Thiết kế bộ lọc thông thấp có tần số cắt 850khz

Nội dung đồ án gồm 4 chương:Chương 1: Tổng quan về bộ lọc số.Trong chương này trình bày các vấn đề tổng quan về một bộ lọc số bao gồm các các chỉ tiêu kỹ thuật và cấu trúc của các bộ lọc số. Các chỉ tiêu kỹ thuật bao gồm các thông số của bộ lọc trong miền thời gian và trong miền tần số. Cấu trúc bộ lọc số gồm cấu trúc bộ lọc FIR và bộ lọc IIR. Tùy thuộc vào loại bộ lọc đã thực hiện là FIR hay IIR mà ta sẽ chọn cấu trúc phù hợp. Chương 2: Thiết kế bộ lọc FIR Chương 2 giới thiệu cơ sở toán học và các phương pháp để thiết kế một bộ lọc FIR bao gồm phương pháp cửa sổ, phương pháp lấy mẫu tần số, phương pháp equiripple. Ngoài ra còn giới thiệu phương pháp thiết kế bộ lọc FIR có đáp ứng phẳng tối đa, sử dụng hàm truyền được cho bởi Vaidyanathan, 1984: Chương 3: Tính toán, thiết kế bộ lọc FIR thông thấpTrong chương này sử dụng các kiến thức lý thuyết từ chương 1 và chương 2 để tính toán thiết kế một bộ lọc FIR đáp ứng các yêu cầu cho trước. 3.2.1 Thiết kế bộ lọc FIR maximally flatÁp dụng hàm truyền ở công thức 2.47, với các thông số K = 17 và L = 9, bộ lọc có bậc M = 50 và có các đáp ứng như sau:3.2.2 Thiết kế bằng phương pháp cửa sổĐáp ứng của bộ lọc thông thấp lí tưởng: 〖 h〗_d (n)=sin⁡0.4π(nα)π(nα) Cửa sổ Blackman: w(n)={(0.420.5cos(2πn(551))+0.08cos(4πn(551)),0≤n≤5510 , khác )┤Các đáp ứng của bộ lọc như sau:

Em xin cam đoan nội dung của đồ án này không phải là bản sao chép của bất kì đồ

án hoặc công trình nào đã có từ trước

Đà Nẵng, ngày 02 tháng 06 năm 2014

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Lê Quang

MỤC LỤC

CÁC TỪ VIẾT TẮT As

Finite Impulse ResponseLeast mean squareNomal LMSInfinite Impulse ResponseRecursive least squareRipple passbandVHSIC Hardware DescriptionLanguage

Very High Speed IntegratedCircuits

Độ suy giảm ở dải chắn

Xử lí tín hiệu sốCông cụ thiết kế và phân tích bộlọc

Mảng cổng lập trình được dạngtrường

Đáp ứng xung hữu hạnBình phương trung bình nhỏ nhất

Đáp ứng xung vô hạn

Đệ quy bình phương nhỏ nhất

Độ gợn ở dải thôngNgôn ngữ lập trình phần cứngMạch tích hợp tốc độ cao

LỜI MỞ ĐẦU

Ngày nay, với sự phát triển không ngừng của khoa học kỹ thuật, các hệ thống tương

tự dần được thay thế bằng các hệ thống số Tuy nhiên, trong bất kì hệ thống nào thìyêu cầu về tính chính xác, tính ổn định và lọc nhiễu tốt luôn là yêu cầu quan trọngnhất Do đó, các bộ lọc đã ra đời để thực hiện các nhiệm vụ như lọc nhiễu, táchbăng tần để các hệ thống hoạt động ổn định và hiệu quả hơn Các bộ lọc số vớinhững ưu điểm so với bộ lọc tương tự như: độ gợn trong dải thông và dải chắn nhỏhơn nhiều so với bộ lọc tương tự, dải chuyển tiếp của bộ lọc số cũng nhỏ hơn so với

bộ lọc tương tự và đặc biệt là bộ lọc số FIR có thể đáp ứng tốt yêu cầu pha tuyếntính, một yêu cầu quan trọng trong các ứng dụng viễn thông cho nên các bộ lọc số

đã dần thay thế các bộ lọc tương tự trong xử lí tín hiệu, đặc biệt là trong xử lí tínhiệu số DSP

Từ tầm quan trọng của các bộ lọc số trong DSP, đặc biệt là bộ lọc có pha tuyến tínhtrong truyền dẫn tín hiệu, với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về cấu trúc và cách thứcthiết kế một bộ lọc số FIR, em chọn đề tài nghiên cứu cho đồ án tốt nghiệp là “thiết

kế bộ lọc số thông thấp có tần số cắt fc = 850kHz”

Trong đồ án này sẽ tập trung vào trình bày các vấn đề liên quan đến bộ lọc FIR gồmcác chỉ tiêu kỹ thuật, cấu trúc bộ lọc số và các phương pháp thiết kế nên một bộ lọcFIR Nội dung đồ án gồm:

• Chương 1: Tổng quan về bộ lọc số Giới thiệu về các thông số, chỉ tiêu kỹthuật của một bộ lọc số, các chỉ tiêu này đặc biệt quan trọng trong thiết kế đểđảm bảo chất lượng một bộ lọc số Sau đó, cung cấp các cấu trúc cơ bản củacác bộ lọc số để có thể thực hiện bộ lọc vừa thiết kế trên thực tế

