1 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập - Tự do – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: TOÁN CAO CẤP 2 Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH QUẢN TRỊ KINH DOANH THỜI GIAN : 120 phút MỖI ĐỀ 3 CÂU ( một câu loại A, một câu loại B và một câu loại C) A. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM Câu 1: Cho ma trận 1 2 0 3 1 4 A . Hãy tính t AA và t A A . Câu 2: Cho các ma trận 1 3 2 3 2 1 A , 2 4 2 1 3 2 B , 2 5 6 1 2 5 1 3 2 C . Hãy tính ( ) A B C Câu 3: Cho ma trận 4 3 1 2 3 3 7 1 5 A , hãy tính I A A 4 4 2 . Câu 4: Cho các ma trận: 2 5 1 3 4 A x , 1 2 3 1 5 B y , 1 2 1 1 1 z C . Hãy tính 3 4 2 A B C . Câu 5: Tìm , , x y z và w nếu 6 4 3 1 2 3 x y x x y z w w z w . Câu 6: Tính định thức 5 2 7 2 1 2 3 1 4 D . Câu 7: Tính định thức 5 5 8 3 2 2 9 5 10 D . Câu 8 : Cho hai phép biến đổi tuyến tính 3 3 , :f g có công thức xác định ảnh 2 ( , , ) (2 3 , , 5 4 ) f x y z x y z y z x y z , ( , , ) ( , 3 5 ,2 5 3 ) g x y z x z x y z x y z . Tìm công thức xác định g f 5 2 . Câu 9: Tìm hạng ) ( A r của ma trận 1 3 1 2 1 4 3 1 2 3 4 7 3 8 1 7 A . Câu 10: Tìm hạng ) ( A r của ma trận 1 2 3 2 1 0 2 1 3 1 4 2 A . Câu 11: Hệ véc tơ sau của không gian 3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính 1 2 3 (2, 3,1); (3, 1,5); (1, 4,3) v v v . Câu 12: Hệ véc tơ sau của không gian 3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính 1 2 3 (1,3, 4); (1,4, 3); (2,3, 11) v v v . Câu 13 : Giải hệ phương trình tuyến tính: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 4 2 7 7 6 3 9 9 3 4 11 x x x x x x x x x Câu 14 : Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian 4 : 1 (3,2,5, 4) v ; 2 (5,12,7, 14) v ; 3 (2, 3,4,1) v . Câu 15: Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian 4 : 1 (1, 2,4,1) v ; 2 (2, 3,9, 1) v ; 3 (1,0,6, 5) v , 4 (2, 5,7,5) v . B. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM Câu 1 : Biểu diễn véc tơ (1, 2,5) u thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau: 1 (1,1,1) v , 2 (1,2,3) v , 3 (2, 1,1) v . Câu 2: Biểu diễn véc tơ (2, 5,3) u thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau: 1 (1, 3,2) v , 2 (2, 4, 1) v , 3 (1, 5,7) v . Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của m để véc tơ (1,3,5) u biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ: 1 (3,2,5) v , 2 (2,4,7) v , 3 (5,6, ) v m . Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để (7, 2, ) u m biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của: 1 (2,3,5) v , 2 (3,7,8) v , 3 (1, 6,1) v . 3 Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của m để véc tơ (1, 2, ) u m biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ: 1 (3,0, 2) v , 2 (2, 1, 5) v . Câu 6: Chứng tỏ rằng hệ véc tơ 1 2 3 (2,1, 3); (3,2, 5); (1, 1,1) v v v là một cơ sở của không gian véc tơ 3 . Tìm toạ độ của véc tơ (6,2, 7) u trong cơ sở này. Câu 7: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 4 5 9 4 10 11 7 3 6 8 9 5 2 4 6 7 x x x x x x mx x x x x x x x x x Câu 8 : Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 3 2 4 3 7 3 7 17 4 2 3 7 1 8 6 5 9 x x x x x x x x m x x x x x x x x Câu 9: Tìm điều kiện đối với , , a b c để véc tơ ( , , ) u a b c thuộc vào không gian véc tơ sinh bởi các véc tơ: 1 (2,1,0) v , 2 (1, 1,2) v , 3 (0,3, 4) v . Câu 10: Xét các véc tơ (1, 3,2), (2, 1,1), ( , , ) u v w a b c của không gian véc tơ 3 . Tìm điều kiện , , a b c để w là tổ hợp tuyến tính của u và v . Câu 11: Giải phương trình ma trận 95 53 43 21 X . Câu 12: Giải phương trình ma trận 2 1 1 3 X = 4 5 3 1 . Câu 13: Chứng minh rằng ( , , ): 0 W x y z x y z là một không gian véc tơ con của 3 . Tìm một cơ sở của W . Câu 14: Gọi 2 M là không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Tìm tọa độ của 2 A M , 2 3 4 7 A trong cơ sở 1 1 0 1 1 1 1 0 , , , 1 1 1 0 0 0 0 0 . Câu 15: Gọi W là không gian véc tơ gồm các ma trận vuông cấp 2 đối xứng. Tìm tọa độ của A W , 4 11 11 7 A trong cơ sở 1 2 2 1 4 1 , , 2 1 1 3 1 5 . 