ngân hàng đề thi toán cao cấp có đáp án

A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM Câu 2: Hệ vectơ sau của không gian 4 3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính 1 2 3 4 (4, 5,2,6); (2, 2,1,3); (6, 3,3,9) ; (4, 1,5,6)v v v v= − = − = − = − . Bài giải: Ta có: A = 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 4 5 2 6 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 5 6 0 3 3 0 0 3 3 0 6 3 3 9 0 3 0 0 − −     −    ÷  ÷ − −  ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ −  ÷  ÷  ÷ −  ÷  ÷  ÷   −     ⇔ r (A) = 3 < n = 4 Vậy không gian 4 3 phụ thuộc tuyến tính. Câu 3: Hệ vectơ sau của không gian 4 3 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính 1 (1,3,5, 1)v = − ; 2 (2, 1, 3,4)v = − − ; 3 (5,1, 1,7)v = − ; 4 (7,7,9,1)v = . Bài giải: Ta có: A = 1 3 5 1 1 3 5 1 1 3 5 1 2 1 3 4 0 7 13 6 0 7 13 6 5 1 1 7 0 14 26 12 0 14 26 8 7 7 9 1 0 14 26 8 − −     −    ÷  ÷ − − − −  ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ − −  ÷  ÷  ÷ − − −  ÷ − −  ÷  ÷   − −     ⇔ r (A) = 3 < n = 4 Vậy không gian 4 3 phụ thuộc tuyến tính. Câu 4: Tìm hạng của hệ vectơ sau của không gian 4  : 1 (3,1, 2,4)v = − ; 2 (2,4,5, 3)v = − ; 3 (13,7,6, 3)v = − ; 4 ( 1,7,5,2)v = − . Bài giải: Ta có: A = 1 7 5 2 1 7 5 2 1 7 5 2 0 18 15 1 1 7 5 2 2 4 5 3 0 18 15 1 16 79 0 18 15 1 0 0 3 1 2 4 0 22 13 10 3 9 16 79 0 0 13 7 6 3 0 98 71 23 32 158 0 0 3 9 3 9 −      ÷ − −      ÷ −  ÷  ÷  ÷ −  ÷  ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ ⇒ −  ÷  ÷  ÷  ÷ −  ÷  ÷  ÷  ÷ −  ÷ −  ÷     −    ÷   ⇒ r (A) = 3 < n = 4 Vậy không gian 4 3 phụ thuộc tuyến tính. Câu 13: Tìm hạng của ma trận: 8 4 6 2 3 1 4 2 6 2 8 3 4 2 3 1 A    ÷  ÷ =  ÷  ÷   . Bài giải: Ta có: 3 1 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 4 2 3 1 2 4 3 1 0 2 5 3 0 2 5 3 6 2 8 3 2 6 8 3 0 0 0 1 0 0 0 1 8 4 6 2 4 8 6 2 0 4 10 6 A          ÷  ÷  ÷ − − −  ÷  ÷  ÷  ÷ = ⇒ ⇒ ⇒ − − −  ÷  ÷  ÷  ÷ −  ÷ −  ÷  ÷  ÷   − − −       Vậy: r (A) = 3 Câu 14: Tìm hạng của ma trận: 5 2 3 1 4 1 2 3 1 1 1 2 3 4 1 2 A    ÷  ÷ =  ÷ −  ÷   . Ta có: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 4 1 2 0 1 2 8 0 1 2 8 4 1 2 3 0 3 2 11 0 3 2 11 5 2 3 1 0 3 2 11 A − −     −    ÷  ÷ −  ÷  ÷  ÷ = ⇒ ⇒ −  ÷  ÷  ÷ − −  ÷ − −  ÷  ÷   − −     Vậy: r (A) = 3 B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM Câu 3: Giả sử 3 véc tơ ,u v và w độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng: a) 2u v w+ − , u v w− − và u w+ là độc lập tuyến tính. b) 3u v w + − , 3u v w + − và v w+ là phụ thuộc tuyến tính. Bài giải: a) Từ đề bài ta có: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1 0 1 0 1 3 0 0 1 A − − −        ÷  ÷  ÷ = − − ⇒ ⇒  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ −       ⇒ r (A) = 3 = n là điều cần chứng minh. b) Từ đề bài ta có: 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 0 2 2 0 2 2 0 1 1 0 1 1 A − −     −    ÷  ÷ = − ⇒ ⇒  ÷  ÷  ÷    ÷  ÷     ⇒ r (A) = 2 < n = 3 là điều cần chứng minh. Câu 6: Viết 3 1 1 2 E −   =     thành tổ hợp tuyến tính của: 1 1 0 1 A   =   −   , 1 1 1 0 B   =   −   và 1 1 0 0 C −   =     . Bài giải: E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C: Ta có: E = aA + bB + cC ⇔ 3 2 1 1 1 3 ( 2) ( 1) 6 2 a b c a a b c b b c a + + =  = −   + − = −   ⇔ = −   − =   = − − − − =   − =  Thay nghiệm vào phương trình còn lại: a + b – c = -1 ⇔ - 2 – 1 – 6 ≠ - 1 ⇒ Không thỏa ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C. Câu 7: Viết 2 1 1 2 E   =   − −   thành tổ hợp tuyến tính của: 1 1 0 1 A   =   −   , 1 1 1 0 B   =   −   và 1 1 0 0 C −   =     . Bài giải: E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C: Ta có: E = aA + bB + cC 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 a b c b a b c a b c a + + =  =   + − =   ⇔ ⇔ =   − = −   = − − = −   − = −  Thay nghiệm vào phương trình còn lại: a + b – c = 1 ⇔ 2 + 1 – (-1) ≠ 1 ⇒ Không thỏa ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C. Câu 8: Biểu diễn véc tơ (3,6, 6,0)u = − thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau: 1 (3,2, 4,1)v = − , 2 (1,5,0,3)v = , 3 (4,3, 2,5)v = − . Bài giải: Vectơ u biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua 1 2 3 , , v v v : Giả sử: 1 2 3 u a b c v v v = + − 3 4 3 2 2 5 3 6 1 4 2 6 1 3 5 0 a b c a a b c b a c c a b c + + =  =   + + =   ⇔ ⇒ = ⇒   − − = −   = −   + + =  Nghiệm a, b, c thỏa hệ phương trình Vậy: 1 2 3 2u v v v = + − Câu 9: Chứng tỏ rằng hệ vectơ 1 2 3 (1, 1,1); (2,1, 3); (3,2, 5)v v v= − = − = − là một cơ sở của không gian 3  . Tìm toạ độ của vectơ (5,3, 4)u = − trong cơ sở này. Bài giải: Từ đề bài ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 3 0 3 5 3 2 5 0 5 8 A − −      ÷  ÷ = − ⇒ −  ÷  ÷  ÷  ÷ − −     ⇒ r (A) = 3 = n Vậy: 1, 2 3 { , }E v v v = là một cơ sở của không gian 3  . Giả sử tọa độ của vectơ (5,3, 4)u = − trong cơ sở 1, 2 3 { , }E v v v = là: ( , , ) E x y z u = Ta có: 1 2 3 u x y z v v v = + + 2 3 5 4 2 3 19 3 5 4 13 x y z x x y z y x y z z + + = =     ⇒ − + + = ⇒ = −     − − = − =   Vậy: tọa độ của vectơ (5,3, 4)u = − trong cơ sở này là (4, 19,13) E u = − Câu 10: Chứng tỏ rằng hệ vectơ 1 2 3 (5,3, 8); (3,2, 5); (4,1, 4)v v v= − = − = − là một cơ sở của không gian 3  . Tìm toạ độ của vectơ )7,2,6( −=u trong cơ sở này. Bài giải: Từ đề bài ta có: 5 3 8 4 1 4 1 4 4 1 4 4 3 2 5 5 3 8 3 5 8 0 7 4 4 1 4 3 2 5 2 3 5 0 5 3 A − − − −          ÷  ÷  ÷  ÷ = − ⇒ − ⇒ − ⇒ −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ − − − −         ⇒ r (A) = 3 = n Vậy: 1, 2 3 { , }E v v v = là một cơ sở của không gian 3  . Giả sử tọa độ của vectơ )7,2,6( −=u trong cơ sở 1, 2 3 { , }E v v v = là: ( , , ) E x y z u = Ta có: 1 2 3 u x y z v v v = + + 5 3 4 6 1 3 2 2 1 8 5 4 7 1 x y z x x y z y x y z z + + = =     ⇒ + + = ⇒ = −     − − − = − =   Vậy: tọa độ của vectơ (6,2, 7)u = − trong cơ sở này là (1, 1,1) E u = − Câu 12: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:        =+−+ =−++ =−++ =+++ 132 37932 32364 38 128 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xmxxx Bài giải: Từ đề bài ta có: 2 3 1 1 1 1 3 2 1 1 1 3 2 1 1 2 3 9 7 3 7 3 2 9 3 0 24 16 2 10 4 6 3 2 3 2 6 4 3 3 0 12 8 1 5 8 12 8 3 8 12 8 3 0 12 8 8 5 1 3 2 1 1 1 3 2 1 1 0 12 8 1 5 0 12 8 1 5 0 12 8 8 5 0 0 0 9 0 m m m m m − − −        ÷  ÷  ÷ − −  ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ ⇒  ÷  ÷  ÷ − −  ÷  ÷  ÷ − − + −       − −      ÷  ÷ ⇒ ⇒  ÷  ÷  ÷  ÷ − − + − +     Vậy với ∀ m hệ phương trình có vô số nghiệm Câu 13: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:        =−−− =++− =++− =++− 95 68 17 324 17737 34 23 5 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx mxxxx xxxx Bài giải: Từ đề bài ta có: 5 3 2 4 3 8 6 1 5 9 1 6 8 5 9 7 3 7 17 5 3 2 4 3 2 3 5 4 3 4 2 3 7 1 4 2 3 7 1 3 2 4 7 1 8 6 1 5 9 7 3 7 17 7 3 7 17 1 6 8 5 9 1 6 8 5 9 0 9 21 6 21 0 9 21 6 21 56 16 56 0 20 28 8 28 0 0 3 3 0 45 63 18 63 m m m m − − − − − −        ÷  ÷  ÷ −  ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ ⇒  ÷  ÷  ÷ − − −  ÷  ÷  ÷ − − − − −       − − − − − −   − −  ÷ − −  ÷ ⇒ ⇒  ÷ − − − −  ÷ − − +   1 6 8 5 9 0 9 21 6 21 56 16 56 0 0 3 3 3 3 0 0 42 12 42 0 0 0 0m m − − −      ÷  ÷ − −  ÷  ÷ ⇒  ÷  ÷ − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ − −     - Với m = 0 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm. - Với m ≠ 0 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm. Câu 14: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:        =+−+ =−++ =+++ =+++ 1895 3253 13545 5 37 2 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxmxx xxxx Bài giải: Từ đề bài ta có: 1 3 5 2 3 1 2 5 3 3 1 2 5 3 3 1 5 9 8 1 1 8 9 5 1 0 10 14 2 2 2 7 3 1 5 2 1 3 7 5 0 5 7 1 1 5 4 5 13 5 5 4 13 0 15 21 15 2 1 2 5 3 3 1 2 5 3 3 0 5 7 1 1 0 5 7 1 1 0 15 21 15 2 0 0 0 18 1 m m m m m − − −        ÷  ÷  ÷ − − − −  ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ ⇒  ÷  ÷  ÷ − −  ÷  ÷  ÷ − − −       − −      ÷  ÷ ⇒ − − ⇒ − −  ÷  ÷  ÷  ÷ − − − −     - Với m - 18 = 0 ⇒ m = 18 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm. - Với m - 18 ≠ 0 ⇒ m ≠ 18 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm. Câu 15: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2x 5x x 3x 2 2x 3x 3x mx 7 4x 6x 3x 5x 4 4x 14x x 7x 