• Chương 2: Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp Trình bày các phương pháp đểthiết kế một bộ lọc FIR gồm: phương pháp cửa sổ, phương pháp lấy mẫu tần

số, phương pháp equiripple và phương pháp thiết kế bộ lọc có đáp ứng phẳng

• Chương 3: Áp dụng các kiến thức về cấu trúc bộ lọc và các phương phápthiết kế đã trình bày trong các chương trước để xây dựng bộ lọc FIR thôngthấp đáp ứng các yêu cầu cho trước như tần số cắt, các hệ số gợn dải thông

và suy giảm ở dải chắn

• Chương 4: Sử dụng công cụ FDAtool trong matlab để mô phỏng các bộ lọctương tự như các bộ lọc đã thiết kế trong chương 3, qua đó kiểm tra tínhchính xác của các bộ lọc đã thiết kế

Bộ lọc số đã được sử dụng nhiều trong thực tế và không phải là kiến thức mới,nhưng trong đồ án này em đã tiếp cận các kiến thức chưa được giảng dạy như bộlọc maximally flat và các thuật toán thích nghi nên không thể tránh khỏi các saisót và hạn chế Em mong nhận được các ý kiến đóng góp của thầy cô để đồ ánnày được hoàn thiện hơn

Chương 1:

TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ 1.1 Mở đầu chương

Lọc là quá trình rất quan trọng trong xử lí tín hiệu số, chính vì những đặc tính tốtcủa các bộ lọc số đã làm chúng trở nên phổ biến như ngày nay Trong chương này

sẽ trình bày tổng quan về lọc số, các thông số và cấu trúc của một bộ lọc số để qua

đó có thể nắm rõ hơn các kiến thức cụ thể về bộ lọc sẽ được trình bày trong cácchương sau Nội dung chương 1 gồm:

có trọng số các tín hiệu vào Các bộ lọc đệ quy mở rộng thêm quá trình trên bằngcách sử dụng các hệ số đã tính được từ tín hiệu ra, bên cạnh các điểm lấy được từtín hiệu vào Thay vì dùng một lõi lọc, các bộ lọc đệ quy được xác định bởi một dãycác hệ số đệ quy

Có 2 loại bộ lọc số là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR và bộ lọc có đáp ứngxung vô hạn IIR Bộ lọc FIR có ưu điểm so với bộ lọc IIR là có thể thỏa mãn điềukiện đáp ứng pha tuyến tính Đặc tính bộ lọc được mô tả bởi đáp ứng biên độ và đápứng pha, tùy vào đáp ứng mong muốn mà bộ lọc nhân quả FIR hoặc IIR sẽ được sửdụng Bộ lọc FIR thường được dùng khi có yêu cầu về pha tuyến tính trong dảithông, bộ lọc IIR thường được dùng khi các ứng dụng không yêu cầu pha tuyếntính.Trong đồ án này sẽ trình bày cụ thể về bộ lọc FIR pha tuyến tính

1.2.1 Các thông số hệ thống trong miền thời gian

1.2.1.1 Thời gian lên

Tốc độ chuyển đổi thường được thể hiện bằng thời gian lên (hay số mẫu) giữa mứcbiên độ 10% và 90% Thời gian lên có thể không nhanh do nhiều nguyên nhân nhưtạp âm, hạn chế của hệ thống

1.2.1.2 Gợn sóng nhô trong đáp ứng bậc thang

Thông thường phải loại bỏ gợn sóng nhô vì nó làm thay đổi biên độ các mẫu trongtín hiệu Đây là nguyên nhân gây méo tín hiệu trong miền thời gian

1.2.1.3 Pha tuyến tính

Pha tuyến tính đặc biệt quan trọng trong các ứng dụng viễn thông Pha tuyến tính

có nghĩa các sự thay đổi về pha giữa các tần số là tuyến tính theo thời gian màkhông phụ thuộc vào tần số của tín hiệu

1.2.2 Các thông số trong miền tần số

Hình 1.1: Các chỉ tiêu của bộ lọc, (a) tuyệt đối, (b) tương đối [8]

Độ gợn dải chắn

Độ gợn dải thông

Miền chuyển tiếp

1.2.2.1 Các thông số tuyệt đối:

 Dải thông (pass band): dải tần [0, ωp] là dải các tần số mà bộ lọc cho qua, δ1

1.2.2.2 Các thông số tương đối

 Rp là độ gợn dải thông tính theo dB

 As là độ suy giảm dải chắn tính theo dB

1.3 Cấu trúc các bộ lọc số

1.3.1 Các phần tử cấu thành nên bộ lọc số

Bộ cộng: đây là phẩn tử có hai đầu vào và một đầu ra Giá trị tại đầu ra của bộ cộng

bằng tổng hoặc hiệu của hai tín hiệu đầu vào Bộ cộng được biểu diễn trong hìnhsau:

Hình 1.2: Bộ cộng

Bộ nhân: gồm một đầu vào và một đầu ra Giá trị tín hiệu tại đầu ra bằng tích của

tín hiệu tại đầu vào với hệ số khuếch đại a

Và phương trình vi phân có dạng như sau:

Bộ lọc có bậc là M-1 trong khi có chiều dài (bằng với số hệ số) là M Cấu trúc của

bộ lọc FIR thì luôn luôn ổn định và tương đối đơn giản hơn so với cấu trúc bộ lọcIIR Các bộ lọc FIR có thể thiết kế để đáp ứng yêu cầu pha tuyến tính, điều mà một

số ứng dụng yêu cầu

Trong phần này sẽ đề cập đến 4 loại cấu trúc:

b0 z-1 b1 z-1 b2 z-1 b3 z-1 b4

y(n) x(n)

Hình 1.5: Cấu trúc bộ lọc FIR dạng trực tiếp [8]

B1,1

y(n) x(n)

Trong đó: K bằng M/2 và các hệ số Bk,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các khâubậc 2 Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình sau với M=7:

1.3.2.3 Cấu trúc dạng pha tuyến tính

Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến tính

Trong đó: β = 0 hoặc và α là một hằng số.

Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điềukiện tuyến tính là:

Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (1.3) với đáp ứng xung đốixứng được cho trong phương trình (1.9) ta có

Sơ đồ khối thực hiện phương trình sai phân trên đươc mô tả trong hình dưới đây đốivới cả M chẵn và M lẽ

Đối với M lẽ, M = 7, với M chẵn M = 6

Hình 1.7:Cấu trúc bộ lọc FIR pha tuyến tính (a) M = 7, (b) M = 6 [8]

x(n) 1/4

W40

H(3)H(2)H(1)

H(0)W41

W42W43

-z- 4

y(n)

Hình 1.8: Cấu trúc bộ lọc dạng lấy mẫu tần số với M = 4 [8]

Từ hình 1.7 có thể thấy với cùng một bậc của bộ lọc, cấu trúc pha tuyến tính sẽ tiếtkiệm được 50% các bộ nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp

1.3.2.4 Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số

Hàm truyền H(z) của một bộ lọc FIR có thể tái lập từ các mẫu của nó trên vòng trònđơn vị

Từ công thức trên, ta đạt được công thức tính H(z) như sau:

Từ phương trình (2.12) trên có thể thấy rằng DFT của H(k) được dùng trong cấutrúc này thay cho đáp ứng xung h(n) hay phương trình sai phân Hàm hệ thốngH(z) ở trên dẫn tới cấu trúc như sau:

Một vấn đề từ cấu trúc hình 1.8 ở trên là nó yêu cầu các hệ số phức Trong khi đó,

bộ lọc FIR luôn luôn là một bộ lọc có các hệ số thực Một bộ lọc có các hệ số thực

có được bằng cách sử dụng đặc tính đối xứng của DFT và các hệ số W -k Công

Trong đó: đối với M lẽ, đối với M chẵn, và với k = 1, , L là tập bậc 2 cho bởicông thức sau:

Chú ý rằng biến đổi DFT củaH (0) và H(M/2) là các số thực và phần của côngthức (1.13) được bỏ đi khi M lẽ Sử dụng công thức (1.13) và (1.14) giả sử M = 4

ta có cấu trúc như hình sau:

1.3.3 Cấu trúc bộ lọc IIR

Hàm truyền của một lọc IIR được cho như sau:

Trong đó an và bn là các hệ số bộ lọc Giả định rằng với không có các tổn hao nóichung thì a0=1 Bộ lọc có bậc N nếu an ≠ 0 Phương trình sai phân của một bộ lọcIIR được biểu thị dưới dạng như sau:

2cos(2π/4)

H(2)

H(0) -cos[ H(1)-2π/4]∠

-a4-a3-a2

-a1b1

b3b2

z-1z-1z-1z-1

Có 3 dạng cấu trúc có thể dùng để thực hiện một bộ lọc IIR gồm:

• Dạng trực tiếp: trong dạng này cấu trúc bộ lọc được xây dựng trực tiếp từphương trình sai phân Có 2 phần của bộ lọc gọi là phần dịch chuyển trungbình và phần đệ quy

• Dạng ghép tầng: trong dạng này hàm hệ thống H(z) được chia thành các tậpbậc 2, gọi là các biquads Mỗi biquad được thực hiện theo dạng trực tiếp, vàhàm hệ thống khi đó được biểu diễn bằng cách ghép tầng các biquad lại vớinhau

• Dạng song song: tương tự như dạng ghép tầng, nhưng sau khi phân chia H(z)thành các phần nhỏ, H(z) khi đó được biểu diễn như là một tổng các tập bậchai Mỗi tập bậc 2 nói trên lại được xây dựng theo dạng trực tiếp và đượcghép song song với nhau để biểu diễn hàm truyền

1.3.3.1 Cấu trúc dạng trực tiếp

Dạng trực tiếp có được bằng cách thực hiện trực tiếp phương trình sai phân bằngcác bộ cộng, bộ nhân và bộ trễ Ví dụ với M = N = 4 ta có phương trình sai phânnhư sau:

Cấu trúc dạng trực tiếp được phân thành 2 loại nhỏ là loại I và loại II

Dạng trực tiếp I:

Hình 1.9: Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số M = 4 với các hệ số thực [8]

y(n)1/4

b3b2

b0-a1

y(n)x(n)

Hình 1.11: Cấu trúc bộ lọc IIR dạng trực tiếp II [8]

b4

-a2-a3-a4

z-1z-1z-1z-1

Với N là số nguyên và chẵn, khi đó:

Với K = N/2 và Bk,1, Bk,2, Ak,1, Ak,2 là các số thực đại điện cho các hệ số của tập bậc

2 Một tập bậc 2 có hàm truyền của nó như sau:

Trong đó: Y1(z) = b0X(z) và YK+1(z) = Y(z)

Các tập bậc 2 được gọi là các biquad và được biểu diễn như hình sau:

b0x(n)

Hình 1.13: Cấu trúc bộ lọc IIR dạng ghép tầng với N=4 [8]

-A1,2

z-1z-1

B2,1B2,2

-A2,2

z-1z-1

B1,0B1,1-A1,1

C0

z-1z-1

B2,1-A2,1

y(n)

-A2,2

z-1z-1B2,0

Với N = 4, cấu trúc dạng ghép tầng của một bộ lọc IIR có dạng như sau:

