THIẾT KẾ BỘ LỌC THÔNG CAO THEO CẤU TRÚC FIR BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ

LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay, xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã trở thành một môn học cơ sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thông, Tự động hoá ... Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD, VCD, DVD, camera, y học ..., trong các hệ thống truyền hình số, thông tin địa lý, bản đồ số, viễn thông ..v.v.. Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số. Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy. Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. Các bộ lọc có thể được thiết kế bằng những phương pháp như: Phương pháp cửa sổ, phương pháp lấy mẫu tần số và phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng. Mỗi phương pháp đều có những đặc điểm và ưu khuyết điểm riêng. Trong phạm vi đề tài tiểu luận này chỉ tập trung nghiên cứu một phần nhỏ của xử lý tín hiệu số, đó là : Thiết kế bộ lọc thông cao theo cấu trúc FIR bằng phương pháp cửa sổ.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TIỂU LUẬN MÔN HỌC

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Đ

Ề TÀI: THIẾT KẾ BỘ LỌC THÔNG CAO THEO CẤU TRÚC

FIR BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ.

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2012



Ngày nay, xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã trở thànhmột môn học cơ sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tinhọc, Viễn thông, Tự động hoá

Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bịnhư: CD, VCD, DVD, camera, y học , trong các hệ thống truyền hình số, thôngtin địa lý, bản đồ số, viễn thông v.v

Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đếnnhiều nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số Nếu xét về đáp ứng xung cóthể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR(Finite Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứngxung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy

Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc thành 4 loại cơ bản:thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải

Các bộ lọc có thể được thiết kế bằng những phương pháp như: Phươngpháp cửa sổ, phương pháp lấy mẫu tần số và phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằnggợn sóng Mỗi phương pháp đều có những đặc điểm và ưu khuyết điểm riêng

nhỏ của xử lý tín hiệu số, đó là : Thiết kế bộ lọc thông cao theo cấu trúc FIR bằng phương pháp cửa sổ.

PHẦN 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I.Xử lý tín hiệu số

Xử lý tín hiệu liên quan với sự biểu diễn, vận hành tín hiệu và các thông tin màchúng chứa đựng Xử lý tín hiệu được sử dụng trong nhiều lĩnh vực Chẳng hạn khi tamuốn tách hai hay nhiều tín hiệu mà do một lý do nào đấy chúng bị kết hợp với nhau,hoặc muốn tăng cường chất lượng một số thành phần hoặc một số thông số của một

mô hình tín hiệu nào đấy

I.1.Tín hiệu số

Tín hiệu số là tín hiệu rời rạc (theo biến độc lập theo thời gian) đồng thời cóbiên độ cũng rời rạc hoá Tín hiệu số cung cấp đầu vào cần thiết cho tất cả các hoạtđộng xử lý tín hiệu số Tín hiệu số trong hầu hết các trường hợp được tạo ra từ bộ A/

D bằng cách lấy mẫu tín hiệu liên tục với chu kỳ lấy mẫu Ts Giá trị của tín hiệu số ởthời điểm lấy mẫu là giá trị lượng tử hoá chọn gần giá trị tương tự nhất

Có thể xem tín hiệu số như là hàm theo biến nguyên n, với n chỉ số mẫu Vậy

có thể ký hiệu tín hiệu số là x(n)

I.2.Hệ thống xử lý tín hiệu số (hệ thống số)

Hệ thống xử lý tín hiệu số là hệ thống thực hiện biến đổi tín hiệu vào x(n) thànhtín hiệu ra y(n) nhằm một mục đích nào đó Tín hiệu vào và ra đều là tín hiệu số Tínhiệu vào x(n) được gọi là tác động và tín hiệu ra y(n) được gọi là đáp ứng

Tín hiệu số x(n)

Tín hiệu số y(n)

Hệ thống số

Xử lý tín hiệu sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như khi muốn táchhai hay nhiều tín hiệu mà do một lý do nào đấy chúng bị kết hợp với nhau, hoặc muốntăng cường chất lượng một số thành phần, phục hồi các tín hiệu đã bị bóp méo

- Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thoả mãn nguyên lý xếp chồng

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n)

Một bộ lọc số là một hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến số n, sơ đồkhối như sau:

ở đây:

Trong đó:

H(n)

y(n) x(n)

m n h m x n

h n x m n x m

S | ( ) |

h(n):đáp ứng xung của hệ thống Đáp ứng xung là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thốngtrong miền n.