4 C. LOẠI CÂU HỎI 5 ĐIỂM Câu 1 : Đặt 1 V , 2 V lần lượt là hai không gian véc tơ con của 4 : 1 ( , , , ) : 0 V a b c d b c d , 2 ( , , , ) : 0, 2 V a b c d a b c d Hãy tìm số chiều và một cơ sở của các không gian con 1 V , 2 V , 1 V 2 V . Câu 2 : Trong không gian 4 xét các véc tơ: 1 (1,1,0. 1) v ; 2 (1,2,3,0) v ; 3 (2,3,3, 1) v ; 1 (1,2,2, 2) u ; 2 (2,3,2, 3) u ; 3 (1,3,4, 3) u . Đặt V , U là hai không gian véc tơ con của 4 lần lượt sinh bởi hệ véc tơ 321 ,, vvv và 321 ,, uuu . Hãy tìm số chiều của các không gian con V U , V U . Câu 3: Chứng minh rằng ánh xạ 33 : f có công thức xác định ảnh ( , , ) ( 2 2 ,3 , ) f x y z x y z x y x y z . a) Viết ma trận A của f trong cơ sở chính tắc. b) Tìm ma trận nghịch đảo 1 A . c) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược ),,( 1 zyxf . Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính 33 : f có công thức xác định ảnh ( , , ) (2 3 , 2 ,3 5 ) f x y z x y z x y z x y z . a) Viết ma trận A của f trong cơ sở chính tắc. b) Tìm ma trận nghịch đảo 1 A . c) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược ),,( 1 zyxf . Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính 33 : f có ma trận trong cơ sở chính tắc là 0 2 1 1 4 0 3 0 0 A a) Viết công thức xác định ảnh ( , , ) f x y z . b) Viết ma trận của f trong cơ sở 1 2 3 (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) v v v . Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính 33 : f có công thức xác định ảnh ( , , ) (2 3 4 ,5 2 ,4 7 ) f x y z x y z x y z x y . a) Viết ma trận A của f trong cơ sở chính tắc. 5 b) Viết ma trận ' A của f trong cơ sở 1 2 3 (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) v v v . Câu 7: Chứng minh rằng tập hợp W các ma trận vuông cấp 2 có dạng a b A c d thoả mãn 3 0 3 2 0 a b c d a b d là không gian véc tơ con của không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Tìm một cơ sở và suy ra số chiều của W . Câu 8 : Cho ma trận 3 1 1 7 5 1 6 6 2 A . a) Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A . b) Với mỗi giá trị riêng tìm một cơ sở của không gian riêng tương ứng. Câu 9 Cho ma trận 1 3 3 3 5 3 6 6 4 m A m m ; m . a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo 1 A . b) Cho 2 m tìm 1 A . Câu 10 Cho ma trận 3 1 1 7 5 1 6 6 2 m A m m ; m . a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo 1 A . b) Cho 1 m tìm 1 A . Câu 11: Cho ma trận 1 3 3 3 5 3 6 6 4 A , tìm ma trận P sao cho 1 P AP là ma trận chéo. Câu 12: Cho dạng toàn phương 3 :Q xác định bởi: ( ) 2 2 2 , , 5 2 2 4 Q x y z x y z xy xz yz a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để Q là dạng toàn phương xác định dương. Câu 13: Cho dạng toàn phương 3 :Q xác định bởi: ( ) 7 2 2 2 , , 7 7 2 2 2 Q x y z x y z xy xz yz a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc. 6 b) Tìm một cơ sở của 3 để biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc. Câu 14: Cho hai phép biến đổi tuyến tính 3 3 , :f g xác định bởi: ( , , ) ( 3 2 ,3 3 , 5 ) f x y z x y z x y z x y z , ( , , ) ( 2 3 , 2 3 ,4 2 5 ) g x y z x y z x y z x y z . a) Viết ma trận A của f và ma trận B của g trong cơ sở chính tắc. b) Tính tích ma trận AB , suy ra công thức xác định ảnh ( , , ) f g x y z . c) Tính định thức của các ma trận A , B và AB . Câu 15: Cho hai phép biến đổi tuyến tính 3 3 , :f g xác định bởi: ( , , ) (2 ,3 2 3 , 3 5 ) f x y z x z x y z x y z , ( , , ) ( 2 3 ,2 3 4 , 5 7 ) g x y z x y z x y z x y z . a) Viết ma trận A của f và ma trận B của g trong cơ sở chính tắc. b) Tính tích ma trận AB , suy ra công thức xác định ảnh ( , , ) f g x y z . c) Tính định thức của các ma trận A , B và AB . . THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập - Tự do – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: TOÁN CAO CẤP 2 Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của. ma trận vuông cấp 2 có dạng a b A c d thoả mãn 3 0 3 2 0 a b c d a b d là không gian véc tơ con của không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Tìm một. con của 3 . Tìm một cơ sở của W . Câu 14: Gọi 2 M là không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Tìm tọa độ của 2 A M , 2 3 4 7 A trong cơ sở 1 1 0 1 1 1 1 0 , , , 1