1.3.3.3 Cấu trúc song song:

Trong đó K = N/2, Bk,0, Bk,1, Ak,1, Ak,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của cáctập bậc 2 Một tập bậc 2 có hàm truyền như sau:

Với:

Bộ lọc có cấu trúc song song với M = N = 4 được thể hiện trong hình sau:

Vấn đề thứ hai mà chương 1 đề cập đến đó là các cấu trúc của một bộ lọc số gồmcấu trúc của bộ lọc FIR và cấu trúc của bộ lọc IIR Tùy thuộc vào loại bộ lọc đãthực hiện là FIR hay IIR mà ta sẽ chọn cấu trúc phù hợp Sau đó, tùy thuộc các yêucầu như tính đơn giản của cấu trúc hay tính tiết kiệm các phần tử cấu thành nên một

bộ lọc số để lựa chọn các cấu trúc khác nhau như dạng trực tiếp, dạng ghép tầng haydạng lấy mẫu tần số

Chương 2:

THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR 2.1 Mở đầu chương

Trong hầu hết các hệ thống xử lí tín hiệu số đều có chức năng bộ lọc Vì vậy, vấn đềthiết kế bộ lọc số đóng vai trò quan trọng trong xử lí tín hiệu số Có nhiều phươngpháp thiết kế các bộ lọc số đã được đề suất và thực hiện trong thực tế Trongchương này sẽ trình bày các phương pháp thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính gồm:

• Phương pháp cửa sổ

• Phương pháp lấy mẫu tần số

• Phương pháp equiripple

• Phương pháp thiết kế bộ lọc có đáp ứng phẳng tối đa

• Phương pháp thiết kế bộ lọc FIR thích nghi

2.2 Đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính

Gọi h(n) với 0 ≤ n ≤ M-1 là đáp ứng xung có chiều dài M Khi đó hàm hệ thống là:

Hàm hệ thống có (M-1) điểm cực tại z=0 và có (M-1) điểm không nằm bất kì trênmiền z Hàm đáp ứng tần số:

Dựa vào đặc tính đối xứng của đáp ứng xung và chiều dài M của bộ lọc, người tachia thành bốn loại sau đây:

2.2.1 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại 1: đáp ứng xung đối xứng, M lẽ

Trong trường hợp này β = 0 và α = (M-1)/2 là số nguyên

Trong đó, a(n) được tính như sau:

2.2.2 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại 2: đáp ứng xung đối xứng, M chẵn

Với loại 2 thì này β = 0 và α = (M-1)/2 không phải là số nguyên

Với:

Và:

Chú ý: tại ω = π ta có:

Do đó không thể dùng loại 2 cho các bộ lọc thông cao và chắn dải

2.2.3 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại 3: đáp ứng xung phản đối xứng, M lẽ

Với loại 2 thì này β = π/2 và α = (M-1)/2 là số nguyên

Trong đó:

Và:

Chú ý: tại ω = 0 và ω = π thì Hr(ω) = 0 mà không cần tính đến c(n) hay h(n) Hơnnữa ejπ/2 = j, có nghĩa là H(ejω) = jHr hoàn toàn ảo Do đó, loại bộ lọc này khôngthích hợp để thiết kế các bộ lọc thông cao hay thông thấp, thay vào đó, nó thích hợp

để thiết kế biến áp số Hilbert hay các bộ vi phân

2.2.4 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại 4: đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn

Với loại 2 thì này β = π/2 và α = (M-1)/2 không phải là số nguyên

Với:

Và:

Chú ý : tại ω = 0 thì Hr(0) = và ejπ/2 = j, có nghĩa là H(ejω) = jHr hoàn toàn ảo Do đó,loại bộ lọc này chỉ thích hợp để thiết kế biến áp số Hilbert hay các bộ vi phân

2.3 Thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính

2.3.1 Thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính dùng phương pháp cửa sổ

2.3.1.1 Nguyên tắc:

Từ đáp ứng tần số mong muốn Hd(ω) với các chỉ tiêu tương ứng, ta lấy biển đổiFourier ngược để có đáp ứng xung hd(n):

Với α = (M – 1)/2

hd(n) thu được có chiều dài vô hạn và không nhân quả, không thể thực hiện trongthực tế Vì vậy hệ thống phải được sửa lại thành nhân quả và phải hạn chế chiều dàicủa hd(n) Phương pháp đơn giản là cắt bỏ hd(n) từ giá trị n = M - 1 và thu được bộlọc FIR có chiều dài M Thực hiện “cắt ngọn” bằng cách nhân đáp ứng xung mongmuốn hd(n) với một hàm của sổ Hàm cửa sổ được định nghĩa như sau:

Như vậy, đáp ứng xung của bộ lọc FIR trở thành:

Gọi W(ω) là biến đổi Fourier của cửa sổ , từ tính chất nhân của biến đổi Fourier, tathu được đáp ứng tần số của bộ lọc như sau:

2.3.1.2 Các bước thiết kế bộ lọc FIR theo phương pháp cửa sổ

1. Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số: δ1, δ2 , ωp , ωs

2. Xác định đáp ứng xung của mạch lọc lí tưởng

3. Chọn loại cửa sổ

4. Nhân đáp ứng xung lí tưởng với hàm cửa sổ để có đáp ứng xung của mạchlọc:

5. Thử lại trong miền tần số: H(ω) = Hd(ω)*W(ω)

6. Nếu không thỏa mãn các chỉ tiêu kĩ thuật, ta tăng M và trở lại bước 2

Cửa sổ chữ nhật

Định nghĩa: của sổ chữ nhật có chiều dài M được định nghĩa trong miền thời gian

như sau:

