Thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính

Bài toán thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính. Nội dung tiểu luận được chia thành 4 phần: Phần I: Bộ lọc IIR và bài toán thiết kế Phần II: Phương pháp thiết kế bộ lọc IIR Phần III: Chương trình thiết kế Phần IV: Đánh giá kết quả kết luận

Đề tài: Thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng

bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính

PH N I: B L C IIR VÀ BÀI TOÁN THI T K 2

I Gi i thi ệu chung v b l c IIR: 2

1 Giới thiệu: 2

2 Hai cách tiếp cận: 2

II Thi t k b l c IIR: 3

III Cácăđặcăđi măs ăb : 3

1 Tỉ lệ tuyến tính tương đối: 3

2 Các tính chất của |Ha(jΩ)|2 : 4

PH N II: P H NGăPHÁPăTHI T K B L C IIR 5

I C ácăđặcătr ngăcủa các b l căAnalogăđi n hình: 5

1 Bộ lọc thông thấp Butterworth: 5

2 Bộ lọc thông thấp Chebyshev: 8

3 Bộ lọc thông thấp Ellipic: 11

4 Các đáp ứng pha của các bộ lọc điển hình: 12

II Các phép bi năđổi b l căt ngătự thành b l c s 12

1 Biến đổi bất biến xung: 13

2 Biến đổi song tuyến tính: 15

III Bi năđổiăbĕngăt n: 17

PH N III: C H NGăTRÌNHăTHI T K 20

I Tính toán thi t k : 20

II Thu t toán gi i quy t bài toán: 22

III Ch ngătrìnhăMatlab: 23

1 Các hàm sử dụng trong chương trình: 23

2 Chương trình: 26

3 Kết quả: 28

4 Mô phỏng bằng simulink: 31

PH NăIV:ăĐÁNH GIÁ K T QU - K T LU N 35

I Ch ỉ tiêu k thu t: 35

II Ch tăl ng l c thực t : 35

III K t lu n: 35

L IăNịIăĐ U

Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã tr thành một môn học cơ s

cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thông, Tự động hoá

Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD, VCD,

DVD, camera, scanner, y khoa , trong các hệ thống truyền hình số, thông tin địa lý, bản đồ

số, viễn thông v.v

Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là l c, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất

trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter) Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia

các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse

Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse

Response) còn gọi là lọc đệ quy Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc, FIR

hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải Các bộ lọc này có

thể được thiết kế bằng những phương pháp khác nhau, mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và khuyết điểm riêng

Trong khuôn khổ của bài tiểu luận môn học này, em xin phép trình bày nội dung đề tài:

Bài toán thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song

tuyến tính

Nội dung tiểu luận được chia thành 4 phần:

- Phần I: Bộ lọc IIR và bài toán thiết kế

- Phần II: Phương pháp thiết kế bộ lọc IIR

- Phần III: Chương trình thiết kế

- Phần IV: Đánh giá kết quả - kết luận

Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo TS.ăNgôăVĕnăS đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt

những kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo và chỉ bảo các phương pháp làm việc

khoa học

Trong quá trình làm tiểu luận tuy đã hết sức cố gắng song chắc chắn không tránh khỏi

những sai sót Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy để nội dung của tiểu luận được hoàn

chỉnh hơn

Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2012

Sinh viên thực hiện

εai Vũ Quốc Bình

PH NăI:

B ăL CăIIRăVÀăBÀIăTOÁNăTHI TăK

I Gi i thiệu chung v b l c IIR:

1 Gi i thiệu:

 Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vô hạn, vì vậy chúng có thể khớp với các bộ lọc

analog, mà nói chung đều có đáp ứng xung dài vô hạn

 Kỹ thuật cơ bản để thiết kế lọc IIR là biến đổi các bộ lọc analog điển hình

(well-known) thành các bộ lọc digital sử dụng các ánh xạ giá trị-phức

 Sự thuận tiện của kỹ thuật này là chỗ có sẵn các bảng thiết kế lọc analog (AFD)

và các ánh xạ được m rộng trong thư viện

 Các kỹ thuật cơ bản được gọi là các phép biến đổi lọc A/D

 Tuy nhiên, các bảng AFD chỉ dùng cho các bộ lọc thông thấp Trong khi ta cần

thiết kế các bộ lọc chọn tần khác (thông cao, thông dải, chắn dải, v.v…)

