không gian metric riêng và một số định lý điểm bất động

Bộ Giáo dục và Đào tạo Đại học Huế Trường Đại học Sư phạm ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ HOÀNG THỊ PHƯƠNG LỘC KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG HUẾ, NĂM 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Hoàng Thị Phương Lộc ii LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo của Thầy giáo, TS. Trương Văn Thương. Tôi xin gởi đến Thầy sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc. Xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng Đào tạo SĐH trường ĐHSP Huế, cùng quý Thầy Cô giáo đã tham gia giảng dạy Cao học Khóa 21,những người đã giúp tôi có được kiến thức khoa học cũng như những điều kiện để hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của mình. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè đã quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua. Hoàng Thị Phương Lộc iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục 1 Lời nói đầu 2 1 Các khái niệm cơ bản 3 1.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Không gian mêtric đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric . . 5 1.2 Không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Định nghĩa không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Không gian mêtric riêng đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự . . . . . . . . . . . . . 11 2 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng 12 2.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng . . . 12 2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự 21 3.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một ngành của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân, trong nhiều nghiên cứu của Vật lí, . Những định lý điểm bất động đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Năm 1994, S.G. Matthews đưa ra khái niệm tôpô mêtric riêng. Trong không gian mêtric riêng, khoảng cách từ một điểm đến chính nó có thể không bằng không và trên không gian này, Matthews đã chứng minh được một số kết quả về định lý điểm bất động. Tuy nhiên, mãi đến những năm đầu thế kỉ XXI, S. Oltra (2004), O. Valero (2005), I. Altun, F. Sola và H. Simset (2010) mới chứng minh được một số định lý điểm bất động tổng quát hơn trong không gian mêtric riêng. Với không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự, Ishak Altun và Ali Erduran (2011) đã thiết lập một số kết quả về định lý điểm bất động đối với ánh xạ đơn điệu. Vì tính thời sự và hấp dẫn của vấn đề, dưới sự hướng dẫn của TS. Trương Văn Thương, tôi chọn đề tài: "Không gian mêtric riêng và một số định lý điểm bất động" để tìm hiểu và nghiên cứu. Luận văn này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết một số kết quả về điểm bất động trong không gian mêtric riêng, nội dung được chia làm ba chương. Chương 1 giới thiệu một số khái niệm cơ bản bao gồm: các khái niệm về không gian mêtric, một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric, các khái niệm trong không gian mêtric riêng, mối quan hệ giữa không gian mêtric và mêtric riêng. Chương 2 sẽ trình bày về một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng và một số ví dụ. Chương 3 sẽ phát biểu một vài định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự và một số ví dụ. Mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng nhưng trong việc trình bày luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp cho luận văn. Huế, ngày 15 tháng 9 năm 2014 Tác giả 2 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập không rỗng. Một ánh xạ d : X × X → R được gọi là một mêtric trên X nếu: (i) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 ⇔ x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X; (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x, y, z ∈ X. Lúc đó cặp (X, d) được gọi là một không gian mêtric. Ví dụ 1.1.1. 