Biến đổi Fourier của cửa sổ chữ nhật như sau:

Cửa sổ này có đáp ứng biên độ là:

Và có đáp ứng pha tuyến tính từng đoạn:

Các tham số (được định nghĩa chung cho các loại cửa sổ khác)

 Đáp ứng biên độ Wr(ω) có giá trị bằng không đầu tiên tại ω = ωp, nên độrộng múi chính DW được tính bằng hai lần dải tần số từ ω0 đến ω1

Với cửa sổ chữ nhật thì

Và DW = 4π/M

 Tỉ số giữa đỉnh của múi bên đầu tiên và đỉnh của múi chính:

Đối với cửa sổ chữ nhật độ lớn của múi chính Wr(ω=0) xấp xỉ M, múi bênđầu tiên đạt đỉnh tại ω=3π/M:

Tỉ số độ lớn giữa múi bên đầu tiên và múi chính là λ = 2/(3π) = 21,22%(13dB)

 Đối với của sổ chữ nhật, độ suy giảm tối thiểu ở dải chắn (As) là 21dB bấtchấp chiều dài M của cửa sổ

 Miền chuyển tiếp có độ lớn bằng ωs – ωp Đối với của sỗ chữ nhật độ rộngmiền chuyển tiếp là ωs – ωp = 1,8π/M

Hiện tượng Gibbs

Để giới hạn chiều dài đáp ứng xung hd(n) của bộ lọc lí tưởng, ta đã nhân đáp ứngxung lí tưởng này với hàm cửa sổ w(n) Đối với bộ lọc lí tưởng, đáp ứng biên độchuyển đột ngột từ 1 xuống 0 hoặc ngược lại, nhưng trong thực tế, do tích chậptrong miền tần số đã gây ra các dao động ở dải thông và dải chắn xung quanh tần sốcắt ωc Sự phát sinh các dao động này được gọi là hiện tượng Gibbs

2.3.2 Thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính dùng phương pháp lấy mẫu tần số

Vì sao phải lấy mẫu tần số: phương pháp cửa sổ yêu cầu kiến thức về hd(n) vàDTFT đảo của Hd(ejw) đôi khi khó khả dụng

2.3.2.1 Nguyên tắc:

từ định lí lẫy mẫu tần số, hàm hệ thống H(z) có thể đạt được từ các mẫu H(k) củaH(ejw):

Với z=ejw ta có:

Với bộ lọc FIR pha tuyến tính ta có:

H(k) được viết lại:

Trong đó:

Và:

Cuối cùng ta có:

2.3.2.2 Ý tưởng thiết kế: đưa ra bộ lọc thông thấp lí tưởng Hd(e iw), chọn chiều dài

M của bộ lọc rồi sau đó lấy mẫu Hd(ejw) tại M điểm có khoảng cách bằng nhau trongmiền tần số từ 0 đến 2π Đáp ứng thực tế là nội suy của các mẫu

Phương pháp bình thường: sử dụng trực tiếp ý tưởng thiết kế và không cung cấp

các ràng buộc về xấp xỉ lỗi, do đó, ta chấp nhận tất cả các lỗi xuất hiện từ thiết kế

Trong phương pháp này, ta lấy mẫu sao cho có các mẫu trùng với các tần số đặcbiệt như ωp, ωs và không có các mẫu trong miền chuyển tiếp Hạn chế khi dùngphương pháp này là hệ số suy giảm tối thiểu ở dải chắn nhỏ (khoảng 16dB) khôngphù hợp với yêu cầu nên phương pháp này ít khi được sủ dụng.

Phương pháp tối ưu: để đạt được độ suy giảm mong muốn, ta tăng M và làm cho

các điểm lấy mẫu trong miền chuyển tiếp trở nên tự do – có nghĩa là có thể thay đổigiá trị của chúng để đạt được độ suy giảm lớn nhất với M cho trước Đây là bài toántối ưu hóa và được giải quyết bằng kĩ thuật quy hoạch tuyến tính

Khi chỉ có một mẫu trong miền chuyển tiếp, bằng cách thay đổi giá trị độ lớn mẫutrong miền chuyển tiếp này ta có thể đạt được một thiết kế tốt hơn khi giá trị Astăng lên đến giá trị có thể chấp nhận được (khoảng 43dB) Tuy nhiên, trong nhiềutrường hợp, yêu cầu về độ suy giảm tối thiểu trong dải chắn lớn hơn, ta phải tiếp tụctăng M và lấy hai mẫu trong miền chuyển tiếp để đạt được thiết kế tối ưu

Trong thực tế, độ rộng miền chuyển tiếp thường nhỏ, do đó chỉ chứa gồm một hoặchai mẫu Nên chúng ta cần tối ưu hóa giá trị của nhiều nhất hai mẫu để đạt được độsuy giảm lớn nhất

2.3.3 Thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính dùng phương pháp equiripple

Hai phương pháp cửa sổ và lấy mẫu tần số thì dể để hiểu và thực hiện Tuy nhiênchúng có một số nhược điểm sau Thứ nhất, không thể xác định ωp, ωs một cáchchính xác trong thiết kế, do đó ta chỉ có thể chấp nhận tất cả các giá trị sau khi thiết

kế Thứ hai, không thể xác định cùng lúc hai hệ số gợn δ1, δ2 Ta có δ1= δ2 trongphương pháp cửa sổ và chỉ có thể tối ưu δ2 trong phương pháp lấy mẫu tần số Cuốicùng, xấp xỉ lỗi – khác nhau giữa đáp ứng lí tưởng và đáp ứng thực tế- thì phân bốkhông đều trên toàn bộ băng tần Bằng cách phân bố lại xấp xỉ lỗi bằng nhau trêntoàn băng tần, ta có thể giảm được chiều dài bộ lọc trong khi vẫn đáp ứng các điềukiện khác Có một phương pháp giải quyết được ba vấn đề trên, tuy nhiên có đôichút khó khăn để hiểu và thực hiện và yêu cầu có máy tính để thực thi

