Thiết kế bộ lọc số thông dải có dải thông 800KHz đến 1200KHz

Ngày nay, chúng ta tiếp xúc với rất nhiều loại tín hiệu và dưới nhiều dạng khác nhau như: Âm thanh, hình ảnh hay các tín hiệu thông tin liên lạc, hệ thống điều khiển rađa, địa chất và khí tượng ... Bên cạnh các tín hiệu có ích cũng luôn tồn tại các tín hiệu không cần thiết trong hoàn cảnh riêng nào đó, mà ta gọi đó là nhiễu. Do vậy lĩnh vực xử lý tín hiệu mỗi ngày càng phát triển mạnh. Trong đó không thể không nhắc tới vai trò của các bộ lọc, lọc số là một quá trình mà ở đó phổ tần của tín hiệu có thể bị thay đổi, biến dạng tuỳ thuộc vào một số đặc tính mong muốn. Sử dụng bộ lọc số ta có thể làm được rất nhiều điều với tín hiệu số như: Loại đi thành phần làm bẩn tín hiệu như nhiễu, loại bỏ méo xuyên giữa các kênh truyền dẫn hoặc sai lệch trong đo lường, để phân tách hai hoặc nhiều tín hiệu riêng biệt đã được trộn lẫn theo chủ định nhằm cực đại hoá sự sử dụng kênh truyền, để phân tích các tín hiệu trong các thành phần tần số của chúng, hay đơn giản nhất là lấy đi một phần phổ tín hiệu mà ta mong muốn. Xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR. Mỗi loại bộ lọc có những đặc điểm riêng và các phương pháp thiết kế khác nhau. Trong khuôn khổ đồ án này em xin phép được trình bày về các phương pháp để thiết kế một bộ lọc số thỏa mãn yêu cầu cho trước. Với mục tiêu xác định như trên, đồ án được chia thành 4 chương với nội dung cơ bản như sau:Chương 1: Tổng quan về bộ lọc số.Chương 2: Bộ lọc lọc số FIR Chương 3: Bộ bộ lọc số IIRChương 4: Tính toán thiết kế và mô phỏng bộ lọc số có dải thông 800KHz 1400 KHz.

2.1 Giới thiệu chương 12

2.2 Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính 12

2.3.1.6 Cửa sổ Kaiser 19

2.3.2 Phương pháp lấy mẫu tần số 20

2.3.3 Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng 23

2.4 Cấu trúc của bộ lọc FIR 27

3.1 Giới thiệu chương 31

3.2 Đặc tính của bộ lọc nguyên mẫu tương tự 32

3.3.2 Phương pháp bất biến xung (Impulse invariance) 39

3.3.3 Phương pháp biến đổi song tuyến tính (Bilinear transformation ) 41 3.3.4 Phương pháp tương đương vi phân (Approximation of derivatives ) 43 3.3.5 Phương pháp biến đổi z tương thích (Matched-z transformation) 44 3.4 Biến đổi băng tần 45

3.5 Cấu trúc bộ lọc số IIR 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

PHỤ LỤC 79

CÁC TỪ VIẾT TẮT

ADC Analog Digital Converter Chuyển đổi tương tự sang số

DAC Digital Analog Converter Chuyển đổi số sang tương tự DFT Discrete Fourier Transform Biến đổi Fourier rời rạc

DSP Digital Signal Processing Xử lý tín hiệu số

IDFT Inverse Discrete Fourier Transform Biến đổi Fourier rời rạc ngược IIR Infinite Impulse Response Đáp ứng xung vô hạn

LỜI MỞ ĐẦU

Ngày nay, chúng ta tiếp xúc với rất nhiều loại tín hiệu và dưới nhiều dạng khác nhau như: Âm thanh,hình ảnh hay các tín hiệu thông tin liên lạc, hệ thống điều khiển rađa, địa chất và khí tượng Bên cạnhcác tín hiệu có ích cũng luôn tồn tại các tín hiệu không cần thiết trong hoàn cảnh riêng nào đó, mà ta gọi

