ngân hàng đề thi toán cao cấp có đáp án

A LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM

Câu 2: Hệ vectơ sau của không gian 34 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

v   v   v   v   .

Bài giải:

Ta có:

A =





 r (A) = 3 < n = 4

Vậy không gian 34 phụ thuộc tuyến tính.

Câu 3: Hệ vectơ sau của không gian 34 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

v 1 (1,3,5, 1) ; v 2 (2, 1, 3, 4)  ; v 3 (5,1, 1,7) ; v 4 (7,7,9,1).

Bài giải:

Ta có:

A =



 r (A) = 3 < n = 4

Vậy không gian 34 phụ thuộc tuyến tính.

Câu 4: Tìm hạng của hệ vectơ sau của không gian 4

 :

v 1 (3,1, 2,4) ; v 2 (2,4,5, 3) ; v 3 (13,7,6, 3) ; v  4 ( 1,7,5,2).

Bài giải:

Ta có:

A =

0 0

16 79





 r (A) = 3 < n = 4

Vậy không gian 34 phụ thuộc tuyến tính.

Câu 13: Tìm hạng của ma trận:

8 4 6 2

3 1 4 2

6 2 8 3

4 2 3 1

A



.

Bài giải:

Ta có:

A

Vậy: r (A) = 3

Câu 14: Tìm hạng của ma trận:

A



.

Ta có:

A



 

 

Vậy: r (A) = 3

B LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM

Câu 3: Giả sử 3 véc tơ u v, và w độc lập tuyến tính Chứng minh rằng:

a) u v  2w, u v w  và u w là độc lập tuyến tính.

b) u v  3w, u3v w và v w là phụ thuộc tuyến tính.

Bài giải:

a) Từ đề bài ta có:

A

 r (A) = 3 = n là điều cần chứng minh.

b) Từ đề bài ta có:

0 2 2

A



 r (A) = 2 < n = 3 là điều cần chứng minh.

Câu 6: Viết 3 1

E  

thành tổ hợp tuyến tính của:

A  

1 0

B 

C   

.

Bài giải:

E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C:

Ta có: E = aA + bB + cC



3

2 1

1 1

3 ( 2) ( 1) 6 2

a b c

a

a b c

b b

c a

  









  

 

 



Thay nghiệm vào phương trình còn lại:

a + b – c = -1  - 2 – 1 – 6  - 1  Không thỏa  Hệ phương trình vô nghiệm Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C.

Câu 7: Viết 2 1

E   

thành tổ hợp tuyến tính của:

A  

1 0

B 

C   

.

Bài giải:

E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C:

Ta có: E = aA + bB + cC

2

1 1

2 1

2 2 1 1 2

a b c

b

a b c

a b

c a

  







   

 

 



Thay nghiệm vào phương trình còn lại:

a + b – c = 12 + 1 – (-1) 1 Không thỏa  Hệ phương trình vô nghiệm Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C.

Câu 8: Biểu diễn véc tơ u (3,6, 6,0) thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:

1 (3, 2, 4,1)

v   , v 2 (1,5,0,3), v 3 (4,3, 2,5) .

Bài giải:

Vectơ u biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua v v v1, 2, 3:

Giả sử: u a v v1b 2 cv3

3 4 3

2

1

1

a b c

a

a b c

b

a c

c

a b c









Nghiệm a, b, c thỏa hệ phương trình

Vậy: u2v v v1 2 3

Câu 9: Chứng tỏ rằng hệ vectơ v1(1, 1,1); v2 (2,1, 3); v3 (3, 2, 5) là một cơ sở của không gian

3

 Tìm toạ độ của vectơ u (5,3, 4) trong cơ sở này.