Ngoài ra hệ thống còn được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính sau đây:

Tổng hợp tất cả các hệ số ak và br sẽ biểu diễn một hệ thống tuyến tính bất biến Tức làcác hệ số ak và br là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống

Trong miền Z hệ thống được đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(Z)

Nếu hàm truyền đặt H(Z) được đánh giá trên vòng tròn đơn vị đối với |Z|=1, thì chúng

ta có đáp ứng tần số H(ej):

Y(ej)=H(ej).X(ej)Quan hệ cho thấy việc phân bố tần số của biên độ và pha của tín hiệu vào x(n) đượcbiến dạng bởi hệ thống tuỳ thuộc vào dạng của H(ej).Chính dạng của H(ej) đã xácđịnh việc suy giảm hoặc khuyếch đại các thành phần tần số khác nhau Hệ thốngtương ứng với H(ej) này được gọi là bộ lọc

I.4.Các loại bộ lọc

Các bộ lọc có thể được mô tả đặc tính theo các tính chất của hệ thống, chẳnghạn như tuyến tính, bất biến, nhân quả, ổn định Các bộ lọc còn được phân loại dựavào các dạng của đáp ứng tần số Một số loại bộ lọc được mô tả dưới đây

k

a

0 0

) ( )

M r

r r

Z a

Z b Z

X

Z Y

0

0 )

(

) (

M r

r j r j

j

e a

e b e

X

e Y

0

0 )

(

) (

h()

=

- khi A(e j )  0 - +  khi A(e j ) < 0

Các khoảng tần số mà ứng với khoảng này đáp ứng tần số có biên độ bằng 1 được gọi

là các dải thông (passband), còn các khoảng tần số có biên độ của đáp ứng tần số bằng

0 được gọi là các dải chắn (stopband) Các tần số đánh dấu các cạnh của các dải thông

và dải chắn được gọi là các tần số cắt (cutoff frequency)

II.Bộ lọc số có đáp ứng chiều dài hữu hạn Fir

II.1.Bộ lọc số Fir

II.1.1.Đáp ứng xung vô hạn và hữu hạn

Người ta phân biệt hai tổng hợp của đáp ứng xung: hệ có đáp ứng xung hữu hạn (Fir)

và hệ có đáp ứng xung vô hạn (IIR) Chúng ta hãy xem xét đáp ứng xung của hệtuyến tính bất biên có phương trình sai phân hệ số hằng:

k

a

0 0

) ( )

(

Nói cách khác: hệ có đáp ứng xung hữu hạn (FIR) Do tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vàotín hiệu vào nên các hệ này còn được gọi là mạch không truy hồi hay mạch không đệquy.

- Nếu N>0: phương trình sai phân có đầy đủ thành phần Hệ xử lý sẽ có đáp ứng xung

có độ dài vô hạn hay đáp ứng xung vô hạn (IIR) Tín hiệu ra không chỉ phụ thuộc vàotín hiệu vào mà còn phụ thuộc và quá khứ của chính tín hiệu ra, vì vậy còn được gọi

là các mạch có truy hồi hay đệ quy

II.1.2.Bộ lọc Fir

Khái niệm: Bộ lọc Fir là một hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dàihữu hạn

- Phương trình biểu diễn quan hệ vào ra của bộ lọc số Fir

- Đáp ứng xung của bộ lọc số Fir

- Đáp ứng tần số của bộ lọc số Fir

- Bộ lọc số FIR có hàm tổng truyền tổng quát dạng

Trong đó hệ số của hàm truyền br chính là các giá trị đáp ứng xung của bộ lọc

b n

x b n

n

h

0

) ( )

r e b

r r

M

b z

| ) (

n b n

b

II.2.Đáp ứng xung của bộ lọc Fir pha tuyến tính

Giả sử h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR xác định với các mẫu:

N

0

n

nZ)n(

Đáp ứng tần số: H(ej) = FT [h(n)] =N 1 j n

0 n

e)n(







Hoặc là: H(ej) = | H(ej) | ej()

Để đảm bảo thuận lợi cho việc thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính ta sẽ biểu diễndưới dạng đáp ứng biên độ A(ej) và pha ()

Lúc này đáp ứng tần số H(e j ) = A(e j ) e j()

) ( d

= - Vậy hằng số  sẽ biểu diễn thời gian truyền tín hiệu

Chúng ta sẽ nghiên cứu hai trường hợp sau:

II.2.1 Trường hợp 1

Ta có: H(ej) = A(ej) ej() = A(ej) e -j = A(ej) [cos  - jsin ]

Mặt khác: H(ej) =





 1

n 0 n

n je)n(

]nsinjn)[cosn(hĐồng nhất hai vế ta có:

A(ej)sin  = 





1 n 0 n

nsin)n(h

A(ej)cos  = 





1 n 0 n

ncos)n(hChia vế theo vế ta có: tg tg

n





1 0

)(

sin ) ( cos

     





cos.nsinsin

.n[cos)n(h

1 N 0 n

 h ( n ) sin[(   n )  ]  0

Giải phương trình trên ta được nghiệm:

 = (M-1)/2h(n) = h(M-1-n) ( 0  n  M-1 )

Từ đây ta có bộ lọc FIR tuyến tính với đáp ứng xung h(n) đối xứng.

0

) (

M

n

n j

e n

Tương tự chứng minh trên ta có:

0])(

sin[

)(

Từ đây ta có bộ lọc FIR tuyến tính với đáp ứng xung h(n) phản đối xứng.

II.2.2 Các loại bộ lọc Fir

II.2.2.1.Bộ lọc Fir loại 1

Bộ lọc pha tuyến tính loại 1 có đáp ứng xung đơn vị đối xứng:

h(n)=h(M-n) 0nM

+ M: số chẵn

+ Tâm đối xứng: ở khoảng điểm =M/2

+ Đáp ứng tần số: có thể biễn diễn dưới dạng

với a(0)=h(M/2)

a(k)=2h(M/2-k) k=1,2, M/2

II.2.2.2.Bộ lọc Fir loại 2

Bộ lọc pha tuyến tính loại 2 có đáp ứng xung đơn vị đối xứng:

k

H(e j )=

+ Tâm đối xứng: tại giá trị nửa số nguyên M/2

+ Đáp ứng tần số:

với b(k)=2h((M+1)/2 - k) k=1,2, M/2

II.2.2.3.Bộ lọc Fir loại 3

Bộ lọc có pha tuyến tính loại 3 có đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng

II.2.2.4.Bộ lọc Fir loại 4

Bộ lọc có pha tuyến tính loại 4 có đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng

/ 1 ( 1

2 /

2

1 cos

) ( M

k

H(e j )=

1 0

2 /

2

1 sin

) (

M k

jM

k k

d

H(e j )=

Ví dụ với M=5 thì y(n)=b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-2) + b3x(n-3) + b4x(n-4)

Ngoài ra còn có các dạng khác như dạng nối tầng, bộ lọc có pha tuyến tính, và lấymẫu tần số

II.4.Những ưu điểm của bộ lọc số FIR

Thiết kế bộ lọc số FIR tức là tìm cách thu được hàm truyền của bộ lọc số đó hoặcphương trình sai phân của nó với dải thông p, sai số trong dải thông (hay còn gọi là

độ mấp mô) 1, tần số cắt s và độ mấp mô 2 (hay còn gọi là độ suy giảm As) của dảichắn cho trước

Đặc điểm chính của bộ loc FIR là:

- Các bộ lọc FIR được thực hiện một cách không đệ quy là ổn định cố hữu, vìđáp ứng xung của nó có độ dài hữu hạn và do đó luôn luôn bị giới nội