đó là nhiễu Do vậy lĩnh vực xử lý tín hiệu mỗi ngày càng phát triển mạnh Trong đó không thể khôngnhắc tới vai trò của các bộ lọc, lọc số là một quá trình mà ở đó phổ tần của tín hiệu có thể bị thay đổi,biến dạng tuỳ thuộc vào một số đặc tính mong muốn Sử dụng bộ lọc số ta có thể làm được rất nhiềuđiều với tín hiệu số như: Loại đi thành phần làm bẩn tín hiệu như nhiễu, loại bỏ méo xuyên giữa cáckênh truyền dẫn hoặc sai lệch trong đo lường, để phân tách hai hoặc nhiều tín hiệu riêng biệt đã đượctrộn lẫn theo chủ định nhằm cực đại hoá sự sử dụng kênh truyền, để phân tích các tín hiệu trong cácthành phần tần số của chúng, hay đơn giản nhất là lấy đi một phần phổ tín hiệu mà ta mong muốn Xét

về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR và bộlọc có đáp ứng xung vô hạn IIR Mỗi loại bộ lọc có những đặc điểm riêng và các phương pháp thiết kếkhác nhau Trong khuôn khổ đồ án này em xin phép được trình bày về các phương pháp để thiết kế một

bộ lọc số thỏa mãn yêu cầu cho trước Với mục tiêu xác định như trên, đồ án được chia thành 4 chươngvới nội dung cơ bản như sau:

Chương 1: Tổng quan về bộ lọc số

Chương 2: Bộ lọc lọc số FIR

Chương 3: Bộ bộ lọc số IIR

Chương 4: Tính toán thiết kế và mô phỏng bộ lọc số có dải thông 800KHz -1400 KHz

Trong quá trình làm đồ án không tránh khỏi những sai sót, em mong các thầy cô trong hội đồng góp ý để

em có thể hoàn thiện hơn trong những luận án sau này

ADC Bộ xử lý DAC

Tín hiệu tương tự chưa được lọcTín hiệu số được lấy mẫu Số hóa tín hiệu đã lọc Tín hiệu tương tự đã được lọc

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ

1.1 Giới thiệu chương

Quá trình lọc tín hiệu nhằm tiến hành việc phân bố lại các thành phần tần số của tín hiệu Quá trình nàyđược thực hiện thông qua các bộ lọc Các bộ lọc được sử dụng nhằm hai mục đích sau:

- Phân tích tín hiệu được áp dụng khi tín hiệu mong muốn bị giao thoa với các tín hiệu khác hay nóicách khác là bị các loại nhiễu tác động vào

- Phục hồi tín hiệu: khi tín hiệu ta mong muốn hay cần đánh giá bị sai lệch đi bởi nhiều yếu tố củamôi trường tác động vào, làm cho nó bị biến dạng gây ảnh hưởng đến kết quả đánh giá

Tuy nhiên các bộ lọc số thì có ưu điểm vượi trội hơn hẳn so với lọc tương tự:

- Bộ lọc số thì có khả năng lập trình được, còn một bộ lọc tương tự muốn thay đổi cấu trúc phảithiết kế lại bộ lọc

- Các bộ lọc số dễ dàng thiết kế, dễ kiểm tra và dễ thi hành trên một máy tính

- Bộ lọc tương tự thường nhạy cảm với sự thay đổi của nhiệt độ, độ ẩm phụ thuộc lớn vào sai sốcủa các linh kiện Các bộ lọc số thì không gặp phải vấn đề này, và rất ổn định với cả thời gian và nhiệt độ

- Các bộ lọc số linh hoạt hơn nhiều trong xử lý tín hiệu, với nhiều cách khác nhau hay chính là khảnăng thích nghi tốt hơn so với bộ lọc tương tự

- Các bộ xử lý DSP nhanh có thể xử lý các tổ hợp phức tạp, phần cứng lại tương đối đơn giản, và

có mật độ tích hợp cao

1.2 Tổng quan về bộ lọc số

Các quá trình hoạt động của một bộ lọc số thể hiện như hình dưới:

Hình 1.1: Quá trình hoạt động của bộ lọc số

Bộ lọc số là hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian Đặc trưng bởi một đáp ứng xung và một đápứng tần số Mỗi đáp ứng đều chứa đầy đủ thông tin về bộ lọc nhưng ở dạng khác nhau Nếu có đượcmột trong hai đáp ứng thì có thể suy ra đáp ứng kia bằng cách tính toán trực tiếp Đáp ứng xung là đầu

ra của hệ thống khi đầu vào là xung đơn vị Còn đáp ứng tần số là từ phép biến đồi Fourier của đáp ứngxung

