ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP CÓ ĐÁP ÁN

Tập hợp đề kiểm tra kết thúc học phần Toán cao cấp 1 dành cho sinh viên Đại học đại cương, có đáp án chi tiết kèm barem điểm chuẩn. Nếu bạn nào có thắc mắc thì nhắn tin trực tiếp mình sẽ giải đáp thắc mắc.

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (1) Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín chỉ: 2

Thời gian: 75 phút (không tính thời gian phát đề)

Câu 1 ( 3 điểm) Cho   2

f x  x  x 

4 5

  Tìm B  f A  

1 0 10

  Tìm ma trận X thỏa BX  C

Câu 2 ( 1 điểm) Tìm hạng của ma trận





Câu 3 (1 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính 11 2  2 3









Giải và biện luận hệ phương trình theo m

Câu 4 ( 3 điểm) Cho hệ vectơA   1  2,0,3 ,  2   4,5,2 ,  3   2,10,1  

a) Chứng minh hệ vectơ A là một cơ sở của không gian 3

b) Tìm   x A, biết x   2, 2,5  

c) Tìm m để vectơ x   1, 2, m  1  là một tổ hợp tuyến tính của   1, 2

Câu 5 ( 2 điểm) Cho dạng toàn phương: Q  2 x12  x22  10 x32  mx x1 2

Tìm m để Q là dạng toàn phương xác định dương

Lưu ý: - Sinh viên không được sử dụng tài liệu

- Sinh viên được sử dụng các kết quả tính toán ma trận trên máy tính bỏ túi

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

1

2

28 21

0,5

  2

2

0,5

1

23 23 )

23 23

b B



0,5

1

X B C

1,0

2

(1đ)



Vậy: Rank(D)=4

1

3

(1đ) a) m = 0 : hệ có vô số nghiệm : 1 4 2 3

2

a

b)

2

1

m m m

0,25

m = 0 : Hệ có vô số nghiệm : 1 4 2 3

2

a

m  : hệ có nghiệm duy nhất:

2

2

m

4

(3đ)

a)

2 10 1

  nên A là cơ sở của 3

1

b) Giả sử:   12

3

A

x

x

 

 

  

 

  Khi đó x  x1 1 x2 2  x3 3(*)

Giải (*) được:  

2 8 15 1 15

A

x

  



1

c) x là tổ hợp tuyến tính của hệ   khi và chỉ khi 1, 2

rank 1, 2, x=2 (vì   độc lập tuyến tính) 1, 2



0,5

Vậy: m 11

10

5

(2đ)

2

2

2

2

5





m

m A

m

1

Q là dạng toàn phương xác định dương 

2

2

5

0,5

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (2) Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín chỉ: 2

Thời gian: 75 phút (không tính thời gian phát đề)

Câu 1 ( 3 điểm) Cho





c) Tính  T

d) Tìm ma trận X thỏa CX  B

Câu 2 ( 1 điểm) Tính

0 8

D









Câu 3 (1 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính

1 (1)





Giải và biện luận hệ phương trình (1) theo m

Câu 4 ( 3 điểm) Cho hai hệ vectơA   1   1, 1,0 ,  2   1,0, 1 ,   3   0,1,1  ,

 1 2 3, 1 1 3, 3 1 2

B                

d) Chứng minh A, B là các cơ sở của không gian 3

e) Tìm ma trận đổi cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở A

f) Cho x A   1,0, 4  Tìm

B

x

Câu 5 ( 2 điểm) Cho ma trận 2 2

1 3

  Hãy chéo hóa ma trận A

Lưu ý: - Sinh viên không được sử dụng tài liệu

- Sinh viên được sử dụng các kết quả tính toán ma trận trên máy tính bỏ túi

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

1

(3đ)

T

1,0

T

0,5

1

C 

1

X C B

0,5

1,0

2

0 8

D









0,25

0 12 41 32

0 a 5 a 4 a 8







0,25

a a







0,25

115

2

a

0,25

3

(1đ)

b)

3 3

m A

0,5

+ m   3: hệ có nghiệm duy nhất

2

0,25

4

(3đ)

a)



   nên các hệ vecto A là cơ sở của 3

1

Ma trận đổi cơ sở từ B sang A :

b)

1

P







1

c)    

0

4



 

 

1

0,25

5

1

  : có vecto riêng tương ứng là 1    2,1  0,5

4

  : có vecto riêng tương ứng là 2    1,1 0,5

0 4

 

0,5

Với 2 1

1 1

0,5

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (3) Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín chỉ: 2

Thời gian: 75 phút (không tính thời gian phát đề)

Câu 1 (3 điểm)

a Cho hai ma trận: A =

-3 1 0

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

B =

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú Tính A.B - B.A

b Tìm ma trận X biết:

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

X =

1 -3 0

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

c Tính định thức của ma trận sau I =

b + c c + a a + b

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

Câu 2 (2 điểm)

a Giải hệ phương trình sau

2x + 3y + z = 8

4 x + 7y + 5z = 20 2y + 6z = 8

y + 3z = 4

ì í ïï î

ï ï

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường

mx + 2y + 3z = 0

2x + y - z = 0 3mx - y + 2z = 0

ì í ï î ï

Câu 3 (3 điểm)

a Chỉ ra rằng A = v{ 1,v2,v3}độc lập tuyến tính nhưng B v v v x1, , ,2 3  phụ thuộc tuyến tính với mọi x

v1= (1,0,0),v2 = (1,1,0),v3 = (1,1,1)

b Trong R3 tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang D ={a1= (1,1,0),a2 = (0,-3,-2),a3= (1,0,5)}

c, Tìm toạ độ vecto =(4,7,2) theo cơ sở D

Câu 4 (2 điểm)