- Có thể thực hiện các bộ lọc số FIR và đáp ứng pha của nó tuyến tính một cáchtuyệt đối Vì vậy không có sự bóp méo dạng do trễ và chỉ có số lượng độ cốđịnh các bộ trễ Đặc điểm này đóng vai trò quan trọng trong xử lý tiếng nói,trong dẫn truyền số liệu và trong xử lý tương quan Ở đây sự phi tuyến của pha

là tác nhân gây nên sự bóp méo tín hiệu

- Các bộ lọc FIR được thực hiện rất có hiệu quả trong các DSP đa tốc độ, vì cóthể sử dụng DFT để thực hiện chúng

- Các bộ lọc FIR có thể được thiết kế chỉ sử dụng các phép tính số thực học,không chứa các phép tính số học trên số phức

- Các vấn đề về độ chính xác hệ số vốn là nhữung yêu cầu rất nghiêm ngặt đốivới các bộ lọc IIR, thì đối với các bộ lọc FIR nó ít nghiêm ngặt hơn, nếu cả hai

có cùng tính chất như nhau

- Nhược điểm chính của mạch lọc FIR so với IIR là bậc cao hơn nếu cả hai cócùng quy định, do vậy trong mạch lọc FIR đòi hỏi nhiều bộ nhớ hơn

PHẦN2 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ

III.1.Các bước thiết kế bộ lọc

B

ư ớc 1 : Quá trình thiết kế được bắt đầu bằng việc xác định các đặc tính (thông số)của bộ lọc

ư ớc 2 : Khi các đặc tính của bộ lọc đã được xác định thì bước kế tiếp là tìm tập các

hệ số của bộ lọc, các hệ số này phải tạo ra một bộ lọc chấp nhận được.Sản phẩm củabước 2 là phương trình sai phân (diference equation) hoặc hàm hệ thống H(z) hoặcđáp ứng xung H(n).Ở đây chỉ nghiên cứu việc thiết kế bằng phương pháp cửa sổ.B

ư ớc 3 :

Sau khi bộ lọc đã được thiết kế, bước sau cùng là thực hiện hệ thống này bằng phầncứng hoặc phần mềm, lượng tử hoá các hệ số của bộ lọc nếu cần và chọn cấu trúc bộlọc thích hợp

III.2.Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ

III.2.2 Cửa sổ Barlett

Với mục đích giảm biên độ của các đỉnh thứ cấp của cửa sổ chữ nhật, chúng ta chọnmột cửa sổ khác có dạng tam giác cân, gọi là cửa sổ tam giác hay cửa sổ Barlett

-Trong miền n cửa sổ tam giác được định nghĩa như sau:

-Đồ thị có dạng: Với M=9 thì

III.2.3 Cửa sổ Hanning

III.2.4 Cửa sổ Hamming

M-1 2

cos 08 0

2 cos 5 0 42

III.2.5 Cửa sổ Blackman

III.2.6 Cửa sổ Kaiser

Để đạt được độ suy giảm của dải chắn như mong muốn, các nhà thiết kế tìm một hàmcửa sổ đáp ứng được các yêu cầu của thiết kế Nhưng các hàm cửa sổ có mức cánhbên càng thấp thì độ rộng của cánh chính lại càng lớn Do đó phải tăng bậc của bộ lọc

để đạt được dải thông mong muốn

Cửa sổ Kaiser có thông số  có thể điều chỉnh được, do vậy có thể điều chỉnh được

độ rộng cánh bên so với đỉnh của cánh chính Cũng giống các hàm cửa sổ khác, độrộng cánh chính có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh chiều dài cửa sổ, do vậyđiều chỉnh được độ rộng của dải chuyển tiếp Với mục tiêu này, các bộ lọc số đượcthiết kế rất có hiệu quả khi dùng hàm cửa sổ Kaiser

Định nghĩa: Trong miền n dạng tổng quát của cửa sổ Kaiser được định nghĩa như

sau:

Ở đây:

+ I0(x) là hàm Bessel biến dạng loại 1

+ : là tham số đặc trưng cho việc trao đổi năng lượng giữa đỉnh trung tâm và đỉnhthứ cấp

cos 08 0

2 cos 5 0 42

1

2 1 1

III.2.7 Thiết kế bộ lọc Fir có pha tuyến tính sử dụng cửa sổ

Đáp ứng tần số của bộ lọc được thiết kế bằng phương pháp thiết kế cửa sổ xấp xỉ rasao đối với đáp ứng được yêu cầu, Hd(ej), được xác định bởi hai thừa số :