Bộ loc đáp ứng xung hữu hạn FIR:

Nếu các hệ số ak trong phương trình (1.6) bằng 0, ta có phương trình sai phân sẽ có dạng:

Bộ lọc đáp ứng xung vô hạn IIR

Hệ thống IIR bao gồm cả điểm không và điểm cực, phương trình sai phân (1.2) có thể được viết lại nhưsau:

Việc thiết kế bộ lọc thực tế đều đi từ lý thuyết các bộ lọc số lý tưởng Chúng ta sẽ nghiên cứu 4 bộ lọc số

lý tưởng tiêu biểu là:

Dải chặnDải thông

ωcc Tần số cắt

π ωc

-ωcc -π

Tần số cắt

1

Dải thông Dải chặn

- Bộ lọc số thông thấp lý tưởng

- Bộ lọc số thông cao lý tưởng

- Bộ lọc số thông dải lý tưởng

Bộ lọc thông dải lý tưởng:

Hình 1.6: Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông dải lý tưởng [1]

sin ωc1n

ωc 1n (1.12)

Bộ lọc chắn dải lý tưởng:

sin ωc 1n

ωc 1n ( 1.13)

1.2.2.2 Bộ lọc thực tế

Xét một bộ lọc số thông thấp làm ví dụ:

Hình 1 8: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp thực tế [1]

Có 4 tham số quyết định đến chỉ tiêu của bộ lọc số:

- Tần số giới hạn dải thông ωp.

Việc thiết kế một bộ lọc số tiến hành theo 3 bước:

- Đưa ra các chỉ tiêu (Specifications): Để thiết kế một bộ lọc, đầu tiên chúng ta cần xác định các

chỉ tiêu Các chỉ tiêu được xác định theo yêu cầu của người dùng

- Tìm các xấp xỉ (Appproximations): Một khi chỉ tiêu đã được xác định, sử dụng các khái niệm và

công cụ toán học khác nhau để tiến tới biểu diễn và tính gần đúng cho bộ lọc với tập các chỉ tiêu đã cho.Bước này là chủ đề chính của việc thiết kế lọc số

- Thực hiện bộ lọc (Implementation): Kết quả của các bước trên được mô tả dưới dạng một

phương trình sai phân, hoặc một hàm hệ thống H(z), hoặc một đáp ứng xung h(n) Từ các mô tả nàychúng ta có thể thi hành bộ lọc bằng phần cứng hoặc phần mềm mô phỏng trên máy tính

Với bộ lọc FIR có thể đạt được chính xác yêu cầu về pha tuyến tính Còn bộ lọc IIR, một dải thông có phatuyến tính là rất khó đạt Do đó, chúng ta chỉ xét các chỉ tiêu về biên độ

Hình 1.9: Các chỉ tiêu bộ lọc số (a) tuyệt đối (b) tương đối [7]

Có 2 loại chỉ tiêu:

- Các chỉ tiêu tuyệt đối bao gồm: ωs, ωp, δ1, δ2.

- Các chỉ tiêu tương đối bao gồm: R p là độ gợn sóng trong dải thông tính theo dB và A s là suy hao trongdải chắn tính theo dB

Mối quan hệ giữa hai loại chỉ tiêu:

Rp=−20 log10 1−δ 1

1+δ 1 >0 (0) trong dải thông

(1.14)

1.4 Kết luận chương

Có hai kiểu lọc chính là lọc tương tự và lọc số Các bộ lọc số được sử dụng rộng rãi trong thực tế nhờnhững ưu điểm vượt trội so với các bộ lọc tương tự như:

• Một bộ lọc số có thể được lập trình nên trở nên linh hoạt và dễ sửa đổi thông số

• Rất ổn định với cả thời gian và nhiệt độ

• Các bộ lọc số linh hoạt hơn nhiều trong xử lý tín hiệu, với nhiều cách khác nhau hay chính làkhả năng thích nghi tốt hơn so với bộ lọc tương tự