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

A

 r (A) = 3 = n

Vậy:E{v v v1, 2, }3 là một cơ sở của không gian 3

 Giả sử tọa độ của vectơ u (5,3, 4) trong cơ sở E{v v v1, 2, }3 là: uE( , , )x y z

Ta có: u x v1yv2zv3

x y z x

x y z y

x y z z

       

Vậy: tọa độ của vectơ u (5,3, 4) trong cơ sở này là uE(4, 19,13)

Câu 10: Chứng tỏ rằng hệ vectơ v1(5,3, 8); v2 (3, 2, 5); v3 (4,1, 4)

là một cơ sở của không gian 3

 Tìm toạ độ của vectơ u  ( 6 , 2 ,  7 ) trong cơ sở này.

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

A

 r (A) = 3 = n

Vậy:E{v v v1, 2, }3 là một cơ sở của không gian 3

 Giả sử tọa độ của vectơ u ( 6 , 2 ,  7 ) trong cơ sở

1, 2 3

E v v v là: uE ( , , )x y z

Ta có: u x v1yv2zv3

5 3 4 6 1

x y z x

x y z y

x y z z

Vậy: tọa độ của vectơ u (6, 2, 7) trong cơ sở này là uE (1, 1,1)

Câu 12: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:





































1 3

2

3 7

9 3

2

3 2

3 6

4

3 8

1 2 8

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x mx

x x

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

Vậy vớim hệ phương trình có vô số nghiệm

Câu 13: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:





































9 5

6 8

1 7

3

2 4

1 7 7

3 7

3 4

2

3 5

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

m x

x x

x

x x

x x

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

56 16 56

m

m



56 16 56



- Với m = 0  Hệ phương trình vô số nghiệm.

- Với m 0  Hệ phương trình vô nghiệm.

Câu 14: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:





































1 8

9 5

3 2

5 3

1 3 5

4 5

5

3 7

2

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

mx x

x x

x x

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

- Với m - 18 = 0  m = 18  Hệ phương trình vô nghiệm.

- Với m - 18  0  m 18  Hệ phương trình vô số nghiệm.

Câu 15: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:













Bài giải:

Từ đề bài ta có:

m

m m



1 5

m

- Với m - 1 = 0  m = 1  Hệ phương trình vô nghiệm.

- Với m - 10  m 1  Hệ phương trình vô số nghiệm

C LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM

Câu 1: Đặt V1, V2 lần lượt là hai không gian vectơ con của  4gồm các véctơ v (x1,x2,x3,x4) thoả mãn

hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):

    









0 2

2

0 4

4 5

3

)

(

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x





























0 4

6 5

3

0 3

4 2

0 9

10 2

)

(

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Hãy tìm số chiều của các không gian con V1, V2, V1+ V2, V1 V2.

Bài giải:

I



(1)

x x2 32x40 x x2 3 2x4

x1 2(x3 2x4) x3 2x4 0 x1 3x32x4 0 x13x3 2x4

V1(x x x x1, 2, 3, 4)

3 4 3 4 3 4

3 3 3 4 4 4

(3 , , ,0) ( 2 2 0, )

(3,1,1,0) ( 2, 2,0,1)

V1{(3,1,1,0),( 2, 2,0,1)}  là một cơ sở , cũng là tập sinh.

 dimV12

II



 

(2)

x2 6x35x4 0 x26x35x4

x12( 6 x35x4) 4 x3 3x4 0 x18x3 7x4

V2(x x x x1, 2, 3, 4)

3 4 3 4 3 4

3 3 3 4 4 4

(8 , 6 , ,0) ( 7 ,5 ,0, )

(8, 6,1,0) ( 7,5,0,1)

2 {(8, 6,1, 0),( 7,5,0,1)}

V

2

dimV 2

Do: xV1;xV2 xV V1 2

Từ (1) và (2) ta có:



3 4 3 4

9x 9x 0 x x

x x2 32x4 0 x x2 42x4 0 x2 x4

x1 2x x2 3 2x4 0 x12x x4 4 2x4 x x1 4

1 2 ( 4, 4, 4, 4)

V V  x x x x x4(1, 1,1,1)

1 2 {(1, 1,1,1)}

V V   là một cơ sở , cũng là tập sinh.