2.3.3.1 Phát triển vấn đề minimax

Đáp ứng tần số của bốn loại bộ lọc có thể được viết lại như sau:

Với giá trị của β và Hr(ω) được cho theo bảng sau:

Bảng 2.3 Đáp ứng biên độ và giá trị β cho bộ lọc FIR pha tuyến tính [8]

Bảng 2.4 Q(ω), L và P(ω) cho bộ lọc FIR pha tuyến tính [8]

Trọng số lỗi tại mọi tần số:

• Ngoài ra, coi như ω = 0 và ω = π là các điểm cực trị, do đó, ta có tối đa(L+1) cực trị được kì vọng.

• Chúng ta cũng muốn các chi tiết kĩ thuật của bộ lọc chính xác tạicác điểmbiên ωp, ωs Điều đó có nghĩa là có tối đa (L+3) điểm cực trị

• Chúng ta có thể xác định để P(ω) có độ gợn không đổi Mục đích là đi tìm

để đạt được điều kiện độ gợn, sau đó, từ có thể xác đinh h(n) dựa trên mốiquan hệ giữa

Vấn đề của bài toán là xác định các tập hệ số hoặc hoặc hoặc để tối thiểu hóa giátrị tối đa của E(ω) trên dải chắn và dải thông

Packs và McClellan đã vận dụng phép xấp xỉ Chebyshev, cụ thể là định lí xoaychiều để giải bài toán này Định lí được phát biểu như sau:

Định lí: Gọi S là một tập con trong khoảng tần số [0,π), điều kiện cần và đủ để cho

xấp xỉ với H dr (ω) trên miền S là hàm sai số E(ω) tồn tại ít nhất L+2 thành phần cực trị ω i trong S sao cho:

2.3.3.3 Thuật toán Packs- McClellan

 Chúng ta chưa biết cả M (hoặc L) và tần số cực trị ωi cũng như thông số α(n)hay δ

 Nếu đã biết chiều dài bộ lọc M và tỉ số δ1/ δ2 đã biết,thuật toán McClellan dựa trên phép điều chỉnh lặp các hệ số của đáp ứng biên độ chođến khi giá trị đỉnh tuyệt đối của E(ω) là đạt tối thiểu

Packs- Công thức Kaiser để tính chiều dài bộ lọc M:

Bước 3: Xác định giá trị của đáp ứng biên độ P(ωi) tại {ωi} từ hệ thống tuyến tính.Sau đó, đa thức P(ω) được xác định bằng cách nội suy từ các giá trị tại (L+2) tần sốcực trị sử dụng phép nội suy Lagrance.

Bước 4: Xác định L+2 tần số cực trị mới từ hàm trọng số lỗi mới

Bước 5: Nếu giá trị đỉnh δ của E(ω) mà bằng với độ lớn, thuật toán hội tụ Nếukhông, quay lại bước 2, làm lại cho đến khi hội tụ

2.3.3.4 Thuật toán chuyển đổi Remez

Dùng để giải hệ thống tuyến tính gồm (L+2)x(L+2) phương trình để tìm ra (L+1)

α(n) và δ

Ma trận chuyển đổi như sau:

Do sự phức tạp và khó khăn trong việc tính toán nên thuật toán chuyển đổ Remez

đã được xây dựng sẵn bằng hàm remez trong matlab

2.4 Thiết kế bộ lọc FIR maximally flat

2.4.1 Bộ lọc có đáp ứng tần số phẳng tối đa (maximally flat)

Bộ lọc maximally flat là bộ lọc có đáp ứng phẳng tối đa ở cả dải thông và dải chắn.Một bộ lọc như mong đợi sẽ có đáp ứng phẳng tối đa trên toàn bộ băng thông, tuynhiên cái giá phải trả là miền chuyển tiếp sẽ rộng hơn

Bộ lọc có đáp ứng phẳng tối đa ở dải chắn có nghĩa là hệ số suy giảm ở dải chắn rấtlớn Tuy nhiên, điều này làm tăng độ rộng miền chuyển tiếp Bộ lọc dạng này ít khiđược sử dụng trong thực tế vì khi các hệ số bộ lọc được lượng tử hóa đến một chuỗihữu hạn các bít, hệ số suy giảm không thể đạt được khi mà độ rộng miền chuyểntiếp vẫn phải đáp ứng điều kiện.

Bộ lọc có đáp ứng phẳng ở dải thông được dùng rộng rải hơn vì sự rối loạn của tínhiệu được tối thiểu hóa sau khi lọc Lúc đó đáp ứng tần số có dạng phẳng ở dảithông thông và độ gợn không đổi ở dải chắn

2.4.2 Bộ lọc FIR maximally-flat

Đặc tính phẳng tối đa của đáp ứng tần số cần thiết khi yêu cầu tín hiệu sau khi lọcphải có xấp xỉ lỗi tối thiểu tại tần số không hoặc đáp ứng tần số đơn điệu Bộ lọcFIR có đáp ứng tần số phẳng tối đa tại tần số ω = 0 và ω = π lần đầu tiên được đưa

ra bởi Herrmann (1971)