• Các bộ xử lý DSP nhanh có thể xử lý các tổ hợp phức tạp, phần cứng lại tương đối đơn giản, và

có mật độ tích hợp cao

Bộ lọc số có hai chức năng chính là phân tích tín hiệu và phục hồi tín hiệu

Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạnFIR (Finite Impulse Response) và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response)

Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc thành 4 loại cơ bản: Thông thấp, thông cao, thôngdải và chắn dải

Việc thiết kế bộ lọc thực tế đều đi từ lý thuyết các bộ lọc số lý tưởng Có 4 loại chỉ số tuyệt đối là

ωs, ωp, δ1, δ2 và 2 loại chỉ số tương đối là Rp, As

As=−20 log10 δ 2

1+δ 1 > 0 (>>1) trong dải chắn

(1.15)

CHƯƠNG 2 BỘ LỌC SỐ FIR

2.1 Giới thiệu chương

FIR (Finite Impulse Response) là bộ lọc số đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn Ngoài ra bộlọc số FIR còn thích hợp với các bộ lọc yêu cầu pha tuyến tính Ưu điểm của đáp ứng pha tuyến tính là:

- Bài toán thiết kế chỉ bao gồm các phép tính thực, không có các phép tính phức dẫn tới việc tínhtoán trở nên đơn giản hơn

- Bộ lọc pha tuyến tính không có méo trễ nhóm và chỉ bị trễ một khoảng không đổi

Có 3 phương pháp thường được sử dụng để tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính:

- Phương pháp cửa sổ (Window Design Techniques).

- Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequnecy Sampling Design Techniques ).

- Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng (Optimal Equiripple Design Techniques).

Mỗi phương pháp có những ưu điểm và khuyết điểm riêng Chương này trình bày các đặc tính, phươngpháp thiết kế và cấu trúc của bộ lọc FIR

2.2 Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính

Cho h(n) với 0 ≤ n ≤ M-1 là đáp ứng xung có chiều dài M của bộ lọc FIR ta có hàm truyền hệ thống là:

Có hai kiểu đối xứng tùy thuộc vào M:

- M lẻ: khi đó α là một số nguyên Đáp ứng xung đối xứng qua điểm

Như trên ta có hai kiểu phản đối xứng phụ thuộc vào M:

- M lẻ: Trong trường hợp này, α nguyên Đáp ứng xung phản đối xứng qua

Bảng 1: Khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc số [7]

2.3 Các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR có pha tuyến tính

2.3.1 Phương pháp cửa sổ

Ý tưởng của phương pháp này là cắt (nhân với hàm cửa sổ) đáp ứng xung bộ lọc lý tưởng (vô hạn, khôngnhân quả) để thu được đáp ứng xung bộ lọc FIR có pha tuyến tính, nhân quả Do vậy việc quan trọng làtìm ra đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng và lựa chọn hàm cửa sổ thích hợp

Ta thấy h d (n) đối xứng theo α , có độ dài vô hạn và không nhân quả Để có đáp ứng xung của bộ lọc FIR

thực tế, ta nhân đáp ứng xung của bộ lọc lý tửng hd( n) với một hàm cửa sổ w(n), với w(n) là một hàm

đối xứng đối theo α nằm trong khoảng từ 0 đến M-1 và bằng 0 trong các khoảng còn lại

Kết quả thu được là đáp ứng xung của bộ lọc thực tế h(n) đối xứng hoặc phản đối xứng với α=(M-1)/2

trong khoảng [0,M-1]

h(n) = h d (n).w(n) (2.17) Trong miền tần số, đáp ứng tần số của bộ lọc FIR nhân quả H(e jw ) là tích chập vòng của đáp ứng tần số bộ lọc lý tưởng H d (e jw ) và đáp ứng tần số của hàm cửa sổ W(e jw )

H(e jw ) = H d (e jw ) Ä W(e jw ) (2.18)

Hình 2.5 biểu diễn phương pháp cửa sổ trong miền tần số:

hd( n)=F−1[ Hd( ejωω) ] = sin [ωc( n−α )]

π(n−α )

2nM-1

M-1 2 2n

M-1

M-1 2

Hình 2.5 Quá trình thực hiện phương pháp cửa sổ [7]

Nhận xét:

- Do cửa sổ w(n) có chiều dài M hữu hạn nên đáp ứng tần số của nó có một búp chính độ rộng tỷ

lệ với 1/M và các búp phụ hai bên có biên độ nhỏ hơn

- Tích chập tuần hoàn tạo ra đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế H(e jw ) giống với dạng của đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng H d (e jw ) nhưng bị méo đi

- Búp chính tạo ra một dải chuyển tiếp trong H(e jw ) , độ rộng của búp chính có quan hệ với độ

rộng của dải chuyển tiếp, búp chính càng lớn thì dải chuyển tiếp càng lớn

- Các búp phụ tạo ra gợn sóng có hình dạng như nhau ở cả dải thông và dài chắn.