1 2

dimV V 1

Tacó: dimV V1 2dimV1dimV2 dimV V1 2  2 2 1 3

Câu 2: Trong không gian  4 xét các vectơ: v1 (2,4,1,3); v2 (1,2,1,2); v3 (1,2,2,3);

) 7 ,

3

,

8

,

2

(

u ; u2 (1,0,1,1); u3 (3,8,4,8)

Đặt V1, V2 là hai không gian vectơ con của 4

 lần lượt sinh bởi hệ vectơ v1,v2,v3 và u1,u2,u3 Hãy tìm số chiều của các không gian con V1, V2, V1+ V2, V1 V2.

Bài giải:

Ta có:

1

V

(1)

1

dimV 3

2

1 0 1 1

0 8 1 5

V





(2)

2

dimV 2

Từ (1) và (2) ta có:

1

dim



 V V 24

Tacó: dimV V1 2dimV1dimV2 dimV V1 2

dimV V dimV dimV dimV V 3 2 4 1

Câu 3: Đặt V1, V2 lần lượt là hai không gian vectơ con của 4

 gồm các véctơ v (x1,x2,x3,x4) thoả mãn

hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):





























0 3

4 2

0 4

6 5

3

0 3

2 5

4 ) (

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x





























0 2

2

0 6

5 7

4

0 2

3 3

2

)

(

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Hãy tìm số chiều của các không gian con V1, V2, V1+ V2, V1 V2.

Bài giải:

I



 

(1)

2 3 4 2 3 4

(1) x  6x 5x  0 x 6x 5x

 x12( 6 x35 ) 4x4  x3 3x4  0 x18x3 7x4

Ta có:

1 1 2 3 4

1 3 4 3 4 3 4

1 3 3 3 4 4 4 3 4

( , , , )

(8 7 , 6 5 , , )

(8 , 6 , ,0) ( 7 ,5 ,0, ) (8, 6,1,0) ( 7,5,0,1)

V x x x x

V x x x x x x

V x x x x x x x x



Vậy: E {(8, 6,1,0),( 7,5,0,1)}  là một cơ sở , cũng là tập sinh.

 dimV12

II



2 3 4 2 3 4

(2) x  x 2x  0 x x  2x

 x1 2(x3 2 )x4  x3 2x4  0 x13x3 2x4

Ta có:

2 1 2 3 4

2 3 4 3 4 3 4

3 3 3 3 4 4 4 3 4

( , , , )

(3 2 , 2 , , )

(3 , , ,0) ( 2 , 2 ,0, ) (3,1,1,0) ( 2, 2,0,1)

V x x x x

V x x x x x x

V x x x x x x x x



Vậy: F {(3,1,1,0),( 2, 2,0,1)}  là một cơ sở , cũng là tập sinh

 dimV2 2

Ta có: R {(3,1,1,0),( 2, 2,0,1),(8, 6,1,0), ( 7,5,0,1)}   

là một cơ sở , cũng là tập sinh của V V1 2

1 2

dimV V 3

Ta có : dimV1V2 dimV1dimV2 dimV V1 2   2 2 3 1

Câu 4: Trong không gian  4 xét các vectơ: v1 (2,1,2,1) ; v2 (3,4,2,3); 3v (2,3,1,2);

) 3 , 1

,

1

,

1

(

u ; u2 (1,1,0,1); 3u (1,1,1,1) Đặt V1 là không gian vectơ con của  4sinh bởi

hệ vectơ v1,v2,v3 và V2 là không gian vectơ con của 4

 sinh bởi hệ vectơ u1,u2,u3 Hãy tìm số chiều của các không gian con V1, V2, V1+ V2, V1 V2.

Bài giải: Từ đề bài ta có:

1

V

Tương tự:

2

V

Ta có:

{(1, 2, 2,1),(0,1,1,0),(0,0,3,0),(0,0, 1, 1)}

E

Vậy :  dimV V1 2 4

Ta có : dimV1V2 dimV1dimV2 dimV V1 2   3 2 4 1