Thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính

Bài toán thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính. Nội dung tiểu luận được chia thành 4 phần: Phần I: Bộ lọc IIR và bài toán thiết kế Phần II: Phương pháp thiết kế bộ lọc IIR Phần III: Chương trình thiết kế Phần IV: Đánh giá kết quả kết luận

ĐIăHCăĐÀăNNG TRNGăĐIăHCăBÁCHăKHOA KHOA PFIEV  BÁO CÁO TIUăLUN GVHD : T.S NGỌăVĔNăS SVTH : MAIăVŨăQUCăBÌNHă Lpă : 09CLC2 ĐƠăNng,ă2012 Đề tài: Thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính MC LC LIăNịIăĐU 1 PHN I: B LC IIR VÀ BÀI TOÁN THIT K 2 I. Gii thiệu chung v b lc IIR: 2 1. Giới thiệu: 2 2. Hai cách tiếp cận: 2 II. Thit k b lc IIR: 3 III. Cácăđặcăđimăsăb: 3 1. Tỉ lệ tuyến tính tương đối: 3 2. Các tính chất của |H a (jΩ)| 2 : 4 PHN II: PHNGăPHÁPăTHIT K B LC IIR 5 I. Cácăđặcătrngăcủa các b lcăAnalogăđin hình: 5 1. Bộ lọc thông thấp Butterworth: 5 2. Bộ lọc thông thấp Chebyshev: 8 3. Bộ lọc thông thấp Ellipic: 11 4. Các đáp ứng pha của các bộ lọc điển hình: 12 II. Các phép binăđổi b lcătngătự thành b lc s 12 1. Biến đổi bất biến xung: 13 2. Biến đổi song tuyến tính: 15 III. Binăđổiăbĕngătn: 17 PHN III: CHNGăTRÌNHăTHIT K 20 I. Tính toán thit k: 20 II. Thut toán gii quyt bài toán: 22 III. ChngătrìnhăMatlab: 23 1. Các hàm sử dụng trong chương trình: 23 2. Chương trình: 26 3. Kết quả: 28 4. Mô phỏng bằng simulink: 31 PHNăIV:ăĐÁNH GIÁ KT QU - KT LUN 35 I. Chỉ tiêu k thut: 35 II. Chtălng lc thực t: 35 III. Kt lun: 35 Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 1 LIăNịIăĐU Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã tr thành một môn học cơ s cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thông, Tự động hoá Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD, VCD, DVD, camera, scanner, y khoa , trong các hệ thống truyền hình số, thông tin địa lý, bản đồ số, viễn thông v.v Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter). Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy. Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc, FIR hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng những phương pháp khác nhau, mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và khuyết điểm riêng. Trong khuôn khổ của bài tiểu luận môn học này, em xin phép trình bày nội dung đề tài: Bài toán thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính. Nội dung tiểu luận được chia thành 4 phần: - Phần I: Bộ lọc IIR và bài toán thiết kế - Phần II: Phương pháp thiết kế bộ lọc IIR - Phần III: Chương trình thiết kế - Phần IV: Đánh giá kết quả - kết luận Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo TS.ăNgôăVĕnăS đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt những kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo và chỉ bảo các phương pháp làm việc khoa học. Trong quá trình làm tiểu luận tuy đã hết sức cố gắng song chắc chắn không tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy để nội dung của tiểu luận được hoàn chỉnh hơn. Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2012 Sinh viên thực hiện εai Vũ Quốc Bình Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 2 PHNăI: BăLCăIIRăVÀăBÀIăTOÁNăTHITăK I. Gii thiệu chung v b lc IIR: 1. Gii thiệu:  Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vô hạn, vì vậy chúng có thể khớp với các bộ lọc analog, mà nói chung đều có đáp ứng xung dài vô hạn.  Kỹ thuật cơ bản để thiết kế lọc IIR là biến đổi các bộ lọc analog điển hình (well- known) thành các bộ lọc digital sử dụng các ánh xạ giá trị-phức.  Sự thuận tiện của kỹ thuật này là  chỗ có sẵn các bảng thiết kế lọc analog (AFD) và các ánh xạ được m rộng trong thư viện.  Các kỹ thuật cơ bản được gọi là các phép biến đổi lọc A/D.  Tuy nhiên, các bảng AFD chỉ dùng cho các bộ lọc thông thấp. Trong khi ta cần thiết kế các bộ lọc chọn tần khác (thông cao, thông dải, chắn dải, v.v…)  Cần áp dụng các phép biến đổi băng tần đối với các bộ lọc thông thấp. Các phép biến đổi này cũng được gọi là ánh xạ giá trị-phức, và chúng cũng có sẵn trong thư viện. 2. Hai cách tip cn: 2.1. Cáchă1,ăđc sử dng trong Matlab 2.2. Cáchă2,ăđc sử dngăđ hc tp, nghiên cứu Design analog lowpass filter Apply filter transformation s → z Apply freq. band transformation z → z Desired IIR filter Design analog lowpass filter Apply freq. band transformation s → s Apply filter transformation s → z Desired IIR filter Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 3 II. Thit k b lc IIR:  Thiết kế bộ lọc thông thấp analog.  Nghiên cứu và áp dụng các phép biến đổi bộ lọc để thu được bộ lọc số thông thấp.  Nghiên cứu và áp dụng các phép biến đổi băng tần để thu được các bộ lọc số khác từ bộ lọc số thông thấp. Các vấn đề tồn tại:  Không điều khiển các đặc tính pha của bộ lọc IIR.  Các thiết kế lọc IIR chỉ xử lý như các thiết kế về biên độ. III. Cácăđặcăđimăsăb: 1. Tỉ lệ tuynătínhătngăđi:  H a (jΩ) là đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự.  Các đặc trưng bộ lọc thông thấp trên đáp ứng bình phương biên độ được cho bi: 2 2 2 2 1 ( ) 1, 1 1 0 ( ) ,              ap as Hj Hj A  Trongăđó:  ε là thông số gợn sóng dải thông.  Ω P là tần số cắt dải thông (rad/s).  A là tham số suy hao dải chắn.  Ω S là tần số cắt của dải chắn (rad/s). Các thông số kỹ thuật của bộ lọc thông tấp Analog Design analog lowpass filter Apply filter transformation s → z Apply freq. band transformation z → z Desired IIR filter 2 2 1 () 1       aP H j at 2 2 1 ()     aS H j at A Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 4  Các hệ thức giữa ł, A, Rp, As, Ł 1 và Ł 2 10 10 2 20 10 2 1 1 2 11 21 12 1 10log 10 1 1 1 10log 10 2 1 1 1 1 1 1 1 1                                 p s R p A s R AA A A A 2. Các tính cht của |H a (jΩ)| 2 : Các đặc trưng của bộ lọc Analog được cho theo các hệ số của đáp ứng bình phương độ lớn, không bao hàm thông tin về pha. Do đó để đánh giá hàm truyền hệ thống H a (s) trong miền-s ta xét: ( ) ( )   aa sj H j H s Sau đó ta có: 2 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )            a a a a a a a sj H j H j H j H j H j H s H s Hay: 2 / ( ) ( ) ( )     a a a sj H s H s H j Vì vậy các điểm cực và điểm không của hàm bình phương biên độ được phân bố theo đối xứng ảnh-gương xét theo trục jΩ. Đối với các bộ lọc thực, các điểm cực và điểm không xuất hiện theo cặp liên hợp phức (hoặc đối xứng ảnh-gương theo trục thực). Từ các mẫu này chúng ta có thể xây dựng H a (s), là hàm truyền hệ thống của bộ lọc analog. Ta muốn H a (s) để biểu diễn một bộ lọc nhân quả và ổn định. Khi đó tất cả các điểm cực của H a (s) trong nửa mặt phẳng bên trái. Như vậy ta gán tất cả các điểm cực nửa-trái của H a (s)H a (-s) lên H a (s). Hoặc chúng ta sẽ chọn các điểm không của H a (s)H a (-s) nằm bên cạnh hoặc trên trục jΩ như các điểm không của H a (s). Bộ lọc kết quả được gọi là một bộ lọc pha-tối thiểu. Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 5 PHNăII: PHNGăPHÁPăTHITăK BăLCăIIR Như đã nói  phần trước, các kỹ thuật thiết kế lọc IIR dựa trên bộ lọc Analog đã có để thu được các bộ lọc số. Chúng ta thiết kế các bộ lọc Analog này theo các bộ lọc điển hình.  phần này, ta sẽ tìm hiểu các phần chính sau: 1. Các đặc trưng và phương pháp thiết kế các bộ lọc thông thấp Analog điển hình. 2. Các phép biến đổi bộ lọc để thu được bộ lọc số thông thấp từ bộ lọc Analog. 3. Các phép biến đổi băng tần để thu được các bộ lọc số khác từ bộ lọc số thông thấp. I. Cácăđặcătrngăcủa các b lc Analogăđin hình: Có ba kiểu bộ lọc Analog điển hình được sử dụng rộng rãi trong thực tế: - Thông thấp Butterworth. - Thông thấp Chebyshev (Kiểu I và II). - Thông thấp Elliptic. 1. B lc thông thp Butterworth: 1.1. Cácăđặcătrng:  Bộ lọc này được đặc trưng bi tính chất đáp ứng biên độ là bằng phẳng trong cả dải thông và dải chắn.  Đáp ứng bình phương-biên độ của bộ lọc thông thấp bậc-N: 2 2 1 () 1 a N C Hj       Ω C là tần số cắt (rad/s)  Đồ thị đáp ứng bình phương-biên độ: 2 () a Hj Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 6  Từ đồ thị trên ta có nhận xét:  |H a (0)| 2 =1 với mọi N.  |H a (jΩ c )| 2 =0.5 với mọi N (hệ số suy giảm 3dB  Ω c )  |H a (jΩ)| 2 đơn điệu giảm theo Ω  Tiến đến bộ lọc lý tưng khi N → ∞  Xác định hàm truyền hệ thống H a (s): 22 2 22 22 / 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) () () 1 NN CC a a a NN NN sj C k k C jj H s H s H j sj s sp j                  Các điểm cực: 1 22 (2 1) ( 1) ( ) , 0,1, ,2 1 NN j k N k C C p j e k N           Nhận xét về các điểm cực của ( ) ( ) aa H s H s :  Có 2N điểm cực được phân bố đều đặn trên đưng tròn bán kính Ω C với khoảng cách góc π / N radians.  Với N lẻ, / , 0,1, ,2 1 jk N kC p e k N       Với N chẵn, 2 , 0,1, ,2 1 k j NN kC p e k N           Đối xứng theo trục ảo.  Một điểm cực không bao gi rơi vào trục ảo, và rơi vào trục thực chỉ nếu N là lẻ.  Một bộ lọc ổn định và nhân quả H a (s) có thể được xác định bằng cách chọn các điểm cực trong nửa mặt phẳng trái, và H a (s) có thể được viết dưới dạng: () () N C a N k LHP poles Hs sp     Thi hành trên Matlab:  Hàm [z,p,k] = buttap(N)  Để thiết kế một bộ lọc Analog Butterworth chuẩn hoá (Ω C = 1) bậc N.  z: zeros; p: poles; k: gain value.  Hàm [b,a] = u_buttap(N,Omegac)  Để thiết kế một bộ lọc Analog Butterworth chưa chuẩn hoá với Ω C tùy ý, bậc N.  Cung cấp một cấu trúc dạng trực tiếp với: b là tử thức, a là mẫu thức.  Hàm [C,B,A] = sdir2cas(b,a)  Chuyển đổi dạng trực tiếp thành dạng ghép tầng. Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 7 1.2. Cácăphngătrìnhăthit k: Bộ lọc thông thấp analog được đặc trưng bi các thông số ,, P P S R và S A . Vì vậy ưu điểm của thiết kế trong trưng hơp bộ lọc Butterworth là thu được bậc N và tần số cắt C  . Chúng ta muốn:  Tại 2 10 , 10log ( ) P a P H j R      hay: 10 2 1 10log 1 P N P C R                Tại 2 10 , 10log ( ) S a S H j A      hay: 10 2 1 10log 1 S N S C A               Giải 2 phương trình trên ta thu được:  Bậc       10 10 10 10 log 10 1 10 1 2log S P A R PS N           Tần số cắt C  : - Để đáp ứng thông số kỹ thuật tại P  :   10 2 10 1 P P C R N    - Để đáp ứng thông số kỹ thuật tại S  :   10 2 10 1 S S C A N    Thi hành trên Matlab:  Hàm [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As)  Để thiết kế bộ lọc thông thấp analog Butterworth, cho bi các chỉ tiêu của nó.  Hàm [db,mag,pha,w] = freqs_m(b,a,wmax)  Đáp ứng biên độ tuyệt đối cũng như tương đối theo thang dB và đáp ứng pha.  Hàm [ha,x,t] = impulse(b,a)  Đáp ứng xung h a (t) của bộ lọc Analog. Phần tiếp theo sẽ giới thiệu thêm về các bộ lọc thông thấp điển hình khác: Chebyshev, Ellipic, nhưng do giới hạn yêu cầu của tiểu luận này nên sẽ không đi sâu như đối với bộ lọc Butterworth. Báo cáo tiểu luận  Xử lý tín hiệu số εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 Trang 8 2. B lc thông thp Chebyshev: - Các bộ lọc Chebyshev-I: Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải thông. - Các bộ lọc Chebyshev-II: Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải chắn - Các bộ lọc Butterworth: Có đáp ứng đơn điệu trong cả hai dải. - Lưu ý rằng chọn một bộ lọc cân bằng gợn sóng thay vì bộ lọc đơn điệu, ta thu được một bộ lọc có bậc-thấp. Vì vậy các bộ lọc Chebyshev cho bậc thấp hơn so với các bộ lọc Buttworth có cùng chỉ tiêu. 2.1. B lc Chebyshev I:  Đáp ứng bình phương biên độ: 2 22 1 () 1 a N c Hj T        Trong đó: N là bậc bộ lọc ε là hệ số gợn sóng dải thông  Đa thức Chebyshev bậc N     1 1 cos cos ( ) , 0 1 () cosh cosh ( ) , 1 N C N x x T x khi x xx                Với 0 < x < 1, T N (x) dao động giữa –1 và 1  Với 1 < x < ∞, T N (x) tăng đơn điệu đến vô cùng Hai dạng đồ thị của đáp ứng bình phương-biên độ (N lẻ và N chẵn) Nhn xét:  Tại x = 0 (hoặc Ω = 0) 2 2 2 ( 0) 1 ( ) 1 ( 0) ( ) 1 a a H j N odd H j N even    [...]... TăK Thiết kế dựa vào bộ lọc Butterworth và phép biến đổi song tuyến tính Có hai hướng để thiết kế: - Hướng thứ nhất: sử dụng trực tiếp các thông số kỹ thuật yêu cầu để thiết kế bộ lọc số thông thấp Analog Butterworth, sau đó biến đổi song tuyến tính để thu được bộ lọc số thông thấp - Hướng thứ 2: Sử dụng một bộ lọc số thông thấp đã thiết kế trước (dùng bộ lọc Butterworth và biến đổi song tuyến tính) ,... hiệu số c thi t k b l c s ch n t n: 1 Các chỉ tiêu bộ lọc số-chọn tần (LP, HP, BP, BS) 2 Chỉ tiêu bộ lọc số thông thấp tính từ các chỉ tiêu trên 3 Chỉ tiêu bộ lọc Analog prototype 4 Tính toán và thiết kế bộ lọc thông thấp Analog prototype (4 kiểu) 5 Dùng các phép biến đổi chuyển thành bộ lọc thông thấp số 6 Biến đổi băng tần bộ lọc số LP thành bộ lọc số-chọn tần mong muốn εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2... số III Bi n đổi bĕngăt n: Mục đích của phương pháp này là để thiết kế các bộ lọc chọn tần khác nhau: - Các bộ lọc thông cao - Các bộ lọc thông dải - Các bộ lọc chắn dải Bằng cách sử dụng các kết quả của lọc thông thấp và phép biến đổi băng tần Phép bi n đổi bĕngăt n: Gọi HLP(Z) là bộ lọc số prototype lowpass đã cho, và gọi H(z) là bộ lọc số chọn tần được mong muốn Xác định một ánh xạ theo công thức:... bằng cách thiết kế trước tiên một bộ lọc analog tương đương và sau đó ánh xạ chúng thành bộ lọc số mong muốn Các bước như sau: 1 Chọn T và xác định các tần số analog:  P  p T and S  s T 2 Thiết kế một bộ lọc analog Ha(s) sử dụng các đặc tính của một trong ba bộ lọc điển hình trong phần trước 3 Sử dụng phép khai triển riêng phần, khai triển Ha(s) thành: H a ( s)   k 1 N   4 Biến đổi các điểm... biển đổi này là Biến đôi phân tuyến T T tính (linear fractional) vì ta có: sz  s  z  1  0 là tuyến tính với mỗi biến (s hoặc z) nếu 2 2 biến còn lại được cố định, hoặc song tuyến tính với s và z Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi song tuyến tính Các nh n xét:  σ < 0, ánh xạ vào |z| < 1 (bên trong đư ng tròn đơn vị) σ = 0, ánh xạ vào |z| = 1 (trên đư ng tròn đơn vị )    σ > 0, ánh xạ vào... ko chấp nhận đc - Như vậy, phương pháp thiết kế này chỉ tiện sử dụng khi bộ lọc analog có băng tần-hữu hạn biến đổi thành bộ lọc thông thấp hoặc thông dải không có dao động trong dải chắn εai Vũ Quốc Bình Lớp 09CLC2 đáp ứng tần số analog, và đôi khi Trang 14 Báo cáo tiểu luận - - Xử lý tín hiệu số 2 Bi n đổi song tuy n tính: Ánh xạ này là phương pháp biến đổi tốt nhất s 2 1  z1 1  sT / 2 z... ứng pha không tuyến tính trong dải thông  Các bộ lọc Chebyshev có các đặc tính pha nằm ở giữa  Vì vậy trong các ứng dụng thực tế chúng ta xem xét các bộ lọc Butterworth cũng như Chebyshev, cộng thêm các bộ lọc elliptic  Việc lưa chọn phụ thuộc vào cả bậc của bộ lọc (thư ng ảnh hư ng đến tốc độ xử lý và độ phức tạp thi hành) và các đặc tính pha (để điều khiển méo) II Các phép bi n đổi b l căt  ... Ha(S) Fs = tần số lấy mẫu Các thu n l i của bi n đổi song tuy n tính: - Là một thiết kế ổn định - Không bị aliasing (sai số lấy mẫu) - Không ràng buộc về kiểu bộ lọc có thể biến đổi được  So sánh 3 b l c: Chúng ta thiết kết bộ lọc số sử dụng 3 bộ lọc analog điển hình khác nhau (Butterworth, Chebyshev, Ellipic) Bây gi chúng ta sẽ so sánh hiệu quả của chúng Thông số kỹ thuật là: wp = 0.2π, Rp = 1 dB, ws... tuyến tính) , sau đó thực hiện phép chuyển đổi băng tần để thu được bộ lọc thông thấp số có thông số kỹ thuật theo yêu cầu Dưới đây sẽ thiết kế theo hướng thứ nhất, còn hướng thứ hai thực hiện tương tự, sau đó sử dụng công thức trong phần Phép biến đổi băng tần (cuối Phần II) để chuyển đổi Lowpass sang Lowpass I Tính toán thi t k : Cho bộ lọc thông thấp có thông số như sau: p  0.3, s  0.4, As... Sau khi khảo sát các tiếp cận khác nhau để thiết kế các bộ lọc tương tự , chúng ta sẵn sàng biến đổi chúng thành bộ lọc số Các phép biến đổi này đạt được bằng cách bảo toàn các aspects khác nhau của các bộ lọc tương tự và lọc số - Bi n đổi b t bi n xung → Bảo toàn hình dang của đáp ứng xung từ lọc tương tự thành lọc số - K thu t x p xỉ sai phân hữu h n → Chuyển đổi biểu diễn một phương trình vi phân thành . filter Apply filter transformation s → z Apply freq. band transformation z → z Desired IIR filter Design analog lowpass filter Apply freq. band transformation s → s Apply filter. thông số kỹ thuật của bộ lọc thông tấp Analog Design analog lowpass filter Apply filter transformation s → z Apply freq. band transformation z → z Desired IIR filter 2 2 1 () 1  . Trang 13 - Binăđổi song tuyn tính → Bảo toàn biểu diễn hàm hệ thống từ miền tương tự sang miền số Trong phần này chỉ đề cập đến biến đổi bất biến xung và biến đổi song tuyến tính. 1. Binăđổi