Một số loại cửa sổ thường sử dụng:

(2.21)

(2.23) (2.22)

0.1102(As - 8.7) , nếu As 500.5842 (As - 21)0.4 + 0.07886(As – 21) , nếu 21 < As < 50

Cửa sổ Kaiser có thông số b có thể điều chỉnh được do đó có thể điều chỉnh được độ rộng của búp phụ

so với đỉnh của búp sóng chính Tương tự với các hàm cửa sổ khác, độ rộng búp chính có thể thay đổinhờ việc điều chỉnh chiều dài cửa sổ do vậy điều chỉnh được độ rộng dải chuyển tiếp Với các đặc điểm

đã nêu các bộ lọc số được thiết kế rất có hiệu quả khi sử dụng cửa sổ Kaiser

Hàm cửa sổ được cho dưới dạng:

Trong đó: I0[.] là hàm Bessel bậc không được hiệu chỉnh

b là tham số phụ thuộc vào bậc bộ lọc M

Các bước thiết kế một bộ lọc thông thấp sử dụng cửa sổ Kaiser:

- Cho trước các chỉ tiêu thiết kế của bộ lọc thông thấp: ω s , ω p , A s , R p

- Độ rộng dải chuyển tiếp :

2.3.2 Phương pháp lấy mẫu tần số

Cho h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR có chiều dài M, H(k) là biến đổi Fourier rời rạc với M điểm và H(z) là hàm truyền của hệ thống Ta có:

hành cho các bộ lọc chọn tần loại khác.

- Lỗi xấp xỉ tại các tần số khác nhau phụ thuộc vào mức độ dốc hay độ biến đổi đột ngột tại tần số

đó hay phụ thuộc vào hình dạng của đáp ứng tần số lý tưởng

- Tại tần số có đáp ứng càng dốc, ví dụ gần biên của dải thông hay dải chắn, thì có hàm sai số xấp

xỉ càng lớn

Có 2 phương pháp thiết kế:

Phương pháp thiết kế đơn giản: Sử dụng ý tưởng cơ bản và không đưa ra ràng buộc nào về lỗi xấp xỉ,

nghĩa là chấp nhận lỗi này sinh ra do thiết kế Phương pháp này ít được sử dung trong thực tế

Phương pháp thiết kế tối ưu: Cố gắng tối thiểu hóa lỗi trong dải chắn bằng cách thay đổi các giá trị của

mẫu trong dải chuyển tiếp Trong phương pháp này chúng ta phải tăng M để tạo ra các mẫu tự do trongdải chuyển tiếp có thể nhận giá trị trung gian giữa 0 và 1 Số mẫu ở dải chuyển tiếp là không lớn, chỉ cần

từ 1 đến 2 mẫu là đủ vì trong thực tế dải chuyển tiếp là rất nhỏ so với dải thông và dải chắn Thay đổicác giá trị chuyển tiếp quá độ có thể cho kết quả tốt hơn, hay nói một cách khác có thể thu được hệ sốsuy giảm lớn nhất đối với M và độ rộng dải chuyển tiếp đã cho Bài toán đặt ra ở đây là việc phải tìmcách tối ưu hóa giá trị tại 1 và 2 mẫu đó để đạt được độ suy giảm dải chắn tối thiểu lớn nhất

2.3.3 Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng

Ý tưởng của phương pháp này là xuất phát từ một dãy có chiều dài M cho trước, sử dụng thuật toánRemez để tìm ra dãy đáp ứng xung sao cho cực đại của hàm sai số giữa đáp ứng tần số của bộ lọc lýtưởng và đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế là nhỏ nhất Nếu đáp ứng tần số của dãy đáp ứng xung tìmđược nói trên vẫn chưa thoả mãn điều kiện yêu cầu của thiết kế, tăng giá trị M Quá trình này được lặp