- Độ rộng của thuỳ chính (main lobe) của W(ej)

- Biên độ đỉnh của thuỳ bên cạnh (side-lobe) của W(ej)

Một cách lý tưởng, độ rộng của thuỳ chính cần hẹp và biên độ của thuỳ bên cần nhỏ.Tuy nhiên, với một cửa sổ có chiều dài cố định, hai yêu cầu trên không thể tối thiểuhoá độc lập được Một vài tính chất tổng quát của các cửa sổ là :

- Khi chiều dài N của cửa sổ tăng, độ rộng của thuỳ chính giảm, điều này dẫnđến sự suy giảm trong độ rộng chuyển tiếp giữa các dải thông và dải chận.Quan

hệ này được cho một cách xấp xỉ bởi Nf=c

với f là độ rộng chuyển tiếp và c là một thông số phụ thuộc vào cửa sổ

- Biên độ đỉnh của thuỳ bên của cửa sổ được xác định bởi dạng của cửa sổ vànhất thiết độc lập với chiều dài của cửa sổ

- Nếu dạng của cửa sổ được thay đổi để giảm biên độ của biên độ của thuỳ bên,

độ rộng của thuỳ chính, một cách tổng quát sẽ tăng

Mặc dù việc việc sử dụng phương pháp thiết kế dùng cửa sổ sẽ đơn giản hoá việc thiết

kế bộ lọc, nhưng có một số giới hạn của phương pháp này :

- Trước tiên, cần phải tìm hiểu dạng thức đóng cho hd(n)

- Giới hạn thứ hai, đối với việc chọn lọc tần số, các độ rộng chuyển tiếp giữa cácdải tần số, và các độ gợn trong dải này, một cách gần đúng sẽ bằng nhau Kếtquả là phương pháp thiết kế sử dụng cửa sổ đòi hỏi bộ lọc cần được thiết kế vớicác dung sai khít khao nhất trong mọi dải bằng cách lựa chọn độ rộng chuyểntiếp nhỏ nhất và độ gợn nhỏ nhất

Một giới hạn nữa, các bộ lọc được thiết kế theo phương pháp sử dụng cửa sổ, mộtcách tổng quát, không tối ưu theo nghĩa các bộ lọc này không có độ gợn nhỏ nhất cóthể có đối với bậc cho trước của bộ lọc và tập các tần số cắt cho trước.

Các giá trị khi sử dụng hàm cửa sổ:

Với cửa sổ Kaiser:

PHẦN 3 ỨNG DỤNG THIẾT KẾ BỘ LỌC THÔNG CAO CẤU TRÚC FIR BẰNG

PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ.

Bài toán: Thiết kế bộ lọc thông cao FIR dùng phương pháp cửa sổ,Với:

- Tần số lấy mẫu fs = 20KHz

- Tần số dải thông cut-off fc = 5KHz

- Chiều dài của cửa sổ N = 7

Bài giải: Ta chọn phương pháp cửa sổ tam giác(Bartlett Windown)

Ta có: 2 c 2200005000 2

c

s

f f

N-1 2

2

c c

HP

c

N n N

N n

-1

h d (n) đối xứng tại n= 3 nên ta có:

2 3

M = 2*floor(M/2)+1;

M = 27

f = [0 ws/pi wp/pi 1];

title(‘Filter Coefficients’,’FontSize’,12);

xlabel(‘number of Coefficients’,’FontSize’,12); legend(‘FIR’,’FIR+Hamming’);

BÀI TOÁN3:

Thiết kế bộ lọc thông cao sau:

xlabel('tan so trong don vi pi');ylabel('Hr(k)');

subplot(2,2,2);stem(l,h);

title('Dap ung xung');

xlabel('n');ylabel('h(n)');

subplot(2,2,3);plot(ww/pi,Hr,wl(1:17)/pi,Hrs(1:17),'o');title('Dap ung tan so');

xlabel('tan so trong don vi pi');ylabel('Hr(w)');

subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);grid;

title('Dap ung Do lon');

xlabel('tan so trong don vi pi');ylabel('Decibels');