Thiết kế bộ lọc thông cao có tần số cắt 1600khz

Trong đồ án này sẽ tìm hiểu các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR và IIR, đồng thời thiết kế và mô phỏng hai loại bộ lọc này. Nội dung của đồ án được chia thành bốn chương nhỏ như sau:CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐTrình bày tổng quan về bộ lọc số, những ưu điểm nổi bật của bộ lọc số, phân loại. Tìm hiểu về các dạng cấu trúc của hai loại bộ lọc FIR và IIR.CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC FIRTìm hiểu về các phương pháp thiết kế thông dụng nhất của bộ lọc FIR.CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC IIRTìm hiểu về các phương pháp thiết kế bộ lọc IIR và các loại bộ lọc tương tự thông dụng dùng để chuyển đổi thành bộ lọc số IIR.CHƯƠNG 4: TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNGTiến hành tính toán, thiết kế bộ lọc FIR cũng như IIR và mô phỏng các bộ lọc này.Phương pháp nghiên cứu xuyên suốt đồ án là tính toán, thiết kế và mô phỏng các bộ lọc số theo những phương pháp khác nhau để thấy rõ hơn những ưu và khuyết điểm của các phương pháp này. Đồng thời nắm rõ hơn về bộ lọc số để có thể ứng dụng chúng vào thực tiễn một cách hiệu quả nhất.

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan nội cung của đồ án này không phải là bản sao chép của bất cứ đồ

án hoặc công trình đã có từ trước Nếu vi phạm, em xin chịu mọi hình thức kỷ luậtcủa Khoa

Đà Nẵng, ngày 02 tháng 06 năm 2014Sinh viên thực hiện

Nguyễn Sanh Quang

MỤC LỤC

Band Pass Filter

Band Stop Filter

Digital Filter

Discrete Fourier Transform

Digital Signal Processing

Finite Impulse Response

Field Programmable Gate Array

High Pass Filter

Inverse Discrete Fourier Transform

Infinite Impulse Response

Low Pass Filter

Linear Time Invariant

Radio Frequency

Bộ lọc thông dải

Bộ lọc chắn dải

Bộ lọc sốBiến đổi Fourier rời rạc

Xử lý tín hiệu sốĐáp ứng xung hữu hạnMảng cổng lập trình được dạng trường

Bộ lọc thông caoBiến đổi Fourier rời rạc ngượcĐáp ứng xung vô hạn

Bộ lọc thông thấpTuyến tính bất biến theo thời gianSóng vô tuyến

MỞ ĐẦU

Tín hiệu xuất hiện hầu như ở tất cả các ngành khoa học kỹ thuật như: thông tin liênlạc, rada, vật lý, sinh học… Có hai dạng tín hiệu: một là tín hiệu tương tự (liên tụctheo thời gian), hai là tín hiệu số (tín hiệu rời rạc) Ngày nay, với sự phát triển củacông nghệ, máy tính và xu hướng số hóa thì hầu hết các tín hiệu tương tự đều đượcchuyển đổi thành tín hiệu số để truyền tải, lưu trữ và xử lý Do đó, xử lý tín hiệu số(DSP) càng ngày càng trở nên quan trọng, phổ biến và được ứng dụng rộng rãitrong nhiều lĩnh vực và thiết bị Để có thể tiếp cận lĩnh vực này, chúng ta cần cónhững kiến thức cơ bản về tín hiệu số và các phương pháp xử lý

Một trong những phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đềcập đến nhiều nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (DF) Nếu xét đáp ứngxung có thể chia các bộ lọc số thành hai loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữuhạn FIR và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR Còn nếu xét về đáp ứng tần số biên

độ có thể chia các bộ lọc FIR hay IIR thành bốn loại cơ bản: bộ lọc thông thấp(LPF), bộ lọc thông cao (HPF), bộ lọc thông dải (BPF) và bộ lọc chắn dải (BSF).Việc thiết kế bộ lọc FIR hay IIR đều có nhiều phương pháp khác nhau, mỗi phươngpháp có những ưu và khuyết điểm riêng

Trong đồ án này sẽ tìm hiểu các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR và IIR, đồng thờithiết kế và mô phỏng hai loại bộ lọc này Nội dung của đồ án được chia thành bốnchương nhỏ như sau:

 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

Trình bày tổng quan về bộ lọc số, những ưu điểm nổi bật của bộ lọc số, phân loại.Tìm hiểu về các dạng cấu trúc của hai loại bộ lọc FIR và IIR

 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR

Tìm hiểu về các phương pháp thiết kế thông dụng nhất của bộ lọc FIR

 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR

Tìm hiểu về các phương pháp thiết kế bộ lọc IIR và các loại bộ lọc tương tự thôngdụng dùng để chuyển đổi thành bộ lọc số IIR