đi lặp lại đến khi tìm ra được bộ lọc thoả mãn các yêu cầu đã được đặt ra

Bảng 3: Giá trị của β và H r (ω) cho từng loại bộ lọc FIR pha tuyến tính [7]

Biểu thức H r (ω) trong 4 trường hợp có thể được viết lại dưới dạng tổng quát sau:

Bảng 4: Giá trị L, các hàm P(ω) và Q(ω) cho 4 loại bộ lọc [7]

Gọi H dr (ω) là hàm độ lớn của đáp ứng tần số mong muốn, W(ω) là hàm trọng số có tác dụng trải đều sai

số giữa bộ lọc thực tế lý tưởng trên cả dải thông và dải chắn Hàm sai số giữa bộ lọc thực tế và bộ lọc lýtưởng được xây dựng như sau:

Với δ 1 và δ 2 lần lượt là độ gợn sóng của dải thông và dải chắn

Thì hàm sai số ở cả dải thông và dải chắn đều không vượt quá δ2 Điều này có nghĩa nếu như ta tối thiểuhoá cực đại của hàm sai số E(ω) là δ2 ta tự động có luôn cực đại của sai số giữa bộ lọc thực tế và bộ lọc lýtưởng ở dải chắn là δ2 và ở dải thông là δ1

Định lý nói trên không chỉ ra cách thức để thu được hàm P(ω) Tuy nhiên nó chỉ ra rằng nghiệm đó tồn

tại, không những thế nghiệm là duy nhất và điều kiện để biết đó là nghiệm khi hàm sai số E(ω) có ít nhất

L+2 cực trị, các cực trị này có giá trị tuyệt đối bằng nhau, hai cực trị liên tiếp có một là cực đại và một làcực tiểu

Để tìm ra hàm P(ω), thuật toán trao đổi Remez, với ý tưởng: Trước tiên chúng ta dự đoán một tập tần sốcực trị |ωn| sau đó lần lượt tính δ, P(ω) và E(ω) Từ hàm sai số E(ω) chúng ta xác định tập L + 2 tần sốcực trị mới

Lặp lại tiến trình cho tới khi đạt được tập tần số cực trị tối ưu

Thuật toán Remez trình bày theo dạng lưu đồ [4]:

có

không

không

Vòng lặp tiếp theo bao giờ cũng thu được L+2 điểm rời rạc tiến gần tới những cực trị của hàm P(ω) màchúng ta mong muốn gần đúng với ^ Hdr (ω) theo nghĩa Chebyshev hơn, và cuối cùng nó sẽ hội tụ về các

điểm cực trị thực

Parks và McClellan đã đưa ra giải pháp sử dụng thuật toán Remez để tìm ra đáp ứng xung của bộ lọc tối

ưu nhất, tức là gần đúng theo nghĩa Chebyshev đối với một bộ lọc lý tưởng, cho giá trị M là chiều dài củadãy đáp ứng xung nào đó với các điều kiện ràng buộc về độ gợn sóng ở dải thông và dải chắn như sau:

1 Xác định loại bộ lọc, tính giá trị L và xây dựng các hàm W(ω), Q(ω)

2 Xây dựng bài toán gần đúng bằng cách xác định các hàm W ^(ω) và^ Hdr(ω)

3 Sử dụng thuật toán trao đổi Remez để tìm ra hàm tối ưu P(ω)

4 Tính các giá trị của dãy đáp ứng xung h(n)

Khi chọn giá trị M càng chuẩn thì kết quả là thu được bộ lọc có hàm đáp ứng tần số càng gần với yêu cầubài toán Nếu như với giá trị M nào đó mà chưa thoả mãn được yêu cầu cầu của bài toán thì ta phải tănggiá trị M đến khi nào thoả mãn các điều kiện ràng buộc cho δ1 và δ2 Về mặt kinh nghiệm,một số tài liệuđưa ra công thức lựa chọn ban đầu cho chiều dài M của dãy đáp ứng xung là [7]:

Ta thấy đáp ứng xung h(n) có chiều dài hữu hạn

Phương trình sai phân được biểu diễn:

Xấp xỉ tối ưu

Hình 2.7 Cấu trúc lọc FIR dạng trực tiếp [7]

b0 z-1 b1 z-1 b2 z-1 b3

y(n)x(n)

Hình 2.8 Cấu trúc lọc FIR dạng ghép tầng [7]

B1,1

y(n)x(n)

B2,1b0

Ví dụ về cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình 2.8 với M = 5:

2.4.3 Cấu trúc dạng pha tuyến tính

Xét bộ lọc FIR có pha tuyến tính, pha của bộ lọc sẽ có dạng:

h(n)=h(M −1−n); β=0, 0≤n≤M−1 (2.51)h(n)=−h( M−1−n); β=±π/2, 0≤n≤M−1 (2.52)

Xét phương trình sai phân (2.3 ) với đáp ứng xung đối xứng (2.6)

y (n )=b0x(n )+b1x (n−1)+⋯+b1x (n−M+2)+b0x(n−M +1)

= b0[ x (n)+x (n−M+1 )]+b1[ x (n−1)+x (n−M +2 )]+⋯

Ví dụ cấu trúc dạng pha tuyến tính được cho hình 2.9 đối với cả M lẻ và M chẵn:

Như vậy với cùng một bậc của bộ lọc (M), cấu trúc pha tuyến tính tiết kiệm được 50% các bộ nhân so vớicấu trúc dạng trực tiếp

Thiết kế bộ lọc FIR có ba phương pháp: phương pháp cửa sổ, phương pháp lấy mẫu tần số và phươngpháp xấp xỉ tối ưu:

- Phương pháp cửa sổ: Ý tưởng phương pháp này là cắt (nhân với hàm cửa sổ) đáp ứng xung bộlọc lý tưởng (vô hạn, không nhân quả) để thu được đáp ứng xung bộ lọc FIR có pha tuyến tính, nhân quả.Một số cửa sổ thông dụng là cửa sổ chữ nhật, tam giác, Hamming, Hanning, Blackman và cửa sổ Kaiser.Trong đó cửa sổ Kaiser là cửa sổ cho ra bộ lọc có thông số tối ưu nhất

- Phương pháp lấy mẫu tần số: Chúng ta làm gần đúng H d (e jω ) bằng một hàm H(e jω ) của bộ lọc

thực tế H(e jω ) nhận được qua việc nội suy giữa các mẫu H(k) lấy trên H d (e jω ) tại các tần số ωk= 2 π

M k Sai

số gần đúng này bằng 0 tại các tần số lấy mẫu và hữu hạn với các tần số khác

- Phương pháp tối ưu: Hai phương pháp trình bày trên là hai phương pháp đơn giản cho việctổng hợp bộ lọc số FIR, tuy nhiên vẫn còn tồn tại một số bất lợi nhỏ: Thứ nhất ta không thể ràng buộcđiều kiện đồng thời điều kiện về độ gợn sóng δ1 và δ2 ở cả hai thông và dải chắn Thứ hai là hàm sai sốxấp xỉ phân bố không đều trên các dải và có xu hướng tăng lên khi đến gần dải chuyển tiếp Hay nói cáchkhác thiếu sự điều khiển chính xác tại các tần số giới hạn như tần số cạnh dải thông và tần số cạnh dảichặn Phương pháp xấp xỉ tối ưu giải quyết được các vấn đề trên nhưng phải trả giá cho việc đó là quátrình tính toán phức tạp cần có sự trợ giúp của máy tính

Bộ lọc FIR có thể biểu diễn theo 3 cấu trúc: Dạng trực tiếp, dạng ghép tầng và dạng pha tuyến tính

IIR filter

hb(n)B(z)

FIR filterx(n)

X(z)

y(n)Y(z)

hb(n)B(z)x(n)

X(z)

y(n)Y(z)

ha(n)A(z)

CHƯƠNG 3 BỘ LỌC SỐ IIR

3.1 Giới thiệu chương

Bộ lọc IIR là bộ lọc số có đáp ứng xung dài vô hạn Khác với bộ lọc FIR, bộ lọc IIR có hồi tiếp và được gọi

là bộ lọc số có tính đệ quy

Hình 3 1 Sơ đồ hệ thống của bộ lọc FIR và IIR [9]