Trong trường hợp này, đáp ứng tần số của bộ lọc FIR maximally-flat được đề cậpnhư sau: đáp ứng tần số H(ejw) -1 có 2L điểm không tại ω = 0 và H(ejw) có 2K điểmkhông tại ω = π Để đạt được đáp ứng phẳng tối đa, bậc bộ lọc phải có dạng M =2(L+K-1) Từ đó, 2L - 1 điểm đầu tiên của đạo hàm của H(ejw) bằng 0 tại ω = 0 và

có 2K – 1 điểm đầu tiên của đạo hàm của H(ejw) bằng 0 tại ω = π Nếu 2 điều kiệntrên được đáp ứng thì hàm truyền của bộ lọc được viết như sau:

Trong đó:

d(n) là hệ số nhị thức được tính như sau:

Từ phương trình trên có thể thấy rằng H(ejw) có thể viết dưới dạng một tổng cáchàm mũ phức ω có tần số chạy từ (- K – L +1) đến (K + L - 1) với mức tăng bằng 1

Do đó, theo định lí lấy mẫu tần số, có thể xác định được h(n) bằng cách lấy mẫu tần

số H(ejw) tại (2K + 2L -1) = M + 1 điểm có khoảng cách bằng nhau tại tần số ω =2πn/(M+1) với n = 0, 1, M, sau đó lấy biến đổi Fourier ngược H(ejw) (sau khi đãlấy mẫu tần số)

Kết quả là hàm truyền như sau (Vaidyanathan, 1984):

Từ phương trình trên,có thể thấy được điểm tựa để thiết kế một bộ lọc FIR có đápứng tần số phẳng tối đa là các giá trị của K và L Để có được K và L phải lần lượttính toán theo các bước sau:

Trong đó Tr (rad) là độ rộng miền chuyển tiếp

Sau đó, với tất cả các giá trị nguyên của Mp trong khoảng M1 ≤ Mp ≤ 2M1, tìm Mp và

Kp sao cho tỉ số Kp/Mp xấp xỉ ρ Giá trị mong muốn của K và L được cho như sau:

bất kì lỗi nào xuất phát từ độ sai lệch giữa các công thức toán học và quá trình thựchiện, bộ lọc thích nghi có thể được đặc trưng độc lập với các cấu trúc vật lí mà nó

có Một bộ lọc thích nghi được định nghĩa bằng bốn khía cạnh:

• Tính hiệu được xử lí bằng bộ lọc

• Cấu trúc của bộ lọc xác định mối quan hệ giữa tín hiệu đầu vào và đầu ra

• Các thông số trong cấu trúc này có thể được thay đổi để thay đổi mối quan

Trong chương này, trình bày các vấn đề chung về bộ lọc thích nghi và giới thiệu cáccông thức và kí hiệu toán học để đại điện cho hình thức và hoạt động của bộ lọcthích nghi Sau đó sẽ đề cập đến các cấu trúc của bộ lọc thích nghi đã được chứngminh là hữu dụng trong thực tế Cuối cùng, cung cấp nguồn gốc của thuật toán LMS

và các tính chất của thuật toán này

2.5.1.1 Sơ đồ chung của bộ lọc thích nghi

Hình 2.1: sơ đồ chung của bộ lọc thích nghi [7]

Từ sơ đồ hình 2.1 cho thấy, tín hiệu số đầu vào x(n) đi qua một thiết bị gọi là bộlọc thích nghi, thiết bị này tính toán và đưa ra tín hiệu đầu ra y(n) tại thời điểm n.Tín hiệu đầu ra này được so sánh với tính hiệu mong muốn d(n) bằng cách trừ haitín hiệu cho nhau Tín hiệu sai lệch được tính bởi:

e(n) = d(n) - y(n) (2.53)được gọi là tín hiệu lỗi Tín hiệu lỗi này đi qua một quá trình, quá trình này thay đổicác thông số của bộ lọc từ thời điểm n đến thời điểm n+1 bằng một phương pháp cụthể Tiến trình thích nghi được biểu diễn bằng mũi tên xuyên qua khối adaptivefilter trên hình Theo thời gian giá trị của n tăng lên, tín hiệu đầu ra của bộ lọc ngàycàng tốt hơn và tiến đến giá trị mong muốn sau tiến trình thích nghi, có nghĩa làbiên độ của e(n) giảm theo thời gian Sự “tốt hơn” của tín hiệu đầu ra này thì đượcchỉ ra bằng thuật toán thích nghi được sử dụng để hiệu chỉnh thông số bộ lọc

Trong tác vụ lọc thích nghi, thích nghi là phương pháp theo đó các thông số bộ lọcthay đổi từ thời điểm n sang n+1 Số lượng và loại thông số thay đổi phụ thuộc vàocấu trúc toán học được lựa chọn cho hệ thống

2.5.1.2 Cấu trúc bộ lọc FIR thích nghi

Bộ lọc FIR thích nghi cấu trúc dạng trực tiếp được biểu diễn như hình sau:

Hình 2.2: Cấu trúc bộ lọc FIR thích nghi [7]

Trong đó:

ωn(i) 0 ≤ i ≤ p là p thông số của bộ lọc tại thời điểm thứ n Tập các hệ số của bộ lọc

là vector hệ số Wn

W(n)=[ω n (0), ω n (1), ω n (p) ] T (2.54)

là ước lượng của tín hiệu tín hiệu mong muốn d(n) từ tín hiệu vào x(n)

Ở đây, x(n) và d(n) là các tiến trình ngẫu nhiên không tĩnh, và mục đích là xác định

vector Wn ở thời điểm thứ n để tối thiểu hóa sai số quân phương (mean-squares

2.5.2 thuật toán thích nghi

Trong phạm vi đồ án này xin được bỏ qua cơ sở toán học để dẩn đến thuật toánthích nghi mà chỉ trình bày đến nội dung của thuật toán thích nghi thông dụng nhất

là thuật toán toàn phương trung bình tối thiểu (LMS)