 CHƯƠNG 4: TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG

Tiến hành tính toán, thiết kế bộ lọc FIR cũng như IIR và mô phỏng các bộ lọc này.Phương pháp nghiên cứu xuyên suốt đồ án là tính toán, thiết kế và mô phỏng các bộlọc số theo những phương pháp khác nhau để thấy rõ hơn những ưu và khuyết điểmcủa các phương pháp này Đồng thời nắm rõ hơn về bộ lọc số để có thể ứng dụngchúng vào thực tiễn một cách hiệu quả nhất

Đồ án đã tiến hành tính toán, thiết kế và mô phỏng các bộ lọc FIR và IIR theo cácphương pháp khác nhau

y(n) x(n)

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

1.1 Giới thiệu chương

Lọc là một quá trình rất quan trọng trong xử lý tín hiệu Ngày nay, hầu hết tín hiệuđược chuyển thành tín hiệu số để truyền tải hoặc lưu trữ nên bộ lọc số được sử dụngrất phổ biến trong xử lý tín hiệu Để xử lý tín hiệu, chúng ta phải thiết kế và thựchiện hệ thống (bộ lọc) Vấn đề thiết kế bộ lọc bị ảnh hưởng bởi các yếu tố như loại

bộ lọc hoặc cấu trúc của nó Do đó, trước khi đi vào việc thiết kế, chúng ta cần tìmhiểu về bộ lọc bởi vì cấu trúc bộ lọc khác nhau thì sẽ cần có chiến lược thiết kế khácnhau Trong chương này sẽ tìm hiểu một số lý thuyết cơ bản về bộ lọc số, các thànhphần cơ bản cấu thành bộ lọc số để tạo tiền đề cho việc tìm hiểu các cấu trúc bộ lọc

số cũng như các phương pháp thiết kế và thiết kế một bộ lọc số trong các chươngsau Nội dung cơ bản của chương này như sau:

• Khái niệm bộ lọc

• Các chỉ tiêu của bộ lọc

• Các ưu điểm của bộ lọc số

• Phân loại và đặc điểm của từng loại

Hình 1.1 Hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến số n.

Trong đó:

h(n): là đáp ứng xung của hệ thống, là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miềnbiến số n Mặt khác, một hệ thống tuyến tính bất biến cũng được biểu diễn bởiphương trình sai phân sau:

Tổng hợp tất cả các hệ số ak và br sẽ biểu diễn một hệ thống tuyến tính bất biến Tức

là các hệ số ak và br đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống

Trong miền z, hệ thống được đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(z):

Khi đó, trong miền tần số:

Nếu hàm truyền đạt H(z) được đánh giá trên vòng tròn đơn vị |z|=1 thì chúng ta cóđặc tính tần số :

Quan hệ trên cho thấy rằng việc phân bố tần số và pha của tín hiệu vào x(n) đượctác động bởi hệ thống tùy thuộc vào dạng của Chính dạng của đã xác định việc

suy giảm hay khuếch đại các thành phần tần số khác nhau Các hệ thống tương ứngvới này có đặc tính tần số mong muốn và có thể thực thi được về mặt vật lý đượcgọi là bộ lọc số.

+ Các chỉ tiêu tuyệt đối

+ Các chỉ tiêu tương đối

Để thấy một cách trực quan ta lấy bộ lọc thông thấp làm ví dụ:

Hình 1.2 Các chỉ tiêu của bộ lọc: chỉ tiêu tuyệt đối và chỉ tiêu tương đối [6]Trong đó:

+ được gọi là dải thông

+ được gọi là dải chắn

+ được gọi là dải chuyển tiếp và không có ràng buộc nào về đáp ứng biên độ trong dải này

• Các chỉ tiêu tương đối gồm có:

+ : độ gợn trong dải thông tính theo dB

+ : độ gợn trong dải chắn tính theo dB

• Các chỉ tiêu tuyệt đối:

Hình 1.3 Đặc tuyến của bộ lọc thông thấp trong thực tế [6]Trong đó:

+ : độ gợn trong dải thông

+ : độ gợn trong dải chắn

+ : tần số giới hạn dải chắn

+ : tần số giới hạn dải thông

+ : bề rộng dải chuyển tiếp

Quan hệ giữa các chỉ tiêu:

Từ đây ta có thể suy ra:

1

Dải chắn

DảichuyểntiếpDải thông

Đối với các loại bộ lọc khác thì các chỉ tiêu cũng tương tự như bộ lọc thông thấp.