1) Trên R, công thức d(x, y) = |x − y| xác định một mêtric trên R. 2) Với hai điểm x = (x 1 , x 2 , . . . , x k ) và y = (y 1 , y 2 , . . . , y k ) của R k ta định nghĩa d(x, y) =  k  i=1 (x i − y i ) 2  1 2 thì d là một mêtric trên R k . Mêtric ở hai ví dụ trên gọi là mêtric thông thường trên R và R k . 3) C [a,b] là tập hợp các hàm nhận giá trị thực và liên tục trên đoạn [a, b]. Với x, y ∈ C [a,b] , ta định nghĩa d(x, y) = max t∈[a,b] |x(t) − y(t)| thì d xác định một mêtric trên C [a,b] . 3 1.1.2 Sự hội tụ Định nghĩa 1.1.2. Cho (x n ) là dãy trong không gian mêtric (X, d) và x 0 ∈ X. Ta nói dãy (x n ) hội tụ về x 0 nếu lim n→∞ d(x n , x 0 ) = 0 và kí hiệu là lim n→∞ x n = x 0 hay x n → x 0 . Như vậy lim n→∞ x n = x 0 ⇔ lim n→∞ d(x n , x 0 ) = 0. ⇔ ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N : ∀n ∈ N, n ≥ n 0 ⇒ d(x n , x 0 ) < ε. Lúc đó x 0 được gọi là giới hạn của dãy (x n ). Nhận xét 1.1.1. 1) Giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất. 2) Nếu x n → x 0 thì mọi dãy con của (x n ) cũng hội tụ về x 0 . 3) Nếu x n → x 0 và y n → y 0 thì d(x n , y n ) → d(x 0 , y 0 ). 1.1.3 Không gian mêtric đủ Định nghĩa 1.1.3. Một dãy (x n ) trong không gian mêtric X gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu lim m,n→∞ d(x m , x n ) = 0. Điều này có nghĩa là với mỗi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N mà m, n ≥ n 0 thì d(x m , x n ) < ε. Nhận xét 1.1.2. 1) Nếu dãy (x n ) hội tụ thì (x n ) là dãy Cauchy. 2) Nếu dãy (x n ) là dãy Cauchy và có một dãy con hội tụ về x 0 thì dãy (x n ) cũng hội tụ về x 0 . Định nghĩa 1.1.4. Không gian mêtric X được gọi là đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ (về một phần tử của X). Ví dụ 1.1.2. 1) R với mêtric thông thường là đủ. 2) Không gian R k với mêtric thông thường là đủ. 3) Không gian C [a,b] là đủ. 4 1.1.4 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric Định nghĩa 1.1.5. Cho X là một tập khác rỗng và f : X → X là một ánh xạ. Điểm x 0 ∈ X được gọi là một điểm bất động của ánh xạ f nếu f(x 0 ) = x 0 . Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một tập khác rỗng. Ánh xạ f : X → X được gọi là thỏa điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz K > 0 nếu d(f(x), f (y)) ≤ Kd(x, y), ∀x, y ∈ X. Nếu điều kiện này thỏa với hằng số Lipschitz K với K ∈ [0, 1) thì f được gọi là ánh xạ co. Định lý 1.1.1. (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho X là một không gian mêtric đủ và f : X → X là một ánh xạ co. Khi đó f có duy nhất một điểm bất động. Định nghĩa 1.1.7. Cho X là một không gian mêtric. Ánh xạ f : X → X được gọi là liên tục tại x 0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà d(x, x 0 ) < δ thì d(f(x), f(x 0 )) < ε. Như vậy, f liên tục tại x 0 tương đương với (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X)(d(x, x 0 ) < δ ⇒ d(f(x), f(x 0 )) < ε). Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập A ⊂ X nếu f liên tục tại mọi x 0 ∈ A. Nếu f liên tục trên X ta sẽ gọi là liên tục. Định lý 1.1.2. Cho X là một không gian mêtric, f : X → X là một ánh xạ và x 0 ∈ X. Lúc đó, f liên tục tại x 0 nếu và chỉ nếu với mọi dãy (x n ) trong X mà (x n ) hội tụ về x 0 thì (f(x n )) hội tụ về f(x 0 ). Định lý 1.1.3. Cho X là không gian mêtric đủ và f : X → X là một ánh xạ. Nếu tồn tại k ∈ N sao cho f k là một ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bất động trong X. Định nghĩa 1.1.8. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và f : X → X là một ánh xạ. f được gọi là ánh xạ giãn nếu tồn tại k > 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có d(f(x), f(y)) ≥ kd(x, y). Định lý 1.1.4. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ, f : X → X là ánh xạ giãn và toàn ánh. Khi đó f có một điểm bất động. 1.2 Không gian mêtric riêng 1.2.1 Định nghĩa không gian mêtric riêng Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một tập khác rỗng, hàm p : X × X → R + được gọi là một mêtric riêng hay p-mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 5 (1) x = y ⇔ p(x, x) = p(x, y) = p(y, y), với mọi x, y ∈ X; (2) p(x, x) ≤ p(x, y), với mọi x, y ∈ X; (3) p(x, y) = p(y, x), với mọi x, y ∈ X; (4) p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) − p(y, y), với mọi x, y, z ∈ X. Lúc đó cặp (X, p) được gọi là một không gian mêtric riêng hay không gian p- mêtric. Ví dụ 1.2.1. X = R + , p : X ×X → R + xác định bởi p(x, y) = max{x, y},∀x, y ∈ X. Khi đó, (X, p) là một không gian mêtric riêng. Ví dụ 1.2.2. Với x, y ∈ R − , ta định nghĩa p(x, y) = − min{x, y}. Khi đó, p là một mêtric riêng trên R − . Ví dụ 1.2.3. X = [0, 1], với x, y ∈ X, ta định nghĩa p(x, y) = e max{x,y} − 1 thì p là một mêtric riêng trên X. Nhận xét 1.2.1. 1. Nếu p(x, y) = 0 thì từ tính chất (1), (2) và (3) suy ra x = y. Tuy nhiên chiều ngược lại nói chung không đúng. Thật vậy, xét không gian mêtric riêng ở Ví dụ 1.2.1, ta thấy rằng p(x, x) = x không nhất thiết bằng 0. 2. Nếu p là một mêtric riêng trên X thì hàm p s : X × X → R + xác định bởi p s (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y), ∀x, y ∈ X là một mêtric trên X. 1.2.2 Sự hội tụ Định nghĩa 1.2.2. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng, (x n ) là một dãy trong X và x 0 ∈ X. Ta nói dãy (x n ) hội tụ về x 0 nếu lim n→∞ p(x n , x 0 ) = p(x 0 , x 0 ), và kí hiệu là x n → x 0 . Như vậy x n → x 0 ⇔ lim n→∞ p(x n , x 0 ) = p(x 0 , x 0 ). ⇔ ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N, ∀n ≥ n 0 : |p(x n , x 0 ) − p(x 0 , x 0 )| < ε. ⇔ ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N, ∀n ≥ n 0 : p(x n , x 0 ) − p(x 0 , x 0 ) < ε. Lúc đó x 0 được gọi là giới hạn của dãy (x n ). Nhận xét 1.2.2. 6 1) Giới hạn của một dãy (nếu có) là không duy nhất. Thật vậy, xét không gian mêtric riêng ở Ví dụ 1.2.2 và dãy  − 1 n  . Khi đó, ∀x ∈ X, ta có: p  − 1 n , x  = − min  − 1 n , x  . Với mỗi ε > 0, ∃n 0 ∈ N sao cho ∀n ∈ N mà n ≥ n 0 thì − 1 n > x, khi đó ta có: p  − 1 n , x  = −x = p(x, x) < p(x, x) + ε. Suy ra p  − 1 n , x  − p(x, x) < ε nên dãy  − 1 n  hội tụ về x, ∀x ∈ X. Do đó, giới hạn của dãy trên là không duy nhất. 2) Nếu x n → x 0 , y n → y 0 thì p(x n , y n ) → p(x 0 , y 0 ). Vì x n → x 0 , y n → y 0 nên ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n 0 ta có: p(x n , x 0 ) − p(x 0 , x 0 ) < ε 2 và p(y n , y 0 ) − p(y 0 , y 0 ) < ε 2 . Khi đó: p(x n , y n ) − p(x 0 , y 0 ) ≤ p(x n , x 0 ) + p(x 0 , y 0 ) + p(y 0 , y n ) − p(x 0 , x 0 ) − p(y 0 , y 0 ) − p(x 0 , y 0 ) = p(x n , x 0 ) − p(x 0 , x 0 ) + p(y n , y 0 ) − p(y 0 , y 0 ) < ε 2 + ε 2 = ε. Do đó p(x n , y n ) → p(x 0 , y 0 ). Định nghĩa 1.2.3. Dãy (x n ) trong không gian mêtric riêng (X, p) được gọi là hội tụ thực sự (properly converges) đến x 0 ∈ X nếu (x n ) hội tụ về x 0 và lim n→∞ p(x n , x n ) = p(x 0 , x 0 ). Như vậy (x n ) hội tụ thực sự đến x 0 ⇔ lim n→∞ p(x n , x n ) = lim n→∞ p(x n , x 0 ) = p(x 0 , x 0 ). Nhận xét 1.2.3. Giới hạn của một dãy hội tụ thực sự (nếu có) là duy nhất. Giả sử (x n ) hội tụ thực sự về x 0 và x  0 . Ta có: p(x 0 , x  0 ) − p(x 0 , x 0 ) ≤ p(x 0 , x n ) + p(x n , x  0 ) − p(x n , x n ) − p(x 0 , x 0 ) = p(x n , x 0 ) − p(x 0 , x 0 ) + p(x  0 , x n ) − p(x n , x n ). 7 [...]... Chương 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG 2.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng Trong không gian mêtric riêng, do tính chất p(x, x) không nhất thiết bằng không nên ta có thể mở rộng nguyên lý ánh xạ co bằng sự xuất hiện của nhiều hằng số hoặc một hàm số thỏa điều kiện nào đó Trong một số trường hợp đặc biệt của các định lí, ta sẽ thu được một số kết... thỏa mãn, suy ra f có duy nhất một điểm bất động Dễ thấy x = 0 là điểm bất động duy nhất của f 20 Chương 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG TRÊN TẬP CÓ THỨ TỰ 3.