Cho dạng toàn phương: Q = 2 2 2 

2x 2x mx 2x x 2x x

Tìm m để dạng toàn phương nửa xác định dương

Lưu ý: - Sinh viên không được sử dụng tài liệu

- Sinh viên được sử dụng các kết quả tính toán ma trận trên máy tính bỏ túi

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

1

(3đ)

a,

A.B =

-3 1 0

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

= -3 -5 -15 8 9

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

0,25

-B.A = (-1) 10 21 12

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

-3 1 0

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

= (-1) -3 7-1 5 -20

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

0,25

A.B - B.A = A.B + (-B.A) =

-3 -5 -1

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

+ (-1) -3 7-1 5 -20

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

0,25

A.B - B.A =

-2 -10 1 -6 -9 2

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

0,25

A-1=

-4 3 -2 -8 6 -5 -7 5 -4

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

0,25

X = A-1.B =

-4 3 -2 -8 6 -5 -7 5 -4

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

1 -3 0

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

0,25

X = A-1

.B =

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

0,25

c,

I =

b + c c + a a + b

a + b + c a + b + c a + b + c

0,5

0,25

I = (a + b + c)

a b c

2

(2đ)

a,

A =

8 20 8 4

é

ë

ê ê ê ê

ù

û

ú ú ú ú

®

8 4 8 4

é

ë

ê ê ê ê

ù

û

ú ú ú ú

0,25

8 4

é ë

ê ê

ù û

ú ú

0,25

<=> 2x + 3y + z = 8

y + 3z = 4

ì í

î Chọn ẩn tự do z = a, a R

0,25

b, Để hệ đã cho có nghiệm không tầm thường <=> det(A)=0 0,25

A =

= 2m - 6m - 6 -10m - 8 = -14m -14

0,5

3

(3đ)

a, Ta xét các vecto trong hệ A:

A = det(A) 1 0: Vậy A là hệ độc lập tuyến tính A là

một cơ sở của R3

0,5

Do hệ B có 4 véctơ trong không gian R3 nên B chắc chắn phụ thuộc

tuyến tính với mọi x

0,5

b, Ta có 2 (0,1,0)

Tương tự có: a2 A = (3,-1,-2)

a3 A= (1,-5,5)

0,25 0,25

=> P =

é

ë

ê ê ê

ù

û

ú ú ú

0,25

c, aD = (x,y,z) <=> xv1+ yv2+ zv3= (4,7,2) 0,25

<=>

x + z = 4

x - 3y = 7

-2y + 5z = 2

ì í ï î ï

0,25

(2đ)

Vì D1, D2>0, nên dạng toàn phương nửa xác định dương

0,5

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (4) Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín chỉ : 2

Thời gian: 75 phút(không tính thời gian phát đề)

Bài 1 (3 điểm)Cho ma trận

A=



m

m

a Tính det A b Biện luận hạng của ma trận A theo m

c Tìm m để các dòng của A phụ thuộc tuyến tính

Bài 2 (2 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính

2

x y+3z – 2t=2

2 4 2 –x+ y+ z 3t=1

x+ y z+mt=

2x+2y – 6z+6t=m















 Tìm m để hệ có nghiệm Tìm các nghiệm đó

Bài 3 (3 điểm) Cho A = {a1=(0, 0,1 ; a) 2=(2 1, , 0 ; a) 3=(1, 1, 0- ) }và B là các cơ sở của 3

R Ma trận

chuyển từ cơ sở A sang B là



a Tìm tọa độ của x=(–1,1,–3) đối với A, đối với B

b Xác định cơ sở B

Bài 4 (2 điểm) Cho ma trận



Chéo hóa ma trận A (nếu được)

Lưu ý: - Sinh viênkhông được sử dụng tài liệu

- Sinh viên được sử dụng các kết quả tính toán ma trận trên máy tính bỏ túi

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

B

A=



m

m

®

Vậy:

rank(A)

-ïï

= íïïî  ¹

-0.5 0.5

C Để các dòng của A phụ thuộc tuyến tính thì rank(A)<4

Vậy: m= –13 thì các dòng của A phụ thuộc tuyến tính

0.5 0.5

2

A

0.75

0.25

Để hệ có nghiệm thì m=1 và khi đó hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là

Nếu tính đúng nghiệm của 1 biến cho 0.25,hai hoặc ba biến cho 0.5

0.25 0.75

a

A

x | (–3,0, –1);

1





0.5 0.5 0.5

b

Giả sử B { ,    1 2, 3}

Ta có

| ( 1, 2, 0) 1 2(2,1, 0) 0(1, 1, 0) ( , , )

| (0,1,1) 0(0, 0,1) 1(2,1, 0) 1 (1, 1, 0) (3, 0, 0)

| (4,1, 0) 4(0, 0,1) 1(2,1, 0) 0 (1, 1, 0) (2,1, 4)

Tính đúng 1 vecto được 0.5 điểm

1.5

Pt đặc trưng:

  

  

0.25

- Với  5: VTR: (a,0,0) , a0

- Với  1: VTR: (a,4/5 a,0), a0

- Với   2: VTR: (-8/21a,-1/3a,a), a0

Do {u , u , u1 2 3} độc lập tuyến tính do đó A chéo hóa được

Ma trận làm chéo:

P 0 4 / 5 1 / 3



và 1



0.5 0.5