1.5 Ưu điểm của bộ lọc số

Việc bộ lọc số được sử dụng nhiều không chỉ vì càng ngày tín hiếu số càng được sửdụng nhiều mà còn vì những ưu điểm rất nổi bật của nó so với bộ lọc tương tự Cụthể như sau:

• Bộ lọc số thì có khả năng lập trình được, còn bộ lọc tương tự muốn thay đổi cấutrúc thì phải thiết kế và thi công lại bộ lọc

• Các bộ lọc số thiết kế dễ dàng, dễ kiểm tra

• Đặc điểm các mạch lọc tương tự là bị ảnh hưởng bởi sự trôi và phụ thuộc vànhiệt độ Các bộ lọc số thì không có các vấn đề này và rất ổn định với cả thờigian lẫn nhiệt độ

• Các bộ lọc số có thể xử lý các tín hiệu tần số thấp rất chính xác Tốc độ xử lýcủa công nghệ DSP ngày càng tăng lên, làm cho các bộ lọc số có khả năng xử lýcác tín hiệu tần số cao trong miền RF (Thời gian trước thì đây là lĩnh vực “độcquyền” của công nghệ tương tự

• Các bộ lọc số linh hoạt trong xử lý tín hiệu, có thể thích nghi với tín hiệu nhiễu

• Các bộ xử lý DSP nhanh có thể xử lý các tổ hợp phức tạp, phần cứng tương đốiđơn giản và mật độ tích hợp cao

Ngoài ra, để nâng cao chất lượng của các bộ lọc tương tự thì ta chú trọng khắc phụchạn chế linh kiện như: độ chính xác, độ ổn định, sự phụ thuộc vào nhiệt độ… Cònđối với bộ lọc số, ta chú trọng đến các phương pháp thiết kế và thuật toán xử lý tínhiệu

1.6 Phân loại bộ lọc số

- FIR: Hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn Nó được

gọi là hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn, tức là h(n) chỉ khác không

• Thiết kế đơn giản.

Đáp ứng pha tuyến tính mang lại những thuận lợi sau:

+ Bài toán thiết kế chỉ gồm các phép tính số học thực chứ không cần phép tính sốhọc phức

+ Bộ lọc pha tuyến tính không có méo trễ nhóm và chỉ bị trễ một khoảng không đổi

- IIR: Hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dài vô hạn Hệ thống

được gọi là hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn, tức là h(n) khác khôngtrong một khoảng vô hạn Bộ lọc IIR có các đặc điểm nổi bật như sau:

Các bộ lọc số là hệ thống LTI, chúng ta cần ba thành phần sau để mô tả cấu trúc của

bộ lọc số Những thành phần này được thể hiện trong hình 1.4:

Hình 1.4 Các thành phần cơ bản của bộ lọc số [6]

Trong đó:

Bộ cộng: Thành phần này có hai đầu vào và một đầu ra (thể hiện trong hình 1.4a).

Nếu có thêm tín hiệu vào thứ ba thì phải ghép thêm một bộ cộng nữa mới thực hiệnđược Tín hiệu đầu ra bằng tổng hai tín hiệu đầu vào

Bộ khuếch đại: Thành phần này chỉ có một đầu vào và một đầu ra (hình 1.4b) Nếu

hệ số khuếch đại là a thì tín hiệu vào sẽ được khuếch đại lên a lần ở đầu ra của nó

Bộ trễ: Cũng như bộ khuếch đại, bộ trễ chỉ có một đầu vào và một đầu ra (hình

1.4c) Nó làm cho tín hiệu đi qua bị trễ một mẫu và thực hiện bằng cách sử dụngmột thanh ghi dịch

Sử dụng các thành phần cơ bản này, chúng ta có thể mô tả các cấu trúc khác nhaucủa cả hai loại bộ lọc FIR và IIR

1.8 Kết luận chương

Chương này nêu tổng quan về bộ lọc số, định nghĩa bộ lọc số, các bộ lọc lý tưởng

và phân loại Trình bày các ưu điểm của bộ lọc số cũng như các thông số, chỉ tiêucủa bộ lọc ở miền thời gian, miền tần số cần quan tâm khi thiết kế một bộ lọc số.Ngoài ra còn nêu khái quát các đặc điểm nổi bật của hai loại bộ lọc FIR và IIR, từđây ta có thể nhận thấy sự khác biệt cơ bản của hai bộ lọc này:

Bảng 1.1 So sánh đặc điểm cơ bản của bộ lọc FIR và IIR

Và quan trọng hơn hết là đã trình bày các thành phần cấu trúc của bộ lọc, trên cơ sở

đó tạo điều kiện thuận lợi hơn cho việc tìm hiểu các dạng cấu trúc cơ bản của bộ lọcFIR và IIR trong các chương tiếp theo

CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR

2.1 Giới thiệu chương

Chương này sẽ giới thiệu các dạng cấu trúc của bộ lọc FIR từ đó tạo điều kiện đểtìm hiểu các phương pháp thiết kế bộ lọc này Để thiết kế bộ lọc FIR có thể dùngnhiều phương pháp khác nhau Mỗi phương pháp đều bắt nguồn từ các bộ lọc lýtưởng, tuy nhiên lại đi từ các cơ sở khác nhau Các phương pháp này đều có ưukhuyết điểm riêng của nó Vì vậy việc lựa chọn phương pháp thiết kế bộ lọc FIR sẽphụ thuộc vào các yêu cầu mà bộ lọc cần đáp ứng Để làm rõ cho vấn đề trên thìnội dung chương này sẽ đi vào tìm hiểu các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR phổbiến nhất, bao gồm các bước cơ bản của phương pháp, thuật toán sử dụng (nếu có)

và cách tính toán thông số của bộ lọc cũng như lý thuyết liên quan đến phương pháp

đó Nội dung chương này sẽ trình bày các phương pháp sau:

• Phương pháp cửa sổ

• Phương pháp lấy mẫu tần số

• Phương pháp tối ưu

2.2 Cấu trúc bộ lọc FIR

Một bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng:

Như vậy, đáp ứng xung h(n) là:

Và phương trình sai phân là:

Bậc của bộ lọc là M (bằng với số lượng các hệ số) Nhờ đặc điểm có đáp ứng phatuyến tính mà bộ lọc FIR rất cần thiết trong một số ứng dụng

2.2.1 Cấu trúc dạng trực tiếp

Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy các bộ trễ do không có đườngphản hồi (2.3):

Cấu trúc dạng trực tiếp được cho trong hình với M = 5:

Hình 2.1 Cấu trúc bộ lọc FIR dạng trực tiếp [6]

2.2.2 Cấu trúc dạng ghép tầng

Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với các hệ sốthực Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghéptầng của các cấu trúc bậc 2

Phương trình (2.1) có thể viết lại:

trong đó , Bk,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của các cấu trúc bậc 2.Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình với M = 7:

Hình 2.2 Cấu trúc bộ lọc FIR dạng ghép tầng [6]

2.2.3 Cấu trúc dạng pha tuyến tính

Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến tínhtheo tần số, nghĩa là:

Trong đó hoặc và là một hằng số

Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điềukiện tuyến tính là:

Xét phương trình sai phân (2.3) với đáp ứng xung đối xứng trong phương trình(2.6), ta có:

Cấu trúc dạng pha tuyến tính được thể hiện trong hình với M chẵn và M lẻ: trườnghợp M = 6 và M = 7:

Hình 2.3 Cấu trúc bộ lọc FIR dạng pha tuyến tính [6]

2.3 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ

- Ý tưởng: ta chọn một bộ lọc lý tưởng và cắt lấy đáp ứng xung của nó để thu được

bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả Việc cắt này được thực hiện bằng cáchnhân đáp ứng xung của bộ lọc ban đầu với hàm của sổ thích hợp để thu được đápứng xung như mong muốn

2.3.1 Phương pháp thiết kế

- Bước 1: Chọn loại cửa sổ sử dụng

Việc chọn loại cửa sổ sử dụng nhằm đảm bảo suy hao trong dải chắn thỏa mãn chỉtiêu thiết kế yêu cầu Có 6 loại cửa sổ: cửa sổ chữ nhật, cửa sổ tam giác, của sổ

Hamming, cửa sổ Hanning, cửa sổ Blackman và cửa sổ Kaiser Mỗi loại cửa sổ đều

có ưu khuyết điểm riêng nên việc lựa chọn loại cửa sổ phụ thuộc vào yêu cầu vàứng dụng của bộ lọc, do đó cần dung hòa giữa việc đảm bảo được suy hao trong dảichắn theo đúng yêu cầu và đảm bảo bậc của bộ lọc đủ nhỏ

- Bước 5: Tìm đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thực tế

- Bước 6: Thử lại trong miền tần số

(M-1), ta thu được bộ lọc FIR có chiều dài M Việc này tương đương với việc nhân

hd(n) với một hàm cửa sổ Hàm cửa sổ được định nghĩa:

Khi đó, đáp ứng xung của bộ lọc FIR được xác định như sau:

Gọi W() là biến đổi Fourier của cửa sổ w(n), từ tính chất nhân của biến đổi Fourier

ta thu được đáp ứng tần số của bộ lọc như sau:

2.3.3 Hàm truyền của các loại cửa sổ

Trong đó:

với + As: độ suy hao trong dải chắn [dB]

+ : tần số giới hạn dải chắn

+: tần số giới hạn dải thông

Trong phương pháp này, khi nhân đáp ứng xung với hàm cửa sổ sẽ xảy ra một hiệntượng gọi là hiện tượng Gibbs và được định nghĩa như sau:

Để giới hạn chiều dài đáp ứng xung hd(n) của bộ lọc lý tưởng, ta đã nhân với hàmcửa sổ w(n) Đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế có được từ tích chập Đối với bộ lọc

lý tưởng, đáp ứng biên độ chuyển đột ngột từ 1 xuống 0 (hoặc ngược lại) ở tần sốcắt Nhưng với bộ lọc thực tế, do tích chập trong miền tần số sẽ gây dao động ở dảithông và dải chắn xung quanh tần số cắt Sự phát sinh các dao động này gọi là hiệntượng Gibbs

2.4 Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số

2.4.1 Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính

Cho h(n), trong đó 0 n M-1, là đáp ứng xung có chiều dài M thì hàm truyền hệ thống là:

có đáp ứng tần số là:

Các hệ số của bộ lọc cũng chính là giá trị của các mẫu trong đáp ứng xung của nó:

• M chẵn: trong trường hợp này, không phải là một số nguyên Đáp ứng xung được

mô tả như hình dưới đây:

Hình 2.5 Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn [6]

+ h(n) = -h(M-n-1): đáp ứng xung phản đối xứng (2.28)Với

Trong điều kiện này thì đáp ứng pha phải thỏa mãn:

Đáp ứng pha là đường thẳng nhưng không đi qua gốc Trong trường hợp này khôngphải là hằng số trễ pha, nhưng:

là hằng số trễ nhóm Các tần số được làm trễ với một tốc độ không đổi, nhưng một

số tần số có thể được làm trễ với tốc độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn

Để có cái nhìn trực quan hơn về đáp ứng xung h(n) trong trường hợp này, ta xét các trường họp M lẻ và M chẵn:

• M lẻ: , là một số nguyên

Hình 2.6 Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ [6]

Chú ý: mẫu h( phải bằng 0, nghĩa là

• M chẵn: không phải là một số nguyên

Hình 2.7 Đáp ứng xung phản đối ứng, M chẵn [6]

2.4.1.2 Đáp ứng tần số H()

Khi tổ hợp hai loại đối xứng và phản đối xứng với M chẵn và M lẻ, ta có bốn kiểu

bộ lọc FIR pha tuyến tính Đáp ứng tần số của mỗi kiểu có biểu thức và hình dạngriêng Để thuận tiện ta viết biểu thức H() như sau:

Trong đó là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải là hàm đáp ứng biên độ Đáp ứng

độ lớn là một hàm thực, có thể vừa dương vừa âm, không giống đáp ứng biên độ

luôn luôn dương Đáp ứng pha kết họp với đáp ứng biên độ là một hàm không liêntục, trong khi kết hợp với đáp ứng độ lơn là một hàm tuyến tính liên tục.

Trong trường hợp này = 0, là một biến nguyên, và h(n) = h(M-n-1), 0M-1 thì ta cóthể chứng tỏ rằng:

Trong đó:

So sánh (2.31) và (2.32), ta có:

Trong trường hợp này = 0, h(n) = h(M-n-1), 0M-1, nhưng không phải là một biếnnguyên:

Trong đó:

với n=1,2,… (2.36)

So sánh (2.31) và (2.35), ta có:

Để thực hiện tối ưu hóa, ta viết lại phương trình (2.37) dưới dạng:

Với các hệ số quan hệ tuyến tính với các hệ số như sau:

Lưu ý: tại , ta có mà không cần quan tâm đến b(n) hoặc h(n) Dó đó chúng ta

không thể sử dụng loại này (h(n) đối xứng và M chẵn) đối với bộ lọc thông caohoặc bộ lọc chắn dải

Trong trường hợp này = , là một biến nguyên, và h(n) = -h(M-n-1), 0M-1 với h, tacó:

Trong đó:

với n=1,2,…, (2.41)

So sánh (2.31) và (2.40), ta có:

Phương trình (2.42) có thể viết lại như sau;

Với các hệ số quan hệ tuyến tính với các hệ số như sau:

Lưu ý: tại và , ta có mà không cần quan tâm c(n) hoặc h(n) Hơn thế nữa, , điều đó

có nghĩa là là thuần ảo Do đó, loại bộ lọc này không thích hợp đối với việc thiết kế

bộ lọc thông thấp, thông cao hoặc chắn dải

Trong trường hợp này = , h(n) = -h(M-n-1), 0M-1 với h, nhưng không phải là mộtbiến nguyên, ta có:

Trong đó:

So sánh (2.31) và (2.45), ta có:

Phương trình (2.47) có thể viết lại như sau:

Với các hệ số quan hệ tuyến tính với các hệ số như sau:

Lưu ý: tại , và Do vậy, loại bộ lọc này không thích hợp cho thiết kế bộ lọc thông

cao và chắn dải

Biểu thức trong bốn trường hợp trên có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát nhưsau:

Với và được định nghĩa trong bảng sau:

Bảng 2.1 và của bộ lọc FIR pha tuyến tính [6]

Loại bộ

lọc Tính chất đối xứng

2 h(n) = h(M-n-1), M chẵn

3 h(n) = -h(M-n-1), M lẻ

4 h(n) = -h(M-n-1), M chẵn

2.4.2 Phương pháp thiết kế

- Bước 1: Chọn loại bộ lọc, chiều dài M của bộ lọc, tính chất đối xứng của h(n), tập

tần số và chỉ định các mẫu của đáp ứng tần số tương ứng với tập tần số

- Bước 2: Tính các mẫu H(k)

- Bước 3: Tính đáp ứng xung h(n)

- Bước 4: Tính đáp ứng tần số, kiểm tra lại trong miền tần số bằng cách vẽ đặc

tuyến đáp ứng biên độ và đáp ứng pha Nếu chưa thỏa các yêu cầu kỹ thuật, thì chọnlại M, hoặc tập tần số, hoặc các mẫu Hr(k) và trở lại bước 2

Đáp ứng tần số yêu cầu trước tiên được lấy mẫu đều ở M điểm cách đều nhau giữa

Đáp ứng pha đối với loại 3 và 4:

Đáp ứng xung h(n) được tính theo công thức (2.52):

Hình 2.8 Mô tả kỹ thuật lấy mẫu tần số [6]

Lỗi xấp xỉ là hiệu của đáp ứng lý tưởng và đáp ứng thực tế Lỗi xấp xỉ ở tất cả cáctần số lấy mẫu bằng không còn ở các tần số khác phụ thuộc vào hình dạng của đápứng tần số lý tưởng: nghĩa là, đáp ứng tần số lý tưởng càng sắc nét thì lỗi xấp xỉcàng lớn Lối xấp xỉ càng lớn khi ở gần cạnh dải và càng bé khi ở bên trong dải

- Có hai cách tiếp cận thiết kế:

+ Phương pháp thiết kế đơn giản: sử dụng ý tưởng cơ bản và không đưa ra một ràngbuộc nào về lỗi xấp xỉ, nghĩa là chấp nhận lỗi sinh ra do thiết kế

Mẫu tần số và đáp ứng

xấp xỉĐáp ứng lý tưởng

và mẫu tần số

Trong phương pháp này ta đặt và sử dụng các công thức để thu được đáp ứng xungh(n) Phương pháp này ít được sử dụng trong thực tế.

+ Phương pháp thiết kế tối ưu hóa: cố gắng tối thiểu hóa lỗi trong dải chắn bằngcách thay đổi các giá trị mẫu trong dải chuyển tiếp

Trong phương pháp này, chúng ta phải tăng M để tạo ra các mẫu tự do trong dảichuyển tiếp, nghĩa là chúng ta thay đổi các giá trị của chúng để thu được hệ số suyhao lớn nhất đối với M và độ rộng dải chuyển tiếp đã cho Đây là một bài toán tối

ưu hóa và được giải quyết bằng kỹ thuật quy hoạch tuyến tính

Trong thực tế, độ rộng dải chuyển tiếp nói chung khá bé, chỉ chứa một hoặc haimẫu Do đó, chúng ta cần tối ưu hóa tốt nhất hai mẫu để thu được hệ số suy giảmdải chắn lớn nhất

2.5 Thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính bằng phương pháp tối ưu

Phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần số là kỹ thuật đơn giản cho việcthiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính Tuy nhiên, hai phương pháp này cũng có và bấtlợi nhỏ Đó là thiếu sự điểu chỉnh chính xác các tần số giới hạn như: tần số giới hạndải thông và tần số giới hạn dải chắn

Ở phương pháp tối ưu này, những sai lệch giữa đáp ứng tần số mong muốn với đápứng tần số thực tế được trải đều trên cả dải thông và dải chắn, và sai lệch cực đại sẽđược cực tiểu hóa Kết quả là xuất hiện những gợn sóng có biên độ bằng nhau trong

cả dải thông và dải chắn

2.5.1 Hàm sai số có trọng số

Ta thấy , là các hàm có giá trị thực (theo mục 2.4.1.2), trong đó là một hàm cốđịnh đã biết và P là một hàm cần phải tìm Gọi là đáp ứng tầ số mong muốn có giátrị thực, được chọn một cách đơn giản là bằng 1 trong giải thông và bằng 0 tronggiả chắn Chúng ta cần tìm các hệ số của giữa đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế vàđáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng là nhỏ nhất Ta định nghĩa một hàm trọng số

trên sai số gần đúng Từ việc định nghĩa và , sai số giữa bộ lọc thực tế và bộ lọc lýtưởng được đánh giá bằng hàm sai số có trọng số như sau:

Xác định hàm trọng số : Hàm trọng số có thể được xác định bằng cách so sánh đápứng biên độ của bộ lọc thực tế với đáp ứng biên độ của bộ lọc lý tưởng.