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự Nếu ta trang bị trên X một quan hệ thứ tự, thì việc sử dụng điều kiện của các định lý cho các phần tử của X không còn được như ở Chương... ), do đó f (x0 ) = x0 hay x0 là một điểm bất động của f Giả sử y0 là một điểm bất động khác của f , tức là f (y0 ) = y0 , suy ra f k (y0 ) = y0 , khi đó y0 cũng là một điểm bất động của f k Theo Định lý 2.1.1 suy ra x0 = y0 Vậy f có duy nhất một điểm bất động Định lý 2.1.3 Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ và f : X → X là một ánh xạ Nếu tồn tại các số không âm a, b, c, d, e mà a + b +... vậy p(x, x) = p(x, x ) = p(x , x ) nên x=x Vậy f có duy nhất một điểm bất động Định lý 2.1.2 Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ và f : X → X là một ánh xạ Nếu tồn tại k ∈ N để f k là một ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bất động 13 Chứng minh Vì f k là ánh xạ co trong không gian mêtric riêng đủ nên f k có điểm bất động x0 , và tồn tại c ∈ [0, 1) sao cho: p(f (x0 ), x0 ) − p(x0 , x0 )... là một điểm bất động của f Vậy f có một điểm bất động Định lý 3.1.5 [4] Cho (X, ) là một tập thứ tự, giả sử tồn tại một p-mêtric p trên X sao cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ và f : X → X là một ánh xạ không giảm Giả sử với mọi x, y ∈ X, y x ta có: ψ (p(f (x), f (y))) ≤ ψ (M (x, y)) − ϕ (M (x, y)) , (3.8) trong đó ψ, ϕ : R+ → R+ , ψ là hàm số liên tục, không giảm, ϕ là hàm số l.s.c và. .. 8 Định lý 1.2.2 Không gian mêtric riêng (X, p) là đủ khi và chỉ khi không gian mêtric (X, ps ) là đủ Hơn nữa, lim ps (xn , x) = 0 ⇔ p(x, x) = lim p(xn , x) = n→∞ n→∞ lim p(xm , xn ) m,n→∞ Chứng minh Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đủ và (xn ) là dãy Cauchy trong không gian mêtric (X, ps ) Theo Định lý 1.2.1 thì (xn ) là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng (X, p) Vì (X, p) là không gian. .. tồn tại x0 ∈ X sao cho x0 mãn: f (x0 ) và một trong hai điều kiện sau được thỏa (i) f liên tục trên X ; (ii) Nếu (xn ) là một dãy tăng và hội tụ về x ∈ X thì xn x, ∀n ∈ N; thì f có một điểm bất động Hơn nữa, nếu tập các điểm bất động của f được sắp thứ tự tốt thì f có duy nhất một điểm bất động 21 Chứng minh Nếu x0 = f (x0 ) thì x0 là một điểm bất động của f , định lý được chứng minh Giả sử x0 = f (x0... nhất một điểm bất động Lấy b = c = d = e = 0 ở Định lý 2.1.3 ta được kết quả quen thuộc sau: 15 Hệ quả 2.1.3 Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ, và f : X → X là một ánh xạ Nếu tồn tại a ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X , ta có: p(f (x), f (y)) ≤ ap(x, y) thì f có duy nhất một điểm bất động Lấy a = d = e = 0, b = c = α ở Định lý 2.1.3 ta được hệ quả sau Hệ quả 2.1.4 Cho (X, p) là một không gian. .. = y Vậy f có duy nhất một điểm bất động 29 Nếu chọn ψ(t) = (1 − c)t, c ∈ [0, 1) ở trong Định lý 3.1.3 ta cũng được Hệ quả 3.1.2 Định lý 3.1.4 [13] Cho (X, ) là một tập thứ tự, giả sử tồn tại p-mêtric p trên X sao cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ, ψ, α, β : [0, +∞) → [0, +∞) là các hàm số, trong đó, ψ là hàm số liên tục, không giảm, α là hàm số liên tục, β là hàm số l.s.c sao cho: ψ(t)... f (x))] 2 (3.9) f (x0 ) và một trong hai điều kiện sau được thỏa 32 (i) f liên tục trên (X, ps ); (ii) Nếu (xn ) là một dãy tăng và hội tụ về x thì xn x, ∀n ∈ N; thì f có một điểm bất động Hơn nữa, nếu tập các điểm bất động của f được sắp thứ tự tốt thì f có duy nhất một điểm bất động Chứng minh Hoàn toàn tương tự Định lý 3.1.1 ta xây dựng được dãy (xn ) với xn+1 = f (xn ) và x0 Do xn x1 xn xn+1 . không gian mêtric và mêtric riêng. Chương 2 sẽ trình bày về một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng và một số ví dụ. Chương 3 sẽ phát biểu một vài định lý điểm bất động trong không. 8 1.3 Không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự . . . . . . . . . . . . . 11 2 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng 12 2.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian. mêtric riêng và một số định lý điểm bất động& quot; để tìm hiểu và nghiên cứu. Luận văn này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết một số kết quả về điểm bất động trong không gian mêtric riêng, nội