4 + + + =   − + + =   + + + =   + + + =  Bài giải: Từ đề bài ta có: 2 5 1 3 2 2 5 1 3 2 1 5 2 3 2 2 3 3 7 4 6 3 5 4 3 6 4 5 4 4 6 3 5 4 4 14 1 7 4 1 14 4 7 4 4 14 1 7 4 2 3 3 7 3 3 2 7 1 5 2 3 2 1 5 2 3 2 1 5 2 3 2 0 9 2 4 2 0 9 2 4 2 0 9 2 4 2 0 9 2 4 2 0 18 4 9 1 0 0 0 0 18 4 9 1 m m m m m        ÷  ÷  ÷ −  ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ ⇒  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ − −            ÷ − − − −  ÷  ÷ ⇒ ⇒ − − − − ⇒ − − − −  ÷  ÷  ÷ − − −  ÷   − − −   1 5m    ÷  ÷  ÷ −   - Với m - 1 = 0 ⇒ m = 1 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm. - Với m - 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM Câu 1: Đặt 1 V , 2 V lần lượt là hai không gian vectơ con của 4  gồm các véctơ ),,,( 4321 xxxxv = thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):      =−−− =−−− =−−− 022 04453 02332 )( 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx I ,      =−++ =−++ =+−+ 04653 0342 09102 )( 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx II Hãy tìm số chiều của các không gian con 1 V , 2 V , 1 V + 2 V , 1 V ∩ 2 V . Bài giải: 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 ( ) 2 3 3 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 3 5 4 4 0 0 1 1 2 0 I − − − − − −     − − −    ÷  ÷ ⇒ − − − ⇒ − ⇒  ÷  ÷  ÷ −    ÷  ÷ − − − −     (1) 2 3 4 2 0 x x x − + = ⇒ 2 3 4 2 x x x = − 1 3 4 3 4 1 3 4 1 3 4 2( 2 ) 2 0 3 2 0 3 2 x x x x x x x x x x x − − − − = ⇒ − + = ⇒ = − 1 1, 2, 3 4 ( , ) V x x x x = 3 4 3 4 3 4 3 3 3 4 4 4 3 4 (3 2 , 2 , , ) (3 , , ,0) ( 2 2 0, ) (3,1,1,0) ( 2, 2,0,1) x x x x x x x x x x x x x x = − − = + − − = + − − 1 {(3,1,1,0),( 2, 2,0,1)} V ⇒ = − − là một cơ sở , cũng là tập sinh. 1 dim 2 V ⇒ = 1 2 4 3 0 1 2 4 3 0 1 2 4 3 0 ( ) 2 1 10 9 0 0 3 18 15 0 0 1 6 5 0 3 5 6 4 0 0 1 6 5 0 II − −     −    ÷  ÷ ⇒ − ⇒ − − ⇒  ÷  ÷  ÷ − −    ÷  ÷ − − −     (2) 2 3 4 2 3 4 6 5 0 6 5 x x x x x x − − + = ⇒ = − + 1 3 4 3 4 1 3 4 2( 6 5 ) 4 3 0 8 7 x x x x x x x x + − + + − = ⇒ = − 2 1, 2, 3 4 ( , ) V x x x x = 3 4 3 4 3 4 3 3 3 4 4 4 3 4 (8 7 , 6 5 , , ) (8 , 6 , ,0) ( 7 ,5 ,0, ) (8, 6,1,0) ( 7,5,0,1) x x x x x x x x x x x x x x = − − + = − + − = − + − 2 {(8, 6,1,0),( 7,5,0,1)} V ⇒ = − − là một cơ sở , cũng là tập sinh. 2 dim 2 V ⇒ = Do: 1 2 1 2 ;x x x V V V V ∈ ∈ ⇒ ∈ I Từ (1) và (2) ta có: 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 1 2 4 3 0 0 4 5 1 0 0 0 9 9 0 0 0 9 9 0 0 1 6 5 0 0 1 6 5 0 0 0 7 7 0 − − − − − − − −       − − −    ÷  ÷  ÷ − − −  ÷  ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ ⇒ −  ÷  ÷  ÷  ÷ − − −  ÷ −  ÷  ÷  ÷   − − − − − −       3 4 3 4 9 9 0 x x x x ⇒ − = ⇒ = 2 3 4 2 4 4 2 4 2 0 2 0 x x x x x x x x − + = ⇒ − + = ⇒ = − 1 2 3 4 1 4 4 4 1 4 2 2 0 2 2 x x x x x x x