Parks và McCellan (1972) đã vận dụng phép xấp xỉ Chebyshev, cụ thể là định lý

Alternation Theorem để giải bài toán này

Định lý Alternation Theorem: Gọi S là tập con trong khoảng tần số , điều kiện cần

và miền đủ để cho xấp xỉ với một cách tốt nhất và duy nhất theo nghĩa Chebyshevtrong S là hàm sai số tồn tại ít nhất (M+2) thành phần tần số cực trị trong S Nghĩa

là phải tồn tại ít nhất (M+2) tần số trong S sao cho:

Và

Thuật toán Park-McCellan:

+ Ước lượng chiều dài M của bộ lọc

với + Dự đoán các tần số cực trị

+ Tìm một đa thức bậc M phù hợp với các điểm này

+ Xác định các đa thức mới của bằng cách nội suy đa thức

+ Lặp lại bước đầu

+Xác định ai và Emax bằng công thức (2.60)

2.4.2 Các bước thực hiện

- Bước 1: Chọn loại bộ lọc lý tưởng và xác định đáp ứng biên độ , sau đó chọ hàm

trọng số (dựa theo các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc thực tế), ước lượng dài của bộlọc M (theo công thức 2.63)

- Bước 2: Chọn loại bộ lọc thích hợp và tính M ứng với loại bộ lọc đã chọn Xác

định bài toán gần đúng theo phương trình (2.59)

- Bước 3: Sử dụng thuật toán Remez để giải bài toán này Cụ thể:

Chọn ra tập hợp M+2 điểm tần số rời rạc ban đầu trong dải tần số

- Bước 4: Xác định đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thực tế Ta có thể thực hiện bằng

, k=0, 1, …, (M-1)/2 với M lẻ hoặc k=0, 1, …, M/2 với M chẵn

Sau đó h(n) được xác định bằng các công thức trong bảng 2.1 tùy theo loại mạch lọc

đã chọn thiết kế

2.6 Kết luận chương

Chương này đã nêu được các dạng cấu trúc của bộ lọc cũng như các phương phápthiết kế phổ biến của bộ lọc FIR, cách thiết kế một bộ lọc FIR theo từng phươngpháp Qua chương này cũng cho thấy rằng mỗi phương pháp thiết kế đều có những

ưu khuyết điểm riêng của chúng, và việc lựa chọn phương pháp thiết kế đòi hỏingười thực hiện cần có kinh nghiệm để chọn được phương pháp tốt nhất dung hòagiữa việc đáp ứng các yêu cầu của bộ lọc và độ phúc tạp của bộ lọc cần thực thi.Dưới đây là những ưu khuyết điểm của các phương pháp thiết kế đã trình bày:

• Phương pháp của sổ:

+ Phương pháp này có ưu điểm nổi bật là việc tính toán thiết kế rất đơn giản, bộ lọc

có thể được thực thi một cách dễ dàng

+ Tuy nhiên, do sự đơn giản đó mà chúng ta phải trả giá là bậc của bộ lọc khá lớn

để đáp ứng được các yêu cầu thiết kế, dẫn đến cần nhiều các thành phần cơ bản hơn

để cấu thành bộ lọc, hay nói cách khác là bộ lọc thiết kế theo phương pháp này khá

công kềnh Phương pháp này thiếu sự điều chỉnh chính xác các tần số giới hạn giảithông và dải chắn Điều này phụ thuộc vào loại của sổ và chiều dài bộ lọc là chủyếu Hơn nữa, việc tìm đáp ứng của bộ lọc bằng cách nhân đáp ứng xung của bộ lọc

lý tưởng với hàm của sổ nên trong miền tần số sẽ xuất hiện dao động ở dải thông vàdải chắn xung quanh tần số cắt Nói một cách đơn giản là bị ảnh hưởng bởi hiệntượng Gibbs

• Phương pháp lấy mẫu tần số:

+ Cũng như phương pháp cửa sổ, phương pháp lấy mẫu tần số tính toán cũng kháđơn giản Thuận lợi khi bộ lọc FIR được thực hiện trong miền tần số

+ Phương pháp này có hạn chế là độ gợn trong dải thông và dải chắn không đồngđểu, càng gần dải chuyển tiếp thì độ gợn càng lớn Việc thiết kế theo phương phápnày sẽ thêm một số mẫu vào dải chuyển tiếp để làm giảm lỗi xấp xỉ cho bộ lọc Tuynhiên độ rộng dải chuyển tiếp là khá nhỏ, do đó việc thay đổi số mẫu làm thay đổirất lớn bậc của bộ lọc (thông thường chỉ thêm 1 đến 2 mẫu)

• Phương pháp tối ưu:

+ Ưu điểm nổi bật của phương pháp này là giảm được tối đa sự sai lệch giữa đápứng tần số mong muốn với đáp ứng tần số thực tế, những sai lệch này được trải đềutrên cả dải thông và dải chắn, do đó những gợn sóng sẽ có biên độ bằng nhau trong

cả dải thông và dải chắn Đồng thời bậc của bộ lọc được thiết kế theo phương phápnày nhỏ hơn nhiều so với phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tấn số.+ Tuy nhiên, cái giá phải trả là việc tính toán rất phức tạp và phải cần đến sự trợgiúp của máy tính

Căn cứ vào những ưu và khuyết điểm của các phương pháp thiết kế trên mà ta cóthể lựa chọn được phương pháp thiết kế phù hợp nhất theo yêu cầu thiết kế và mụcđích sử dụng của bộ lọc cần thực thi

Nội dung của chương này phục vụ cho việc tính toán thiết kế và mô phỏng bộ lọcFIR trong chương 4.

CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR

3.1 Giới thiệu chương

Cũng như bộ lọc FIR, bộ lọc IIR cũng có các dạng cấu trúc và các phương phápthiết kế khác nhau Có hai con đường để thiết kế bộ lọc IIR: Thứ nhất là thiết kế bộlọc tương tự, sau đó chuyển đổi thành bộ lọc số Cách này được dùng phổ biến doviệc thiết kế bộ lọc tương tự đã được phát triển từ lâu và có nền tảng vững chắc.Thứ hai là thiết kế trực tiếp bộ lọc số IIR, con đường này rất phức tạp và khó thựchiện do đó nó ít khi được sử dụng Trong con đường thứ nhất là thiết kế bộ lọctương tự rồi chuyển đổi thành bộ lọc số cũng có nhiều phương pháp khác nhau.Nhưng trong khuôn khổ đồ án này chỉ trình bày ba phương pháp phổ biến là:

• Phương pháp tương đương vi phân

• Phương pháp bất biến xung

• Phương pháp biến đổi song tuyến

Nội dung chương này cũng sẽ trình bày các bộ lọc tương tự thông dụng để làm cơ

sở cho việc thiết kế và thực hiện bộ lọc số IIR, bao gồm:

• Bộ lọc Butterworth

• Bộ lọc Chebyshev

• Bộ lọc Elliptic

3.2 Cấu trúc bộ lọc IIR

Hàm truyền của bộ lọc IIR có dạng:

Trong đó bn và an là các hệ số của bộ lọc Ở đây đã giả định mà không mất tính tổngquát là a0 = 1 M được gọi là bậc của bộ lọc nếu aM khác 0 Bộ lọc IIR cũng có thểđược biểu diễn bằng phương trình sau:

- a3

- a2

- a4

b1 b2 b3

z-1 z-1 z-1

z-1 z-1 z-1

z-1 b0

b4

- a1

y(n) x(n)

b0 b1 b2 b3

Dựa theo phương trình (3.2) thì việc thực hiện bộ lọc IIR sẽ sử dụng các bộ cộng,

bộ khuếch đại và bộ trễ Để minh họa ta chọn M = N = 4, phương trình (1.19) trở thành:

Cấu trúc này được thể hiện trong hình 3.1:

Hình 3.1 Cấu trúc dạng trực tiếp 1 với M = 4 [6]

Dạng cấu trúc này sẽ thực hiện riêng từng thành phần chức năng (phần tử số và mẫu

số trong phương trình (3.1) Ở mỗi phần sẽ có một dãy các bộ trễ, do đó có tới haidãy bộ trễ riêng biệt trong cấu trúc này Chũng ta có thể giảm hay nói cách khác làloại bỏ bớt một dãy bộ trễ này mà không làm thay đổi chức năng của bộ lọc Việcnày tạo ra một dạng thứ hai của cấu trúc trực tiếp, được thể hiện trong hình 3.2:

Giả sử rằng bậc bộ lọc M chẵn, hàm hệ thống của bộ lọc có thể viết lại như sau:

Với K = M/2, Bk,1, Bk,2, Ak,1 và Ak,2 là các số thực đại diện cho hệ số của các cấu trúcbậc 2 Để có cái nhìn trực quan hơn, ta xét M = 4, hình 3.3 thể hiện bộ lọc IIR có cấu trúc dạng ghép tầng với bậc bộ lọc M = 4:

Hình 3.3 Cấu trúc dạng ghép tầng với M = 4 [6]

3.2.3 Cấu trúc dạng song song

Trong dạng này, hàm hệ thống H(z) được viết lại bao gồm tổng của các thành phần bậc 2 và phần mở rộng (với M chẵn):