 Cần áp dụng các phép biến đổi băng tần đối với các bộ lọc thông thấp Các phép

biến đổi này cũng được gọi là ánh xạ giá trị-phức, và chúng cũng có sẵn trong thư

viện

2 Hai cách ti p c n:

2.1 Cáchă1,ăđ c sử d ng trong Matlab

2.2 Cáchă2,ăđ c sử d ngăđ h c t p, nghiên cứu

Design analog

lowpass filter

Apply filter transformation

s → z

Desired IIR filter

II Thi t k b l c IIR:

 Thiết kế bộ lọc thông thấp analog

 Nghiên cứu và áp dụng các phép biến đổi bộ lọc để thu được bộ lọc số thông thấp

 Nghiên cứu và áp dụng các phép biến đổi băng tần để thu được các bộ lọc số khác

từ bộ lọc số thông thấp

Các vấn đề tồn tại:

 Không điều khiển các đặc tính pha của bộ lọc IIR

 Các thiết kế lọc IIR chỉ xử lý như các thiết kế về biên độ

III Cácăđặcăđi măs ăb :

1 Tỉ lệ tuy nătínhăt ngăđ i:

 Ha(jΩ) là đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự

 Các đặc trưng bộ lọc thông thấp trên đáp ứng bình phương biên độ được cho b i:

2 2

2 2

1

( ) 1,1

 ε là thông số gợn sóng dải thông

 ΩP là tần số cắt dải thông (rad/s)

 A là tham số suy hao dải chắn

 ΩS là tần số cắt của dải chắn (rad/s)

Design analog

lowpass filter

Apply filter transformation

2

2

1( )

1(  )   

A

A s

R

A

AA

2 Các tính ch t của |Ha(jΩ)|2

:

Các đặc trưng của bộ lọc Analog được cho theo các hệ số của đáp ứng bình phương độ

lớn, không bao hàm thông tin về pha Do đó để đánh giá hàm truyền hệ thống Ha(s) trong

Đối với các bộ lọc thực, các điểm cực và điểm không xuất hiện theo cặp liên hợp phức

(hoặc đối xứng ảnh-gương theo trục thực)

Từ các mẫu này chúng ta có thể xây dựng Ha(s), là hàm truyền hệ thống của bộ lọc

analog

Ta muốn Ha(s) để biểu diễn một bộ lọc nhân quả và ổn định Khi đó tất cả các điểm cực

của Ha(s) trong nửa mặt phẳng bên trái Như vậy ta gán tất cả các điểm cực nửa-trái của

Ha(s)Ha(-s) lên Ha(s) Hoặc chúng ta sẽ chọn các điểm không của Ha(s)Ha(-s) nằm bên cạnh

hoặc trên trục jΩ như các điểm không của Ha(s)

Bộ lọc kết quả được gọi là một bộ lọc pha-tối thiểu

PH NăII:

Như đã nói phần trước, các kỹ thuật thiết kế lọc IIR dựa trên bộ lọc Analog đã có để

thu được các bộ lọc số Chúng ta thiết kế các bộ lọc Analog này theo các bộ lọc điển hình

phần này, ta sẽ tìm hiểu các phần chính sau:

1 Các đặc trưng và phương pháp thiết kế các bộ lọc thông thấp Analog điển hình

2 Các phép biến đổi bộ lọc để thu được bộ lọc số thông thấp từ bộ lọc Analog

3 Các phép biến đổi băng tần để thu được các bộ lọc số khác từ bộ lọc số thông thấp

I Cácăđặcătr ngăcủa các b l c Analogăđi n hình:

Có ba kiểu bộ lọc Analog điển hình được sử dụng rộng rãi trong thực tế:

 Từ đồ thị trên ta có nhận xét:

 |Ha(0)|2 =1 với mọi N

 |Ha(jΩc)|2 =0.5 với mọi N (hệ số suy giảm 3dB Ωc)

 |Ha(jΩ)|2đơn điệu giảm theo Ω

 Tiến đến bộ lọc lý tư ng khi N → ∞

 Đối xứng theo trục ảo

 Một điểm cực không bao gi rơi vào trục ảo, và rơi vào trục thực chỉ nếu N là lẻ

 Một bộ lọc ổn định và nhân quả Ha(s) có thể được xác định bằng cách chọn các điểm cực trong nửa mặt phẳng trái, và Ha(s) có thể được viết dưới dạng:

( )

N C

k LHP poles

 Để thiết kế một bộ lọc Analog Butterworth chuẩn hoá (ΩC = 1) bậc N

 z: zeros; p: poles; k: gain value

R N

A N

 Đáp ứng xung ha(t) của bộ lọc Analog

Phần tiếp theo sẽ giới thiệu thêm về các bộ lọc thông thấp điển hình khác: Chebyshev, Ellipic, nhưng do giới hạn yêu cầu của tiểu luận này nên sẽ không đi sâu như đối với bộ lọc

Butterworth

2 B l c thông th p Chebyshev:

- Các bộ lọc Chebyshev-I: Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải thông

- Các bộ lọc Chebyshev-II: Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải chắn

- Các bộ lọc Butterworth: Có đáp ứng đơn điệu trong cả hai dải

- Lưu ý rằng chọn một bộ lọc cân bằng gợn sóng thay vì bộ lọc đơn điệu, ta thu

1

a

N c

 Với 0 < x < 1, TN(x) dao động giữa –1 và 1

 Với 1 < x < ∞, TN(x) tăng đơn điệu đến vô cùng

Hai dạng đồ thị của đáp ứng bình phương-biên độ (N lẻ và N chẵn)

Để xác định một hàm Ha(s) nhân quả và ổn định, ta phải tìm các điểm cực của

Ha(s)Ha(-s) và chọn các điểm cực nửa mặt phẳng-trái đối với Ha(s)

Các điểm cực Ha(s)Ha(-s) thu được bằng cách tìm nghiệm của:

2 2

C

sTj



Có thể chỉ ra rằng nếu pk    k j k,k0,1, ,N1 là nghiệm (nửa mặt phẳng trái)

của đa thức trên thì:

(2 1)( ) cos

(2 1)( ) sin

ka

Nkb

Thi hành trên Matlab:

2 10

2 10

Liên quan đến bộ lọc Chebyshev-I thông qua một phép biến đổi đơn giản

Nó có dải thông đơn điệu và dải chắn cân bằng gợn sóng, nghĩa là bộ lọc này có cả các điểm cực và các điểm không trong mặt phẳng-s

Vì vậy các đặc trưng trễ nhóm là tốt hơn (và đáp ứng pha tuyến tính hơn) trong dải

thông so với bộ lọc Chebyshev-I prototype

1

a

C N

 Function [b,a] = u_chb2ap(N,As,Omegac)

Các bộ lọc này, vì nhiều lý do đã xét trước đây, là rất khó để phân tích và thiết kế

Không thể thiết kế chúng bằng các công cụ đơn giản, và thư ng phải dùng các chương

1

a

N c

Thi hành trên Matlab:

 Analog Lowpass Filter Design: Elliptic

4 Cácăđápăứng pha của các b l c đi n hình:

 Bộ lọc Elliptic cho tính năng tối ưu về đáp ứng bình phương-biên độ nhưng có đáp

ứng pha phi tuy n hơn trong dải thông (không thích hợp cho nhiều ứng dụng)

 Ngay cả khi chúng ta quyết định không lo lắng gì đến đáp ứng pha trong thiết kế,

pha vẫn giữ vai trò quan trọng trên toàn hệ thống

 Đối với các bộ lọc Buttworth , có đáp ứng biên độ bằng phẳng tối đa và đòi hỏi bậc

N cao hơn (nhiều điểm cực hơn) để đạt được cùng một chỉ tiêu dải chắn Tuy nhiên

chúng có một đáp ứng pha không tuyến tính trong dải thông

 Các bộ lọc Chebyshev có các đặc tính pha nằm ở giữa

 Vì vậy trong các ứng dụng thực tế chúng ta xem xét các bộ lọc Butterworth cũng như Chebyshev, cộng thêm các bộ lọc elliptic

 Việc lưa chọn phụ thuộc vào cả bậc của bộ lọc (thư ng ảnh hư ng đến tốc độ xử lý

và độ phức tạp thi hành) và các đặc tính pha (để điều khiển méo)

II Các phép bi năđổi b l căt ngătự thành b l c s

 Sau khi khảo sát các tiếp cận khác nhau để thiết kế các bộ lọc tương tự , chúng ta sẵn

sàng biến đổi chúng thành bộ lọc số

 Các phép biến đổi này đạt được bằng cách bảo toàn các aspects khác nhau của các bộ

lọc tương tự và lọc số

- Bi năđổi b t bi n xung

→ Bảo toàn hình dang của đáp ứng xung từ lọc tương tự thành lọc số

- K thu t x p xỉ sai phân hữu h n

→ Chuyển đổi biểu diễn một phương trình vi phân thành một phương trình sai phân tương ứng

- B t bi năb c nh y

→ Bảo toàn hình dạng của đáp ứng bước nhảy

- Bi năđổi song tuy n tính

→ Bảo toàn biểu diễn hàm hệ thống từ miền tương tự sang miền số

Trong phần này chỉ đề cập đến biến đổi bất biến xung và biến đổi song tuyến tính

1 Bi năđổi b t bi n xung:

Trong phương pháp này chúng ta muốn đáp ứng xung của bộ lọc số trông tương tự như

đáp ứng xung của bộ lọc chọn tần analog

Lấy mẫu ha(t) các chu kỳ lấy mẫu T ta thu được h(n):

 σ < 0, ánh xạ vào |z| < 1 (bên trong đư ng tròn đơn vị)

 σ = 0, ánh xạ vào |z| = 1 (trên đư ng tròn đơn vị )

 σ > 0, ánh xạ vào |z| > 1 (bên ngoài đư ng tròn đơn vị)

 Mỗi dải bán-vô hạn bên trái (nằm bên mặt phẳng trái) ánh xạ vào bên trong

đư ng tròn đơn vị

 Tính nhân quả và ổn định là không thay đổi;

 Aliasing (sai số lấy mẫu) xuất hiện nếu bộ lọc không có băng tần-hữu hạn

Thủ t c thi t k :

Với các chỉ tiêu đã cho wp, ws, Rp, As, chúng ta muốn xác định H(z) bằng cách thiết kế

trước tiên một bộ lọc analog tương đương và sau đó ánh xạ chúng thành bộ lọc số mong

muốn Các bước như sau:

( )

p T k

 T = chu kỳ lấy mẫu

Các thu n l i và b t l i của ánh x b t bi n xung:

- Đây là một thiết kế ổn định và các tần số Ω và ω có quan hệ tuyến tính

- Bất tiện: Gặp phải aliasing (sai số lấy mẫu) đáp ứng tần số analog, và đôi khi

aliasing này là ko chấp nhận đc

- Như vậy, phương pháp thiết kế này chỉ tiện sử dụng khi bộ lọc analog có băng

tần-hữu hạn biến đổi thành bộ lọc thông thấp hoặc thông dải không có dao động

trong dải chắn

2 Bi n đổi song tuy n tính:

Ánh xạ này là phương pháp biến đổi tốt nhất

1 1

sz s  z là tuyến tính với mỗi biến (s hoặc z) nếu

biến còn lại được cố định, hoặc song tuyến tính với s và z

Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi song tuyến tính

Các nh n xét:

 σ < 0, ánh xạ vào |z| < 1 (bên trong đư ng tròn đơn vị)

σ = 0, ánh xạ vào |z| = 1 (trên đư ng tròn đơn vị )

σ > 0, ánh xạ vào |z| > 1 (bên ngoài đư ng tròn đơn vị)

 Toàn bộ mặt phẳng-nửa trái ánh xạ vào bên trong vòng tròn đơn vị Đây là phép

Thủ t c thi t k :

Với các chỉ tiêu đã cho của bộ lọc số wp, ws, Rp, As, chúng ta cần xác định H(z) Các

bước như sau:

- Không bị aliasing (sai số lấy mẫu)

- Không ràng buộc về kiểu bộ lọc có thể biến đổi được

 So sánh 3 b l c:

Chúng ta thiết kết bộ lọc số sử dụng 3 bộ lọc analog điển hình khác nhau (Butterworth,

Chebyshev, Ellipic) Bây gi chúng ta sẽ so sánh hiệu quả của chúng Thông số kỹ thuật là:

Rõ ràng, bộ lọc Ellipic cho kết quả thiết kế tốt nhất, bậc N nhỏ nhất và min(As) là lớn

nhất Tuy nhiên nếu chúng ta so sánh đáp ứng pha thì thiết kế theo Ellipic có đáp ứng pha là

phi tuyến nhất trong dải thông

Gọi HLP(Z) là bộ lọc số prototype lowpass đã cho, và gọi H(z) là bộ lọc số chọn tần

được mong muốn Xác định một ánh xạ theo công thức:

Giả sử HLP(Z) là một bộ lọc ổn định và nhân quả, ta muốn rằng H(z) cũng ổn định và

nhân quả Điều này dẫn đến các yêu cầu sau:

1 G(.) phải là một hàm hữu tỉ theo z-1sao cho H(z) là thi hành được

2 Đư ng tròn đơn vị của mặt phẳng-Z phải ánh xạ lên đư ng tròn đơn vị của mặt

phẳng-z

3 Để cho các bộ lọc ổn định, bên trong đư ng tròn đơn vị của mặt phẳng-Z cũng phải

ánh xạ lên bên trong đư ng tròn đơn vị của mặt phẳng-z

Công thức tổng quát của hàm G(.) để thoả mãn các yêu cầu trên là một hàm hữu tỉ của

kiểu toàn-thông (all-pass type) được cho b i:

1

1 1

1

n

k k

Đúcăk t l i cácăb c thi t k b l c s ch n t n:

1 Các chỉ tiêu bộ lọc số-chọn tần (LP, HP, BP, BS)

2 Chỉ tiêu bộ lọc số thông thấp tính từ các chỉ tiêu trên

3 Chỉ tiêu bộ lọc Analog prototype

4 Tính toán và thiết kế bộ lọc thông thấp Analog prototype (4 kiểu)

5 Dùng các phép biến đổi chuyển thành bộ lọc thông thấp số

6 Biến đổi băng tần bộ lọc số LP thành bộ lọc số-chọn tần mong muốn

PH NăIII:

Thiết kế dựa vào bộ lọc Butterworth và phép biến đổi song tuyến tính

Có hai hướng để thiết kế:

- Hướng thứ nhất: sử dụng trực tiếp các thông số kỹ thuật yêu cầu để thiết kế bộ

lọc số thông thấp Analog Butterworth, sau đó biến đổi song tuyến tính để thu được bộ lọc số thông thấp

- Hướng thứ 2: Sử dụng một bộ lọc số thông thấp đã thiết kế trước (dùng bộ lọc

Butterworth và biến đổi song tuyến tính), sau đó thực hiện phép chuyển đổi băng

tần để thu được bộ lọc thông thấp số có thông số kỹ thuật theo yêu cầu

Dưới đây sẽ thiết kế theo hướng thứ nhất, còn hướng thứ hai thực hiện tương tự, sau đó

sử dụng công thức trong phần Phép biến đổi băng tần (cuối Phần II) để chuyển đổi Lowpass

- Chọn chu kỳ lấy mẫu T = 1

- Chuyển đổi   (tính toán ,p, s   ) p s

s s

rad sT

rad sT

R N

A N