x x x − − − = ⇒ + − − ⇒ = 1 2 4 4 4 4 ( , , , ) V V x x x x = −I 4 (1, 1,1,1) x = − 1 2 {(1, 1,1,1)} V V = −I là một cơ sở , cũng là tập sinh. 1 2 dim 1 V V =I Tacó: 1 2 1 2 1 2 dim dim dim dim 2 2 1 3 V V V V V V + = + − = + − =I Câu 2: Trong không gian 4  xét các vectơ: )3,1,4,2( 1 −= v ; )2,1,2,1( 2 −= v ; )3,2,2,1( 3 −= v ; )7,3,8,2( 1 −= u ; )1,1,0,1( 2 −= u ; )8,4,8,3( 3 −=u . Đặt 1 V , 2 V là hai không gian vectơ con của 4  lần lượt sinh bởi hệ vectơ { } 321 ,, vvv và { } 321 ,, uuu . Hãy tìm số chiều của các không gian con 1 V , 2 V , 1 V + 2 V , 1 V ∩ 2 V . Bài giải: Ta có: 1 2 4 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 0 0 1 1 0 0 1 1 1 2 2 3 2 4 1 3 0 0 1 3 0 0 0 2 V − − − −          ÷  ÷  ÷  ÷ = − ⇒ − ⇒ − ⇒ −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ − − −         (1) 1 dim 3V⇒ = 2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 2 8 3 7 0 8 1 5 0 8 1 5 3 8 4 8 0 8 1 5 V − −     −    ÷  ÷ = − ⇒ − ⇒  ÷  ÷  ÷ −    ÷  ÷ − −     (2) 2 dim 2V⇒ = Từ (1) và (2) ta có: 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 1 1 1 0 1 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 0 0 2 0 8 1 1 0 8 1 5 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 8 1 5 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 dim − − − −         −    ÷  ÷  ÷  ÷ − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − − −  ÷ −  ÷  ÷  ÷  ÷ − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷    ÷  ÷  ÷  ÷ −         ⇒ 2 4 V V + = Tacó: 1 2 1 2 1 2 dim dim dim dim V V V V V V + = + − I 1 2 1 2 1 2 dim dim dim dim 3 2 4 1 V V V V V V ⇒ = + − + = + − =I Câu 3: Đặt 1 V , 2 V lần lượt là hai không gian vectơ con của 4  gồm các véctơ ),,,( 4321 xxxxv = thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):      =−++ =−++ =+−+ 0342 04653 03254 )( 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx I ,      =−−− =−−− =−−− 022 06574 02332 )( 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx II Hãy tìm số chiều của các không gian con 1 V , 2 V , 1 V + 2 V , 1 V ∩ 2 V . Bài giải: 1 2 4 3 0 1 2 4 3 0 1 2 4 3 0 ( ) 3 5 6 4 0 0 1 6 5 0 0 1 6 5 0 4 5 2 3 0 0 3 18 15 0 I − −     −    ÷  ÷ ⇒ − ⇒ − − ⇒  ÷  ÷  ÷ − −    ÷  ÷ − − −     (1) 2 3 4 2 3 4 (1) 6 5 0 6 5x x x x x x⇒ − − + = ⇒ = − + 1 3 4 3 4 1 3 4 2( 6 5 ) 4 3 0 8 7x x x x x x x x⇒ + − + + − = ⇒ = − Ta có: 1 1 2 3 4 1 3 4 3 4 3 4 1 3 3 3 4 4 4 3 4 ( , , , ) (8 7 , 6 5 , , ) (8 , 6 , ,0) ( 7 ,5 ,0, ) (8, 6,1,0) ( 7,5,0,1) V x x x x V x x x x x x V x x x x x x x x = = − − + = − + − = − + − Vậy: {(8, 6,1,0),( 7,5,0,1)}E = − − là một cơ sở , cũng là tập sinh. 1 dim 2V⇒ = 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 ( ) 2 3 3 2 0 0 1 1 2 0 (2) 0 1 1 2 0 4 7 5 6 0 0 1 1 2 0 II − − − − − −     − − −    ÷  ÷ ⇒ − − ⇒ − ⇒  ÷  ÷  ÷ −    ÷  ÷ − − − −     2 3 4 2 3 4 (2) 2 0 2x x x x x x⇒ − + = ⇒ = − 1 3 4 3 4 1 3 4 2( 2 ) 2 0 3 2x x x x x x x x⇒ − − − − = ⇒ = − Ta có: 2 1 2 3 4 2 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 4 4 4 3 4 ( , , , ) (3 2 , 2 , , ) (3 , , ,0) ( 2 , 2 ,0, ) (3,1,1,0) ( 2, 2,0,1) V x x x x V x x x x x x V x x x x x x x x = = − − = + − − = + − − Vậy: {(3,1,1,0),( 2, 2,0,1)}F = − − là một cơ sở , cũng là tập sinh. 2 dim 2V⇒ = Ta có: {(3,1,1,0),( 2, 2,0,1),(8, 6,1,0),( 7,5,0,1)}R = − − − − là một cơ sở , cũng là tập sinh của 1 2 V V+ 3 1 1 0 2 2 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 2 2 0 1 3 1 1 0 0 1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3 8 6 1 0 7 5 0 1 1 5 0 7 0 0 7 26 0 0 7 26 7 5 0 1 8 6 1 0 0 6 1 8 0 0 7 26 − − − − − −         − −    ÷  ÷  ÷  ÷ − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ − − − − −  ÷ − −  ÷  ÷  ÷  ÷   − − −         1 2 dim 3V V⇒ + = Ta có : 1 2 1 2 1 2 dim dim dim dim 2 2 3 1V V V V V V= + − + = + − =I Câu 4: Trong không gian 4  xét các vectơ: )1,2,1,2( 1 = v ; )3,2,4,3( 2 = v ; 3 v (2,3,1,2) = ; )3,1,1,1( 1 −−= u ; )1,0,1,1( 2 −= u ; 3 u (1,1,1,1)= . Đặt 1 V là không gian vectơ con của 4  sinh bởi hệ vectơ { } 321 ,, vvv và 2 V là không gian vectơ con của 4  sinh bởi hệ vectơ { } 321 ,, uuu . Hãy tìm số chiều của các không gian con 1 V , 2 V , 1 V + 2 V , 1 V ∩ 2 V . Bài giải: Từ đề bài ta có: 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 4 2 3 4 3 2 3 0 5 6 1 dim 3 2 3 1 2 3 2 1 2 0 4 1 0 V        ÷  ÷  ÷ ⇒ ⇒ − − − ⇒ =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ − −       Tương tự: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 dim 2 0 0 1 2 1 1 1 3 0 0 2 4 V        ÷  ÷ − ⇒ − − ⇒ ⇒ =  ÷  ÷  ÷ − −    ÷  ÷ − −     Ta có: [...]... −2 ÷  0        2 2 1 ÷ 1 1 0÷ 0 3 0÷ ÷ 0 −1 −1 ÷ 0 −1 −2 ÷  ⇒ E = {(1, 2, 2,1), (0,1,1, 0), (0, 0,3, 0), (0, 0, −1, −1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh của V1 + V2 Vậy : ⇒ dim V1 + V2 = 4 Ta có : dim V1 I V2 = dim V1 + dim V2 − dim V1 + V2 = 3 + 2 − 4 = 1 . tuyến tính. b) 3u v w + − , 3u v w + − và v w+ là phụ thuộc tuyến tính. Bài giải: a) Từ đề bài ta có: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1 0 1 0 1 3 0 0 1 A − − −        ÷  ÷  ÷ =. − ⇒ ⇒  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ −       ⇒ r (A) = 3 = n là điều cần chứng minh. b) Từ đề bài ta có: 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 0 2 2 0 2 2 0 1 1 0 1 1 A − −     −    ÷  ÷ = − ⇒ ⇒ . sở của không gian 3  . Tìm toạ độ của vectơ (5,3, 4)u = − trong cơ sở này. Bài giải: Từ đề bài ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 3 0 3 5 3 2 5 0 5 8 A − −      ÷  ÷ = − ⇒ −  ÷  ÷  ÷  ÷ − − 