Phương trình cập nhật vector hệ số của bộ lọc thích nghi được cho như sau:

Trong thực tế, hạn chế của phương trình trên là các giá trị thường không xác địnhđược, do đó, nó có thể thay bằng ước lượng:

Trong trường hợp đặc biệt, khi số điểm lấy mẫu trung bình là 1 (L = 1) phươngtrình trên trở thành:

Khi đó, phương trình cập nhật cho vector hệ số của bộ lọc trở thành:

Phương trình cập nhật cho hệ số thứ k của vector hệ số tại thời điểm n + 1 như sau:

Thuật toán LMS được trình bày trong bảng sau đây:

Bảng 2.5 thuật toán LMS cho bộ lọc FIR thích nghi [3]

Các thông số: p = bậc bộ lọc

μ = kích thước bướcKhởi tạo: w0 = 0

Quá trình tính toán: For n = 0, 1, 2,

(a) y(n) = wnTx(n)

(b) e(n) = d(n) – y(n)(c) wn+1 = wn + μe(n)x *(n)

Hệ thống chưa biết

Bộ lọc FIR thích nghi

x(n)Tín hiệu đầu vào

Ứng dụng của bộ nhận dạng hệ thống

• Xác định kênh truyền

• Xác định đáp ứng của các hệ thống máy

• Triệt tiêu tiếng vọng trong truyền dẫn khoảng cách xa

• Triệt tiêu tiếng vọng âm thanh

2.5.3.2 Triệt tiêu nhiễu

Khi thu thập các phép đo tín hiệu hoặc quy trình nhất định, tín hiệu thu được thườngkhông sạch mà là sự tổ hợp của tín hiệu quan tâm và tín hiệu nhiễu Các tín hiệunhiễu này là sai lệch các kết quả đo và là giảm chất lượng dịch vụ, do đó, triệt tiêucan nhiễu là một ứng dụng quan trọng của bộ lọc thích nghi

Bộ lọc FIR thích nghix(n) = d(n) + v1(n)

Hình 2.4: Ứng dụng triệt nhiễu có tính hiệu chuẩn [3]

Thuật toán thích nghi

-+

v2(n)

Bộ lọc FIR thích nghix(n) = d(n) + v1(n)

Hình 2.5: Ứng dụng triệt nhiễu không có tính hiệu chuẩn [3]

Thuật toán thích nghi

Khi không thể xác định được tín hiệu nhiễu tương quan v2(n) của tín hiệu nhiễuv1(n) trong tín hiệu thu được, có thể triệt tiêu nhiễu bằng cách làm trễ tín hiệu vào đimột số mẫu rồi sử dụng thuật toán thích nghi để ước lượng tín hiệu quan tâm từ tínhiệu đầu vào đã được làm trễ này

2.5.3.3 Dự đoán tuyến tính

Khi truyền các phiên bản số hóa của tín hiệu trong thế giới thực như lời nói, hình

Bộ lọc FIR thích nghid(n)

khai thác để mã hóa tín hiệu với một số lượng nhỏ các bit hơn cần thiết để đại diệncho các tín hiệu đó Trong những trường hợp này, một bộ dự đoán tuyến tính có thểđược sử dụng để mô hình hóa các mối tương quan tín hiệu của một khối dữ liệu nhưmột cách để giảm số bit cần thiết để đại diện cho các dạng sóng tín hiệu

2.6 Kết luận chương

Mỗi phương pháp thiết kế có các ưu điểm và nhược điểm riêng, cần phải dựa vàocác yêu cầu đầu vào, các thông số cụ thể và các tính chất được yêu cầu để lựa chọnphương pháp thiết kế phù hợp nhất

Phương pháp cửa sổ và lấy mẫu tần số thì có quá trình tính toán đơn giản nhưngkhông thể kiểm soát độc lập các giá trị Rp và As mà phải chấp nhận các giá trị trênsau khi thiết kế Một nhược điểm khác của phương pháp cửa sổ là độ suy giảm tốithiểu ở dải chắn nhỏ (chỉ 74dB với của sổ Blackman)

Phương pháp equiripple thì các thông số độ gợn ở dải thông và độ suy giảm ở dảichắn có thể điều chỉnh trong suốt quá trình thiết kế, tuy nhiên phương pháp nàyphức tạp và yêu cầu có sự trợ giúp của máy tính

Các bộ lọc FIR maximally flat thì có đáp ứng tần số phẳng tối đa nên thường đượcdùng trong các ứng dụng có yêu cầu tính chất trên, đặc biệt là trong xử lí tín hiệu đathức Tuy nhiên, trả giá cho đáp ứng phẳng là số bậc của bộ lọc lớn và tăng nhanhkhi muốn giảm độ rộng miền chuyển tiếp

Các bộ lọc thích nghi sử dụng thuật toán thích nghi để thay đổi vector hệ số bộ lọc,

từ đó thay đổi mối quan hệ vào ra của bộ lọc Bộ lọc FIR thích nghi có cấu trúc gầngiống với cấu trúc bộ lọc FIR dạng trực tiếp nhưng các hệ số bộ lọc là có thể thayđổi được trong khi cấu trúc bộ lọc FIR dạng trực tiếp có các hệ số cố định Bộ lọcFIR thích nghi có nhiều ứng dụng quan trọng như nhận dạng hệ thống, triệt tiêunhiễu hay dự đoán tuyến tính