Vì lý do trên nên các bộ lọc IIR có đáp ứng tần số tốt hơn nhiều so với các bộ lọc FIR có cùng bậc Bộ lọcIIR có pha không tuyến tính nên gây ra một số vấn đề cho các hệ thống cần pha tuyến tính do đó bộ lọcIIR thường ít được sử dụng trong xử lý tín hiệu số khi có sự yêu cầu khắt khe về pha

Có nhiều phương pháp để thiết kế bộ lọc IIR, thường có 2 phương pháp phổ biến như sau Một là thiết

kế bộ lọc số IIR từ các bộ lọc tương tự, trước tiên ta thiết kế một bộ lọc tương tự có đáp ứng tần sốmong muốn, sau đó dùng các phương pháp gần đúng để chuyển đổi sang bộ lọc số

Việc chuyển đổi này cũng có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau:

 Phương pháp bất biến xung (Impulse invariance)

 Phương pháp biến đổi song tuyến tính (Bilinear transformation)

 Phương pháp tương đương vi phân (Approximation of derivatives)

 Phương pháp biến đổi z tương thích (Matched-z transformation)

Hai là kỹ thuật thiết kế trực tiếp bộ lọc số, cũng có nhiều phương pháp khác nhau:

 Phương pháp xấp xỉ Padé (Padé approximation)

 Phương pháp bình phương cực tiểu (Least-Squares)

 Phương pháp thiết kế trong miền tần số

Trong chương này chúng ta sẽ đi vào nghiên cứu các phương pháp loại thứ nhất vì nó đơn giản và có độchính xác chấp nhận được

3.2 Đặc tính của bộ lọc nguyên mẫu tương tự

- | Ha( jωΩ) |2 là đơn điệu giảm trong cả dải thông và dải chặn

- Bậc của bộ lọc N càng tăng thì càng gần với bộ lọc lý tưởng

- Đáp ứng biên độ luôn bằng 1/ √ 2 ở tần số cắt với mọi giá trị của N

Hình 3 2: Đặc tuyến đáp ứng tần số của bộ lọc Butterworth [1]

Để đảm bảo cho hệ thống ổn định thì các điểm cực của Ha(s) phải nửa mặt phẳng

trái Do đó trong các điểm cực của Ha(s).Ha(-s) ta chọn các điểm cực nằm nửa mặt

phẳng trái để làm cực của Ha(s) Ta có biểu thức của Ha(s):

Bậc của bộ lọc:

N=⌈ log [ ( 100.1 Rp−1 ) / ( 100.1 As−1 ) ]

2 log ( Ωp/ Ωs) ⌉(3.5)

Với R p là độ gợn sóng trong dải thông tính theo dB và A s là suy hao trong dải chắn tính theo dB Ωp là

tần số giới hạn dải thông Ωs là tần số giới hạn dải chắn.

3.2.2 Bộ lọc Chebyshev

Có 2 loại bộ lọc Chebyshev:

- Loại I: Đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải thông và giảm đơn điệu trong dải chắn

- Loại II: Đáp ứng biên dộ giảm đơn điệu ở dải thông và gợn sóng trong dải chắn

Đa thức Chebyshev TN( x ) bậc N được định nghĩa:

- Tại 0 ≤ x ≤ 1 (hoặc 0 ≤ Ω ≤ Ωc): | Ha( jωx) |2 dao động giữa 1 và 1+ ɛ 1 2

- Tại x ¿ 1 (hoặc Ω > Ωc): | Ha( jωx) |2 giảm đơn điệu về 0.

Ở đây UN( x ) là hàm Elip Jacobian bậc N, nó được Zverev tính theo phương pháp lập bảng năm 1967 và

ɛ là tham số liên quan tới độ gợn sóng dải thông

Hình 3 5: Đáp ứng biên độ tần số bộ lọc Elliptic [7]

Việc tổng hợp đạt hiệu quả lớn nhất nếu trải đều sai số gần đúng toàn bộ dải thông và dải chắn Bộ lọcElliptic làm được điều này vì thế nó là bộ lọc tối ưu nhất xét theo bặc nhỏ nhất với chỉ tiêu đặt ra Ngoài

ra với chỉ tiêu cho trước bộ lọc Elliptic có độ rộng băng chuyển tiếp nhỏ nhất

Bậc của bộ lọc được tính theo công thức sau: