tiền vào ngân hàng cứ sau 6 tháng thì tăng lên 15%. Tính lãi suất hằng năm mà ngân hàng đưa ra biết rằng kỳ hạn tính lãi a) Liên tục. B) Hằng tuần 8. Ban quản lý tại một ngân hàng nào đó được ra chiến lượt kinh doanh nhằm thu hút khách hàng như sau: Tiền của khách hàng gửi vào ngân hàng cứ sau 5 năm thì sẽ tăng lên gấp đôi. Giả sử bạn là nhân viên của ngân hàng đó thì bạn phải đề xuất mức lãi xuất mà 1 Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C1 – K19 MTH 101 ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích 9. Ban quản lý tại một ngân hàng nào đó được ra chiến lượt kinh doanh nhằm thu hút khách hàng như sau: Tiền của khách hàng gửi vào ngân hàng tăng 40 % so với vốn sau 2 năm. Giả sử bạn là nhân viên của ngân hàng đó thì bạn phải đề xuất mức lãi xuất mà ngân hàng phải đưa ra là bao nhiêu ? Biết rằng lãi suất hằng năm không đổi và kỳ hạn tính lãi theo hằng quý. 10. Tại một nhà máy nào đó, đầu ra hằng ngày là đơn vị, trong đó K là vốn đầu tư của nhà máy. Dùng các phép tính hãy ước tính thay đổi phần trăm trong đầu ra khi vốn đầu tư giảm lên 10% ? 1 2 ( ) 10.000 Q K = K 11. GDP của một thành phố nào đó sau t năm tính từ năm 2008 là (nghìn $). 2 () 5 20 pt t t =++ a) Hãy ước GDP của quốc gia đó sẽ tăng lên bao nhiêu trong tháng 10 năm 2013 ? b) Hãy ước tính phần trăm tăng lên trong GDP của quốc gia đó trong quý IV của năm 2013 ? 12. Giả sử đầu ra hằng tuần tại một nhà máy nào đó là đơn vị, trong đó x là số công nhân làm việc tại nhà máy. Hiên tai nhà máy có 20 công nhân làm việc tại nhà máy. xxxQ 900050)( 2 += (a) Dùng các phép tính hãy ước tính thay đổi trong đầu ra hằng tuần khi có thêm 1 công nhân nữa làm việc tại nhà máy ? (b) Tính thay đổi thực tế trong đầu ra hằng tuần khi có thêm 1 công nhân nữa làm việc tại nhà máy ? 13. Giả sử GDP của một quốc gia nào đó sau t năm tính từ 2008 là tỷ đô la. Dùng các phép tính hãy dự đoán thay đổi phần trăm trong GDP của quốc gia đó trong 6 tháng đầu năm của năm 2010 ? 2005)( 2 ++= tttN 14. Giả sử GDP của một quốc gia nào đó sau t năm kể từ năm 2008 được cho bởi hàm (triệu đô). 2 () 2 3 10 Nt t t =++ a) Tính tốc độ thay đổi GDP của quốc gia đó theo thời gian trong năm 2018 ? b) Tính tốc độ thay đổi phần trăm GDP của quốc gia gia đó theo thời gian trong năm 2018 ? 15. Giả sử tổng chi phí sản xuất ra q đơn vị sản phẩm của một mặt hàng nào đó là (USD). 20010010)( 23 ++−= qqqqC (a). Dùng hàm chi phí cận biên tính chi phí sản xuất đơn vị thứ 20. (b). Tính chi phí thực tế sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 20. 16. Đầu ra hằng ngày tại nhà máy A là: (đơn vị), trong đó L là số giờ lao việc của lao động. Hiện tại nhà máy có 1000 giờ lao động mỗi ngày. Hỏi nhà máy phải giảm bao nhiêu giờ lao động để đầu ra hằng ngày của nhà máy giảm 300 đơn vị. 3 2 600)( LLQ = 2 Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C1 – K19 MTH 101 ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích 17. Tại một nhà máy nào đó, sau t giờ hoạt động thì nhà máy sản xuất được t đơn vị, và tổng chi phí sản xuất cho q đơn vị là (đô). Tính tốc độ thay đổi chi phí của nhà sản xuất theo thời gian sau 5 giờ hoạt động ? 2 () 10 q tt =+ 2 1 () 10 2 cq q = + 18. Đầu ra tại một nhà máy nào đó được cho bởi hàm sản xuất Cobb-Douglas (đvsp), trong đó là vốn đầu tư (đơn vị tính 100 đô) và là số giờ làm việc của lao động . Hỏi vốn đầu tư của nha may sẽ thay đổi với tốc độ là bao nhiêu theo thời gian khi và lượng lao động đang giảm với tốc độ 20 giờ/tuần sao cho đầu ra vẫn không đổi ? 13 44 40 Q KL = K L 900 (âä), 1000 KL == 79 19. Khi giá của bóng đèn là p $/ đơn vị, nhu cầu của khách hàng về mặt hàng này là x trăm đơn vị, trong đó . Hỏi nhu cầu của khách hàng sẽ thay đổi nhanh như thế nào theo thời gian khi giá là 5$/ đơn vị và giá đang giảm với tỷ lệ là 30cent/tháng ? 22 3 xpxp ++= 20. Tại một nhà máy nào đó, đầu ra được cho bởi Q = 60K 1/3 L 2/3 đơn vị. trong đó K là vốn đầu tư (ngàn đô la) và L là số giờ làm việc của lao động. Nếu đầu ra vẫn giữ ở mức hiện tại, vốn đầu tư sẽ thay đổi với tốc độ là bao nhiêu thao thời gian khi K = 8 và L = 1000 và L đang tăng với tốc độ là 25 giờ làm việc trên tuần ? 21. Đầu ra Q tại một nhà máy nào đó liên hệ với các đầu vào x và y bởi phương trình . Nếu các đầu vào hiện tại là x = 30 và y = 20, dùng các phép tính hãy ước tính thay đổi trong đầu vào y để bù lại đầu vào x giảm 0,8 đơn vị sao cho đầu ra vẫn giữ ở mức hiện tại ? 3223 )1(32 yyxxQ +++= 22. Một nhà sản xuất bán một loại sản phẩm mới với giá 40 đô/ đơn vị, tại giá bán này khách hàng sẽ mua xấp xỉ 50 đơn vị mỗi tháng. Nhà sản xuất dự định giảm giá bán và họ ước tính rằng cứ mỗi 1 đô mà giảm đi trong giá bán thì mỗi tháng sẽ bán nhiều hơn 6 đơn vị. Biết rằng chi phí sản xuất mỗi đơn vị là 25 đô. Vậy nhà sản xuất nên bán sản phẩm với giá nào thì lợi nhuận thu được là lớn nhất ? (Yêu cầu: Dùng cực trị giải). 23. Một công ty có 4 máy, mỗi máy có thể sản xuất 60 đvsp/giờ. Biết rằng chi phí lắp đặt máy để sản xuất là 90 đô/máy và chi phí giám sát máy là 15 đô/giờ. Hỏi công ty nên sử dụng bao nhiêu máy để sản xuất ra 9000 đvsp sao cho chi phí sản xuất là thấp nhất ? 24. Một nhà đầu tư bất động sản ước tính rằng nếu 60 ngôi nhà được xây trong một diện tích cố định nào đó, thì lợi nhuận trung bình sẽ là 47500 USD/ ngôi nhà. Biết rằng cứ mỗi ngôi nhà được xây thêm vào trong cùng diện tích đó thì lợi nhuận trung bình sẽ giảm 500 USD/ ngôi nhà. Vậy người đó nên xây dựng bao nhiêu ngôi nhà trên diện tích đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất ? 25 Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100000 đồng một tháng thì sẽ có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có doanh thu cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng ? Khi đó có bao nhiêu căn hộ được cho thuê ? (Yêu cầu: Dùng cực trị giải) 3 Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C1 – K19 MTH 101 ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích 26. Một công ty ước tính rằng chi phí để xây dựng một chung cư gồm x tầng là nghìn USD. Vậy công ty đó nên xây dựng chung cư bao nhiêu tầng để chi phí trung bình trên mỗi tầng là nhỏ nhất ? 2 ( ) 2 500 600 Cx x x =+ + 27. Một nhà sản xuất ước tính rằng doanh thu cận biên là 200 q -1/2 đô la/ đơn vị khi q đơn vị được bán. Chi phí cận biên tương ứng là 0,4q đô la/ đơn vị. Nếu lợi nhuận của nhà sản xuất là 2.000 $ khi sản xuất 25 đơn vị, lợi nhuận sẽ là bao nhiêu khi sản xuất 36 đơn vị ? 28. Trong một huyện nào đó, giá thịt gà hiện tại là 3$/kg. Người ta dự đoán rằng vào thời điểm x tuần giá thịt gà sẽ tăng với tốc độ là 3(x + 1) 1/2 cent/tuần. Giá thịt gà sẽ bao nhiêu sau 8 tuần ? 29. Tại một nhà máy nào đó, giả sử chi phí cận biên khi q đơn vị được sản xuất là đô la/ đơn vị. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu lượng sản phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị ? 3 )5(4 −q 30. Người ta ước tính rằng sau t tuần, số tiền quyên góp được trong cuộc vận động sẽ tăng với tốc độ đô la/tuần, trong khi đó tiền công tác phí để phục vụ cho cuộc vận động thì đang tăng với tốc độ hằng là 676 đô la/tuần. t etR 2,0' 000.5)( − = (a) Hỏi sau bao nhiêu tuần thì tốc độ quyên góp vượt bằng tốc độ chi công tác phí? (b) Tiền lãi thực mà sẽ sinh ra trong cuộc vận động quyên góp là bao nhiêu trong khoảng thời gian đã được xác định trong câu (a) ? 31. Sau t giờ làm việc một người công nhân nào đó có thể sản xuất với tốc độ là đơn vị/ giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 8 giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị giữa 10 giờ sáng và 12 trưa? 0,5 100 t e − + 32. Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) của một quốc gia nào đó sau t năm sẽ là: tỷ USD/năm. Biết rằng GDP của quốc gia đó vào 2007 là 100 tỷ USD. t++ 5 2 1 30 a) Hãy dự đoán GDP của quốc gia đó vào năm 2017. b) Hãy ước tính thay đổi phần trăm GDP trong 6 tháng cuối năm 2017 33. Sau 10 ngày bệnh dịch xuất hiện ở một huyện miền núi, một đoàn khảo sát đã đến huyện để khảo sát và ước lượng được rằng số người mắc bệnh sẽ thay đổi với tốc độ là người/ngày, trong đó x là số ngày tính từ thời điểm khảo sát. Hãy xác định số người đã mắc bệnh từ ngày thứ 12 đến ngày thứ 14 tính từ thời điểm bệnh dịch xuất hiện ở miền núi. (Lưu ý: kết quả làm tròn thành số nguyên). − 2 4 4 x x 34. Thống kế số trẻ em bị mắc bệnh Tay – chân – miệng tại Đà Nẵng người ta ước lượng được: Số trẻ mắc bệnh sẽ thay đổi với tốc độ là người/ngày, trong đó x là số ngày tính từ thời điểm dịch bệnh xuất hiện. Hãy xác định số trẻ đã mắc bệnh sau 2 ngày tính từ thời điểm dịch bệnh xuất hiện ở thành phố ? + 2 12 2 1 xx 35. a) Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân 1) thõa mãn điều kiện y = 1 khi x =0. '5 2 1 y yexx =+ 4 Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C1 – K19 MTH 101 ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích 2) thõa mãn điều kiện x = 2 khi t =0. 5 2 1 dx x t dt t = − 3) thõa mãn điều kiện y = 2 khi t =1. 1 (1 dy y dt t y − = + ) 4) thõa mãn điều kiện y = 1 khi t =0. ln( 2 ) dy yt t dt =+ 5) thỏa điều kiện khi . ' 4 ln x y xy = 100 = y 1 = x b) Giải phương trình vi phân: 3 ln( 1)dy y x dx yy + = + 36. Một công ty chuyên sản xuất hai loại sữa sữa nguyên chất và sữa không nguyên chất với sản lượng tương ứng là x lít và y lít. Giả sử giá sữa nguyên chất và không nguyên chất cho 1 lít sữa lần lượt là xxp 520)( − = và yyq 24)( − = . Biết rằng tổng chi phí để sản xuất hai loại sữa trên là 42),( + = xyyxC . Hỏi công ty nên sản xuất bao nhiêu sữa nguyên chất và không nguyên chất để lợi nhuận thu được là lớn nhất ? 37. Một nhà sản xuất ước tính rằng nếu x máy được cung cấp trên thị trường nội địa và y máy được cung cấp trên thị trường quốc tế, biết rằng máy được bán với giá là nghìn đô la/ máy ở thị trường nội địa và nghìn đô la/ máy ở thị trường quốc tế. Giả sử chi phí sản xuất là 10.000 đô la/ máy. Hỏi nhà sản xuất nên cung cấp bao nhiêu máy trên mỗi thị trường để lợi nhuận thu được là lớn nhất ? 205 60 yx +− 2010 50 xy +− 38. Một công ty điện thoại dự định giới thiệu hai hệ thống đường truyền tín hiệu mới và hy vọng rằng nó sẽ được bán ra thị trường với số lượng lớn. Họ ước tính rằng nếu hệ thống thứ nhất được bán với giá x trăm đô la/đơn vị và hệ thống thứ hai được bán với giá y trăm đô la/đơn vị, thì khách hàng sẽ mua xấp xỉ đơn vị hệ thống thứ nhất và đơn vị hệ thống thứ hai. Nếu chi phí sản xuất hệ thống thứ nhất là 1.000 đô la/đơn vi và chi phí sản xuất hệ thống thứ hai là 3.000 đô la/đơn vị, thì công ty điện thoại nên bán các hệ thống trên với giá nào để lợi nhuận thu được là lớn nhất ? yx 5840 + − yx 7950 −+ 39. Một nhà sản xuất dự định bán một sản phẩm mới với giá 350 đô la/đơn vị và họ ước tính rằng nếu x nghìn đô la được sử dụng vào phát triển và y nghìn đô la được sử dụng vào quảng cáo, thì khách hàng sẽ mua xấp xỉ đơn vị. Nếu chi phí sản xuất là 150 đô la/đơn vị và giả sử nhà sản xuất chỉ chi 11.000 đô la để sử dụng vào phát triển và quảng cáo, thì nhà sản xuất nên phân chia số tiền đó như thế nào để lợi nhuận thu được từ việc bán sản phẩm mới là lớn nhất ? 5 100 2 250 + + + x x y y 40. Một khách hàng dùng 560 đô để mua hai loại mặt hàng, biết rằng mặt hàng thứ nhất có gía là 4 đô/ đơn vị và mặt hàng thứ hai có giá là 10 đô/ đơn vị. Giả sử rằng khi người đó mua x đơn vị mặt hàng thứ nhất và y đơn vị mặt hàng thứ hai thì hàm hữu dụng sẽ là 5 Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C1 – K19 MTH 101 ThS. Nguyễn Thị Ngọc Bích 13 44 ( , ) 1600 fxy xy = 41. Một cửa hàng bán hai loại áo cạnh tranh nhau, một có hiệu là Jordan và loại kia có hiệu Neal. Chủ cửa hàng có thể thu mua cả hai loại áo với giá 2 đôla/áo và ước tính rằng nếu áo Jordan được bán với giá x đôla mỗi cái và áo Neal bán với giá y đôla mỗi cái, thì khách hàng sẽ mua xấp xỉ 40 - 50x + 40y áo Jordan và 20 + 60x - 70y áo Neal mỗi ngày. Hỏi chủ cửa hàng nên bán các áo trên với giá bao nhiêu để tổng lợi nhuận hàng ngày lớn nhất? 42. Hiện tại thị trường ngân hàng đang bão hòa, người ta ước tính rằng sau t năm tính từ bây giờ số thí sinh đăng ký thi vào các ngành tài chính ngân hàng sẽ giảm với tốc độ 90( 10) 1tt−+ thí sinh/năm. Hỏi trong 3 năm đầu số thí sinh đăng ký vào ngành tài chính ngân hàng sẽ giảm bao nhiêu? 43. Nếu x triệu đồng được sử dụng vào lao động và y triệu đồng được sử dụng vào trang thiết bị, thì đầu ra tại một nhà máy nào đó là 12 33 (, ) 60Qxy xy= đơn vị. Nếu có 120,000,000 đồng thì nên phân chia tiền giữa lao động và trang thiết bị như thế nào đầu ra lớn nhất? 44. Tính các tích phân sau: − − − + −≤ ≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤≤ −≤ ≤ ≤ ≤ + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 12 23 12 2 223 2 00 01 00 4 2 3 6 1) 1 2) 3) 1 4) ; : 1 ln 2 ; 0 2 1 5) ; : 2 ln 3 ; 1 2 ln 6) ; : 2 6 ; 0 1 1 y xy R R R xy x y dxdy x e dxdy dxdy x xe dA R x y dA R x y xy x y dA R x y y 6 . Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C1 – K19 MTH 101 ThS. Nguyễn Thị Ng c Bích BÀI TẬP ÔN TẬP THI KẾT TH C H C PHẦN TOÁN CAO C P C1 1. C c nhà kinh tế đã nhận định rằng, GDP c a qu c gia N đang. ? Khi đó c bao nhiêu c n hộ đư c cho thuê ? (Yêu c u: Dùng c c trị giải) 3 Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C1 – K19 MTH 101 ThS. Nguyễn Thị Ng c Bích 26. Một c ng ty ư c tính rằng chi phí để. ta ư c tính rằng sau t tuần, số tiền quyên góp đư c trong cu c vận động sẽ tăng với t c độ đô la/tuần, trong khi đó tiền c ng t c phí để ph c vụ cho cu c vận động thì đang tăng với t c độ hằng